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07B.1 Funktion, Abbildung, Rechenvorschrift, Graph, Definitionsmenge


CC-BY-NC-SA 3.0

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ein – Einstieg in die Funktionen und die Abbildungen – was einig dasselbe – bedeutet Funktion und Abbildung – ?? Funktion sagt man eher wenn's um Zahlen geht ?? Abbildung sagt man eher wenn's um grüne Dreiecke geht oder was auch immer aber eigentlich ist das dasselbe Funktion und Abbildung – der Mathematik – das ist ein Begriff mit vielen – Facetten – habe – ich vier angegeben – nämlich erstens hat man die Idee – einer Maschine – schrieb was in die Maschine rein das kommt wieder was zurück aus der Maschine – oder dann – formelmäßig – gerne eine Rechenvorschrift – so heißt das dann – Rechenvorschrift – das ist die – übliche Art der Maschine – in der Mathematik kann – ich gebe etwas anders gerechnet werden soll zum Beispiel Y ist gleich die Wurzel aus X das wäre eine Rechenvorschrift – Formel können Sie auch sagen – aber eine besondere Art von Formeln nämlich eine Formel gesagt wie was ausgesendet werden soll sowieso auszurechnen – indem ich die Wurzel aus X Bilder – beschreibt – eine Maschine die Maschinen Answurzel sozusagen – X geht Reinwurzel – kommt raus – alternativ – kann man die Tabelle hinschreiben – dies gerne mal unendlich lang die Tabelle – oder ein Pfeildiagramm – machen – gerade bei Abbildung sieht man es gerne – ?? oder eine Kurve auf Malen – eher zum Start wollte ich mal dass sie das mal für die Wurzel machen – wie sehr die Tabelle ausgeglichen – sich alle unendlich vielen Einträge aber wie sieht im Prinzip diese Tabelle für die Wurzel aus – Wurzelfunktion – aus wie sieht's – ein Fall Diagramm für die Wurzelfunktion – aus auch nur im Prinzip nicht komplett – fertig – und wie sieht im Prinzip die Kurve für die Wurzelfunktion – aus Komma diese – vier Aspekte – für die Wurzelfunktion – sehen ✂ fange mit der Tabelle einen – an – die Kammer netterweise auf zwei Arten bauen Widerwillen her nicht gerade – ausführliche Tabelle üblicherweise so braunes links was sortiert es steht – was ich einsetzen will und rechts – mehr oder minder unser Tag steht was rauskommt – wie beim – Telefonbuch – da haben Sie – die Nachnamen – Muellermeier – Zacharias – die Nachnamen alphabetisch sortiert – und rechts stehende Telefonnummern – wieder rauskommen – genauso ?? sie das gerne – wenn ich die null Einsätze als X – kommt das Y Wurzel null ist null raus die einzelnen Sätze Wurzel eines einzelnen zweiundvierzig – und Wurzel zwei raus – wenn ich die Einsätze verwurzelt Ki raus – und so weiter – und so weiter – so stell ich mir diese Tabelle vor links steht – was ich einsetze die Funktion – rechts steht was die Funktion zurückliefert – also statt dass man die Wurzel hier – auf irgendeine Weise ausrechnet – könnte man – in der Mathematik auf den Gedanken kommen macht eine unendlich lange Tabelle – kann einfach in der Tabelle nachschlagen – was der werte Wurzel – dann – gerade eben sowas gesehen das jeder auch noch minus auftaucht – auf der rechten Seite – nein die Wurzel ist eindeutig definiert – und die Wurzel aus neun – die Wurzel aus neun definitiv – drei und nicht minus drei – es ist einfacher gleich neun und minus drei Quadratsklassen – neun – und trotzdem sagt man Wurzel aus neun ist nur die drei nicht ?? minus drei um das eindeutig zu haben – sind wesentlich bei der Funktion – auf – meine Funktion – muss sich – ein Ergebnis haben wenn ich die zwei Einsätze in die Funktion kommt ein Ergebnis zu kommen zwei Ergebnisse zurück oder drei oder keines – genau ein Ergebnis – das heißt wenn ?? oben vorkommt – mit der eins gibt's die eins zurück der Daten nicht doch mal weiter unten stehen mit der eins gibt sie fünf zurück oder gibt's die minus eins zurück es wäre keine Funktion keine Abbildung – sich einsetze – muss – ganz klar zu immer demselben Ergebnis führen – ohne wenn und aber – ähm Fall Diagramm der natürlich so ähnlich – ein Beutel – mit Zahlen – eins – null zwei – wie auch immer – unendlich viele Zahlen und einen Beutel mit möglichen Ergebnissen – und dann will ich eben ab – die null wir zu Null – die eins – zu eins die wir zu Wurzel die – zwei wird auch irgendwas werden und so weiter – Platz nach – dann – mit der Kurve – so versteht man den ?? gerne ingenieurmäßig – die Funktion – irgendwie als Kurve – war ganz gelungen – eine halbierte eingelegte Parabel – das ist ja nur die Sammlung von diesen ganzen Wertepaaren – eins eins – ?? war nicht ganz gelungen zur Raucher ?? Punkt eins eins – Punkt – zwei Wurzel zwei – alle diese Punkte hier – zusammengenommen – das ist Kurve mathematischen – Sinne die Menge aller Punkte auf dieser Kurve – das bei geraden hatten – eine gerade Menge aller Punkte auf der geraden werden was die Menge aller Punkte auf ?? unterhalb der Gran – genauso dann diese Kurve hier – die Menge aller Punkte – die auf der Kurve die – all das – besagt – dasselbe – wie komme ich von X – nach Y – und gibt ebenso die diversen Randbedingungen – hier in der Tabelle – keine Widersprüche trennen nicht einmal die zwei auf die Wurzel zwei – abbilden damit zwar die minus Wurzel zwei abbilden – genauso hier bei der Kurve – darf ich nicht – zwei Werte für selbiges haben – das wäre verboten – Funktion – uns – genauso hier bei dem Fall Diagramm darf ich nicht haben das die einst einmal zur eins zeigt und dann obendrein noch mal – zur minus eins sah ich das ist verboten für eine Funktion – natürlich hier auch wenn sie Plusminuswurzel – hinschreiben dass es keine Funktion – hatte zwei Ergebnisse aus und war null natürlich aber typischerweise – zwei Ergebnisse – so das wenn die vier – großen Ideen Hinterfunktionen – an – gibt's in der Mathematik noch eine wesentliche Geschichte die – Nerv ?? beim Fall Diagramm deutlich werden könnte aber ansonsten – wirklich deutlich wird – man berücksichtigen muss – was ist in der Mathematik noch wichtig ✂ in der Mathematik gibt man eben zusätzlich immer noch gerne an – was ist die Definitionsmenge – und das ist die Zielmenge – die Definitionsmenge – könnte zumindest die aus der Tabelle ablesen – alle die auf der linken Seite stehen – die sind erlaubt als X oder beim Fall Diagramm alle diejenigen stehen – diesen erlaubt dasselbe Definitionsmenge – die könnte man dann noch im Prinzip ablesen oder hier – bei der Kurve alle Kekse – für die Sun Y gibt – könnte man auch der Ablesen bei der Rechenvorschrift – könnte das nicht direkt ablesen – was die Definitionsmenge – dazu – Komma so mathematischen – Tisch – noch dazu – sehr kryptisch – an Definitionsmenge – oder Definitionsbereich – der wird im Zweifelsfall nicht klar oder nicht direkt klar – und die Zielmenge – die manchmal auch etwas verwirrend Wertemenge heißere Wertebereich – die wir noch weniger klar – auch die Gott mathematisch mit dazu zu der Funktion zu der Abbildung – ähm – welche können im Prinzip vor Komma das steht bei der Rechenvorschrift – und gar nicht drin was im Prinzip vorkommen kann – bei der Tabelle – müssen Sie nur welche mindestens vorkommen können – diese nur die aufgelistet die mindestens vorkommen – aber nicht an die möglich wären – bei der Kurve auch – unklar – an – was die Zielmenge Spamfall Diagramm – okay das könnte sein dass das jeder die Zielmenge sein soll alle dem Prinzip vorkommen können – aber nicht unbedingt vorkommen müssen – das wird mathematisch zur Definition – der Funktion mit dazu – was immer für Verwirrung sorgt – Beistrich dass ?? im Fall Diagramm aufmachen – ?? was die eins wird auf die eins abgebildet – die zwei wird auf die Wurzel zwei abgebildet – die null wird auf die null abgebildet – ist könnt ihr rechts auch sagen was Komma die minus eins und die minus zweiundvierzig mit dazu und nichts wird auf die minus eins und auf die minus zwoundvierzig abgebildet – das wäre mathematisch erlaubt – wäre die Zielmenge zu groß sozusagen das ist erlaubt Zielmenge sagt nur – was theoretisch vorkommen kann es muss aber nicht alles vorkommen – an – für die dies tatsächlich vorkommen – gibt es einen – anderen Namen ✂ genau Bildmenge das sind die die vorkommen – um sie zu verwirren heißt die Bildmenge manchmal Wertemenge Wertebereich – und die Zielmenge – auch manchmal Wertemenge Wertebereich – vermeide ich den Ausdruck derart sowieso – und sage ausdrücklich Zielmenge für alles was vorkommen könnte – und Bildmenge – für alles was Vorkommens – die Bildmenge – könnte man Ablesen – aus der Tabelle – die nehmen einfach alle die rechts vorkommen – das wäre die Bildmenge – aber kann ich beliebig viele noch dazu nehmen – um die Zielmenge zu haben und bei der Kurve hier sind die Bildmenge alle Y Werte – auf deren Höhe tatsächlich Punkt existieren – als ihr keine negativen Y – also sinnvollerweise – sollte ich hier sagen die Wurzelfunktion ✂ weiterhin – die Wurzelfunktion – bildet – die Zahlen ab null aufwärts ideellen Zahl ab null aufwärts – ab – nach den reellen Zahlen ab null aufwärts – das wäre – die vernünftige – Lösung – ich darf eine Zahl ?? null aufwärts einsetzen in die Wurzel – und Pflegesendezeiten – aufwärts – raus – oder sind auf der rechten Seite ist nicht hundertprozentig bestimmt sie könnten auch sagen auch in der alle reellen Zahlen auf der rechten Seite Zielmenge ist es okay wenn nicht alle Vorkommen – auf den oder alle komplexen Zahlen oder schlimmere Geschichten – auf der rechten Seite müssen mindestens die Zahlen – ideellen Zahl ab null aufwärts stehen – aber wir dürfen ruhig eine größere Menge habe das ist dieser – unsägliche – Kram mit Bildmenge und Zielmenge – Zielmenge darf größer sein als die Bildmenge – das dürfen mehr sein als die tatsächlich vorkommen – ?? Hoffmann faul ist und nicht immer – sich Gedanken drüber machen will welche denn tatsächlich vorkommen – und es einfach – so – und – versuche das mal zu verallgemeinern – gleich – was mit komplexen Zahlen passiert – jetzt hier zu Nachfragen – eine ✂ Tafel hat noch ein bevor ich vergesse die Reihenfolge der Tabelle – ist egal ich hab's eben sortiert – damit zum bisschen bequemer ist – aber eigentlich ist die Reihenfolge der Tabelle egal Hauptsache auf der linken Seite kommt jedes Element der Definitionsmenge – einmal vor und nur einmal vor – und Hauptsache auf der rechten Seite kommen nur Elemente – der Zielmenge vor und nichts anderes – was passiert jetzt mit komplexen – Zahlen – werden wir schon gesehen dass man die Wurzel aus I bilden kann und genauso kann man auch Wurzeln aus allen andern – komplexen Zahlen bilden – was ist wenn ich sowas versuchen wollen würde – eine Wurzelfunktion – von komplexen Zahlen nach komplexen Zahlen – was wird dann – aus der Tabelle – was wird dann – oft aus der Kurve die beiden anderen – mal – was wird aus der ?? der Tabelle was wird aus der Kurve wenn ich das versuchen wollen würde die Wurzel zu erweitern dass auch komplexe Zahlen verarbeitet werden – der Anfang der Tabelle es bleiben natürlich die Werte erst mal stehen – immer schon kennen ?? – null – ist eine komplette Zahl null Plus nun mal die die Wurzelausläufer – natürlich null bleiben eins ist die komplexe Zahl – eins Plus null Magie eins plus Nummer ihn – offensichtlich eine komplexe Zahl – daraus die Wurzel soll gefälligst eins bleiben die Wurzel aus zwei soll Wurzel zwei bleiben – die Wurzel aus – minus – neun ist aber nun möglich zum Beispiel – den drei I wird es tun – als ob man das schon eine Erweiterung – ähm der Ärger ist es wird aber nicht nur drei ?? tun sondern auch minus drei – Zwielicht aber nicht plus minus drei hinschreiben man muss sich entscheiden damit das – die Wurzelfunktion – in komplexen damit das verglichen Funktion wird – muss ich mich entscheiden ich dafür nicht plus minus drei hinschreiben – lasse Komma wofür das minus drei es auch tut ?? noch nicht ganz klar war minus drei Quadrieren – ist minus drei Quadratsmeilenquadrat – minus drei minus – das Fahrrad – in das Minus weg ist neunmal – minus eins minus neun – ?? plus minus drei I beide tun es bei Damen Fahrrad minus neun – für die Wurzel muss mich für ein entscheidende mit der Funktion wird man wird – logischerweise – das plusnehmendes – minus ein bisschen komisch plus drei Vernehmen – lassen sich danach der Hauptwert – mehr zu konvexen Zeit später – also muss eine Entscheidung treffen wenn man komplexe Zahlen – auf diese Weise verarbeiten will – die wir auch schon – für die hatten wir – einst durch Wurzel zwei – plus Einzigwurzel – zweimal ihn – und werden minus davon – und auch hier entscheidet man sich natürlich für das mit dem Plus – das dann auch wieder der Hauptwert – und so weiter – und so weiter – mehr zum Hauptwerk später – damit die Wurzelfunktion – am komplexe – Funktion – ist – muss ?? tatsächlich entscheiden welches der beiden möglichen – Ergebnisse ?? man nehme – gibt's nach eine vernünftige Regel dafür beziehungsweise mehrere vernünftige Regeln mussten für irgendein entscheiden – auf jeden Fall kriege ich das hin ich kann links alle komplexen Zahlen auflisten – und rechts – komplexe Zahlen hinschreiben – sodass deren Quadrat – das auf der linken Seite sind und – mit der ordentlichen Regel dazu kriegt rechts auch eindeutige – komplexe Zahl hin – immer eine von den beiden Möglichkeiten – auch Regel um eine von beiden Möglichkeiten – hinzu schreiben nur für die null ?? kein Problem – plus minus null – macht kein Ärger bei der eins muss ich mich für ?? plus minus eins welche von beiden entscheiden ?? durch Plus als insoweit und hierbei die Entscheidung nicht einzig kurze Zeit plus Einzelkurse zwei und nicht minus – von dem ganzen – so Komma die Tabelle für links alle komplexen Zahlen rechts – stehen komplexe Zahlen – überlegen und später welche konvexen Zahlen der stehen auf jeden Fall stehen komplette Zahlen das einzige mit der Zielmenge – steht nichts anderes dar als verdeckte Zahl ich sage nicht dass der alle komplexen Zahlen stehen aber – bestehender – Zahlen – mit der Kurve wird das schwieriger – ?? Ellenzahlen – bei ideellen Zahlen konnte ich das so auftragen – auf der x-Achse – in Definitionsbereich – auf der y-Achse – Zielmenge – Bildmenge – was ist jetzt der Ärger – bei komplexen – Zahlen ✂ wie Mangels an Dimensionen – genau – ähm – hier bei ideellen Zahlen – ist die Minderzahl rein erschüttert das kann ich auf eine Dimension darstellen eine reelle Zahl eins zwei – Pi – Komma – ich gehe mit einer reellen Zahl raus – eins zwei – Pi – kann ich auf einer – geraden – abtragen – der Ärger ist jetzt aber ich gehe mit zwei Dimensionen rein – ich hier mit komplexen Zahlenreihen – und die mit zwei Dimension auch wieder raus wollte sozusagen eine zweidimensionale – x-Achse – und eine zweidimensionale – y-Achse das haut – hin – ich kann keine Kurve auf Malen – für diese Funktion – ich könnte – sowas auf Malen ?? sage okay das ist mein – meine Gaußsche Zahlenebene – Realzeit imaginär zahlen – und das ist meine Gaußsche Zahlenebene – Realzeit Imaginärteil – und einmalig jetzt ein – was von Vogel abgebildet wird – die einzig abgebildet auf die Eins – des die – abgebildet auf – null Komma sieben etwa plus null Komma sieben man – auf sowas hier – da landet die – un so weiter – für jeden Punkt links – kann ich den Fall mal zu ein Punkt rechts – aber das wird keine Kurve bekannt mich auf den Kopf stellen es wird keine Kurve – ich geh mit zwei Dimensionen rein und ich nehme zwei Dimensionen daraus das kann in der zwoten Mal – also leider das mit den Funktionen – und den Kurven das klappt leider nur – wenn – ich – von ideellen Zahlen ausgehe und wieder reell Zahlen ausmache dann können Sie das – in seiner Kurve mal – die Funktionen so ?? Punkt man – will heute im Laufe des Tages auch mal zeigen Punkt anders dann bauen dann in einer Situation – aber erst mal ist das – die Artfiguren entstehen – mit Definitionsmenge – auswählen Zahlen ich hab Zielmenge aus reellen Zahlen und dann kann ich sie eben X nach Y – mit so einer Kurve – darstellen – in diesem Fall – komplexer Komplex – keine Chance das macht das ganze extrem unübersichtlich bei kompletten Zahl – Zeichen Laufe des Semesters offenbar Tricks wie man trotzdem solche – Funktion komplexer Zahlen darstellen – kann so offensichtlich – nicht das fusioniert mich ordentlich – mit Kurven schon mal gar nicht dafür zwei Dimension