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05A.1 Fläche eines Parallelogramms im R³, Vektorprodukt, Kreuzprodukt


CC-BY-NC-SA 3.0

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dieerste Fingerübung für heuteim R drei sind zwei Vektoren gegebenmal jetzo so prinzipiell mal eindas Aussehen ohne Koordinatensystemjetztund zwar der Weg zur ?? zwei drei einsPunkt der Weg zureins null zweiich würde gerne die Flächevon dem Parallelogrammwissen was von den beidenaufgespannt wird diese Fläche hierquer im Raum liegtwie groß ist diese Flächebeivielen sich den richtigenAnsatz anderegucken dann noch gerade bisschenkomischan die Fläche des Parallelogrammzierwesentliche Eigenschaft des Vektorprodukt die Fläche von diesem Parallelogrammist einfach die Länge von den Vektorproduktwenn sieoder Kreuzprodukt wir uns bezeichnen wollen dieser Vektorkreuzdiesen das Vektorprodukt Kreuzprodukt von den beiden ist ein Wechsel der senkrecht auf beiden stehtin der Richtung zeigter ?? überlegen in welche Richtung??undsie wissen obendrein das die Länge von dem Rektor der raus kommt die Fläche hier isteine komische Eigenschaft für das Vektorprodukt die Länge eines Sektorsist plötzlich eine Flächenehmen ja Meter mal Metergibtdie Einheit vom Vektorproduktdie Länge von Vektorprodukt mit lustigerweisedann in der eine Quadratmeterseisie kriegen dieFläche des Parallelogrammgeschenkt dass es eine wesentliche Eigenschaft vonVektorproduktich rechne also ausdieser Flächeistdie Längevom Vektorproduktoder Kreuzproduktdieser beidenVektorenaneinige hatten jetzt dem Beispiel hingeschriebenwie man diese länger ausrechnen kann sie können auch schreibendas ?? gleich wieder weg ?? sie können auch schreiben okay das ist die Länge vom ersten Vektormaldie Länge von zweiten Vektorbei einsmal den Betrag vom Sinus des Winkels zwischen den beideneinfach die Flächein einem Parallelogrammkann ich für die Höhe wissen wirklich die Höhe über den Sinus vom Winkelkann man dasVektorprodukt anders hinschreiben oder den Betrag zumindest vom Vektorprodukt anders hinschreiben Produkt der beiden Mengen mal Betrag vom SinusbeimSkalarprodukthatte der Kosinusauch gar nicht der Betrag sondern ?? Skalarproduktist Produkt der beiden Längen mal in Kosinus und beim Vektorprodukt haben sie der Betrag vomVektorproduktist Produkt der beiden Mengen mal den Betrag von sieben ein Garten das hingeschriebenwas mit riesig vielen hilfreichen Dinge ganz ausrechnen willdas wäre einüberflüssiger Zwischenschrittsie rechnen direkt diesesVektorprodukt Kreuzprodukt aus und davondie Längedieses Vektorprodukthat ja so an einigen Stellen funktioniertdas kam von der Determinantevon der Determinante stand das Vektorprodukt ab Punkt deshalb kann erneutes Rechenwege zustandeum die Ex Komponente auszurechnen streichen Sie hier die X Komponente und rechnen diese zweimal zwei Determinante null mal eins minus zwei mal drei minus sechs vier vier sechs null mal eins minus zwei mal dreiminus sechsfür dieZ Komponentegeht das genauso durch sie streichen Zund rechnen Determinante einmaldrei minus null mal zwei macht dreiund für die Y Komponente wird eine Nummer schwierigerich streiche den Song Komponentegezeichnete Determinante falsch rum mit negativem Vorzeichen zwei mal zwei sind vierminus einmal eins sind dreiweitere zwei mal zweiminus Einmaleins für die Psalmkomponentenach dreiamdas muss dabei rauskommen und das kam dahermal sagen dass das Vektorproduktso entstandenist aus dem sogenannten Spaltsproduktwenn ichdreiVektorenspaltenvektorennebeneinanderin eine Determinante ?? setze?? Zimmer so aufA ist ein drei Vektor B ein drei Vektorzentralregisteralle Spalten setzen sie nebeneinander und bilden die Determinantedas sogenannte spart Produkt dann ist dasder ersteäh Skalarproduktdas Vektorprodukt aus den beiden anderen da kommt ein das Vektorprodukt Herrenvon da kommt auch diese komischeRechenregel dann natürlich auch Herbemanns ausreichende seit ein sich mitunter Determinanten zu tun und dieses Minuszeichenfür das Ykommt daherdass man hier von der dreimal drei MatrixKomma von der drei mal drei Matrix die Determinanteberechnetdas man bei dem hier ein Minuszeichenbraucht die Schachbeiträge kommen Videos vor plus minusplus minus plusdass der hiermit ein Minuszeichenkommt nach Schachbeträgedas führt zu dieser komischen Geschichte das man hier für das YY streicht und jetzt in die dominante Fallschirmbilder zweimal zwei minus einsdas wäre diedas ganze unsägliche Rechenrezeptfür das Vektorprodukt??wie kann ich auf die Schnelleprüfen ob das sie sinnvoll sein ?? kennedycheckist das plausibel was herauskommt Bekanntes auf die Schnelle prüfenseine Jack ist sie rechnen das Skalarproduktaus von dem was das Ergebnis sein soll und jedem der beiden Faktorendas Ergebnis muss er senkrecht stehen gerade schon gesagtweggewischt es ergebnislos senkrecht stehen auf beiden Vektoren also müssen die Skalarproduktnur ?? sein einmalminus sechs plus null mal drei plus zwei mal drei hundert Bytes nullminus sechs mal zwo gibt's minus zwölf plus drei mal drei mit und schreiben ?? zwölf plus drei mal drei sind neun und John Connor zu drei mal einsPlus dreigeht auch nur das Skalarprodukt auchdas wäre ein Testist es aber nicht perfektinwiefern hätte ich mich noch verrechnen könnenalso sie hättenwenn sichganz raffiniert verrechnenhaben sie das Problem dass dieser Test trotzdem zu funktionieren scheintnehmen siedann das vergangene Vorschlagssechs minus drei minus drei wenn sie alle Vorzeichen falsch machen?? natürlich entdeckte der auch wieder senkrecht auf den beiden stehtob sie denn wenn der Vektor senkrecht auf den beiden Städten steht auchder Vektor in der Gegenrichtunggleiche Länge ging Richtung senkrecht auf den beiden oder sie nehmen ein beliebiges Vielfaches des minus zehn fachedurch auch funktionieren oder was kann ein Vorschlag war das Schulfach ?? der Nullvektorich hoffe das fällt Ihnen auf das was schief gegangen sein muss wenn sie den Nullvektor ausgerichtetenund rechnen nach der Nullvektor steht natürlich senkrecht auf jedem Vektor sollalso nicht auf diesen Test verlassenist nicht perfektund findetdie meisten Fehler aber man findet vielleicht nicht alle Fehler zu ?? wenn sich alle Vorzeichen falsch gemerkt haben ?? Problemdrinsteht das heißt die Flächedie Fläche ist als die Länge vom Vektor minus sechs drei drei??Punkt und das ist jetzt wie üblich Pythagoras im Raum alle Quadrieren addieren Wurzel draus sechsunddreißigplus neuntausend sechs hundert undsechsunddreißigplus neun plus neun und daraus die Wurzel??fünfundvierzigvierundfünfzigdie Wurzel vierundfünfzigohne dass ich Sinus und Kosinusbemüht habe?? mir wichtig wenn sie natürlichwenn sie die Vorzeichenfalsch machenund bilden dann die Längedann kommt er wieder Wurzel vierundfünfzig tausend ?? also lustigerweisedurch das was ich danach mache würde der Fehler wieder aufgehoben werden das Vektorprodukt wäre falsch ausgerechnet das will trotzdem ihre Stimme nicht wenn sie malnicht wenn sie das ganze mal minus zehn nehmen natürlich hätten sie auch die zehnfache länger wenn sie zufällig nur alle Vorzeichen verwechselnwenn sie trotzdeminteressanterweisedasselbe Resultat rauskriegen