[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

20C.1 Ableitung von Sinus und Cosinus mittels e und komplexen Zahlen


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

nochmal wie man mithilfe der Eulersche Identität zu den Arbeiten von Sinus und Kosinus kommt also wir haben erstmals E hoch I mal X ist gleichKosinus X plus I Sinus Xfür alle reellen Zahlen Xdas ist die Eulersche Identitätmit anderen Wortenwenn ichwie hoch eine ZahlenebeneXmal die im Original X nehmedann kriege ichdann kriege ich eine sehr Komma komplexe Zahl gedanklich eine komplexe Zahl mit der Länge eins und den WinkelXeine Identitätihrer Realteilungda Imaginärteilund hier die Länge einsähm wenn ich jetzt ableitewieder weg wenn ich jetzt ableiteist das nettedas sich für die Ableitung von großen ?? und Sinus eigentlich nur ?? Spezialfunktionableiten muss sie nehmen beide Seiten und leiten ab beschreibt das also formal in die Nacht die beiden Seiten ableitenauf der rechten Seite kriegen Sie die Ableitung vom KosinusKlammern geschriebenplus ihm mal die Ableitung vom Sinusdas sie nach Schema F ableiten eine Summe ableiten großes Abgleitenins Abgleiten des Liefer von Sinus wirdihm all die Ableitung von Sinusmit auf der linken Seite ableitenmit Kettenregel wie hoch irgendwasbleibt eh hoch irgendwasdas ist die äußere ableitungseolaaus Ableitung bleibt jedoch bla Magen jetzt kommt die innere Ableitung I mal X ableiten nach X ist wiedas Platten auf der linken Seiteintensiv auf der linken Seite stünde sowas wie die hochsieben mal X und sie würden das ableitender CEO siebenmal X als äußere Ableitung jedoch klar ableiten bleibt ihre Plan mal in der Ableitung sieben X ableiten mal sieben?? und hier ist es aber ihm AlexistheorieX mal diewas daraus kommt?? jüngst Maria ist um neunzig Grad zu drehen in der konvexen ZeitebeneRealteil Imaginärteilsehr konvexe Zahlen haben das SZ kleines Z mal dieihm AZdasselbe Dingaber neunzig Grad gedrehtdas passierte ein bisschen nehmen immer X und Reni um neunzig Grad und das sagt eine schon alles was passiert erhabene Phasenverschiebungvon neunzig Grad wenn sie großes N Sinus ableiten wie das Zeug um neunzig Grad phasenverschobenhier sieht man es dann ganz ausdrücklich mal die heiß neunzig Grad Phasenverschiebungoder für Künzelsau ablesenjetzt kommt wieder Eulerjedoch immer nächstes Kosinus groß I Sinushier steht alsoKosinusvon X plus die Sinus von Xfür ihn noch immer Xmal dieTiere immer X wieder aus buchstabiert groß Lucy Martinusfür ihre ?? mal X mal die Magieähmund das kann jetzt ausrechnen Kosinus mal die also immer Kosinusplusdie mal die Mail Sinus sindminusSinusnun mal immer Sinus macht minus Sinusdas Gesetz gelten für alle reellen Zahlenhatte diese Gleichung ebenfür alle reellen Zahlen ?? Eulersche Identität gilt für alle reellen Zahlen und das versichern geleitet haben gilt auch für andere klein Xes muss dieses leichte Design für alle reellen Zahlen Xwieder hinter für alle Experiment eherkonvexen seine Worte sich übertreibenfür alle reellen Zahlen X muss das dasselbe sein und jetzt gucken sie sich an okay wenn zweiZahlengleich sind zwei komplexe Zahlen gleich sinddiese komplette Zahl ist gleich der komplexen Zahlen muss Realteilund Imaginärteiljeweils übereinstimmenwenn sie wissendass diese komplexe Zahl ?? Theater Imaginärteilgleich an einer komplexen Zahl istdie einzige Chance dass die beidenübereinanderliegen ist müssen Realteil?? für Alter sein und Imaginärteilgleich Imaginärteilseinlinks und rechts der gleiche Imaginärteilvon der gleichen Realteilungdes Coupon ander Realzahldie Real teilenSie ihm mal Kosinusder Kosinus istFunktion I mal Kosinus ist was rein imaginäresdas Realteilhier steckt der Realteil minus Sinus der Realteil linksund ihre Alterrechtesehen sie ihm als Sinus ist reinimaginärdie Rate muss das hier sein Kosinus ableitendie Ableitung vom Kosinus muss minus Sinus sein damit der Realteil rechts gleich dem Realteil links istunter Imaginärteilsind auf der linken Seite Sinus hier ist was grellesI mal Kosinus der Kosinus ist der Imaginärteilso das mal hinschreiben wenn sie sowas haben die dreidreiplus vier mal die dann ist die drei der Realteilund die vier ist der Imaginärteildas was mit dem Brief steht ist der Imaginärteildie gucken sich hier Anwar steht mit dem ihnder Kosinus steht mit dem jeder Sinus ist ?? schöne reelle Zahl der großen Stück mit dem der Kosinus ist der Imaginärteillinksund hier sehen Sie die Ableitung des Sinus ist Imaginärteil rechts die beiden müssen gleich sein die Ableitung des Sinusmuss der Kosinus seindas es was man in der Mathematik eine elegante Herleitung nennt mit anderen Worten es ist sehr kurz aber keiner verstehtähmmansich dann irgendwie dran das es so wirklich funktioniertalso was ich total schön fände ich weiß nicht ob das rüber kommt was ich total schön finde ist wenn sie sowas mit kriegendas sie mit Kettenregel ableiten ihn noch immer X wird mit Kettenregel ableitenkommt es diedarunter sozusagenund mal ?? heißt neunzig Grad Phasenverschiebungdas habe bei der Modifikation kompletter Zahlen gesehen war dies neunzig Grad Phasenverschiebungwenn sie das ableiten kriegen sie neunzig Grad Phasenverschiebung?? was passiert mit neunzig Grad Phasenverschiebungder Kosinus wird zu minus Sinus und der Sinus wird zumKosinuswas passiert neunzig Grad Phasenverschiebungjetzt als Vorzeichen der Phasenverschiebung diskutiertschimmert links oder nach rechts wir drehen gegen den Uhrzeigersinnmal die heißneunzig Grad gegen den Uhrzeigersinn in dem Sinn ist die Phasenverschiebunggenaudas steckt eigentlich hinternoch immer Xund die Ableitung von Kursen Sinuskriege ich jetzt einfach durch zu neunzig Grad Verschiebungim wahren Lebenwird ?? wahrscheinlichsich einfach die Kurve auf Malen und sagen okay wenn das jeder Sinus istBayern angeblich mit fünfundvierzig Grad Steigung los sein Steigung einsAG Behebung der Steigung eins losja meine Steigung von null hier meine Steigung von minus fünfundvierzig Grad Steigung minus eins Tagentensteigung von null DamensteinseinOkay welche Funktion war's wohlÜberraschung das wird vor der Kosinus gewesen sein als ein anschaulich ähnliches klar die Ableitung von Sinus muss der Kosinus einen genauso einzelnen Kurses ableiten?? ?? nullminus eins und so weiter offensichtlich muss die Ableitung vom Kosinus der minus Sinus seinich überlegte das auch nicht mit Euleraber mit Euler wäre das eine perfekteelegante mathematische Herleitung muss keine Grenzwerte bilden muss keine komischen Dreiecke aufzeichnen sie nehmen nur die Eulersche Identität ableiten und fertigelegant aber vielleicht nicht so allzu leicht zu verstehen was da hinter den Kulissen passiert bis??es wird schon spannend ?? dieses Mal die neunzig Gradverschobenwenn sie das verstanden haben ist es gar nicht mehr nur elegant sondern sogar sehr anschaulich diese Herleitungdas I behandelt sie wie einen konstanten Faktor ja wenn ihr stünde eh hochsiebenmalX und sie leiten das ab eh hoch siebenmal Xjedoch siebenmal Xäußere Ableitung jedoch siebenmal X innere Ableitungmal siebenSI behandeln sie wie einen konstanten Faktor es ist ein sehr komischer konstanter Faktor aber ist ein konstanter Faktorund auf der rechten Seite genauso wenig stünde Kosinus plus siebenmalSinusund sie leiten abwie großes Abgleiten in Summe steht einzelner Pleiten groß ableiten hiersiebenmal Sinus ableiten wäre siebenmaldie Ableitung vom Sinussie behandeln das I als ob konstanter Faktor ist es ist ein konstanter Faktor soll ich sagen das I ist ein konstanter Faktorallerdings ein sehr spezieller konstanter Faktoreben die imaginäre Einheitdas ist dieser Schritt hierdie Staaten mit Eulersche Identitätunsmachen sich klar dass die eineUnd-Zeichen ganz normale Zahl ist und rechnen damit mit den üblichen Ableitungsgesetzendas ist der erste Schritt hierund dann kommt es auf beiden Realteilung Imaginärteildass sich hier noch mal Euler habein der Hamburger was denn jetzt links als Realzeit steht nämlich nämlich nämlich minus SinuswassersBeistrich das Realteil steht die Ableitung Kosinusdie müssen gleich sein und genauso für den Imaginärteilalso wenn Sie wissen bei zwei kompletten Zahlenwenn sie wissen dass zwei komplette Zahlen leicht in sein GA Plus B mal I ist gleichC plus D mal I und A B C D alles reelle Zahlen dann muss automatischder Realteil links dieses A gleich den C seinund es muss der Imaginärteillinksgleich dem Imaginärteil recht sein das B gleich den Design sonst können die beiden komplexen Zahlen gleich seindasselbe mit zwei Vektoren ?? sie wissen dass irgendein Vektor X Y ist gleichdrei vier?? müssen sie X ist gleich drei ?? Y ist gleich vier ?? sozusagen in der Realteilung das ist immer Leerzeichenselbes Phänomeneigentlichalles relativ geradlinige Schrittees wird so haarsträubendwar das Ergebnis sozu sagen man erwartet eine Figur die zittere Rechnungwas noch nie gesehen hat man den Orgasmus ja mit Dreiecken und jetzt mit Winkel irgendwie zusammen malen undkomische Verhältnisse im Dreieck und gegen Winkel und was weiß ichnie an es ist tatsächlich so einfachdank der konvexen Zahlenundich predige immer warum braucht man ?? Elektrotechnik und Excel zahlensolche Geschichten dann eben wenn siemitje hoch immer X rechnenmüssen sie nicht mehr mehr wissen was die Ableitung von Kursen Sinus sindsie geringes Geschenk mit der Kettenregel Kansas einfach Geschenkzum Schluss interessieren mich nicht nur mehr die Ableitung von ?? ausweil ich einfach jedoch immer X ableiten kann dass er vielleicht am