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Skalarprodukt testet, ob Vektoren zueinander senkrecht


CC-BY-NC-SA 3.0

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das?? eine Übung im LesensinnenehmendesLesenzwischen zwei Seiten eines Dreiecks ist dann und nur dann ein rechter Winkel wenn die Summe der Quadrate der Länge dieser beiden Seiten als separate Länge der dritten Seiteistauch Eier mit einer Bodenwelle Pythagorasanwendbar istwenn sie den Pythagorasanwenden können müssen rückwärts gedacht wenn sie den Pythagoras anwenden könnenSie ein Dreieck haben der Art dass das Quadratdieser Seite und das Quadrat dieser Seite das Quadrat der dritten Seite ist dann wissen Sie da muss ein rechter Winkel seinBass kein rechtwinkliges dreies ist sozusagen Pythagorasrückwärtsdas ist nicht der normale Satz von Pythagoras war offensichtlich geht es rückwärtswennder Pythagorasanwendbarist dann war das tatsächlich auch ein rechtmäßigesDreieckPunkt für das nicht hinhaut stellen sich vor das wäre nicht rechtwinkligdannwäre die über die Muse zu kurz oder zu lang im Verhältnis zu dem was das rechtwinklige Dreieck macht das muss auch rückwärts gehen und das verwende ich jetzt um etwas über Skalarprodukt herauszufindenmit dem ersten Satz meint das jetzt eine Art Pythagorasrückwärtswennder Pythagoras gilt dann war das ein rechtswidriges Dreieckwenn die Folgerung zusammen die Folgerung von Pythagoras GeldapparatesBig hundert sechzig bereits dann war das auch tatsächlich ein rechtzeitiges dreiund jetzt fangen wir anmit unseren Vektoren zu Boston schreibt immer wieder dran A und Bund das sie müsste gewiss sein ?? minusA minus Bund jetzt ein allgemeines ?? Obstobst und sein allgemeines Entschuldung ein allgemeines Dreieckso ein allgemeines zweizwei Seiten sind A und Bund die dritte Seite ist dann so wie sie es gemacht hat die Differenzjetzt verwende ich alles was verbis herausgefundenhaben ?? herausgefundenwir haben herausgefundenwenn zwei Vektoren senkrecht auf einander stehendie Quadrate der Lin addieren und das Quadrat der Länge der Differenz oder der Länge derSummeund wir haben herausgefundenwenn sie ein Vektor mit sich selbst modifizieren Skalarproduktdas Quadrat der Längeund damit was mich jetzt herum?? ich will jetzt folgendes das Quadrat der Länge von A minus Wins QuadratKomma was passiert ich möchte etwas über Skalarprodukt herausfindenKomma kann man die Aufgabezeigen Sie das Skalarprodukt zweier Vektoren ist dann und nur dann null über die beiden Vektoren zueinander senkrecht sind das möchte ich über Skalarprodukt heraus findenzwei allgemeine Vektoren ich bilde dieses hierdie Länge der Differenzins Quadratkönnen Sie das anders schreiben mit dem was jetzt gerade gesehen haben?? Imame rausgekriegtdie Länge eines Sektors ins Quadrat die kriegen Sie wenn Sie den Vektor mit sich selbst modifizierenSkalarproduktdiese Skalarproduktentdeckt Komma sich selbst ist die Länge des Rektors ins Quadrat ziemlich banal Beistrich Wurzelwerkverlieren und alles wieder in Ordnungdas verwende ich jetztdas vielleicht bisschennach überraschendem Anfang daran wardie Länge eines Vektor ins Quadratist das Skalarproduktdes Lektors mit sich selbst das ist mein Vektor A minus B und ich bilde das Skalarproduktdes Sektors mit sich selbstist das absurddas muss dasselbe seingenau jetzt wird aus modifizierter Skalarproduktverhält sich ja diese Gesetzmäßigkeitenin etwa wie ein Produkt ich kann ausmultiplizierenkriege also Armerarals Skalarproduktwar mal minus Bschreib mal minus A mal B im Skalarproduktminus B mal A minus Bmal A sind eigentlich ganz unvorsichtigmüsste schreiben plusminusB mal A aber das Minister wieder von Ziehenuntersteht noch minus B mal minus Bund das ist natürlich auch wie sich gehörtjetzt lang und breit sich mit den Regeln über Legen das muss sein groß B mal W Minus mal Minus gibt Plus B mal W bleibt stehenund von den Bestandteilen hier wissen wir jetztüber die wieder anders schreiben kannalso B mal A können Sie vertauschen das Skalarprodukt ist ja symmetrischsozusagen Kommutativgesetzkumulativ nennen würde es ist symmetrischeinmal wie ich eine Reihenfolge vertauschenBeistrich die minus am AB minus Amal wie das heißt ich habe insgesamt minus zweiAmal Bjetzt erkennen Sie allmählich die biologischen Formen wieder A Quadrat minus zwei AB plus B Quadrat also keine Angst es gilt weiterhin sowasnach Art der biologischen FormeleinmalardingKomma war auch noch zusammenfassenja was wieder das Quadrat der Länge von Haar und hinten Hammer das Quadrat der Länge von Bich kriege also raus A minus B in Klammern ins Quadrat und die beiden waren ja frei wählbar A und B das ist dasselbe wie die Länge von eins Quadratminus zweimal das Skalarprodukt von den beidenSchlüssellänge von Fans Quadratgilt für alle VektorenA und Bvon dieser geometrischen Artund jetzt kommt man noch mal zurück ?? ?? rausgekriegt wir haben rausgekriegtebenwenn A und B senkrecht zueinander sinddann istdie Länge der Differenz ins Quadrat die Summe der Länge der Einzelquadratesich den Schaf anguckengeringe Differenz ins Quadrat ist die Summe der Quadrate der Einzelvektorenwenn die beiden senkrecht aufeinander sindund wir haben jetzt hier noch zwischendurchden hierPythagorasdiese Geschichte mit AquaristikFerraris gleichtseparat Pythagoras gilt nur wirklich in rechtwinkligen Dreiecken und sonst nichtdas rückgängig mit dem zusammen Hier sehen Sie A Quadrat B QuadratA minus B Quadratin einem rechtwinkligen Dreieck wenn A und B senkrechtsindAdmin herausgefundenArmin SB Quadrat SA Quadratgroß B Quadrat ohne den in der Mitte besagen das Skalarprodukt muss Null sein ein rechtwinkligen Dreieck und es gibt eben auch rückwärtsPinselstrich mit Pythagoras rückwärts gibt's auch rückwärtswenn A mindestensQuadrat gleich A Quadrat plusB Quadrat ist dann ist das ein rechteckiges Dreieckdarausanders also diese Skalarprodukteinmal B ist gleich nulldann und genau danngenau dann wenn ich aber genau dann wenn es das üblichegenau dann wenndie beiden senkrecht zueinander sindmanche zwei Richtungen sich überlegen wenn die beiden senkrecht zueinander sind dann wissen wir dass die DifferenzlängeQuadratsflächeA Quadrat groß B Quadrat ist dann muss der Term in der Mitte null gewesen sein als das eineumgekehrtwenn ich weiß dass das Skalarprodukt gleich null istdann weiß ich die Länge Differenz ins Quadrat ist A Quadratgroß B Quadrat in der Mitte ist nur dann weiß ich nach Pythagoras umgekehrt das muss rechtwinklig gewesen sein so wird die Begründung Komma dass es ausführlich in Schreibwaren ?? Seite voll geschrieben das du jetzt nicht an Vereine ihn auch nicht anich möchte sie normal zum Gedankenkriegdas Gas tatsächlich herleitendas fällt nicht vom Himmel das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren null ist es muss so sein es kann nicht anders seinwegen Pythagoras im Endeffektist es eine ganz absurde Folge aus Pythagorasdass das so sein musste Skalarproduktzweier Vektoren die senkrecht zu einander sind gleich null ist umgekehrt können Sie feststellen ?? zwei Vektoren senkrecht zueinander sinddiese Skalarprodukt bildeneine Skalarprodukt oder sind die beiden senkrecht zueinanderdas ?? eben ganz zu Beginn angeguckt beimVektorprodukteinzigesVektorproduktbildenkönnen wir testweisedas Ergebnismit einem der Faktorenskalamodifizieren?? null raus damit prüfen sie auf die senkrecht auf einander stehenwas ist das eigentlichals wesentliche Eigenschaft des Skalarproduktirgendwo da unten raus fällt und dass man sie großartig gefordert hatdas Galler Produkt zwei senkrechte Rektorenist nullmuss etwas großzügig nehmenwenn sie irgend einen Vektorskalar modifizierenmit dem Nullvektordann kriegen sie null rauswas bedeutet das eigentlich für den Nullvektorja rechtlich auch den Nullvektor einsetzen können Sie sehen okay was macht der Nullvektor der Nullvektor macht immer null draus Skalarproduktdes Nullvektor mit irgendwas sie modifizieren mit null null nullkommt immer nur raus ich muss also sinnvollerweisean den Nullvektor steht senkrecht auf allen Vektorenschon mal müssen sagenin der Schulmathematikwahrscheinlich frostig sein den Nullvektordes das Ding soll senkrecht auf ein stehen was soll das heißen??in der Profimathematikmacht man das so man kann gar nicht anders denn Nullvektor steht senkrecht auf allen Vektorensenkrecht zuMarken sich mit der Frage nach der Nullvektor alle Richtungen oder der Nullvektor keine Richtungindiesem Sinne hatte er sozusagenimmer gerade die passende falsche Richtung steht senkrecht gerade in die falsche Richtung sozusagenquer zum einen Vektor mit mit dem sie modifizierenwill man kann ?? nicht wirklich eine Richtung geben müssen sagen steht allen senkrechtauf sich selbst stellte senkrecht was auch ?? Beistrich natürlich muss der Nullvektor auf sich selbst senkrecht steht in wenn sie rechnen null Skalarproduktnull Nullvektor Skalarprodukt Nullvektor können Sie auch außenpolitischden auf sich selbst senkrechtwas bisschenkomisch wirkt Komma muss das machenumallgemein sagen zu können wenn das Skalarprodukt null ist ein stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinandermöchte keine Ausnahme machen außer eines der Nullvektor das Werner