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23.02 Stammfunktion, unbestimmtes Integral, Hauptsatz


CC-BY-NC-SA 3.0

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die – Rechner dann tatsächlich integraler aus – der – schulmäßige – Weg – wobei sie für diesen Namen gar nicht gehört ?? zu mäßigen Weg nennt sich Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung – Satz der integral – der Differenzial und Integralrechnung – wenn schon dann richtig rum der Differenzial – orange – Integralrechnung – das heißt nichts anderes als das ableiten – kehrt das – Integrieren um – das was sie aus der Schule kennen Stammfunktionen – Hauptsatz sind Differenzial und Integralrechnung – erstmals in diese beiden Operationen ableiten und integrieren ja aus wie zwei Paar Schuhe – oder zwei verschiedene Schuhe einige ein Recht darunter noch verschiedene Sorten – an – die passen aber wirklich zusammen wie ein linker und ein rechter Schuh das ist auf Anhieb – erst mal überraschend – was man sich anguckt ist folgendes – ich gucke mir an das integral – als Funktion seiner oberen Grenze das – sieht auf Anhieb bisschen – gewagt aus als ich Bildern integral – A bis B über eine Funktion – und gucke mir das als Funktion seiner oberen Grenze an Sie können mir sagen integriere von vier bis zehn integriere von vier bis elf von vier bis zwölf von vier bis zwölf Komma eins von vier bis zehn Komma null null sieben acht setzen ihr oben immer verschiedene Zahleneinheiten – A fest – und als obere Grenze setzen Sie verschiedene Zahlen eines wäre das integral als Funktion seiner oberen Grenze – sieben bisschen verschroben aus für uns aber gleich zum Ziel – über – einen kleinen Umweg noch das malig erst mal hin was soll das heißen ?? gegeben eine Funktion – weise mal eine gerade Linie – gegeben eine Funktion – auch nicht – zwei Leute meine übliche Funktion immer – sein – Sohn jetzt möchte ich Platten das integral – von A bis B in Abhängigkeit von B – den Platz gelassen hätte würde es auch funktionieren – Platz schaffen – so – das integral – Dealern – posierte sie die Variable B – ich möchte von A bis B einstellen – das ist mein B – hier ist auf dieser Biaxe das A und John March das integral – das soll das integral werden von A bis B von X – TX dass manche – es freilich ein was der Wert von diesem integral ist abhängig von der oberen Grenze – was erst ein bisschen blödsinnig aussieht aber vertrauen Sie mir ist es gibt gleich sind abhängig von der oberen Grenze – wenn ich integriere von A bis A ✂ angefangen – bei A mit null an den wenn ich von A bis A integriere – habe ich nicht allzu viel Fläche wenn ich jetzt hier weiter integriere – von da bis da das integral – bis zu diesem B diese Fläche – sowas keine Ahnung – nun sehen wird es immer weniger – B wächst zwar – Klasse B weitergehen integriere weiter weiter weiter aber es kommt kaum noch was zum integral dazu – ihre Sonne noch in keiner Stückchen an dieser Stelle kommt was weg vom integral wenn ich von da bis da integriere – sich am Schluss des kleinen Stücken abziehen das heißt die geht es runter – in beiden lernte sie das integral Maximalwert – und ab hier geht es runter und hier so dringlich immer mehr und immer mehr es geht deutlich runter – und so weiter sofort – in den Fall schon erste Idee – die Funktion – die ich integriere – die wird hier null – das integral – wird maximal – weil ich vorher was addieren noch Kompromisse Fläche dazu und hinterher was sie das getan schon den Hinweis – Komma das scheint ?? das Gegenteil von ableiten zu sein dieses Ding hier hat eine horizontale Tangentensteigung – null da – um eine Originalfunktion – den Wert null hat – oder besser mal dingfest – ihn erst mal zeigen wollte ist dass dieses integral – abhängig von der Obergrenze – in mehr oder minder dumme Funktion wird – nun überlegt man sich was die Ableitung dieser Funktionen irgend einer Stelle ist was passiert wenn ich diese Funktion ableite – als – ich möchte bilden – ?? ich integriere – von A bis B aber ein bisschen weiter sollte die Ableitung funktioniert – meine Funktion – ein bisschen weiter minus meine Funktion an der Originalstelle – durch H das hat mich interessiert das mache ich jetzt mit der – mit dem integral ein bisschen weiter integrieren – minus – mein Original wird – euch immer sagen bisschen weiter Hacker negativ sein dass wir ein bisschen davor – ein bisschen weiter – durch Haar – das wird wenn es funktioniert im Grenzwert H gegen null die Ableitung eines integral – nach der oberen Grenze werden – bisschen was anderes bisschen stört Bestellwert für die Obergrenze einsetzen Originalbett abziehen durch die Störung teilen – wenn dies integral abhängig von der Obergrenze abzuleiten ist – das hier – die Ableitung werden im Grenzwert – jetzt kommen aber die – Gesetze die man für die für das integral hat diese beiden – integral hier was kann ich mit den veranstalten – ein ✂ anschaulich was ich hier bilde ist doch das integral – von B – von B – Quatsch – was ich im Ensemble dieses integral von A bis B – das steht hinten – und vorne steht das integral von A bis B plus H – des hier – und die ziehe ich beide voneinander ab – das integral – A bis ?? bis B plus haben das rote integral von dem sich das schwarze ab von A bis Business übrig bleibt – integral von B bis B plus H – das ist aber nichts anderes als die Aktivität – von eben auch – wie kann ich diese Grenzen miteinander – wussten wenn sie von diesem integral von A bis D plus H das Senden von ASB abziehen – das hier übrig das von B bis B plus H – Mannesmann hin – das ist also das integral von B bis B plus H – F von X – TX – durch ?? – durch Haar – und das integral – jetzt ohne – großartiges – mathematischen – Symbolen überlege was bei dem integral passiert – ich gehe von B – bis B plus Haar – auf der x-Achse – meiner Originalfunktion – F – das integral gibt mir – diese Fläche – das mal ordentlich – Haar – diese Fläche gibt mir meine integral – gibt man integral zurück das integral von B plus heißt diese Fläche – und das ist in sehr guter Näherung was ✂ diese Fläche ist doch praktisch ein Rechteck – das müssen jetzt wieder ordentlich hinschreiben mit klein O – und so weiter das will ich uns allen erspart – die Fläche ist – praktisch ein Rechteck in sehr guter Näherung ist das – Haar mal – die Höhe aber wie hoch ist das Konzept der linken Seite Funktion ?? des F von B – die Höhe ist in guter Näherung F von B der Funktionswerte auf der linken Seite H mal F von B – durch Haar wunderbar – der steht noch eher von B – müsse man exakt machen – kann man tun – an – sie das heißt Weg – im Grenzwert wird er von B übrig bleiben wenn ich das integral nach seiner Obergrenze ableite – das integral – auffasste – als Funktion seiner oberen Grenze – und danach diese Obergrenze ableite – ich die Funktion raus die innen drin steht das ist der – Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung – in diesem Sinne kehrte – er ableiten und Integration – Unmögliches integral nehmen als Funktion seiner oberen Grenze – und danach der Obergrenze ableiten und sie wieder das was drin stand – ?? das ist dieser Zusammenhang – und damit kann man jetzt auf diesen zu mäßigen Trick mit Stammfunktionen – kommen – führe ich an einem Beispiel vor nachher schreibt man einfach nur Stammfunktion – hin aber dass sie sehen wo's herkommt – ?? ich suche – das integral von A bis B X hoch drei – D X wie könnte ich das denn ausreichen ohne wirklich Flächen – zu zerteilen – links – Rosenthaler vertikal zu verteilen sondern – mehr oder minder faul – mit diesem Trick hier zu arbeiten dass die Ableitung das integral – wieder auflöst – ?? ich weiß nun wenn ich dieses Ding – ich weiß wenn ich dieses Ding soll ich mal – durch die neuen Texte sind abschreiben – ich weiß wenn ich dieses Ding nach der Obergrenze – ableite – sieht das dann aussieht sind es gar nicht mehr so dramatisch aus – dieses integral – als Funktion seiner Obergrenze ableiten – ?? ich weiß jetzt wenn ich das nach der Obergrenze ableite kriege ich – jetzt einig hinschreiben – kriege ich die Funktion raus ?? beschreibe ich die jetzt hin ✂ B hoch drei – nicht X hoch drei nicht ich leite nach X Papier nachher die Funktion ist sowieso hoch drei – die Funktion ist sowieso hoch drei – aber dann steht hier die Funktion in Abhängigkeit der Obergrenze B hoch drei – ihr stand der eben auch F von B – von A bis D plus Haar von A bis B ableiten abziehen und so weiter – eher von B die Funktion an der oberen Grenze wird's werden – es integral nach der Obergrenze abgeleitet ist die Funktion die drin steht an der Obergrenze B hoch drei – H – wenn ich das weiß – jetzt kommt endlich der Lücken Text – was weiß ich dann – über das integral ich kenne zu ich kenne noch nicht das integral selbst ich kenne die Ableitung vom integral das ist doch schon mal hilfreich was kann ich über meine Originalfunktionen – sagen – die Hilfszusagen – über die Nerven zu ?? abgeleitet worden ist über das integral was kann jetzt über das integral sagen ✂ was ich jetzt weiß ist wenn ich das – denn her – ableite – nach B Beistrich B hoch drei Hauses kann ich also hinschreiben – das was ich abgeleitet habe – ist – das – ist die – ?? wirklich allgemeine – Komma sich steigern darf die allgemeine Funktion – die hinschreiben kann sodass die Ableitung B hoch drei ist nur Scannen passieren kann haben wie hoch Vierviertel – das wird schon ?? das Bio drei liefern aber es kann plus eine Konstante der noch bei stehenden Konstante abgeleitet sich grausam ableiten das ist – die allgemeine Lösung – dafür dass die Ableitung der linken Seite B hoch drei wird – ich weiß das immerhin schon mal das – das integral – abhängig von B seiner Obergrenze ist Bio vier Viertel – plus eine Konstante eine Konstante bezüglich – B soll ich dazu sagen – wenn sich B ändert wird sich C nicht ändern – wenn sich A ändert – was nicht alles erst mal fest heißt die ganze Zeit fest sein OB variiert – damit wieder ein Stückchen weiter ich weiß wie das integral von seiner Obergrenze abhänge – plus eine Konstante also das könnte ja sein das ich nach Eisfläche rauskriegen – Bio vier Viertel plus – drei tausend Quadratmeter das wenn ich sehr hilfreich diese Konstante hier nervt jetzt noch – zumal es nicht – eine Konstante ist – die von gar nichts mehr bringt diese Konstante – könnte noch von H abhängen – die ganze Zeit nur B geändert – B ableite – im ersten Berliner Bärplatte B hoch drei – aus dem zweiten wenn das sich von B abhängt – nicht perfekt – aber das könnte davon abhängen das wird es auch im allgemeinen – und der nächste Trick – Nummer elf – Gesetz in diese Gleichung für B – A einzusetzen – wenn die für alle BS Geldgeber die insbesondere auch wenn ich B gleich A setze – also von A bis A X hoch drei D X muss sein A hoch vier – Viertel plus eine – Konstante dieselbe wieder oben – dieses integral kenne ich aber das ist null von A bis A integriert – und damit habe ich gelernt was die Konstante ist die Konstante ist minus – auch Vierviertel – die es auch vier auf die andere Seite – und damit habe ich integral komplett das integral – ist also – hoch vier Viertel – oben eingesetzt – minus – hoch vier Viertel unten eingesetzt das ist der – Trick den sie aus der Schule kennen Stammfunktion – bilden – ich suche eine Funktion – deren Ableitung – die Funktion ist dem integral steht – setzte die Obergrenze ein minus untere Grenze eingesetzt – da kommt das sehr das geht ja nicht nur für hoch drei das geht für alle anderen Funktionen genauso – also das Rezept Wasserstraße gibt es folgendes – das integral von A bis B – wie stimmig mithilfe von diesem Hauptsatz – in dem ich mir eine Funktion – suche – deren Ableitung die Funktion im integral ist das nennt sich dann eine – Dampffunktion – gerne ?? mit dem Großbuchstaben – geschrieben – zu der Funktion im integral ?? eben was X hoch drei suche eine Funktion deren Ableitung die Funktion im integral ist eine Stammfunktion – und nehme diese Stammfunktionen – dann – Obergrenze – minus untere Grenze schreibt man manchmal so – eckige Klammer auf – BA schreibt man manchmal auch so eckigen Klammern – habe sollte ?? eckige Klammer zu ich – deren Stammfunktion – strich – AB – in der Form – beides soll heißen nehme die am – oberen Ende das jetzt aus den ungleich – nehme die Stammfunktion – am oberen Ende minus die Stammfunktion – am – unteren Ende genau was sie eben rausgekommen – ist – die Suche eine Funktion – deren Ableitung – die integrierte Funktion ist – und das integral ist dann diese Funktion – an der oberen Grenze minus diese Funktion an der unteren Grenze – das wäre die schulmäßige Art – integral zu lösen – wenn man denn das ist das ärgerliche dabei wenn man eine Stammfunktion angeben kann das es gar nicht so einfach – wie findig eine Funktion deren Ableitung die vorgegebene Funktion es – ist ihr übel man kann zumindest ein paar – grundlegende Sachen aufschreiben – war – das wird gleich die Nummer vierzehn – ich muss noch einmal – sagen was denn dieser Stammpunkt in der Tabelle steht – eine Funktion – und ihre Stammfunktionen – Dingsda Funktion rechte Stammfunktion – ähm zum Widerstand und sogar noch was – Nummer dreizehn hatte ich – verschlang – zwischendurch – Stammfunktion – statt – Stammfunktion – Großbuchstaben – zu dem Kleinbuchstaben – F – schreibt man auch gern ein unbestimmtes integral das eine dasselbe Stammfunktion und unbestimmtes integral – hatte man das hin schreibt – unbestimmtes integral war keine Grenzen dran stehen wenn sie das hinschreiben ein integral ein integral – ohne – Grenzen – ist das keine Fläche – sondern eine Funktion – abhängig von dieser Integrationsvariable – eine Stammfunktion das soll das heißen ?? mit den Grenzen ist das eine Fläche das ist einfach eine Zahl das bestimmt integral – eine nackte Zahl die Fläche – unter der Funktion mit Vorzeichen – dieses hier das unbestimmte integral ist eine Funktion – abhängig von X eine Funktion deren Ableitung – wieder von X – nicht irritieren lassen das die beiden so ähnlich geschrieben werden endlich andere Bedeutung Stammfunktion – unbestimmtes integral – der Geschichte – das bestimmte integral ist eine Fläche – eine Zahl wieder rauskommt – so – zurück zu Integrationstabelle – an der Trick unsere Integrationstabelle – zu bauen ist einfach die Ableitungstabelle – rückwärts zu lesen – wenn ich die Stammfunktion – ableite – muss ich die – Funktion hier auf der linken Seite – den Immigranten wieder rauskriegen – das heißt ich lese einfach nur – Harnableitungstabelle – rückwärts – wenn ich den Sinus ableite – kriege ich den Kosinus – wenn ich die – ableite – kriege ich die Ehefunktion – also der schaut einfach zur Attacke von X geschrieben schreibt zur und so weiter und sofort lesen als eine Ableitungstabelle – rückwärts und haben Delegationstabelle – geführt und noch jeweils plus Konstante dazuschreiben – und die zweite Auswahl – es gibt natürlich – zu jeder Funktion – unendlich viele Stammfunktionen – plus achtundneunzig – minus zweiundvierzig – bespielt – sie können eine beliebige Konstante dazu addieren – denn Probe rechnen wenn ich die – ?? Fusion ableite Muster gelaufen zum rauskommen – wenn sie die Konstante ableiten sich zu weg – also man kann sich eine Ableitungstabelle – nehmen und die einfach rückwärts lesen und hat die Integrationstabelle – wenn der Kursus zu integrieren ist – Fusion Sinus plus eine Konstante – und so weiter also es gibt in der Tabelle die wenig komplett ähm anders ist ja langweilig – ?? Selbstverständnis – gibt einige Überraschungen – nein es gibt exakt eine Überraschung in der Tabelle – nämlich – ähm dass noch keine Überraschung – X Quadrat – was leite ich aber mit X vertrat rauskommt das kennen sie alle schon X hoch drei Drittel – plus eine Konstante – nun – eins durch X Quadrat – ist spannender was leidig ab damit einzig zwei ?? rauskommt ✂ minus eins X – plus eine Konstante – denn – wie es also nächstes Jahr minus X hoch minus eins – minus X hoch minus eins gewährt Phoenix – zumindest ein – wenn Sie den ableiten – kommt die minus eins als Faktor nach vorne dass das Minus weg und die minus eins wird um eins verringert minus ein zumeist dringendes minus zwei X ?? minus zwei – X ?? minus zwei der hier – was passiert mit den ?? Komma Gesetz ob es zu endgültig zu – ?? jetzt endgültig zu Überraschung ein durchwegs – unsinniges Quadratsgeld – Einzel X vertrat auch okay einzig X ✂ schöner noch einen Betrag X dann von Sinnes auf ?? negative – mal als – Seminar Aufgabe – im Nachgang nicht Aufgabe zu Aufgabe – in den vom Betrag X das ist Überraschung in dieser Tabelle – das ich vergessen – der Rest ist – eher banal – dass sie so nach Potenzen aus X Quadrat Einzelzweirad – einzig X sieht alles nach Protesten aus der sie sich auch Potenzen – möchte man erwarten dass meine Stammfunktion auch nur Potenzen stehen X und zwei Drittel okay minus einzig X okay – aber überraschend bei einzig X ist der Logarithmus Radix – und – die nächste Überraschung ist das meinen fast alle praktisch interessanten Integrale damit gar nicht lösen kann – weil die interessanten Funktionen X kann vorkommen – gibt nach ?? muss dazu – aber schulmäßig ist das der Weg integral zu lösen – versucht eine Stammfunktion – berechnet dann Stammfunktion – am oberen Ende minus Stammfunktion am unteren Ende