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02A.3 Faktor-, Summen- und Produktregel der Ableitung


CC-BY-NC-SA 3.0

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alsoman kann für diverse Funktionen jetzt überlegen was deren Ableitungen sein müssendass esauf die Dauer etwas langweiligKomma dass hier zum Schlussfür eins durch X hoch drei neunzig durchblutet hat wird es einen irgendwannander Trick ist allgemeine Regeln zu haben nicht für jede Funktion einzeln sein Rezept zu haben ?? allgemeine Regeln zu habendieerste allgemeine Regel ist folgendewenn sie ein Vielfacheseiner Funktion ableitenwas meine Firmaseit zweiundvierzigX hoch dreiwenn sie ein Vielfaches einer Funktion ableitendann wird das einfachichdas vielfach auch in der Steigung werden zweiundvierzigMal die Ableitung von X hoch dreialso zweiundvierzigmaldreiX Quadratwarumman sichnicht zu viel auf einmal ähmirgendeine Funktionangucken was passiertich gehe von einer bestimmten Stelle liegt ein Stückchen nach rechtsund gucke gewaltig nach oben oder mit Minuszeichennach unten gehenwenn sie jetzt nicht die Originalfunktionhaben sondern Vielfaches der Funktion habenimmer das Doppelte das Wirkung für das doppelte meiner Funktion effektivezwei erst wenn das Doppelte der Funktion haben wird ja dieses drei was ich darunter gemalt habe auch doppelt so hochals wir das Verhältnis diese Seiten zu der Seite auch doppelt so groß seinwenn ich ein Faktor vor meiner Funktion habe ganz einfach raussein vierzig mal eben was ableiten ist zweiundvierzig mal die Ableitung von irgendwaserstenszweitens wenn ich eine Summe habewenn ich wissen will was die Ableitung von X hoch dreiKlosähmSinus man bei ihm schonSeminar wenn ich das wissen will die Ableitung der Summe zweier Funktionfang ich jetzt mich an und überlege mir was jetzt passiert wenn ich X bisschen Ende undjedes Sinus X ein bisschen in der ?? anich weiß sofort okay das ist einfach die Summe der Ableitungenbei der Funktion die erste ableiten plusdie zweite ableitenmacht also die erste ableiten drei X Quadratfußdie zweite ableiten der großenwelchem Bogengegebenen Seminarvorgeführtsoll andeuten warum das der Fall istkann sich auch wiederzwischen dumme Skizze erklären will sie zwei Funktionenhabensie zwei Funktionen haben addiert werdendie einewie diese Stückchen nach obenwenn das Stück nach rechts gehe die andere FunktionF dran schreibendie andere Funktiongehtungeschicktdie andere Funktion gibt das Stückchen nach obenmal gebenwenn sie dann beide addieren?? nulldas Plus das gezeigt hier dass das Muster weiter obendas hier wird eher negativihr kommt der unten wieder raus wenn die beiden addierenF groß GO Wunder wenn sie deine Stückchen zur Seite gehen gehen sie das grüne Stückchen nach oben das schwarze Stückchen oben das wird sich natürlich auch einfach addierenund deshalbist das so wenn Sie eine Summe haben von Funktionen und nach der Ableitungsfragendie Summe der Ableitungenbei der Differenz genausotut sie das sind so die beiden wesentlichen Regeln für dieAbleitungdas Vielfachezum vielfachenund eine Summe wird zu einer Summe ganz billigetwas schwieriger istfolgendesdie sogenannte Produktregelwas passiert wenn ichnicht eine Funktionmal eine feste Zahl nehmen sondern zwei Funktionen modifiziertwurde Punktihr steht eine feste Zahlmal eine Funktion okay es kommt einfach die feste Zahl vorein Problembei der Produktregelhabe ich zwei Funktionenmiteinander multiplizierenschreibt dazu unten hin was ich als Beispiel machen willsie wissen wo's hingehen soll das möchte ich nach als Beispiel hat X Quadrat mal Sinus von Xdas ableitenzweiundvierzigmal Sinus von X wäre einfachwas wäre die Ableitung von zwei vierzig mal Sinussein für die Marcosund sein Vater stehenBeistrich ist ein konstanter Faktordas ganze ekligfinde das auf folgende Weise anschaulichrelativ klar was passieren mussProdukt hat was mit der Fläche zu tun?? Breite mal Höheendlich das Produkt als Fläche vorstellenund sich fragen okay wie ändert sich denn Flächewenn sich Breite und Höhe ändernKomma die?? die Breite heißt von mir aus A und die Höhe heißt Bdann ist die Flächeeinmal Bdas Produkt der beidenwenn sie an Ableitung geht wieder in RichtungFehler Rechnung denkenwas passiert eigentlich mit dem Ergebnis bin ich nicht ganz genau weiß das ich eingesetzt habeheißt das ja ich weiß aber nicht ganz genau die Weißbier nicht ganz notwendig sind unsicher bei meinerbreiten Messung und binnen bisschen unsicher bei meiner Höhenmessung was wird mit der Fläche passiert genau danndie Produktregel in Aktion habe zwei Größendie beide nichtäh fest sindund frage mich wie sich das Produkt der beiden Größen ändertdas es geometrischgar nicht so richtig dramatisch?? muss vor dass sich das Paar noch um ein kleines StückchenDelta hat das gerne ältestesMusikdiedaranändertdie dafür DifferenzDeltaunter sich das B hier mein kleines Delta B ändert und gucke mir einfach es rein geometrisch an was in der Fläche passiertso??wie groß ist dierote Flächestellte Amal Bunten habe ich Delta Arm senkrecht dazu gehören wie dieses Ding hier ist nachdem Deltamal B in der Flächeoben analogdas ist aber bereits der KB hoch hier oben habe ichauch schon das manA mal DeltaBwohnthierin der Eckesitzt offensichtlich Delta Arm malDelta Bbei derAbleitungfrage ich mich nunwas passiertähm zum Beispielgelte A ein Tausendstel ist Delta B ein tausend istfrage mich dann was im Verhältnis zu diesem ein Tausendstel passiertwelche von den dreiBestandteilen jetzt dazu kommen zur Fläche welche von den dreien ist dann wohl nicht wichtigder hier ist ein Orden kleiner man so schön sagt der jetzt eine Ordnung sein als die anderen in Delta ein tausend zusätzliche ein tausend ?? meine ordentliche ZahlZentimeterwenn Delta B ein tausend ?? steht hierund jetzt einmal ein Tausendstelaber hier stehtein tausend mal ein Tausendstelden hierdarf ich dann zum Schluss ignorieren mit der richtigen Begründung der Macht nicht viel aus?? sowie des Haquadraten sich jeder unter der Wurzelden darf ich weglassen dann sehen wir was passiert die Änderungistdie Änderung der Fläche ist in sehr guter Näherungdie Änderung des einenmalden Originalwertdes anderenSchlussim Original wird es einen mal die Änderung des anderenist also die Änderung der FlächeinFlächein ihrem hier einen unverändertähmdie Änderung der Flächeist das verfehlte rote Stück das verwirrte grüne Stück das Blaustückist eigentlich so wichtigalsoDelta A mal Bplus A mal Delta B die Änderung des einen mal den anderenein Zaun klarzumachen ist gemeintesPlusden einen mal die Änderung des anderenund genau das sind nurin ein zwei Monaten als ProduktregelRegeldanach hat nachAnsichtdochegalwenn ich ein Produkt zweier Funktionen ableiteschreibe das jetzt schon ganz drastischer besonders dreist ohne Nixeso ein Produkt zweier Funktion ableitenfür dich so schreiben schafft Beistrichetwas hübscher wird es mit Strichen schreibeProdukt zwei Funktionen ableiten was wird passierendie Ableitung sagte was zu Änderungsratedas VerhältnisÄnderung von Ydurch Änderung von Xund hier sehen Sie was das dann zwangsläufig werden muss und nicht anders sein kann und müsse kein Beweis istdie Ableitung sagt die Änderung von Yim Verhältnis zu Änderung von Xund hier sehe ich für dich das dannzusammensetzenwird die Änderung von Ywird sein die Änderung des ersten meine zweiten festgenommenplus den erstmalig zweiten die Änderung des zweiten?? im Verhältnis zu X das hier im Verhältnis zu Änderung von Xseit den ersten leicht ab wie ändert sich der ersteSchritt den zweiten dass ich stehenFTrennstrichmal G ein ableiten einstehen lassen Plushier genau umgekehrt entstehen lassenund daBeistrich das wird nachher die Produktregel werdenwenn Sie ein Produkt habenleiten sie so ab ein ableiten mal in anderen Glossen einstehen lassen meinen kleinenRahmenwenn man Radierer Fall anden ersten ableitennach zwei Xdie zweiten stehen lassen ist der Sinusplusden erstenstehen lassen X Quadratden zweiten ableitenist der Kosinuswenn siedieses Bild im Hinterkopf haben muss meine Hoffnung dass das wieder eine Formel ist diese nicht in der Formelsammlung brauchenkann er gar nicht anders seies ist keine Herleitung was ich je gemacht habedie Version mal offiziell bringen die Herleitung aber dieses Bild im Hinterkopf haben wissen sie nur so und nicht anders versteht kann minusder ein ableiten lernen ableiten einen ableiten?? es kann nur so funktionierenzudem den Artikel noch mal eine Frage kamAnmerkung am Rande??es gibt diverse Schreibweisendie Ableitung zu schreiben?? die schulmäßigeSchreibweiseist meine Funktionist irgendwasund die Ableitungist dann das entsprechendeBeistrichvon X geschrieben die Ableitung Beistrich von Xsieht das gerne Schule ausimmer zu bisschen weiter treibtmehrfach Ableitungen bildet sie können dieses Ding nur noch ?? ableitenschaffen wir gerneF in Klammern hoch einsvon Xbedeutet das selber einmal ableiten ist damit gemeintdas kommt im Laufe des Semesters sei Komma häufiger vor?? einmal ableiten unddie andere klassische Schreibweise ist DF nach TXFunktion F nach der Variablen X ableiten vertrocknen sogar gerne das X dazuSchreibweiseDF nach TXalso nicht durch die X Deutsches Autorecht?? lustig DF nach TX ausgesprochendie Änderungvon Fmüssen wird durch die Änderung von Xdenkt man sich im Hinterkopf dabeiund sicherte aber normalin der Physik haben sie sowas die zurückgelegteStrecke zur Zeit T ist gleich die Quadratdas heißt die es nach DTStrecke nach der Zeit ableiten ist zweiTminusgleichzeitigsoanalog zu dem hier wenn sie nach X ableitenX ableiten ?? zwei X Politik war ?? die ableiten ?? zwei diewenn sieKarl-Heinz Quadrat nach Karl-Heinz ableiten sind sie zwei Karl-Heinzklarähmund die andere Schreibweise der Physiker ist esPunkt von Theben nach der Zeit abgeleitet wird das mein Punkt rübermacht ??doch recht häufig nach der Zeit vielleichtdas ist alles traditioneller Kramnicht hundert Prozent logisch ist und sich dran gewöhnendas dann aus ?? doch mal die Vokabeln lernen