[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

08E.1 einige einfache Differentialgleichungen zum Einstieg


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

einpaar erste Differenzialgleichungenzum lösenfrei Schnauze sozusagen noch nicht systematischdas kommt nächste Woche das systematische lösen jetzt abereinfach nur Differenzialgleichungenirgendwie lösen ich hätte gerne eine Funktionderen AbleitungbitteNull sein soll Y soll die Fusion heißen ?? von Xzur Anfangsbedingungdas Yfür X gleich dreivier ergeben solltypischerweisegeben sie vor okay was ist denn so ein erster Start Punkt ausgehendvon dem Wert vier an der Stelle dreiwie soll's es weitergehtBeistrich soll Null sein nächsterHilfsanstrichvon X ?? jetzt nicht gehen soll fünf sein ?? selber Anfangsbedingungin Hesse Differenzialgleichungen?? Beistrich soll sein fünfXzu anfangs mit der ??und so weiteran widersetztsich entwickeln wird dann hätte ich jetzt gerne das Y strich der Kosinusvon X istoder war damit ein Mal spannender wird fünfmal der Kosinus von X istzur selben Anfangsbedingungenund dann soll sein Y strich derA fünf bei der Kosinus vonsieben X und so weiter und so weiterPunkt BedingungPunkt dann gucken uns was an wo zweimal abgeleitet wird Y zwei Strich soll seinfünfund es muss mit zwei Sachen angeben als AnfangsbedingungAnfangsbedingungnämlich dass an der Stelle drei der Wert vier rauskommen sollund obendrein die Ableitungan der Stelleverschieden sein sollmöchte die zweite Ableitung einer Funktion habenoder haben das immer fünf istsich zweiWerte vorgeben für die Anfangsbedingungwo staatlich mit dem Wert wo statt mit der Ableitungsfondsist die Funktion vollständigfestgelegtund der letzteEFGdie zweite Ableitung soll seinfünf Xzuund so weiterdiese Anfangsbedingungder Wert gleich vier und die Ableitung siebenzur Zeitan der Stelle soll sagen an der Stelle dreiprobieren Sie die males nur so zu lösen nächste Woche systematischgehtderErsteresleicht verwirren ?? mit ?? Beistrich gleich fünf anfangen soll aber gut ?? Unterstrich gleich Null angefangenwas heißt das dass die Ableitung einer Funktionnull istwenn sich irgendeine Funktion vorstellen X Yund die Einheiten habe ich vernünftig gewählt sind sowas hier dann haben sich jene Ableitung von ungefähr eins einen Millimeter nach rechts bedeutet ungefähr ein Millimeter nach obenhier Harms in Ableitung vonja vielleicht minus ein halb einen Millimeter nach rechts bedeutet minus einen halben Millimeter nach unten an dieser Stelle ihreTangente dran legenandieser Stelle hier im Tal drin haben sind Ableitung von nullein Millimeter nach rechts bedeutetleise geben ganz kleine Stückchen nach oben aber nicht nennenswert undwiegte sie das zusammen nehmen ein Nanometer nach rechts in den sie praktischnull Nanometer nach obenSteigung null heißtich bin auf einem Plateau wenn die Steigung die ganze Zeit Null ist Komma wegin die starken die ganze Zeit null ist haben sie nur die Chance dass ihre Funktionkonstantessobald die Funktion irgendwas anderes macht als konstant zu sein ist die Steigung ja nicht mehr nur damit die Steigung nicht mehr neu sein damit die Steigung nicht mehrdie Funktion muss konstant seinjetzt wissen wir obendreinan der Stelle dreiund es wird eng an der Stelle drei??zusammenlügenan der Stelle drei soll vier rauskommen ?? ich nehme nicht diese Funktion und ich nicht ich diese Funktion ich nehme die Funktion die konstant ist Beistrich eine Stelle dreigleich vier ist diese hierdiese nämlichgeht durch die Anfangsbedingungdurcheine Stelle drei kommt viel raus und es konstantnicht davon die Ableitungsbildernicht nurals Lösung für den ersten Teil wäreY Charme tatsächlichsein von X ist gleich vierfür alle X egal welche Sex sie einsetzen??es sollte immer vier rauskommendann ist die Ableitung null war die Funktion konstant ist und sie haben die Anfangsbedingungenerfüllt und ?? einsetzen auch wenn sie drei Einsätzen kommt viel rauswar ihm klar geworden ?? diese anfangs Bedingung Y von drei ist gleich vier das ist ebender Funktionswert an einer einzigen Stelleich suche in Funktion wird überall was kommt Vereins raus was kommt für minus hieraus was kommt fürsechs raus ich suche die Funktion wird an jeder Stelleist an einer einzigen Stelle vorgegeben also das ist noch nicht die Lösungmeiner die Versagergleichungich kenne die Funktionen einer Stelle möchte Funktionen einstellenkennenbei Differentialgleichungsuchen sie nicht ein Zahlenwertwenn sie zur Begleichung klassischer Art habeneine weiche Gleichung zum Beispiel dreimal X Quadrat ist gleich vierüber zwei Zahlenwerte für X raus als Lösung Lösungsmenge zwei Zahlenwerte für X oderes ein Zahlenwert für X oder so auch nur ein Zahlenwert für X erst malokaydas sind die klassischen Gleichungen zickigen Zahlenwerte raus bei den zeitgleichen Rings nicht Zahlenwerteraus bei Differentialgleichungkriegen sie Funktionen raussetzevergeht dir das auf ?? gleich vier steht Komma was ich als Lösung habe Sunfunktionzu die immer gleich vier ist ohne wenn und aberim zweiten Teil ist wahrscheinlichetwas leichter zu verstehen ich suche eine Funktionderen erste Ableitung gleich fünf istdie eine Stelle drei den Wert vier hateine Funktion als erste Ableitungfünf hat immer fünf überall für alle X muss es eine gerade sein mit der Steigung fünf die wissen aber nicht an welcher Stellediese gerade durch die x-Achse stehtan mit der Steigung fünfsehrungemütlich zu bezeichnen ist sowasSohne geradesteigen fünf auf diese gerade mit der Steuerung fünfder dieseoder diese jede davon sonst gewesen seinalle mit der Steigung fünfes müssen gerade sein mit der Steigung fünftenwenn es nicht gerade wärewürden sie irgendwannnicht die Steigung fünf haben mal mehr mal weniger zu steigen fünftes wow offensichtlichesmuss eine Karte seinkönnte jetzt nochvier oben sich überlegen oberstes wenn ich Unterbrechung habeich da anfangen oder weitermachen?? die offensichtlichen Sprung drin würde auch nicht gut funktionieren mit den ableitenes muss eine Gerade mit der Steigung fünf sein aber ich weiß nicht welche von diesen Grad mit der Steigung fünftenes soll die gerade sein DivX gleich drei den Wert vier gibt's für es gleich dreiWochen immer?? drei daso viel raus Kommadass die danneine von diesen Graden wird es werden die die durch den Punkt drei Viertel das wird meine Lösung werden nicht alle möglichen hier sondern diediediese Anfangsbedingungerfülltdas großes C passend wählen ??ich brauche also das vier rauskommtschreibt ausdrücklichgefordert gleichhier so rauskommen wenn ich rechne fünfmal dreiPlus die Konstantedas heißt mit anderen Worten vier ist gleichfünfzehn plus die Konstantedie konstantes also gleich minus elf das ist dann meine Lösungbestehtminus elf eine Lösungsfunktionist fünf X minus elffür die Aufgabe B eine einzige Lösung nun gibt theoretisch unendlich viele Lösungen DifferenzialgleichungenDifferenzialgleichungenwardie Ableitung ist fünfüberallLeerzeichen hingeschrieben müsse man mathematischschreiben für alle X aus Zahlendie Versager selbst hat unendlich viele Lösungen sie Anfangsbedingungdazu nehmengibt's noch eine von diesen Graden wie das kanndie sich mit fünf X minus elfsowie das jetzt weiterteilt sie warfünf X so rauskommendas nicht fünf Tagefünfhier soll es fünf X rauskommen welche Funktionhat die Eigenschaftdass die Ableitung gleich fünf X ist für alle Xgebastelt irgendwas mit X Quadrat offensichtlichfünf halbwegs Quadrat tut es schon malwenn sie den ableiten konnte?? zwei nach vorne und ?? mal zwei sind fünfunterschiedliche MixverletzungenX die würde es funktionieren aber auch da kann ich jetzt beliebig hin und her schieben eine Parabelob sie dir bleiben und es müssen sehr brauche eine Parabelob sie die ableiten oder bisschen raufschieben oder bisschen unterschieden das ändert an der Ableitung nichtdie Steigung?? wenn ich auch nicht gezeichnet hätteist die steigende gemixt dieselbewenn die Kurve rauf oder unterschieden dass mögliche Mittelkonstantenoder was sie wissen wenn sie die Konstante ableiten und übersandtefür die wegund ich will es obendrein den richtigen Anfangswert erreichen als irgendeine von diesen hier geht durch den richtigenPunkt drei vierwelche von den Parameter tut esich möchte das vier rauskommtwennich Einsätze fünf halbe Maledrei Quadratplus die Konstantedamit die Konstante bestimmend ist also vierminusfünf mal neun Halbe fünfundvierzig haltwas hat das noch zusammen neuer Fassung ?? zusammenviersind acht halbeacht minus neun vierzig habe das Rennen also minussiebenunddreißigall das wäre diese Konstante daund der TeilDER wollt den Kosinushabendie Ableitung einer Funktion soll für jedes X fünfmal der KosinuseinDenkmal so grob nachfünfmal der Kosinusder KosinusKWfünf bei der Kosinusdie Funktionfünfmal der Kosinus die soll als Ableitung rauskommendann nämlich einfach fünfmal den Sinusbin fertigan diesem bisschenÄrger mit Produktregelund Kettenregelnicht zu kompliziert denken an der Stellewas dazu sagen wenn sie die nehmen fünfmal den Sinusableiten sind sie fünfmal den Kosinusan Fusion vervielfachenheißt dass ich auch die Steigung vervierfachensie den Sinus habenund den Sinus vervielfachen zum Beispiel verdoppelnDoppelpunkt verdreifachen so Themes verdoppelndann bitte überall doppelt so steil sein wie vorherdie Gestaltung haben sie da die doppelte Steigungoder hier Nulldurchgangder Original Sinus diese Steigungminus eins und F verdoppelte Sinushat die doppelte Steigung minus zwei ?? und so weiter und so weitereines Entwicklers einer Funktion ableitenist das vierfache der ableitenPunkt dieses hinschreiben wollenals Faktorregeleineneine Konstantemal eine Funktion ableiten zu neunzig Leute eine Konstante meiner Funktion ab Beistrich die Konstantemal die Ableitung der Funktion?? Funktionswassersregelnschreiben eigentlich nicht das vielfach ableitenist das Vielfache der Funktionerinnert sich jemand an den Anfang des Semesters das Wort Teil eine Eigenschaft der AbleitungGenialitätalsoein Vielfaches ableitenist das Vielfache der ableiten das war ein Teil der Linearitäteine Summe ableitenist die Summe der Ableitung des von der andere Teil der Linearitätder Insel Matrizenwenn sie ein Vielfacheseines Vektor??ein Vielfaches fünffache vom Vektorins zweimit einer Matrix multiplizierensie fünf auch vor die Matrix schreiben das Matrixmal einer Summe von Vektoren können Sie Matrix bei der ersten Fußmatte zwei zweiten Schreiben das ist Linjahrund genauso ist die Ableitung auch den ja Ableitung eine lineare Abbildungda kann das Ei dich mal wieder zum Trageneines Spiel zusammen mir Semesterich nehme fünfmal den Sinus nicht den ableiten ich fünfmal den Kosinus das war gefordertwenn ich ableiteschon ableitete rauskommt bevor der KosinusArbeits können Sie den Trick wenn Sie diese Funktion hierin den Fahrstuhl setzen fünfmal den Sinuswenn ich Stück höhersetzen und ein Stück tiefer setzen es sind dieselbenAbleitungenfür jedes Xdas heißt die gleiche Konstante addierenoder sie sagen aber nicht das sie ableitet Nichtkonstanterausund mal Sinus X wird fünfmal der Kosinus werden dieKonstante fliegt raussollte ?? was zu Produktregel und Kettenregel Sagenskonstantemal eine Funktion das könnten sie im Prinzipmit der Produktregel machen UV Strichist gleich Bindestrich VKlausHofaufstrichim Prinzip können Sie das mit dem fünfmal Sinus auch machenfünfmal der Sinus U ist fünfmalso wollenoder einfach nur konstant fünf soweit ich das sagen muss konstant fünf ?? und Faust der Sinusbesteht hier Beistrich die fünf ableiten Versand für ableiten ist nur der fällt dann weg und hinten haben sie fünfmal die Ableitung von Sinusdas ist nicht wirklich spannendStelledas mit der Produktregel zu machen lassen diese aufwendigeinfach ein Vielfaches einer Funktion ableitenmit derKettenregelweil ich das jetzt gesehen habe Sinus von X hoch fünfLeitlinien an einem ?? versucht die Kettenregel anzuwendenrückwärts dasführt zu einer mittleren Katastrophewas müssen Sie tun wenn Sie Sinus von ?? Komma dass ausdrückliche Klammer zu Sinus von X hoch fünf in der Reihenfolgewas müssen sie nach Kettenregel tun um das abzuleitenwarum haut das jetzt nicht mitunsererneue Zeiledieinnere Ableitung ist einfach der Sinus wird zum Kosinusdie äußere Ableitungdie fünfte Potenz habe ich abzuleitendie Ableitung der fünften Potenz ist fünfmaldie vierte Potenzund eingesetzt wird die innere Funktion der SinusChatter sollte man als Regel hin wenn sie abzuleitenhaben eine Funktioneiner anderen Funktionsofragte Kettenregelsie leiten die äußere Funktion ab setzen aber die innere Funktion ein nicht X sondern die innere Funktion setzen sie einmaldie Ableitung der inneren Funktion äußere Ableitung meiner Ableitung sagt man immer so schön aber Vorsichtdie äußere Ableitungan der Stelle der inneren Funktionder stetigen Funktion drin der Städte Sinus könnenbei meinem Beispiel hier täglich fünf X so viel drin steht Sinus von X vierterdie fünfte Potenz ableiten gibt und meine vierte Potenzaber jetzt den Sinus einsetzen Beistrichbis fünfmal die vierte PotenzGehstesinusist die Ableitungwie sie das hätte überhaupt nicht hingehauenfünfmal den KosinusJahr bekriegenwas dazu was wir nicht haben wollen Sinus von X hoch vier das hätte nicht funktioniertmit Sinus und ableitenKomma das Beispiel GSM für die Kettenregel arbeiten hätte und sich geholfenwäre keine Lösungdieses C bestimmenich möchte gernedas vier rauskommtwenn ich rechnefünfmalden Sinus von dreiPlus die Konstantesie sehen allmählich das Verfahrennicht fix zwei Einsätze soll gefälligst wie rauskommen welchenvon diesen welche von diesen Sinus Schwingung nämlich dennich nehme also die bei der die Konstantegleich vier minus fünfmal den Zins von drei zwo die Frage Aufgabeetwa so schreiben Sie dann natürlich tatsächlich vier minus fünf bei den Sinus von drei Weise nicht in Themes von drei auswendig wissen ich auch nichtmit den schönen Schätzen seine schöne Aufgabekönnte das als Klausuraufgabevorkommt schätzen sie den Sinus von dreiaber das ist ?? andere BaustelleDebatte sieht das Elia dazu steht die mindestens bei den Sinus von drei hundert ?? verstehenBeistrich dass ?? ausfür dich hinschreiben war das überraschend waralso noch mal in voller Gänzedie Lösungsfunktionich suche als Lösung eine Differentialgleichungeine Funktionnicht ein Zahlenwert sondern eine Funktionwas ist die Lösungsfunktionfünfmal Sinus XUntergrund der dazu plus vierminus fünf mal Sinus von dreiSie können das als Zahl ausrechnen hierAhnung Komma noch was aus dem Bauch herausaberdas will ich eine Stelle gar nicht wissenes reicht mir das als Formel hier vorne steht X vorgemerktX Ausrufezeichenda steht drei ?? gemerktdas es eine feste Zahlund dieses hier hängt von X aufunterschiedlichstendas ein wesentlicher Unterschied besucht ist nachhereine Lösungsfunktiones kann sein das die Lösungsfunktiondes ?? editieren beim ersten Teil ?? es kann sein dass diese Lungenfunktionkonstanteistvon X ist gleich vierfür alle XBeistrich nach außen aberdas war die Nummer diedanndie Aufgabe den zweiten Ableitungendie zweite Ableitung soll fünf seinund ich startean der Stelle drei mit dem Wert vierder Ableitungsiebendie zweite Ableitung gleich fünfdas heißtes könnte man sich ganz dreist überlegen was denn die erste Ableitung istY Strich Komma von Xin die zweite Ableitunggleich fünf ist habe eben gelerntund manches übertragen der muss die erste Ableitung vor gewesen sein fünf X Plus irgend eine Konstantedenn wenn ich das ableitein die zweite Ableitung zu bestimmen um fünf rausund die Konstanteändert nichts an der nächsten Ableitung der zweiten Ableitungweiß aber wohl die erste Ableitung starten soll ich möchte nämlich dasbin ich hierdrei Einsätze sieben rauskommt Erstableitung besteht also sieben sein soll gefälligst sein siebengleich fünf mal dreiPlus die Konstante mit anderen Worten diese Konstante istsieben minus fünfzehnmacht also minus achtdas russische Konstante gewesen sein?? wird bitte mal in fünf X minus acht jetzt kann ich meine erste Ableitungund kann ich überlegenwas die Funktion selbst gewesen ist was leite ich ab damit völlig missachtet rauskommt?? dass er schon was leiten Sie aber mit fünf X rauskommtfünf halbeX Quadratwas ein sehr kleines acht rauskommt minus acht X und ich habe weitere Konstante hier wählbaregal was ich als die rein schreibe die Ableitung davon ist fünf X minus acht?? ich muss aber noch mein Anfangswerttreffenwenn ich drei Einsätze soll vier rauskommen vier soll also seinen fünf halbedrei ins Quadrat minus acht mal dreiDmit anderen Worten die Welt werdendie vierminusfünfhalbe Mal neunsowie fünf ?? drei Quadrate überbringen zu der vier möchte die ausgerechnet die minus acht mal drei rüber bringen also plus vierundzwanzigJännerist gleich ?? ausrechnen keine Lustdas ganze natürlich nicht Aufgabe dieser Aufgabe FderletzteGfünf Xsoll zweite Ableitung rauskommendas heißtdie erste Ableitungmuss sowas gewesen sein wie fünf halbe X Quadratdamit als zweite Ableitung fünf X rauskommt ?? Plus irgend eine Konstantebei dem das kann man sich vorstellen wie das funktioniertum eingesetztso mitwas wollte ich denn wenn ich drei Einsätze soll sieben rauskommen sieben so rauskommen wenn ich rechne fünf halbe maldrei ins Quadratplus diese Konstantedas heißt diese Konstante ist sieben minusfünf malneun fünfundvierzighalbe??zusammenfassenPunkt ?? macht also minus fünfzehn ein halbist gleich die Funktion bestimmen was leite ich ab damit fünf halbe Quadrat rauskommtfünf sechstel X hoch dreiist das ableitender drei nach vorne habe ich immer noch fünf halbeund was ich so treibe die zweite ?? dann soPlusjetzt will ich das herauskommt bekomme minus fünfzehnein halb was leite ich ab ich leite ab minusfünfzehneinhalbmalXund dann habe ich in weitere Konstanteund jetzt gibt's glaub ich ganz dramatisch mit den Zahlen mitwenn ich für X drei Einsätzesoll vier rauskommen also vier soll seinSchreiben vier soll seinfünf Sechstel mal drei hoch dreiminus fünfzehn ein halbmaldreigroß Ddaraus bestimmensie die es wird fürchterlicherstaunlicherweisedies und wieder Komma kommt Saint ist gleich achtundzwanzigFirmen-undgeboren hier aus führtdie kriegen also eine konkrete Funktion raus als Lösung Y von X ist gleichfünf sechstel X hoch drei minus fünfzehn halb mal X plusachtundzwanzigeine einzige konkrete Funktiondas im Prinzip es war das Vorgehen mit Differenzialgleichungenich habe eine Gleichungnicht für Zahlen sondern für Funktionen mit Ableitungenwird typischerweisenoch Anfangsbedingungenum wirklich genau eine Lösung zu haben und diese AnfangsbedingungHandels gesehen sind sie meine scharfenversagen wo ich starte