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Ableitung als Tangentensteigung und als Änderungsrate


CC-BY-NC-SA 3.0

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die – Ableitung – das Ding – das Werkzeug – soll ich sagen das Werkzeug was man für – praktisch jedes mathematische Modell dann braucht der Physik in Elektrotechnik – und anderswo vollzogenen Wirtschaftswissenschaften – bildet die Ableitung einer Funktion es werden Funktionen abgeleitet – und es kommen Funktionen wieder raus – sollte noch mal die Verben dazu sagen ableiten eine Funktion ableiten heißt dasselbe wie eine Funktion differenzieren – ganz andere Wörter offensichtlich – differenzieren – dort noch dasselbe ableiten ist dasselbe differenzieren – und ist dasselbe wie die Ableitung bilden weil sie sich wundern – drei Wörter – bei Begriffe soll sagte dasselbe bedeuten Ableitung – bilden ?? es gibt zu drei wesentliche Vorstellungen – für die Ableitung – die alle dasselbe mathematische – Konstrukt beschreiben – Komma vielleicht dem einen der anderen bisschen helfen – Beistrich – jeder fickt sich – die Vorstellung die gerade passt für die Situation gerade passt – von diesen drei Pässen die drei wesentlichen – die aller erste ist die Tangentensteigung – wenn ich erstmalig drei Vorstellungen – Shop oder vor drei Vorstellungen – kennt dieses Gleichnis mit dem Elefanten – die – Wand aus Kanalschifffahrt – ähm Gleichnis aus dem Buddhismus von den Elefanten die blinden Männer und Elefant – um die blinden Männer befassen den Elefanten – und der eine sagt der Elefant – das ist wie ein Seil und der andere sagt oder Elefant das es wie ein Baumstamm – der eine sagt Elefant – das ist wie ein Schlauch – so ähnlich ist wie das mit der Ableitung mit diesen Vorstellungen – es ist dasselbe Ding aber es fühlt sich sozusagen verschieden an je nachdem von wo sie anfassen – drei Vorstellungen – Tagentensteigung – ist die erste Vorstellung – die auch am häufigsten genannt wird die zweite Vorstellung die man davon hat die Änderungsrate – O und die – dritte Vorstellung die man davon hat ist – das die Ableitung ein Hilfsmittel ist – bei der linearen Näherung ich schreibe mal Hilfsmittel bei der linearen Näherung diese dritte Vorstellung das ist dann tatsächlich die professionelle Vorstellung – wenn man den Begriff der Ableitung verallgemeinern – will – auf Vektoren – auf andere Sorten an Zahlen auf Funktionen – die irgendwie komisch mehrdimensional – abgeleitet werden – dann ist diese lineare Näherung keine schlechte Idee die ist wesentlich hilfreicher – als – die beiden anderen Vorstellungen – aber es ist wahrscheinlich diejenige die – am weitesten weg ist – von der – unmittelbaren Intuition des ?? mit der Tagentensteigung – an – und arbeiten uns vorwärts – die Tagentensteigung – sie zeichnen irgendeine Funktionsgraphen – auf – X – Y – der Ursprung länger eins – da die länger als die Einheit eins – irgendeine Funktion – F – Y ist gleich R von X Sie mal folgendes überlegen sich – hier zum Beispiel an dieser Stelle wie steil ist die Tangente – und das sagen sie da ein als Y wert – wenn das – die Steigung drei wäre es ist nicht mehr das ist ?? drei wäre würde ich da oben in der drei eintragen – wenn dieses hier Beistrich ist die Steigung minus eins wäre dann würde ich da minus eins eintragen zu weiteres machen Sie mal fehlt eine Kurve die sie da einzeichnen – Fragezeichen mal sogar Tagentensteigung – ein als Werte ✂ ich will wissen wie steil meine Funktion an dieser Stelle ist wie steil die Tangente ist welche Steigung die Tangente hat wenn sie auf der Tangente – wurde – gerade hier wenn sie auf der Tangenten – so zu weit ein Schritt – nach rechts gehen machen dann einen Schritt nach oben oder null Komma sieben Leerschritt nach oben oder null Komma sieben Leerschritt nach unten dieses Verhältnis – die aufrechte Seite rechts – durch – die Seite und das Verhältnis ist die Steigung wenn sie einen Schritt nach rechts gehen und gehen null Komma sieben Schritte nach oben so sieht es ja aus dem sie Steigung null Komma sieben durch eins – Komma sieben – ?? Mark hier – so – null Komma sieben kommt daraus also für diesen X vertraglich – ein – null Komma sieben als Y wert – nur noch mein andern – mal – diesen X wird hier das sehen Sie auch das geht abwärts – lege meine Tangente dran – geht abwärts – heraus ist das ein Schritt nach rechts dann gehe ich – vielleicht eins Komma zwei Schritte nach unten das geht jetzt negativ – eins Komma zwei nach unten minus eins Komma zwei durch eins – hier sollte die Steigung minus eins Komma zwei sein ich markiere hier bei minus eins Komma zwei ein Punkt – und so weiter und so weiter das kann es für die komplette Kurve machen solang keine Clique drin sind oder finstere Geschichten kann ich jetzt für jeden Punkt meiner Kurve – Steigung einzeichnen welche Steigung hat die gerade – ganz einfach ist vor allen Dingen – diese Steigung hier – welche Steigung ist das ✂ null dass es schon mal Vorgeschmack – auf Minimalmaxima – sie sehen oder geht die Kurve hier ins Tal rein – ?? hatte die Steigung null offensichtlich – ist die Steigung null – wenn sie ihren Steigungsdreieck – anlegen sie gehen einen Schritt zur Seite – gehen null Schritte nach oben und dann nach unten nur durch eins Besteigung ist null – Komma sagen es bei der geraden Y ist gleich N mal X – groß B – dieses MS hätte Steigung der Grad – das heißt ich auch schon bei anderen null vier oben – da ist die Steigung null – hier also nicht Designer um sie scheint nur darum sie Tangenten gerade horizontal – und deshalb ist an diesem X die Steigung null an diesem X ist die Steigung null an diesem X in der Mitte ist die Steigung null – hinten das neue Sickerwasser so aus – wenn die x-Achse lang genug wäre müßig auch hier noch Nullstelle haben – muss Komma sich überlegen hier so weitergeht – sie sehen ?? – null aufwärts – und wieder null – mit der wahrscheinlich dann der Soda durchgehen – und das wird wahrscheinlich so oder durchgehende Sitte ?? Soda durchgehen – und die wird wahrscheinlich – in eine fiese Weise runtergehen – muss bisschen vorsichtig sein was da so passiert – ist es besonders steil dann wird es wieder etwas flacher – ist das so sein besonders steil und dann wird es wieder etwas flacher – Beistrich kann so heftig – können – oder doch noch sehr steilen Referendums tatsächlich so dann werden – und hier – wird's dann wieder steiler zum Schluss folgt sowas und hier ist die Steigung wieder null – und hier geht's dann allmählich raufsteigen – muss – wachsen aber hier muss sie wieder fallen – sowas vielleicht die steigendes positives – geht relativ zügig darauf – dann – fallen wir wieder – das ?? müssen entweder ganz so in der Art müsste man das hinkriegen – diese Funktion sicher ergibt denen sich die Ableitung F strich ich sachlich noch andere Namen dafür – dass die Ableitung – sie nehmen eine Funktion – und davon gucken sich die Tagentensteigung – in an an jeder Stelle – unmöglich ist und bauen daraus wieder eine Funktion aus der grünen Funktion der Ableitung – Tagentensteigung – ablesen – brachten sich erst okay was soll der Unsinn – damals wirklich etwas praktischer – das es wesentlich in der Physik Komma meine neuen Gruppen hier sehen Sie der geht ja was mit fünfundvierzig Grad rauf – vorne sollte ich viel höher Steigung haben so sollte das Aussehen – der Geber von null bis – zur Steigung null Komma sieben rauf okay hier geht's Teil wunderbarer Gruppen hierum ist es nur die geht schon sehr steil runterhaut – hin sehr steil runter maximal – negative Steigung hier – und dann wird sie allmählich wieder flacher – dieses abschlachten – hier – und hier wird wieder Teil des stets doch nicht ganz in der richtigen Richtung – nochmals überlegen – hier geht relativ schnell aufwärts – sind – grüne Teile der erforderlichen – hier vorne bin ich am steilen wird immer flacher – müsstest sowas haben – mir ist es steil – am Anfang – nicht ganz auf null runter – sowas hier sehr steil am Anfang hier beginnen die Schaltstelle – neuer – und dann wird es allmählich Flachstahl – geht gegen Null dann Sokrates aus – grafischen übernatürlichen Waren eben nicht grafisch aber – sehr guten Idee zu haben dass es die Idee – der Tagentensteigung – die Ableitung ist eine neue Funktion – die uns an jeder Stelle sagt was denn die Tagentensteigung – der alten Funktion ist Ableitung – eine abgeleitete Funktion im englischen der ?? wird F – schreiben noch der übertrifft – die abgeleitet Funktion also von etwas anderem hergeleitet – wird F – kennt Derivate – aus der Finanzbranche – übertrifft im englischen – die Ableitung – also nicht weil es nach unten geht – mit dem absondern weil es von etwas Weg geleitet worden ist – es gewisse Schuhmessebegriff – auf Leitung für das integral aus bisschen komisch – Ableitung hat nichts mit herunter zu tun Komma was mit Weg zu tun – ?? Ende der Fußnote ✂ korrekte Einwand Komma dass geometrisch ihr grafisch macht – er sollte man es ?? etwas genauer machen – diese Stelle hatte eine stärker negative Steigung als diese Stelle das sollte sich auch niederschlagen – an dieser Stelle soll die Steigung negativer sein als an der Stelle das soll ich weiter zu einzeichnen – anders als hier mystischen Tücken weiter runtergehen – als da – Sokrates Aussehen – dieser das machen bitte nicht grafisch mit ?? die Idee wassergraphisch passiert – lassen wir dann noch eher gerechnet – ?? Papier oder – Computer – die Tagentensteigung sie zum bisschen komisch aus wozu brauch man denn den Unsinn – Änderungsrate – ist das selbe – Vereine aus Sicht der Physik – da wird es plötzlich praktisch – eine Bewegung stellen sich vor – sie sind – entlang irgendeiner Bahnfahrt am einfachsten einer – geradlinigen – Bahn so eine geradlinige Bahn quer durch – Deutschland – mit Kilometersteinen – dran null Kilometer – hundert Kilometer – an gradlinig gebaute Autobahn – dürfte sogar krumm sein aber das was bei dem geradlinigen – und jetzt guck ich mir schon Fahrplan an – jemand fährt nach Fahrplan – auf diesem geradlinigen Stück Autobahn – vierzehn Uhr – da sind wir beim Kilometer Steinnummer – zehn zehn Kilometer versank das mal drüber hier Kilometerstein – vierzehn Uhr stehen wir an dem um – fünfzehn – Uhr – stehen wir an dem mit der Nummer – fünfzig – um fünfzehn Uhr dreißig das ?? über siebzig Kilometer sein – Punkt bei siebzehn – Uhr dreißig um siebzehn Uhr dreißig – ?? bei zwanzig Kilometer seiner sie jeweils die Kilometersteine – Spargel vorne los – Komma dann um fünfzehn Uhr bei fünfzig Kilometer an und so weiter und so weiter – es wird man jetzt nicht auf der Linie einzeichnen – bisschen unübersichtlich – das Zeichnen Sie mal etwas raffinierter ein – in so ein Diagramm – Zeit und Ort – in so ein Diagramm zeichnen sie das mal ein Zeit und Position soll ich besser sagen – wie sehr das in so einem Diagramm Zeit und Position aus und dazwischen erstmaligen Jahr verbinden – was einfaches – Klammer zu Lineal verbindende Komma sofern ?? genauer ✂ wie sie dieses Diagramm aus – Position – abhängig von Zeit – noch recht gradlinig sein – wahrsten Sinne des Wortes – auf der horizontalen – Achse die Zeit – auf der vertikalen Achse die Position – X gerne – ich brauche auf der – Zeitachse – Zeiten von vierzehn Uhr bis siebzehn Uhr dreißig – bin ich hier nicht den Ursprung einmal einfach Tristar Gefangene bei vierzehn Uhr an – ich nehme hier in Achsenkreuz nicht die null Uhr sondern die vierzehn Uhrersatz für das ganze fürchterlich vierzehn Uhr – und hier – siebzehn Uhr dreißig – weit überlegen – mir am fünfzehn sechzehn – siebzehn dreieinhalb Stunden – eins – drei – dreieinhalb Stunden sowas dann habe hier fünfzehn Uhr – Januar sechzehn Uhr – Dame siebzehn Uhr Untermitnahme siebzehn Uhr dreißig – das wäre meine Uhrzeit – auf der x-Achse wichtig Kilometer unterbringen ?? starten bei zehn Kilometern – dass wir die Unterschriften der Größe werde siebzig Kilometer – so vierzehn Uhr zehn Kilometer – geht's los fünfzehn Uhr sind an der Position – fünfzig Kilometer der Meilenstein – fünfzig würdigt der – ?? die Einteilungen der zwanzig – dreißig vierzig fünfzig sechzig – ?? – wissen was ich meine – zehn Kilometer bei vierzehn Uhr – fünfzehn Uhr habe ich fünfzig – Kilometer – bei fünfzehn Uhr dreißig – habe ich – siebzig Kilometer – siebzehn Uhr dreißig habe ich – zwanzig Kilometer und wenn ich ganz frech bin sage ich erst mal okay wir verbinden ja – offensichtlich wird das nicht so ganz funktionieren Komma gleich einer bin erstmaligen Jahr – das ist X in Abhängigkeit von der Zeit – jetzt kann man sich die Geschwindigkeit – überlegen – wahrlich – nicht in diesem Diagramm vielleicht – machen sie neues Diagramm mit der Geschwindigkeit – ?? das kleiner – nicht ganz so großzügig vielleicht mit der Geschwindigkeit – fünfzehn Uhr sechzehn Uhr siebzehn Uhr siebzehn Uhr dreißig – vierzehn oder vorne – und jetzt die Geschwindigkeit ✂ V – deuten sie das mal was in die Geschwindigkeiten – am schon mal in ihrer genauen Skizze jetzt erkannt A Handwerk liegt da der stimmt doch gar nicht in ?? eingebaut habe – das müssen so aussehen – das Video oben sauber hinkommen auf unser siebzig Kilometer – sind in der sauberen Zeichnung – das immer so mal ordentliche mit den Geschwindigkeiten – was passierte mit ?? Geschwindigkeit – mit welchen Geschwindigkeitsfall ✂ richtig jeweils – oder – renne ich – die Geschwindigkeit – können Sie aus meinem Fahrplan – die Geschwindigkeit angucken – nur mit konstanter Geschwindigkeit – hier fahren – von zehn Kilometer – Kilometerstein – zehn Kilometer bis zum Kilometerstein fünfzig Kilometer ?? vierzig Kilometer zurückgelegt – in einer Stunde – war – vierzig Kilometer pro Stunde das ist die Geschwindigkeit auf dem ersten Teilstück – ?? ich muss mal daneben also hier zwischen – konstanter – Geschwindigkeit haben Arme vierzig Kilometer pro Stunde – das nächste Teilstück – belegen zwanzig Kilometer zurück in der halben Stunde – als in einer Stunde – vierzig Professionalität – sind nochmals vierzig Kilometer pro Stunde als Geschwindigkeit – und jetzt war ich rückwärts – von siebzig – zu zwanzig – gerne in der Physik dann eine negative Geschwindigkeit – fünfzig Kilometer – rückwärts – in zwei Stunden – das heißt pro Stunde vierundzwanzig – Kilometer rückwärts – also minus fünfundzwanzig – Kilometer pro Stunde – ursächlich für die lernen das könnte man jetzt Platten – bis fünfzehn Uhr dreißig vierzig Kilometer pro Stunde und ab dann mindestens zwanzig Kilometer pro Stunde – ersehen Sie jetzt auch schlechte Planung von meiner Seite ist auch negative – Reichweite ?? weiterhin auch negative Geschwindigkeiten – plus vierzig rechnen das hier mal vierzig Kilometer pro Stunde – und dann habe ich unten vielleicht – eher so minus fünf und zwanzig – Kilometer pro Stunde – und wir fahren mit hundert vierzig Kilometern pro Stunde bis – bis bis – dreißig – Uhr bis fünfzehn Uhr dreißig fahren mit unseren vierzig Kilometern pro Stunde – da – konstant – mit vierzig Kilometern pro Stunde das ist nur horizontale – war – das jetzt gerade eine sehr dicke horizontale Linie eine horizontale Linie ?? Lauderdale – ein Stück einer zentralen geraden – und ab fünfzehn Uhr dreißig waren wir mit minus vierundzwanzig – Kilometer pro Stunde – so sieht das dann aus – und – ich hatte ihm schon gesagt natürlich handelt es sich jetzt hierbei um die Ableitung – die rote Kurve ist die Ableitung – von der Agenda fahrende Kurve – wenn sich ein Steigungsdreieck – bilden – zehn Minuten fahren – oder halbe Stunde fahren – Bildstrecke legen Sie zurück das Verhältnis ist die Geschwindigkeit – des hinaus verbreitet habe die Geschwindigkeit sie auf dem ersten Teilstück konstant – vierzig Kilometer pro Stunde – und die auf dem zweiten Teilstück – sie – gucken – nach einer fünfundvierzig Minuten – welche Strecke legen Sie zurück – was rückwärts war mit negativem Vorzeichen keine weiten durcheinander Minus von zwanzig Kilometer pro Stunde die Steigung in diesem Diagramm hier – Position – X abhängig von der Zeit die Steigung ist schlicht und ergreifend die Geschwindigkeit – aus der Position wird durch das ableiten – die Geschwindigkeit – und zwar jetzt hier die momentan Geschwindigkeit – sicher zu jedem Zeitpunkt – einen Geschwindigkeitswert – das ist die Momentangeschwindigkeit – das ist das was die auf dem Tacho ablesen – sie können sich auch vorstellen was die Ableitung tut – die Ableitung ist sozusagen ein Tachometer – die ?? leitet ab von der Position – zu Geschwindigkeit – damit kommen sie mit der Ableitung ist die Ableitung nach der Zeit von Funktion hängt von der Zeit ab ?? – im wahren Leben wird natürlich das nicht so aussehen – mit einem realen Fahrzeug – was wird passieren mit einem realen Fahrzeug des Tanzes mathematisch auch etwas hübscher als das versiert sie eingezeichnet aber das müsste man erst mal diskutieren was passiert einem Klick wird es im realen ✂ Leben aussehen – so im wahren Leben müssten erst mal beschleunigen wenn die hier – aus der Ruhe startende müssen erst ?? beschleunigen die Geschwindigkeit – wäre null die Geschwindigkeit müsste wachsen – auf die vierzig Kilometer pro Stunde das heißt der Beschleunigung – ins in der Datentabelle fürs Auto von null auf hundert in sonst viel Sekunden – ihr müsst mir beschleunigen – erst mal um auf die vierzig Kilometer pro Stunde zu kommen von der Geschwindigkeit null – das ist die Steigung der Kurve oben die Sehne misst mit der Steigung null anfangen das müsste mit der Steigung null anfangen und dann dürfte sie es hochgehen – so müsse das Aussehen – der Ärger ist jetzt erreicht aber gar nicht diese Strecke hier – ich würde – schon hinterher hängen – hier sicher schon – Zeit verloren ich würde ihn hinter dem Datenfahrplan – hinterher hängen was ich also machen müsste ist – ?? ich müsste noch Malstückchen beschleunigen – und das wieder aufzuholen – ?? zur länger – so bisschen schneller sein – als die geplante Geschwindigkeit – um das wieder aufzuholen – diese Verzögerung – wieder aufzuholen – dann kann tatsächlich auf diese Kurve kommen – Punkt es müsste sich natürlich hier – langsam – Grenzen nicht kann ich auf einen Schlag stehen bleiben – ?? ich muss langsam abbremsen das heißt ich müsste Id auch hier von oben wieder vorübergehend so – und hier wieder so arbeiten – und so arbeiten das wäre einen physikalisch möglicher Bewegungsverlauf – ohne Clique – was heißt hier mystisch – ?? gucken – will Wiederstück über Steuern – so völlig – physikalisch – waren – und am Schluss auch wieder bremsen und nahm weit um beim Fahrplan zu bleiben – auch wie das Übersteuern um bei diesem Fahrplan tatsächlich zu bleiben – dazu kann – er sich wirklich um siebzehn Uhr dreißig Tage – auf diese Skizze hiermit in den Jahren Verbindung war natürlich gelogen – war dem sie das nicht so aus – aber man kann erst mal so rechnen – wenn man Beschleunigungsvorgänge – ignoriert und paar Sekunden beschleunigen am Anfang ?? finden ?? toll die machen den Braten nicht fett – sehen wenn sie das genauer angucken haben sie auch keinen Ärger mit Sprüngen und Techniken – das wird glatt werden – das ist die Idee von Ableitung – als – Änderungsrate – die Geschwindigkeit – ist eine Änderungsrate – wie ändert sich die Position mit der Zeit Kilometer – pro Stunde die Geschwindigkeit ist ein Änderungsrate – Zinsen übrigens auch – Änderungsrate – Prozent pro Jahr – immer weiter treiben Beschleunigung – des die Änderungsrate der Geschwindigkeit – ändert sich die Geschwindigkeitsbeschleunigung – praktisch ein Formel – ähm – erwecken aber die Formelsymbole – Tagentensteigung – hier steht schon dran Beistrich – dass es eine Art die Ableitung zu schreiben Beistrich von X – oder – DF von X nach TX – gelesen nach nicht durch die er von X – nach TX so könnte man es auch schreiben – wohnt – hier – will ich dann schreiben für meine Physik die X von T nach TT – die Funktion – von der unabhängigen Variable abgeleitet – nach der unabhängigen Variable – in meiner Physik ist das jetzt X von T – und T – als die Geschwindigkeit – zu einer Zeit T – ist die Ableitung – meines Orts zur Zeit die nach – der Zeit – wo sich mit der Bedeutung von dem Elixier ist das X eine abhängige Variable der Ort zur Zeit die – da oben ist das X die unabhängige Variable sieht sich X ein – aber selbes Verfahren – Ableitung – neuer Ableitung ist so etwas wie momentan Geschwindigkeit – hier sehen Sie die Momentangeschwindigkeit – und um sie zu ärgern haben die Physiker eine Kurzschreibweise – dafür X Punkt – von T wenn sie ein Punkt drüber machen in der Physik sagen sie damit nach der Zeit ableiten bestimme die Änderungsrate – um wie viel Einheiten pro Zeit ändert sich diese Größe nach ?? gibt es sowas wie Kuchen Punkt – der fließt Wärme – wie viel Kilojoule – pro Stunde – derselbe Q Punkt heißer anderer Stelle wie viel Kubikmeter – pro Stunde – sei das mit der Beschleuniger mein Schreiben A heißt – üblicherweise Beschleunigung – V für die Geschwindigkeit – und Art für die Beschleunigung – die Beschleunigung sagte sich die Geschwindigkeit – ändert wenn sie dieselben noch mal machen – ?? noch mal ableiten – Beistrich ganz unten die Beschleunigung – die Ableitung der Geschwindigkeit – ist die Beschleunigung – A – ist DFV – von T nach WT – was die Physiker dann kurz nennen V Punkt von T – wie ändert sich die Geschwindigkeit – das sagt die Beschleunigung hoher Beschleunigung heißt die Geschwindigkeit ändert sich schnell – eine hohe Geschwindigkeit heißt die Position ändert sich schnell – das ?? noch mal anders hinschreiben – die Ableitung der Geschwindigkeit nach derzeitiger Geschwindigkeit ist ja schon Ableitung – schreibt man dann als die zweite Ableitung des Orts – nach der Zeit so aus – wie zwei X von T nach TT Quadrat – was aber so oder sie schreiben es da – was schreiben jetzt logischerweise – alternativ statt V Punkt für die Beschleunigung ✂ einer streng logisch X – mit zwei Punkten von D so könnte man das Schreiben – beschreibt man es dann gerne auch – zwei ?? bleiben nach der Zeit – das ist die Beschleunigung – erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung des Kaisers zweite Ableitung – der Position – nach der Zeit – das alles in der Physik noch mal – im größten Detail aber sonst schon mal gesehen da kommt die Ableitung massiv – vor Änderungsraten – zum Beispiel Kompositionen – oder Geschwindigkeiten – der wird aus diesem Begriff der Tagentensteigung – der erstmals über kein Deal zu sein scheint Beistrich was Handfestes – eine Geschwindigkeit – es ist eine Ableitung – an Beschleunigung ist eine Ableitung – immer schon Gesetz in der Physik – Kraft – Energie die werden was mit Ableitung zu tun haben – sie auf zumindest