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28A.3 Normalverteilung, zentraler Grenzwertsatz, Skizze einer Herleitung


CC-BY-NC-SA 3.0

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dieNormalverteilungdie gehört in der Mathematik mit einem anderen Ding zusammendem zentralen GrenzwertsatzKomma Verteilungund der zentrale Grenzwertsatzansonstenalleine haben die beiden keine groß Existenzberechtigungdie gehören zwangsläufigzusammenPunkt der zentrale Grenzwertsatzsagtwarum denn die Normalverteilungsozusagennormal ist was das Besondere an der Normalverteilungistschon andere Verteilungenwir hatten dieNominalverteilungwerden dieWasserverteilungdas von Verteilungen für diskrete ZufallsgrößenNormalverteilungist die?? unterstrichendie Verteilung fürstetige Zufallsgrößennatürlich auch andere Verteilung ?? schon welche gesehen zum Beispielgleichmäßigverteiltletztes Mal zwischen drei und fünfamwas sie am häufigsten sehen ist aber die Normalverteilungaus folgendem Grunddas ist eben der zentrale Grenzwertsatzanschaulichbedeutet der zentrale Grenzwertsatzwenn ich viele kleine Störungen habeviele kleinevoneinander unabhängige Störungen habedann ist die Zufallsgrößedie daraus resultiertvoneinanderunabhängige Störungenman erst malStörungenoder Fehlerwenn sie wollenim Meßprozess zum Beispieldann ist die Zufallsgrößedie daraus resultiertnormal verteiltnicht exakt normal verteilt aberdie kleiner die Störung des sind die mehr sind desto besser normal verteiltdie Summe dieser Störungen istnormal verteilt?? mehrFührungenin guter Näherung normal verteiltdas ist eigentlich der Inhalt vom zentralen Grenzwertsatzwenn sie den mathematischer Form sehenwenn sie das überhaupt nicht so ausFachsemester bedeuten soll der Stecker Beistrich dahinterdeshalb sehen siein der Physik ganz häufig das als Annahmedas die Fehler normal verteilt sindmangehtmit dem Hintergedanken davon aus das der des die Feder die sie im Meßprozesskriegen dass die Fehler aus ganz vielenBestandteilenbestehenähmsie haben irgendein Rauschen in der Elektroniksie haben in den Temperatureinflussnicht berücksichtigtsie haben den Messwerten bisschen schief abgelesen wenn es analog ist und so weiterund so weiter irgendwelche Sachen schwankenauf irgendwelche Weiseganz viele Störungen zusammenkommenund ihren Messwert beeinflussen?? ist der Gedanke okay was da rauskommtmuss zwangsläufigwas werden wir die Normalverteilungnicht exaktaber in guter NäherungNormalverteilungaussieht das haben wiralle schon mal gesehenhoffentlich zumindest in den Videos auch gesehenandas ist die handelsübliche Glockenkurvees gibt andere Glockenkurvenaber die Normalverteilungist die welchediese Verteilung hat zwei Parameterin die zwei Sachen angeben zwei bestimmte Zahlen angeben dann ist klar wie diese Kurve läuftwenn sie an die Bindung ja verteilungdenkendermussten wir angeben wie für Münzen man wirft und was die WahrscheinlichkeitfürKopf warbei Mons Münzwurf bei Passau musste man angeben wie vielFischepro Kubikmeter drin sindund die Verteilung zu bestimmen und beider Normalverteilunggeben sie denErwartungswertan der heißt dann Gernebybuchstabefür das ähm das ist Erwartungswertoder der Mittelwertwenn sieewig lange messenund sie gebendie Standardabweichungan wie breit diese Kurve istgeben sie anist das eine schmaleGlocke ist das eine breite Glockeschmale Glocke eine breite Glockedas bestimmt dann diesesSiegmardie Standardabweichungalso hier wäre die Standardabweichunggroßdie Glocke istbreit ausgeschmiertund hierbei dem roten wäre das Sigma klein im Verhältnisdie Glocke ist engwarum muss dieGlocke dann größerwerden wenn sie enger wirdin der Tat die Fläche muss eins werden egal wiedas heißt hier muss ich nach oben raus damit die Fläche eins wirdund wenn dieStandardabweichung groß ist muss sich zur Seite raus damit die Fläche eins wirdvon der Normalverteilung?? haben zwei Größendie sie festlegenmüssen zwei Parameterdiese festlegen müssen den Erwartungswertund die Standardabweichungund der Rest ist ein Geschenkdass es netterweise auch das was man bei den üblichen Messungen dann betrachtetmansie betrachten bei einer Messungwas der Mittelwertistnach dem sie hundertmal gemessen habenund wie stark das ganze schwanktgenau das ist was sie gegeben habenKomma nichts anderes weißüber seine Messungen oder andere Zufallsgrößenist keine schlechte Idee erst meine Normalverteilunganzunehmen könnten wir mit diesen beidenGrößen direkt hin malenBeistrich müsste man bisschen mehr nachdenkeneigentlich müsste man sauber begründen das denn da ganz viele kleine voneinander unabhängige Störungen Aufsummenwerdendürfte man ich jetzt per se ansetzenoder des Normalverteilungsamtesgibt so Fälle wo man das dann zum Beispiel diskutierenkann das ist in den USA zum Beispielmit der gern etwas betrieben dass sich Wedding ?? Curve nenntMediengeschossemit ganz Anführungszeichen obenWedding Curvenunalso zum Beispiel eine Sache wo man dann sehr lange darüber diskutierenkann ob das sinnvoll ist der Gedanke dahinter istdas nun Verteilungensich einst dieenglischen Noten hinschreiben schon mal die deutschen Noten in einssowas wie eins zwei dreivierfünf sechs der Gedanke ist das nun Verteilungenauch einesolche Kurve haben solltenund dass man eine Zahn seine Punktzahlenso einteilt dass dann tatsächlich diese Verteilung aus auch rauskommt dass sie sagensoundsoviel ProzentSonne eins habenso sowie Prozent deutlich mehr Säule zwei haben sonst Prozent Sonne drei haben und so weiterähm dass man seine Punktzahlenentsprechend einteilt dass zum Schluss so eine Kurve rauskommtda kann man sehr sehr lange drüber diskutieren ob das sinnvoll istandas Ergebnis bei einer Klausur ist das ??entsteht das in dem viele kleine voneinander unabhängige Störungen addiert werden??gefragt und vor allen Dingenmuss der Mittelwert dannbei drei oder bei der ein halboder bei vier liegen oder hat manLeute in der Klasse die richtig Tops sind dass der Mittelwerteher bei zwei liegen soll oder Leute die Exzellenzsind das die mit Mittelwert eher beieins liegen mussnunden M byte keine schlecht liegenden können sie nur Einsen vergebentausend Sachen zu diskutierenan vielen Stellen wird die Normalverteilunghierohne Nachdenken verwendettun sie das nicht denken Sie lieber zwei mal drüber nach ob das sinnvoll ist?? eigentlich geht das nurwenn ihr Zufallsgrößedie Siedler bestimmenganz viele kleine Störungenhat die voneinander unabhängig sinddas ist der zentraleGrenzwertsatzder dahinter stecktkannich die Zutaten zusammen suchenbisschen was verstanden haben zum Verschieben und skalieren von Funktionen ist das kein großes Dramawie noch nie ?? X Quadrat der Vermischung gesehen als Glockenkurvewenn sie X über alle Grenzen wachsen lassenwird'seh hoch minus das gegen Null gehen wenn sie X sehr negativ machenist X vertrat sehr positivminus X Fahrrad wird sehr negativgeht auch gegen nulldass der produzierte Glockenkurveeine Glockenkurvedie um die nullsymmetrischist und nicht umMühe symmetrisch ist was machen Sie mit diesem Ausdruckum den dahin zu kriegen dass sich hier um den Erwartungswertsymmetrischesund dieses gemüsemetrischistmöchte diese Kurve entlang Xverschiebensie fortan sowas den Sinus von X plus drei das heißt ich schiebe meinen Sinus um drei nachlinks absurderweise sehr plus drei um drei nach linkssteht die gesetzliche meine Funktion etwas einwas anderes einen etwas verschobene seinständig setzt sich in diese Funktion einX minusMühenins Quadratscenternicht den Exponenten als ganzes singen ändern das X wenn sie der Exminister ?? einsetzen haben sie die ganze Kurveum Mühe verschoben dass wir nicht ?? möchte die Glockenkurvenach rechts schiebenkann ?? vergewissern warum das so sein muss wenn sie es für X des MühleinsätzenVitaminminismiquadratE hochminus null dass es das wohl vorherhierauf dem Berg fahrendass esdie Kurve nachrechts zu bringenmuss ich aber auch noch die Breite dieser Kurve regulierenund die Art wie das passiert ist folgendedass man danoch durch zwei mal SiegmarQuadrat zweimal die Varianzteiltes in weiter nach unten bringen Summe zueinanderstehendiese zwei der unten die der schwer zu erraten muss ich gestehenergibt sich danach in den Rechnungenandas Sigma Quadratda untenfinde ich relativeinfach zu kriegensehenwenn sie in gutes Argument warum da jetzt untenin den Männer vom Exponenten ??hat das hier steht dem Exponentenbauen sie in den Männer von den ExponentenSiegmar Quadrat bringen müssen was wäre ein guter physikalischer Grundder Tateinheitensind hier ihre Rettung selbst wenn sie keine Idee haben wo diese Funktion hierherkommtallein von den Einheiten her muss das Sigmaquadratdie unten in den Männer vom Exponentenin Exponenten dafür nichts mit Einheit stehen sie können nicht rechneneh hoch drei Meterwas soll das sein ?? bezahlt die drei Meter mal mit sich selbst zu multiplizierender Exponent muss einheitslosseindas heißt ich muss hier teilen durch etwasmit der Einheit Quadratvon Xund das einzige was ich jetzt noch habe SigmaquadrateKomma die das zusammenreimenohne eine Idee zu haben was sie eigentlich echt passiert haben sie die Idee schon haben Sie etwas genauer an was wir hatten zum umformen von Funktionenin sowas dasteht wie Sinusvon X minus drei durch zweidiese zwei hier wirkte auf die Breite der Funktion das war etwas zu tun mit der SkalierunginX Richtung genauso wirkt jetzt hiermein Siegmardas ist der wesentliche Teilder Normalverteilunghier?? ich nehme eh hochminus X Quadrat verzieren lassen bisschen das es an der richtigen Stelle sitztdem Erwartungswertwar und verzieh es obendrein das ist richtige Breite hatden Teil sollte man so im Hinterkopf an das einzige was sie sich wirklich merken müssen ist da diese zweidie istnicht ganz so leicht zu kriegen??am jetzt auch ich noch wie ein Faktor davor?? Bausteinen und Faktor davor warum geht das nicht einfach sogenau ich muss ja auch noch diesen Effekt berücksichtigendass ich die Glockevertikalrauf und runterskalierenmussnur gucken je kleinerdas Sigma istdie kleine des Sigma istumso weiter darauf muss ich diese Glocke skalierendas gibt den schon wieder eine Idee was da vorstehen musseins durch Sigmar zwangsläufigdamit das wenn das Sigma klein istdieser Faktor hier groß wirdkleinere Sigma ist umso weiter rauf muss diese Funktion genieße ichdie Funktion jeglicher maximal bis ihr noch null ?? bis einsalsoeinzig Siegmar es könnte ja eigentlich aber auch eins durch Sigma hoch dreizehnter stehen warum steht er nicht einsichtig auch dreizehnwegen der Einheiten kann es nicht hinhauendannalsodiex-Achsehat zum Beispiel die Einheit Meterdann muss ich hierauf der auf der sozusagen x-Achse die Einheit einst durch Meter haben dass die Fläche wieder eins für das Produkt eins wirdX in Metern gemessendann muss man Wahrscheinlichkeitsdichtein eins durch Metern gemessen sein und nicht in eins sich meterhoch dreizehndas müssen einzig Meter sein also kann er nicht den hochinsoweit sind ?? beisammen und dann gibt's wieder eine Zahldie sich extremschwer merken lässt am Anfang kommt noch ?? Wurzel zwei Piwenn man einmal weiß wo diese Wurzel zwei Pierre kommt es ist leicht aber wenn man den Blick nicht gesehen hat und ich will sie noch nicht vor fünf ?? an der Stelle sind wirklichähm immer nicht weiß wo die Wurzel zwei die Herkommensdie man ein bisschen im Nebelden größten Teil der Normalverteilungkann man sich zusammen dichten ohne Formelsammlungdiese zwei daist bisschenkomisch und dies einst durchWurzel zwei Pi vorneist auch müßig Punktdazu muss man wirklich einmal durch rechnenwas da passiertdas kann man nicht einfach so mit Einheitenund einer Menge Venen begründenso schon mal die grobe Form des Ganzenam?? tatsächlichmal versuchen ihn zu erklärenwo denn diese komischen Funktionen jetzt alle sodann herkommenwarum ihr was mit Mensafunktionvon minus X bereitstehen muss und ähmnunaber vorherkönnen wir netterweise schon eine Sachedirekt sagen überNormalverteilungnäher ?? wenn ich eineZufallsgrößeX habe und dies normal verteiltmiteinem Fischer besondere Mühe von XSigma X also mit Erwartungswertdiesem Erwartungswertund mit dieser Standardabweichungund wenn ich eine weitereZufallsgrößehabe die ist normal verteilt mitY als Erwartungswertund SigmaY als Standardabweichungbeide unabhängig voneinanderso wie man sich das üblicherweisebei Messungen vorstellt?? die beidenaddiere was wird dann passierenwenn sich vor sie haben hier auch hundertganz kleine Fehler Aufsummenund hier haben Sie von mir aus drei hundert ganz kleine Fehler Aufsummendann haben sie jedes Mal was was wie die Normalverteilungaussieht mit irgend einem Erwartungswertund mit irgend einerStandardabweichungirgendeiner Breite je nach Stäben je nachdem wie stark dieserFehler sind was passiert wenn sie diese beiden jetzt agieren diese beidenMesswerteinbeiden Zufallsgrößenaddierenwenn ich vier hundertMessgrößenhabe die alle ganz kleine Abweichungen haben die addiere ich aufeinander und ja bis jetzt drei hundert Messgrößen aufeinander addiert alle ganz kleine Abweichungenzum Schlussvier hundert aufeinander addiertwasmuss das für die Verteilung ergebendas muss schon wieder eine Normalverteilungsein weil jetzt habe ich eben vier hundert Größen addiert irgendwelchen kleinen Fehlern entsprechenmuss es ja schon wieder normal verteilt sein das es nur wichtige Eigenschaft bei Normalverteilunganwenn sie zwei Zufallsgrößenhaben die normal verteilt sind die müssen nicht dieselben Erwartungswert haben und dieser Standardabweichunghabenwenn sie die addieren haben sich schon wieder etwas das normal verteilt istwichtig ist dass diese beiden Zufallsgrößen unabhängig voneinander sind sonst Cannabisimmer Schlimmeres passieren aber wenn sich wirklich vorstellen hier wird hundertmal gewürfelt ?? mit drei hundert mal gewürfeltmit insgesamt viermal gewürfelt toll muss wieder normal verteilt seinähmund man kann auch obendrein angeben was Erwartungswertistund man kann angebenErwartungswertreinund Standardabweichungauch noch ein?? was muss der Erwartungswertsein dieser Normalverteilungwo ist da die Glocke zentriert was ist der Schwerpunkt derBlockwie sie das in der Physik kennen Sie messendie eine Größemit irgend einem Mittelwert die andere Größe mit irgend der Mittelwert wenn's die beiden addierenaddieren sich einfach die Mittelwertedas muss die Summe von den bisherigen Erwartungswertenseinwenn der erste umfünf schwankt und der zweite um zehn schwankt und sie addieren die Wert für Wert werden durch insgesamt was Hamas um fünfzehn schwankt die Erwartungswertewerden addieren ?? mit den Standardabweichungenlassen bisschen schwieriger was passiert mit der Standardabweichungoder kennen Sie was anderes was man stattdessen benutzen könntees geht über dieVarianz habe ich gestern erzählt wenn sie zwei unabhängigeZufallsgrößenhaben soll ?? endlich genauer sprechen zwei Zufallsgrößendie unabhängig voneinander sinddie zwei solche Zufallsgrößenhaben und gucken sich die Varianzder Summe andern ist es lustigerweisedie Summe der Varianzdie Varianz von diesem Ding ist die Summe aus Sigma X Quadrat Sigma Y FachquadratBeistrich das erst indie Varianzvon diesem Ding ist Siegmar X Quadrat plus Sigma Y Quadratwenn sieunabhängigen Zufallsgrößenaddierenaddierensichdie Varianzseit gestern vorgeführtdie Standardabweichungist aber die Wurzel draus das heißt die Standardabweichungist die Wurzel aus Sigma X Quadrat plus SigmaY Quadratdas sollten Sie beiFehler Fortpflanzungsehr häufig sind der Physikkennen von der einen Messungdentypischen Fehler sie kennen von einer Messung den typischen Fehler sie gehen davon ausdass diese beiden Messungenmiteinander zu tun habennahm sie jeden typischen Fehler der SummedieStandardabweichunggeht also ohne irgendetwas zu rechnen mit der Formel hiermit derGlockenkurvenformelohne was damit zu rechnen Komma sofort schon sowas sagendass die Summe zweier normalverteilterZufallsgrößendie unabhängig sind auch für deine Normalverteilungsein muss kennt den Erwartungswertverkennen die Breitedie Standardabweichungdas ist natürlich eine Yso ?? mich meine Richtung gehen sich zu überlegen wo denn dieser zentrale Grenzwertsatzherkommt warum muss denn das so sein warum musswenn ich ganz viele kleine Fehlervon eine unabhängig sind addierewarum muss dann zum Schluss etwas normal verteiltes rauskommen etwas was dieser GlockenSumme vieler kleiner Abweichungenhatten schon einer anderen Stellewenn ichhundertmalmesseund dann den Mittelwert bilden?? gestern gesehendann wird's jadie Standardabweichunghier auf ein Zehntel des Originalwertssinkenwenn sie das hier auseinandernehmendiese Situation hundertmal messenund Mittelwert bilden heißt das ja sie nehmen die erste Messung teilen die durch hundert zehn in die zweite Messung teilen die durch hundert und so weiter und sie nehmen das Ergebnisist an der dritten und so weiterbis zur hundertsten Messung deines hundertund addieren dasdas sieht doch ganz fürchterlich so aus wieeine kleine Abweichungplus eine kleine Abweichungdurch groß eine kleine Abweichung der Hindus eine kleine Abweichung schon fastin dieser Situationsich die Mathematiker an der Stelle anguckenum es etwas hundertmalund werde dann den Mittelwertist aber noch nicht ganz ans Zieldas Problem ist wenn Sie das so machengestern abschließend auf Komma wenn Sie das so machenKomma folgendes Resultatsie messen einmalhaben sie vielleicht sowas alsWahrscheinlichkeitsdichtewenn sie dann den Mittelwertauszwei Messungen bilden wird's vielleicht etwas besserzweimalmessenetwas schmaler vergleicht er die natürlich höher damit die Fläche eins bleibtwenn sie dreimal messenwird dann vielleicht sowenn sie hundertmal messenwird ??nicht ganz weil ich ganze starkes hat er nur ein Zehntel dann der breite sich mit sehr weitem ein Zehntel derSinn der Breite sieht das so aus wenn sie hundertmal messen?? mal messenandiese Kurve die man dann hat wird mehr und mehr Glocken für mich wenn man das ausprobiert das ungeschickt ist aberdass diese Kurve er sich nicht auf eine feste Kurve zusammenziehtsondern die explodierthier in der Mitte und geht ansonsten gegen Null kann schicklichen Grenzwert bilden in dieser Situation hierMittelwertbildungaus hundertauf zwei hundert aus drei Millionen?? mich nicht wirklich mathematischen Sinne einen Grenzwert von dieser Verteilung die Verteilung wieder rauskommtseine Wahrscheinlichkeitsdichtewieder rauskommtdie bitte immer enger und immer höher ich hab nicht wirklich einen Grenzwert??möchte gerneeine Situation konstruieren in der man einen Grenzwert bilden kann dem Backofen hat die mehr und mehr Glocken für mich werden ohne dabei jetzt immer enger und immer höher zu werdender Trick ist nicht durchhundert zu teilenist ja schon wenn sie durch hundert Teilen haben Sie die Standardabweichungdurch zehn geteilt ?? der Trick ist die Standardabweichungkonstant zulassenbetrachtet nicht das hiersondern ich addiere hundertzum Beispiel die hundertanderenaddiere die hundertplusweiter plusTeil nicht durch hundert sondern Teile nur durchziehendie Wurzel drauswenn sie das machenhaben sie jadie Standardabweichungso war sie durch zehn geteiltdie Standardabweichungdie wir vorher hatten hundertmal messendurch zehn teilenist die originale Standardabweichungdas es was man sich anguckt das ist sehrkünstlichaber die einzige Art wie man das dannin in knapper Form mathematisch geregelt kriegt Komma guckt sich nicht ganz korrekt Mittelwert an bei der Mittelwerte einewahrscheinlich Beistrich da die immer enger und immer höher wird sie Teil nicht durch die Anzahlsie teilen durch dieWurzelaus der Anzahl anhand etwas mit derselbenBreite wie vorhernicht das machen Beistrich haben wir ebenfalls wieder wählen??Schwarzvereinbarungfür zwei Mark und für dreimaldann starten Sie mit irgend einer Wahrscheinlichkeitsdichtefür einmal messenwenn es jetzt mit zwei Machern X eins plus X zwei die zweite Messung durch Wurzel zweiund steht die Wurzel aus der Anzahlder müssen wir dieselbe Standardabweichunghabenaber das Ganze wird glatterGlocken förmige und immer das mit dreien machen X eins plus X zwei plus X drei durch Wurzel dreinicht durch drei sondern nur durch Wurzel drei?? noch bisschen höherund dieselbe StandardabweichungBeistrich zumalsie programmieren müssen dreimal messennur das hundertmal machen?? Herausforderungdann Münsters allmählichdie Normalverteilungsein wie sie imBuche steht vielleichtsowas dann einesuper saubereKurve wird dann werden wenn sie's hundertmal machendas ist der Trick der Mathematiker an dieser Stellegucke mir nicht die Mittelwertbildunganwo ich durch die Anzahl teileich Teile durch die Wurzel der Anzahl der ?? immer dieselbe Standardabweichungimmer dieselbe Breite meiner Verteilungund dann hoffe ich das dieKurve die dann entstehtvon irgendwas gelingen was auch immer sein mag zu Beginn mehr und mehr glatt gebügelt wird mehr und mehrzu der SaargauschenGlockenkurve wirddas grundsätzlichezur mal nachrechnenüberlegen dass das so sein soll Komma guckt sich dieses Jahr an abstrakt geschrieben guck ich mir anich nehme in Experimentemesse enden mal und teile durch Wurzel indas guckt man sich angibt's noch ein Problemdas ich eben unterschlagen habe wenn sie ganz genau nachdenkenaber ein Körnchen Salznoch einzubauenwenn ich das hier tue ich addiere addiere addiereenden mal meine Größeund teile durch Wurzel ähmwas passiert eigentlichmit dem Erwartungswerteine Sache die ich hier noch unter den Teppich gekehrt habe ist das die ganze Geschichte hier nach rechtsrüber wandern wird ärgerlicherweisewenn X dem Erwartungswertdrei hatdas Licht ungefähr bei drei das Licht ungefähr alle und so weiter Alles liegt ungefähr bei dreizehn hundert zum Anliegen ungefähr bei drei Teilen durchziehenhundertmal drei durchziehen heißt das die gesamte Summe hier liegt ungefähr bei dreißigdas ist sehr ungeschickt ?? ich hab jetzt zwar erreichtdas die Breite immer dieselbe ist in dem ich nur durch zehn geteilt habe aber diese Kurve anders als sie gemalt habe zwar zwei Minuten mehr nachdenkendiese Kurve wird nach rechts rüberrutschenwas es ungeschicktbesser gibt's noch eine Maßnahme ich ziehe den Mittelwertabfolgendes guckt man sich an X einsminus einen Mittelwert habe ich mir gesagt minus sein ErwartungswertPlusX zwei minus einen Erwartungswertplusund so weiter plus Xäh N X N minus sein ErwartungswertPunktdas ist was man sich anguckt in der Mathematikbeziehenden Erwartungswertab das in den Effekt nicht habendass die Kurven hier weitere ?? rutschenund jetzt ist die Hoffnungdass das hier mehr und mehr an NormalverteilungwirdFragezeichenFragezeichenist mehr und mehr normalteilt als klein schreibenmal verteiltfinden diese Normalverteilunghat einen bestimmten ErwartungswertlegenErwartungswertund was sollte die Standardabweichungsein gleich Fragezeichenwaswas muss das werdenwas musste Erwartungswertdiese Normalverteilungsein wenn das alles so funktioniert wie fusionieren soll das wir jetzt zu zeigenund was mussdie Standardabweichungdavon seinin der Tat Erwartungswertmuss Null sein das ist dieFolge ausdieser Verschiebungvon X sich sein Erwartungswertabda dieses Ding den Erwartungswert null beseitigt dazu hier noch mal Erwartungswert nur insoweit Erwartungswert nur Lichtteil durch irgendwas das ganze den Erwartungswert nulloderwenn sie's anders sich überlegen wollenwenn Xum drei schwankt sind wir drei ab jeweilsungefähr null ist der Schwanz und Reiseziel Dreier das mit ungefähr nullund so weiteralso dieGlockenkurvedie ich gleich kriegen will istum null symmetrischund die Standardabweichungvon diesem Ausdruckder Texte durch Wurzel eingeteiltdamit ich eine Konstante Breite habe damit das immer dieselbe Standardabweichunghatdie Standardabweichungvon dieser Zufallsgrößehier ist die originalevon meinemXsodarum geht's dann beim zentralen Grenzwertsatzbei sich wundern wo dann dieser monströse Ausdruck herkommt das man guckt sich diesen Ausdruck eine sieht so aus wie ein Mittelwert aber nicht ganz ich teile nicht durch ähmSonnenlicht ?? durch Wurzel ähmPunkt immer wieder dieselbe Breite zu haben wenn ich durch Anteileoder Wertemittel tausend Werte mit denen wir das immer breiter und immer höher und ich kann ich von einem Grenzwert mehr redenkann durch Wurzel ändern hat's immer dieselbe Breite immer dieselbeStandardabweichunghabe weil ich durch Wurzel in Teilenicht mehr durch ähmhabe ich den Ärgerdas Licht Erwartungswertverschiebtund um das wieder rückgängig zu machen ??sich den Erwartungswert überlappenPunktder zentrale Grenzwertsatzsagt danndiese Zufallsgrößehiermesse enden malunabhängigeMessungen voneinander unabhängige Messungen Messe in mal sie den Erwartungswert abteiledurchWurzel der Messungen und dann lasse ähm gegen endlich gehen diese Größe hier wird mehr und mehrnormal verteilt sein mit Erwartungswertnull und Standardabweichungwie die Originalgrößedas ist der zentrale Grenzwertsatzund das ist die besondere Rolle der Normalverteilungdas dann die Normalverteilungrauskommtwenn sie das hier sehen kann sie noch ahnendass das mal mit der Summe von kleinen Abweichungen zu tun gehabt hat?? X einsminus Erwartungswertdurch Wurzel N plus X zwei minus Erwartungswert durch Wurzel endlos und so weiterdann haben sie Größendie kleine Schwankung habenkleine Fehler AufsummenKomma ist es schon schwer zu erkennen aus dieser FormelBoomsound das kann man sich nun tatsächlich zu Fuß überlegen es gibt einen offiziellenmathematischen Beweis dafürwar sehr unanschaulichistich wollte Ihnen mal zeigenwarum passieren muss was passiertich nenne dieses hier malZufallsgrößeY eins und dieses hier nämlich mal Yzweidamit noch einfacher wirdeine neue Zufallsgrößeich einfach Krieg in dem ich die alten Messwerte nehme und davon jeweils in Erwartungswertabziehendies Y eins hat er sein Erwartungswert von nullgucke mir einfach dieSchwankungenvon meinem X an das macht das ganze gleich einfacherzur kommendenzentralen Grenze das auch formulieren ich nehmeähmvoneinanderunabhängige Zufallsgrößenmit Erwartungswertnulladdiere dieaddiere ein Stück davonteile durch die Wurzel der Anzahl und so weiter und so weiter so geht's auchan also dieses X minus MühlenZufallsgröße X mit der ich gestartet bin minus Erwartungswertihnen jetzt aber mal Y um esetwas einfacher zu gestaltenhier steht dann also ans Rundschreiben noch mal hier steht dann also Y einsplus und so weiterbis Yähmdurch Wurzelendenetwas schreibt freundlichermit der sie die Frage was heißt denn das eigentlicheine Zufallsgrößeist mehr und mehr normal verteiltbin ich auch nicht in die mathematische Spezifikationgibt diverse Arten wie man sowas formulieren kannden auch alle noch leicht unterschiedlichunterschiedliche Auswirkungen habennunderanschauliche Gedanke ist dass dieseWahrscheinlichkeitsdichtenennen sich mehr und mehrin Richtung Normalverteilungziehen sollengar nicht weiterdurchdiskutierenBeistrich aber ?? beim besten Willen keine Wahrscheinlichkeitsdichtewas man sich überlegen kann ist wenn ich FunktionenBilder und mehr Konkursfunktionenmachendannsollte das doch hinhauen wenn ich folgendes zeigen kannPunkt dies muss mehr und mehr werden wasaus der Normalverteilungrauskommtdie Funktionhier an irgendeiner Stelle Y malden Ausdruck immer dafür die Normalverteilunghatten einst durch Wurzel zwei Pi Sigmaegoimmeram?? gegeben sindalso gegeben sind der Mittelwert null und dieStandardabweichungsieht mandas an der Stelle Ysonderndieses hiersollsoll der hier seinVermögen gleich nullund Y eingesetzt??wenn ich das zeigen kann??dann scheint wohldas für alle Funktionen klapptwas man auch immer jetzt unter alle Funktionenverstehtdann scheint wohldiese Zufallsgrößehier mehr und mehr normal verteiltzu seinzeigen können zum Beispiel der Sinus hiervonauch zum Schluss Erwartungswert von Sinus ist wenn ich Normalverteilungnehme für den Club Kosinus giltdannwenn es fürX Quadrat gilt wenn es für X hoch vier Geld egal was ihr einsetzen hier als Funktion wenn jede Funktion von ihren Messwertenzum Schlussim Erwartungswertdas wird Wasser für die Normalverteilungwird dann würde man sagen okay diesediese Zufallsgrößehier die hat mehr und mehr die Rolleder Variablen in der Normalverteilungegal was ich damit anstellees zum Schlusswie normal verteiltund es reichtsich die Potenzen anzugucken wenn sich diePolynom anguckenX hoch einsund null natürlich auch ganz billig zu eins X hoch zwei X hoch dreimit dem Polynom kann man extrem viele Funktionen bauen indes reichte man das hinkriegt für die Polynom wenn ich das bildeY eins plus und so weiter plusY Ndurch Wurzel Nnormal hoch achtwenn ich zeigen kann dass dasgegen etwas brauchbaresgehtdannreicht das schon aus wenn sie zeigen können sie nehmenihre Zufallsgrößehoch eins hoch zwei hoch drei Hochachtung zweiundvierzigund so weiterund in allen Fällen kriegen sie das korrekte Resultatdann reicht das schon um zu zeigen dass diese Zufallsgrößewohl normal verteilt sein Beistrich nehmen jede Funktion es reicht wenn ich alle Polynomen durchdiskutierenanund ich muss netterweiseauch gar nichtgenau diese Form rauskriegenes reicht wenn das was ich raus kriegen nur noch von Sigma abhängtStandardabweichungwenn das was sie rauskommt nur von der Standardabweichungabhängt heißt dasanes kann nicht mehr von der speziellenZufallsgrößeY abhängen und damit habe ich dann auch schon den zentralen Grenzwertsatzmuss mal anwas passiert wenn ich von dieser Zufallsgrößeachte Potenz werde davon den Erwartungswertwarum hängt das zum Schluss nicht mehr von irgendwelchen Details ab die Zufallsgrößehierkeine Soloverteilunghabenpaar Werte sind sehr häufigweitere Werte weniger häufig und hier links und rechts kommt gar nichtvorallemdiese ganzen Details der Zufallsgröße gehen alle verlorenkann man sehenwenn man denn dieses en über alle Grenzen wachsen lässt sind zum Schluss nur nochvon der Breite ab von dem Sigma abdas Problem normalinwas wird passierenwird ?? die Wurzel N Herausziehenaus dem Erwartungswertund wenn sie dann das hoch acht auflösenwas für Sorten an Thermen wird man hier erhaltenwenn man das so acht auflöst wie kann man die zusammenfassenund dann sehen war nach ?? okay die einzigen die überleben werdenimGrenzwert N gegen unendlich sind welche die einfach nur mit Sigma zu tun habenimmer gerade drüber nach?? selberbeziehen sie das Wurzel N aus dem Erwartungswertwas passiert wenn sie hoch acht auflösen?? Blabla hoch acht auflösen was muss passierenfange das mein Verein mit dem Wurzel ininnen drin stehtaddieresoundsoviel MesswerteTeile durch die Wurzel der Anzahl das ganze hoch achtjedes Malbei jedem Experimentmessen sieeinmalteilen durch Wurzel N die Summe durch Wurzel Ninnen drin darf ichdies Wurzel N so raus ziehen das ich schreibe einst durch Wurzel Absatzeins durch Wurzel ähmBruch achtmal die Summe Y eins plus plus plus plus Yähmhoch achtdas sie sind ganz normale Zahlen bei jeder Messungkann das Wurzel Nso raus ziehenmit einer lesbaren achter obendas heißtdas konstanteErwartungswertvon einer Konstante mal irgendwas sie können konstant nach vorne zieheneinst durch Wurzel Nachtmal ErwartungswertvonY eins plus plus plus plus Yinhochachtund was neue Freunde draus einst durch Wurzel in hoch achtvierhier steht wenn sie wollen es ganz formalwollenenEnden hoch minus ein halbin hoch minus ein halboben mal achtKomma dann Potenzrechengesetzenmachen oder?? zu machen einst durch Wurzelendenhoch acht Kubaner bildenich weiß das Wurzel N ins Quadratgleich N istKomma fehlt einander haben es ist so oder so egal bis machen einzig in hoch vierso damit Hammer die Wurzel ändernden Wegwas kriege ich hier ein Bestandteilnunsie kriegen hier zum BeispielY eins hoch achtden erstenhoch achtder mir achtmaldiese so miteinander stehen sie picken sich im ersten sogenanntenExxon eins und zweitens man?? weiter zum Schluss Staatsaktgenauso kriegen sie Y zwei hoch acht ?? genauso kriegen sieY inhoch achtund dann gibt solche Terme wieY eins kommt siebenmalvor und dazu gibt's noch Y zweiachtvon diesem Klammern miteinander geschrieben aus sieben von den Klammern im Y einsaus den letzten kann man nämlich Y zweiplus plus plusnahmen muss Komma sonst noch habenwir können was mit Quadraten haben schon das man Extrazeilewir können zum Beispiel haben Y eins QuadratmalY zwei hoch sechsvom gleichen Kaliber wäredas sichim?? hier mal Y zwei Quadratmal Yfünfhoch sechs plus und so weiterimmer ein Quadrat und eines hoch sechs könnten wir bildenund es könntesowas geben wie Y eins Quadratmal Y zwei Quadrat mal Y drei Quadratmalmal Y vier Quadrat und von der Sorte gibt's auch wieder ganz viele verschiedenekönnen wir sagen okay ?? hinten an Y endenBüchsen in minus einsund so weiter oder Y dreizehn Y vierzehnes gibt eben viele Möglichkeitenwie Sie sehendasabsurde ist es wird zum Schluss nureine ganz bestimmte Sorte dieser Thermeübrig bleiben das kann man sehen wenn man mal anfängt abzuzahlenwie vieles von jeder Sorte gibtich teile hier vornehmlich in hoch vier?? alles was es nicht alle Sorten dies nicht auch proportionalin hoch viermal gibtsondern nur seltener werden zum Schluss wegfallenam?? können ?? mal so anfangenwas wird'smitdem hier passierendiese Sorteein Y hoch siebenmalein anderes Ywas passiert wenn sie davon den ErwartungswertbildenErwartungswertevonZufallsgrößendie unabhängig sind dann darf ich sogar modifizierender Erwartungswertvon diesem Produktdas ist der Erwartungswertvon Y einshoch siebenmal der Erwartungswertvon Yzweinie unabhängig voneinander sind darf ich Erwartungswerteauf diese Weise multiplizierenund was weiß ich jetzt hierüberdas war der Trick Yentstehtin dem ich von Xden Erwartungswert von X abziehen Y hat den Erwartungswertnulldas heißthier steht nullund ich kann alle Terme dieser Art vergessen das gilt natürlich allgemeinich kann alles vergessenin diesem Erwartungswertalles egal indem ein Yalleine stehtin hier irgendwo einenY fünf mal und so weiter steht einem schon fünf alleine Weise vor den Term kann ich vergessen was dann in genau dem selben Grund überallwo ein Y alleine stehtkriege ich als Erwartungswertnull weil Erwartungswert von Y null ist und sich die Erwartungswerte so multiplizierenweil die Simpsons voneinander unabhängig sindanwir können uns vielleicht mal um bisschen Zeit zu sparen?? ähmden ersten Jahren guckenwie viele Therme haben sich erhoben?? vierzehn Erwartungswertvon dem Ausdruck wissenErwartungswertvon diesem Ausdruckwie viele Therme haben sie hierein Stückund wenn sie gucken Erwartungswert hiervon ist Erwartungswert davonist Erwartungswert davon das ist ähm mal der Erwartungswertmeiner ursprünglichenZufallsgrößeY soll jetzt nennenZufallsgrößeY Wasser versagen Y eins und ganzeWitze zu machen Y eins hoch achtin hier von den Erwartungswertnehme?? den Erwartungswert von Epson Eintracht und den Philips zwei gebracht und weiterden Verletzten in hoch achtdiese Y sind allesKopien unabhängige Kopien derselbenZufallsgrößeErwartungswertsind immer dieselben als Erbe zum Schluss eben malY Einzug achtwas wird hier passierenwenn sie ähm über alle Grenzen wachsen lassendieses hier scheint erst unendlich groß zu werden Erwartungswert von Y Einzug achtmal Ent aber die vorne steht ja noch in eins durch in hoch vierN durch ein hoch vier das NO vier wird gewinnen das heißt diese Ausdrücke hier tragen auch nicht zweialso ?? sagen wer trägt nichts bei?? für N gegen unendlichweil ich jahierdurch noch vier TeileNN durch die NO vierNO vier gewinntman jetzt mit den ganzen anderenThermen sich auch noch ein nach dem anderen überlegen und das bisschen abzukürzenmöchte ich mir nun diesen hier anguckenQuadrateverschiedener Yalle Terme von diesemFormatalle dieser Sorte schreibe ich mal dazustellt sich heraus das sind die spannendenfür alle anderen können sie zeigendiesen sowieso nulloder sie tragen nichts bei Männern über alle Grenzenwächstich nehme jetzt zumal diese hiervier verschiedene Yjedes in Quadratnunan erster Fragen wie viele das sindAnzahl Fragezeichendas wäre noch meine schöne Aufgabe für Sie mal sehen weiter zweite Satz nichtausgespanntalsoich habe ähm verschiedene Y zwischen dem als einfachsten vor N ist gleich hundert sie haben hundert verschiedene Ybilden diesen Ausdruckdie Frage ist wenn ich ausmultiplizierenwie viele Ausdrücke von dieser Sorte kriegen ??ich nehme aus zweien meiner achtselbe Y aus den nächsten zwei Nummer zwei hundert zwei soll ich sagen von diesen achtdasselbe Yaber ein anderes als vorhernochmals Weinaus den beiden das Erwerbseinkommenanders als in den beiden vorher und dann noch mal an das Y wie viel Ausdrücke dieser Art kritisiertenins Quadrat mal schon zwei zweite Plusvon eins mal Y zweimal Y als mal Y zwei?? drei Quadrat und so weiter wie viele Ausdrücke werden das werdendas müsstensie schon abzählen könnenganz geradlinige Kombinatorikich habeachtvon diesem Klammern hintereinandermit der Summe drinY PunktY eins plus Y NY eins Plus und so weiter Y inich möchte jetzt aus zwei der Klammernjeweils dasselbe Y wählenKomma damit man diese Möglichkeitensehen Sie dafürals erster suchen sich zwei Klammern die dasselbe Y haben soll das ist achtüber zweizwei Klammern die dasselbe Y haben soll jetzt suche ich mirdas Ywas es jeweils werden soll wie für Möglichkeitenhabe ich für das YMN verschiedene Y drin also wenn ich mir ein Y auswählen will das erst mal en Möglichkeitmir das ein Y auszusuchensodamit habe ich den ersten Faktor für den zweiten Faktor muss ich mir nochmals zwei Klammern aussuchenund noch mal ein Y aber ein anderes Yzwei andere Klammern und ein anderes Ymal wie viel muss das modifiziert werdenaus den verbleibendensechs Klammernsuche ich mir nochmalsWeinaus den verbleibendenEnde des Einzel Y suche ich mir einsodamit sehen sie das Verfahren wie das weitergehen mussfür diesen Termsuche ich mir nochmalszwei Klammern aus den verbleibendenvier Klammernaus den verbleibendenN minus zwei Y suche ich mir einesMieters ausnachdem ich hier von den verbleibenden Klammern eine verbleibenden vier Klammern zwei genommen habe sind noch zwei Klammern überich könnte jetzt hier zwei über zwei hinschreibenaber das ist sowieso einsfür dieletzten beiden klammern wirdann sowieso nur zwei über eine Möglichkeitund dafür brauche ich noch ein Y ein Y das von denen und denen in den verschiedenen istN minus dreiSemestern kompliziert werden und es wird sogar noch komplizierteran dieser Stelle habe ich doppelt gezähltich hab nämlich erlaubtzum Beispielnicht so Zell Visa gemacht habedass dieses hier was anders ist vier drei zwei einsbin ich am Anfang jedesdie viel gezogen hätteund dann die drei gezogen hätte und dann die zwei ?? die eins gezogen hätte ?? nicht das getrennt gezähltwie muss ich das noch berücksichtigenamSabbat Einmütigkeit jetzt gezählt sich beim ersten Mal das erste Y genommen haben zweiten Mal das zweite zum Rhythmus dritte und so weiterwenn ich beim ersten ?? des vierte genommen hätte drei zwei eins ?? ersten zweite Möglichkeitmuss berücksichtigenwie vielMöglichkeiten ich habe die Y Zier durcheinander zu würfelnund den Fakt habe ich zu viel gezähltmal eins durchvier Fakultätenwenn Sie ganz genau guckenist das nämlich eigentlich so das ich aus meinem Ymeinen ähm Yvier Y aussuche und die Verteidiger steht versteckt wieder Binomialkoeffizienteinmal in minus eins indrei bis vier Fakultäten?? ich suche mir viel Substanz aus die Verteilerwow das ist die Anzahlman kann nunden Erwartungswert hier kriegenamder Beitragden das liefert zum Erwartungswertsollte sich dein Schreiben solle sie hinschreiben daswas kommt hier als Beitrag zum Erwartungswerteins durch ein hoch viereins durch in hoch vierjetzt kommt diese monströse Anzahlacht über zwei mal sechs über zwei mal vier über zwei malendenMalin minus einsmal in minus zwei Mal in minus drei mal eins durch vier Fakultätmal den Erwartungswertalle diese sind jaalle die alle denselben Erwartungswert ob sie Y ein siebzehn zweite Seite vier oder Ydreiundneunzigsiebenundachtzigzweiundvierzigfünf nehmen alle die an denselben Erwartungswertich kann immer hinschreiben Y einsQuadrat mal Y zwei Quadrat mal Y drei Quadratmal YvierQuadratdas ist der Beitrag aller dieser Therme sehen daswird doch eherkompliziertwas wird passieren wenn ich ähm gegen unendlich gehen lassewenn sie irgendwelche Möglichkeiten das zu vereinfachenoder sind sie Möglichkeit weiters zuerst diesenErwartungswertzu vereinfachendiese Zufallsgrößeist unabhängig von der ist unabhängig von der es unabhängig von der sie können den Erwartungswertauseinanderziehenbesteht ErwartungswertvonY eins Quadrat mal der Erwartungswertvon Y zwei quadratsmalErwartungswertBäumchen zu schreibender was da passiertgern schon einen Namen für den ErwartungswertvonY eins Quadratgenommen nach rülpsen hergekommen istder Erwartungswertvon Y ist nullaber der Erwartungswert von Y Quadratist die mittlerequadratischeAbweichungvon ihrer Basis die mittlere quadratische Abweichung von XVarianzbei mir steht als dein abweichend von X ins Quadrat die Varianzmaldeine bei uns QuadratsmannsBerater zur Seite steht zum Schluss die Standardabweichunghoch achtdie Varianz hoch für die Standardabweichungcoachthabenwas passiert mit diesemeins durch ein hoch vier und die hier wenn N über alle Grenzenwächstdiese beiden Termewenn sie zusammenfassendähm durch ändern habe ich schoneines von diesen ähm dann kommtN minus einsund KlammernN minus eins durch einen dann kommt in minus zwei durch einen minuszwei durch ein und hier kommt N minus drei durch was passiert wenn Enden über alle Grenzen wächstnachgenau das wird eins der ein durch eine sowieso eins N minus eins durch en wird eins N minus zwei durch in alle werden eins das hiergeht gegen eins das heißt es im Grenzwert egalwas übrig bleibt es auch über zwei sechs über zwei vier über zwei mal eins durch vier Fakultätmal Sigmaex hoch achtkann man ausreichendeskommt hundert fünf rausspannendes Resultat?? hundert fünfdas wir werden hundert fünfzigKommazwo achtund das istman sich die anderen Term untersucht das einzigewas im Grenzwertübrig bleibt hätte sie offenbar vorgeführt die für die Grünenthermekönnen Sie sehen bleibt nichts üblichen Grenzwertfür den roten Termin mit einem Y drin sofort zehn der ist nicht maldirekt was drin und das im Grenzwert bilden man kann sich die ganzen Termineangucken ?? einen nach dem anderen stellt fest das einzige was im Grenzwertübrig bleibt sind diese blauen hier vor lauter Quadrate drin stehenund das ist deren Beitraghundert fünfmal die Varianz hoch vier oder die Kanada weichen hoch achtdiesesDing hierlernt man danngeht gegenjeden hundert und fünf mal die Standardabweichungvon Ixus acht Punktdas Ergebnis hängt also nicht mehr davon abwie dieses Y tatsächlich jetztverteilt war war das diskretweißstetigegalzum Schluss kommt nur noch auf die Breite der Verteilung alldas geht für acht genauso mit neunneun kommt lustigerweise null raus man sehennimmt sie nämlich in ?? hundert fünf aber natürlich mal sieht man auch zehndas gilt für allePotenzen durchund das ist dann zumindest ein gutes Indizdassje größer das N wird diese Zufallsgrößekeine besonderen Eigenschaften mehr hates kommt nur noch auf derenStandardabweichungan alles andere ist vergeben und vergessenwarzumindest gerne ansatzweise noch zeigen warum das dann die Glockenkurve sein muss also was man aus dieser Betrachtung sieht ist das die Detailsder Zufallsgrößealle verschwimmenes kommt zum Schluss nur noch auf die Standardabweichungan und in Erwartungswertin der Mitte oben ja schon eingebautwas an der Stelle noch nicht klar ist ist warum denn zum Schluss die Normalverteilungdann rauskommenmuss dass es etwas einfacher zu sehen als diese sie das eine fürchterliche Rechnereiwarum zum Schluss Normalverteilungmit ihrer Ehe hoch minus Explorationzu viel Funktion der Schein muss es leichter zu seheningucken uns malBinominalverteilunganRaumes der Binominalverteilungdiese Glockenkurve werden muss wenn es für dieeine Glockenkurve wirdund wenn es füralle Verteilungendasselbe Resultat sein mussweil es zum Schluss noch von Sigma und mir abhängtdann habe ich auf den zentralen Grenzwertsatz gezeigte gucken sogar für die Bindung der Verteilung an mit tausendMünzentausend ideale Münzenund ich frage mich wie groß ist die Wahrscheinlichkeitdasfünf hundert drei Münzenauf Kopf fallenin der ?? im Mittelhätte ich fünf hundert fallen auf Kopfund jetzt gucke ich wie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass ich ein bisschen weg bin von diesem Mitteldas ist also ganz viele kleine Störungen hat tausend kleine Störungenim Verhältnis zu den Mittelwert fünf hundert ??viele kleine Störungen ?? geht ein bisschen nach oben wie groß ist diese Wahrscheinlichkeitdie können jetzt hinschreibenvon dentausend Münzen suche ich mirfünf hundert dreidie aufKopf fallendreifür die Einheitswahrscheinlichkeitdass sie auf Kopf ein mal die gegen Wahrscheinlichkeitein halbtausendminus fünf hundert dreidas die übrigen auf Zahl fallenin das natürlich ganz lustig dass sie hinten mit der schlicht und ergreifend eins durch zwei hoch tausend hätte man sich also überlegen könnendas Spannen ist hier also dieser Binomialkoeffizientwieder Binomialkoeffizientmuss absurderweiseplötzlich irgendwas mit einer Glockenfunktionzu tun haben der muss zu einer Glockenfunktionwerdendann probieren Sie mal folgendes?? Komma müssen eng an der Zeit was man gerade selberdiesen Binomialkoeffizientvom gierigformuliere ich mal umsodass man die Glockenfunktionerkennen kannwenn sie statt mit tausend über fünf hundertwie müssen sie tausend über fünf hundertein tausend über fünf hundert rumbastelndass es tausend über fünf hundert drei werden was müssen Sie an dem änderndrei fehlen jeweils jaähmdie ziehen fünf hundert drei Kugeln aus tausend Kugeln oder hier natürlich fünf hundert dreiMünzen aus tausend Münzenhaben sehr oben und unten hier fünf hundertdrei Faktoren stehenfünf hundert dreizehnund hundert fünf hundert drei Fakultätsteilensehr bewundert drei Faktoren stehen hier haben sie um rund fünf hundert Faktoren stehenund sich überlegen welche Faktoren dann noch übrig bleiben hier unten muss es dann weitergehen von fünf hundert Fakultät bis fünf hundert drei Fakultäten wird also fünf hundert dreimal fünf hundert zweimal fünf hundert einsum von fünf hundert Fakultät auf fünf hundert drei Fakultät zu kommenund oben geht's hier runter Billsfünf hundert und eins fünf hundert Faktoren tausend mal neunundneunzigmal hundert mal fünf hundert und einshier brauche ich aber um noch mehr Faktorenfünf hundert malvier hundert neunundneunzig mal vier hundert achtundneunzigso weit muss ich wohl untergehen das ich oben auch fünf hundert drei Faktoren habeich die tausend neun hundert neunzig mal hundert achtundneunzig einmal Mahnmal fünf hundert vierundneunzig ?? und achtundneunzigso sieht das ausmit den anguckesteht daeinsminusdrei durch fünf hundert und drei Mal eins minus drei durch fünf hundert und zweimal eins minus drei durch fünf hundert und einsdas es zu sehen ?? die fünf hundert ?? fünf hundert dreiZiffern O Strich bringen fünf hundert drei minus drei sind fünf hundert dieser hier für neunundneunzig ?? fünf hundert und zweifünf hundert zwei minus drei sind die vier hundert neunundneunzigdas hier ist aber praktischeins minus drei durch fünf hunderthoch dreikommt Ihnen das bekannt voreins minus drei hundert und drei kann man da was machendas Schreiben als Mensafunktionklappt aber nicht so ganz in sowas haben wir eins Plus X durch ähm hochendendann ist das ungefähr E hoch Xtreffen sich hier auf diese Form kommen wie kann ich mir das dichtenBeistrichwirklich super offensichtliche schreibt das mal umeins minus drei durch fünf hundert mal drei durch dreihoch dreibisher nichts schlimmes passiertwie komme ich jetzt auf die Expertendas X in dieser Formel nicht das angucken die drei steht da die drei steht da dieses hiermuss das X in der Formel seindann haben sie durch dreihoch dreidas ganze wird ungefährdie Exponentialfunktionvon minusdrei Quadrat fünf Hundertstelund See und staunenEx Mensafunktionvon minus?? zu sagen X Quadrat durch irgendwas das ist worauf ich hinaus wolltewie hochminus X Quadrat da kommt plötzlich Ego kleines X Quadratan sich jetzt überlegenwurden diese Bestandteile hergekommen sindähmsie sehen eine von diesen beiden dreienstand hierherda stand sie her die dreieine von den beiden dreien liegt darandas ihr Zähler und Nenner drei auseinander sindund die andere von den beiden dreien seit drei Quadrat die andere von den beiden dreiendiese drei diese dreiliegt daran das ich drei Faktoren insgesamt mehr habe mein Binomialkoeffizientan zwei Stellenkommt Faktor drei dazu im Exponentenplötzliches S drei Quadratdas ist dann plötzlich die Stelle an der die Binominalverteilungzu dieser Glockenfunktionwird sie Ex Mensa Fusion von minusirgendwas parat haben