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04B.5 Beispiel Spaltenraum, Bild, Rang, Kern, Defekt; lineares Gleichungssystem


CC-BY-NC-SA 3.0

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folgende – Matrix – eins zwei – drei vier fünf sechs – verspannt – diese Matrix – was ist das Bild dieser Matrix – was ist der Drang – Komma – was ist – der Weg dieser Matrix – und was ist der – Kern dieser Matrix – Bild heißt eigentlich ?? an dieser Stelle offiziell spalten Raum – egal – alles dasselbe Komma – Gänsefüßchen unten – noch da ✂ das Bild ich gucke mir an was diese Matrix – an Ergebnissen – liefert ein Ergebnis inhaltlich multiplizieren – ?? von rechts – mit allen möglichen Vektoren das müssen dann zwangsläufig drei Vektoren sein Haus nicht in einem Matrix mit zwei Zeilen – und – drei Spalten dann muss hier ein Dreierweg verstehen und können sie nicht modifizieren – ?? ich probier alles das aus mit beliebigen Zahlen PL Zahlen X Y Z und gucke – was raus kommt – als Vektorraummenge – an Vektoren – hierbei rauskommen ?? siebzehn Ziffer alles mögliche – machen lassen – und eines klar – das wird der komplette A zwei sein – Alpenraum – heißen Punkt was hier passiert ?? – in der X Komponente steht dann – ein X plus zwei Y plus drei Z oder – so geschrieben ein X plus – zwei Y plus drei Z – in der wirksamen Komponente vom Ergebnis – steht vier X fünf Y sechs Z vier X – von Y sechste – jetziger Wanderfalkenraum – heißt noch mal – die Menge aller Vektoren die rauskommen – aus der Matrix – können so bilden – ein beliebiges Vielfaches der ersten Spalte – plus ein beliebiges Vielfaches der zweiten Beistrich – dritten Spalte – alles was sich aus den Spalten bilden ist das ist das Bild das ist die Menge aller Vektoren – aus der Matrix rauskommen könnte man sich diese drei Vektoren an Punkt – eins vier – ?? sowas eins vier zwei fünf – Ziffer Trübung ist der des Flachrange – zwei fünf drei sechs – diese drei Vektoren welche Vektoren – können Sie davon bilden alle möglichen – ?? zwei – Ziffer – drei passen in das Bild ist – der Erzfeind – alles was rauskommen – könnte auch im Prinzip – muss immer zwei Rektor rauskommen – muss und jeder zwei Rektor auswendig neunzig Prozent richtig wählen – damit ist der Rang gleich – zwei – Dimensionen – des Bildes oder alternativ – wie vielen Jahrhunderten – Spalten können Sie finden wie viele von ?? – die sich nicht durch einen Ausdruck lassen – ?? reduzieren – ahnen – mit den – drei Vektoren im März zwei haben – sie drei Vektoren in zwei habenden – einen davon – wegschmeißen – die Situation – hier habe – ich zum Beispiel sagen dass der – Vektor in der Mitte sich – so zusammensetzen – ist – aus dem unteren – und dem linken – drei Vektoren zwei haben es garantiert einer davon über – die Klinge nichts dreidimensionales – aus – der Rang kann nicht drei sein – der Rang ist zwei – Dimensionen von dem Bildbeweis – sofort was defekt ist – aus Bilanzgründen – ich gehe mit drei Dimensionen rein – zwei kommen raus – ist eine verloren gegangenen – defekt – der defekt ist die Dimension des Kern wie viele Vektoren werden von dieser Matrix nur ?? gemacht – haben einige Aufsätze Leerzeichen zu singen geschrieben das ist – auch praktisch die einzige Art Dienstanweisung – komplizierten Winkel sehen kann – Beistrich kompliziert – ungewöhnlichen Dinge gehen kann – der Kern ist die Menge aller Vektoren die zu null gemacht werden – ?? – Armen – Punkt das Wiki normal an die Kammer das hinschreiben der Kern muss eine Menge werden – die Menge aller – la – kann man das offiziell – ?? Komma dass einfach das Bild der gesamte A zwei Kern ist etwas – aufwendiger ✂ sieht das aus stabiler dass sie jetzt also aus – das bedeutet – X plus zwei Y – plus dreizehn – ist gleich null und vier X – plus fünf Y – plus sechs Cent ist gleich null – das könnte man jetzt systematisch – angehen können wird wenn sie ganz wahnsinnig sind ganzes Eliminationsverfahren – machen – was würden Sie tun für das aus Eliminationsverfahren – als aller erstes ✂ genau für Gauß wird jetzt dafür sorgen verfallene null steht sie würden von der zweiten Gleichung viermal die erste abziehen und entweder unten ?? null – gleich mal vier – das ähm – es reicht wenn ich die erste gleich mal zwei nehmen und von der zweiten sieben – Z unten weg das für mich intelligente an der Stelle – das Magma – war so erstklassig stehen X plus zwei Y plus drei – Z ist gleich null – wird sich das Doppelte der ersten von der zweiten ab – vier minus zwei in der zwei X plus – fünf minus – zwei mal zwei ein Y – plus – sechs sechs minus zwei mal drei Z – null – Wasserrad Komma – so sieht's aus – und – viel besser kann's nicht werden Punkt – ich kann nun – X frei wählen oder Y frei wählen – Beistrich in faul bin werde ich jetzt x-beliebig – nicht Y – Element eher beliebig – und dann kriege ich – Y – ist gleich minus zwei X – ist gleich minus zwei ist die Gleichung erfüllt – und hier oben steht dann – X – minus zwei X also X – minus – vier X – minus drei X – minus drei X plus drei Z – ist gleich null – minus drei Ixus dreizehn ist gleich null ?? daneben minus X plus klein Z ist gleich null – will sagen – X ist gleich Z – Z ist gleich – X – das Klammer auf – also eine der Variablen können sie beliebig wählbar mir ist es jetzt X – und die anderen beiden Folgen – raus – kann man das jetzt sinnvoll hinschreiben – Komma könnte das tatsächlich so ausbuchstabieren – der Kern – Beistrich – normal sauber hin – das heißt also – der Kern dieser Matrix – ist die Menge aller Vektoren X Y Z aus dem Herd drei – mit der Eigenschaft – das – Y gleich minus ✂ zwei X ist – und Z gleich – X ist – das hätte man wissen intelligenter schreiben können Sie können schreiben – ja was können Sie schreiben alternativ – das wäre doch eine sehr effiziente Schreibweise lang Normalenvektor – eins minus zwei – eins für alle Lander aus den Wellenzahlen – eine Geradengleichung – beziehungsweise – der Kern ist eine Ursprungsgerade – Komma wie das zustande kommt jetzt noch einfacher zu verstehen wenn hier nicht anderes schreiben sondern ist X schreibt – das x-fache von diesem Vektoren sind Wasser passiert Umstieg X – voll – in der Mitte steht minus zwei X minus zwei X und unstet – X – Navi sein – Komma dass sie diese komisch aus X mal diesen Vektor wenn sie schreiben Lander mal diesen Vektor – üppig aus wie eine Geradengleichung – ist eine Geradengleichung – der Kern ist eine Gerade durch den ✂ der Nullvektor musste sowieso immer drin sein wenn sie hier null null null Einsätzen – konvertiert null raus – es muss durch den Ursprung gehen und dieses eine Gerade durch den Ursprung des eine Gerade ist – ist auch klar von vornherein – verwandt sind sie das – genau das anziehende Sinne defekt ist eins also muss es eine gerade sein – muss mit drin sein – weil mal null null null null null geht also eine Ursprungsgerade – ?? ich suche eigentlich nur noch eine Ursprungsgerade – das hätte man sogar noch kürzer – haben können – ja mal ✂ sehen ich suche eine Ursprungsgerade – mit diesen Eigenschaften – nun – was ist eigentlich dieses hier finde Gleichung – beschreibt diese erste gleich geometrisch ✂ was für die geometrische Figur ist – dessen Kreis – habe – sie das aber gar normal zurück ins zweidimensionale – wenn Sie diese selten Ixus zwei Y ist gleich null – im zweidimensionalen – was für die Figur ist das in zwei dimensionalen – ?? im Jahr – eine gerade das muss eine gerade seinen Ursprungstransponder – wenn sie wirklich ganz – hoffnungslos verloren sind können sie auflösen Y – ist gleich – minus – ein halb ✂ X – eine Gerade durch den Ursprung – mit der Scheidung minus ein halb – an – das wäre eine Gerade – wird uns – noch mal an – was soll also das hier seine dreidimensionalen – Begleichung einer Ebene – stellt sich seit sowas vor – in X begeben müssen ?? Y gegeben ist ?? wie ein Punkt in der Betriebsebene – das setzte sie ein der Sitz des klein – kriegen Sie genau ein Z raus – für jeden Punkt in der natürlich nach unten ?? Geist – muss negativ sein offensichtlich auch – hierzu im Prinzip – für jeden Punkt in der ?? Ebene gesehen klein Z raus das kann keine gerade sein – eine Gerade – hätten sie nicht für jedes – für jede Kombinationen – X Y – das kann nur wenn sie was sinnvolles ist eine Ebene sein Leben natürlich kein ?? – oder Kugeloberfläche – bei das Lineal ist es ist eine Ebene durch den Ursprung ✂ der Personal Aussagen zu dieser – Ebene – vermeidet Ebene durch – hohe – Ebene durch den Ursprung – wir wissen sogar noch was zu dieser Ebene was geometrisches – genau – genau das mit dem normalen Weg für diese eben ist senkrecht – zu eins zwei – drei – einmalig zwei hundert Y drei setzt die Normalform – keine voreilige Ebene senkrecht dazu – hier haben Sie eine Ebene senkrecht zu vier fünf sechs – des kann man lustigerweise – sich überlegen okay ich hab zwei Ursprungsebenen – keine senkrechte Vektoren – bereits – das – waren – im Rahmen zwei Ebenen die sich durchstoßen – sich schwierig – Punkt – so – zwei Ebenen durchstoßen sich und zwar im – Ursprung – und ich kenne jetzt einen Vektor senkrecht auf der einen Ebene – nicht in einen Vektor senkrecht auf der – anderen die – an den Ursprung meine das ist völlig unübersichtlich – wahrscheinlich – in den Ursprung bei Vektoren – Klammer zu dieser Ebene – ein normalen Vektor – und ich haben zu – dieser Ebene – ein normalen Vektor – Schnittmenge – zwei Ebenen – im dreidimensionalen – sind sie schon angedeutet – wird eine gerade werden das für die Schnittmenge werden – dabei sichtbar werden sich schneiden – sie mithilfe der beiden normalen Vektoren jetzt über diese gerade ✂ auch die gerade muss senkrecht zu den beiden Vektoren sein der rote Vektor senkrecht zu dieser Ebene – diese gerade ist Teil der Ebene – diese gerade muss auch senkrecht zu dem roten Vektor sein muss aus dem selben Grund senkrecht zu den Gründen Vektor sein gerade senkrecht – zu beiden Vektoren – Kreuzprodukt – freitags ganz laut berechnen Sie mal testweise – so wirklich hinhaut das entsprechende Kreuzprodukt was man hier machen kann ✂ okay also Normalweg trotz der einen Ebene normalen Wechsel zu der anderen geben und jetzt Komma dass Vektorprodukt – eins zwei drei – Kreuz – vier fünf sechs – hier liegen die Ebenen – so das nicht passiert wenn man – Pech hat könnte die können die ebenbürtigen – können beide parallel sein – und dann wird ja was schlimmes passieren – das wir nämlich die Schnittmenge alles – sein die gesamten Ebenen – kommen hier die Ebenen liegen – somit typischerweise – liegen würden – kein Problem – das Kreuzprodukt aus – denken Sie an die Determinante – das mit den Determinanten – entwickeln nach einer – Spalte – entwickeln nach der ersten Spalte – der erste Mal – diese unter Determinante – minus Fachbeiträge – der zweite Mal diese unter Determinante – plus – Schachbrettregel – der dritte Mal – diese unter Determinante – da kommt ein dass – Vektorprodukt her – ?? Produkt von drei mal drei Determinanten – für die Ex Komponente oben streichen – zwei mal sechs minus drei mal fünf – zwei mal sechs Komma fünf – für die Y ?? Komponente – auch das Minus der Schach Beiträge – oder ich fange falsch ?? drei mal vier minus einmal sechs – und für die Zeitkomponente – sachlicher Beträge wieder bloß – einmal fünf minus zwei mal vier einmal fünf – mal vier und dann bin ich bei ?? ?? – zwölf – minus fünfzehn sind minus – drei – zwölf – minus sechs sind sechs – und – fünf – minus achtzehn minus drei – also habe ich einen Vektor – minus drei sechs minus drei entlang – meiner geraden politischen – Sektoren habe ich natürlich jetzt völlig ehrlich eingezeichneten – wesentlich effektiver sprechen – sondern nur als Idee diese überhaupt liegen könnten – also dieser Sektor ist längst meiner Grad minus dreißig minus drei – was – haben wir minus drei sechs minus drei und sie sehen Glück gehabt – minus dreißig minus dreißig parallel zu eins minus zwei – ein Vielfaches von dem ausdrücklichen – so hätte man das auch noch machen können in dieser Situation – mit etwas mehr geometrische Überlegung – nun – wenn ich jetzt Gleichungssystem – baue mit dieser Matrix hier – ein zwei drei vier fünf sechs – Jahrzehnten – ein zwei drei vier – sechs – mal X Y Z – gleich irgend einen Vektor – dreizehn zweiundvierzig – oder als Gleichungssystem – etwas etwas hübscher hingeschrieben – Klammer zu kennt X plus zwei Y plus drei Z ist gleich dreizehn – vier X plus fünf Y plus sechs Z ist gleich – zweiundvierzig – Besitzer bisher Männer Gleichungssystem – aus – was weiß ich jetzt eigentlich über dieses Gleichungssystem – ganz vorne an unter bestimmt über bestimmt – oder genauso viele weitere unbekannte was ist es ✂ unter bestimmt – es gibt zu wenig Gleichungen für zu viele Unbekannte drei Unbekannte zwei gleiche – ?? unter bestimmter ?? sofort im Hinterkopf das mit der Eindeutigkeit problematisch – ich habe zu wenig Gleichungen verlange zu wenig – denken Sie an sowas wie – X plus Y groß Z ist gleich eins – und – zwei ist gleich zwei drei Unbekannte – zwei Gleichungen – sie verlangen zu wenig – irgendwas wird unbestimmt bleiben – Punkt das erwarte ich an der Stelle das etwas mit dem Blatt – am – aber was hat denn das jetzt alles – mit diesen drei Kenngrößen – hier zu tun Bild und Rang und defekten Kern – die drei nehmen – eigentlich – über das Gleichungssystem – sagen – wir dennoch weiter hinter – dem Kernwissen war ja der Kern ist die gerade – andermal eins – minus zwei eins – was sagen mir diese vier Kenngrößen – jetzt ✂ über die Lösungen – dieses linearen Gleichungssystems – doch – das Bild ist der komplette Erd zwei alles was rauskommen könnte kommt auch wirklich heraus – insbesondere – deshalb ?? dreizehn zwoundvierzig – raus gar keine Frage – also das hier sagt Ihnen als der komplette Raum ist – es ist auf jeden Fall lösbar ist wird eine Lösung geben – Beistrich – viele aber sind mindestens eine Lösung geben dreizehn zwei ?? vierzig kann rauskommen – jeder Vektor herauskommen – insbesondere als zweit wird der Forderung – das hätte sie auch hier lesen können beim Run – besser kann's nicht werden an der Stelle alles kann auskommen das man sie auch mit der zwei ?? die zwei der Rand ist die Zahl der – Zeilen – daran gleich der Zahl der Zeilen ist dies die garantiert immer lösbar – der Defekts – sagt Ihnen – aber keinesfalls – eindeutig lösbar – man kann sich auf den Kopf stellen ?? – es wird niemals eindeutig sein was ich als Lösung habe – der Kern sagt Ihnen im Detail was sie jetzt machen können – mit den Lösungen was sagt Ihnen der Kern der im Detail – was lerne ich aus dem Kern was die Eindeutigkeit ✂ angeht – genau das hat in der Kern wenn Sie eine Lösung haben – können Sie – eins minus zwei ?? dazu addieren haben wieder lösen oder sie können dreizehn Mal – eins minus zwei einzelne zu agieren und haben wieder Lösung oder minus Pi mal eins mit zwei Einzelturnieren – haben wir ?? Lösung – der Kern sagt Ihnen – wie uneindeutig – ist – wenn ich eine Lösung habe wie kann ich weitere Lösung generieren – was sind alle Möglichkeiten – mich weitere Lösung generieren kann sagt das aktuelle Kern – ausgehend von einer Lösung was kann ich zu der Lösung dazu addieren – ?? wieder Lösung das alles im Kern defekt ist eine Dimension davon wenn der Kern eine Dimension oder mehr hat Beistrich kann meine Lösung wirklich was antun – wenn der Kern die Dimension null hat – der Nullvektor – der Defekt null ist dann können Sie Ihre Lösung nicht antun diese eindeutig – defekt null heißt – eindeutig – wenn es eine Lösung gibt dann garantiert nur eine – Effekt eins heißt – meine Lösungen kann ich entlang einer geraden – immer weiter verfolgen ihr und der Kern sagt in welche Richtung sie gerade dann ist den Defekts weiß – dachte kenne welche Richtung die Ebene läuft und so weiter – das ist die anschauliche Bedeutung ✂ ?? Zahlen für Rang und Defekt bei denen nicht einfach sofort fertig bin wenn daran gleich der Zahl der Zeilen ist weiß ich sofort Thema erledigt das Ding ist immer lösbar egal was auf der rechten Seite stehen – Defekt gleich null ist – weiß ich die Lösung ist wenn es eine gibt immer eindeutig – Thema erledigen sich genau nachgucken – problematisch wird's wenn der Rang eben nicht gleich der Zahl der Zeilen ist ein kleiner muss man angucken was im Bild – im Spaltenraum anzüglich vorkommt – die Gleichung ist nur dann und genau dann lösbar – wenn dass sie auf der rechten Seite die Mobilität im zweiten Raum ist – zwar genauer gucken genauso sind immer perfekt wenn der Defekt nicht null ist – sogar größer als null – muss sich genauer hingucken – kann genau hingucken und erfahre in welche Richtungen denn diese Uneindeutigkeit – besteht das ?? erklärt