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21A.1 Beispiel Höhenlinien, Gradient, partielle Ableitung


CC-BY-NC-SA 3.0

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folgende – Funktion zweier veränderlicher – ?? es soll sein – X Quadrat mal Y Quadrat – und ich möchte von Ihnen mal ein paar Höhenlinien – eingezeichnet – sehen – auf diesem Gebiet – X von minus zwei bis plus zwei – Y – von minus zwei bis plus zwei – positive – Höhenlinien dieser Funktion – für – erstes das Niveau null Wurzelfunktion – null – zwo – und wo ist diese Funktion – gleich eins ✂ also möglichst nicht einfach nur Werte einsetzen sondern wirklich mal überlegen wo wird diese Funktion null – lösen sie die Gleichung X fordert ?? mit dem Quadrat gleich – Null – dann wenn der eine Faktor null lässt mich wenn X gleich null ist oder der andere Faktor null ist oder beide Faktoren neu sind als sie wird dann null – da nur wo X gleich null ist oder – Y gleich null ist oder das was es einmal schließlich – beide gleich null sind so da ist die null – wo ist sie eins – mit ganz viel ihr schon vier Punkte rein gemalt wenn X gleich eins ist Gibson gleich eins ist wenn ist gleich minus eins ist im Vergleich minus eins ?? – ist gleich minus ein zu besonders plus eins und so weiter was natürlich noch viel mehr auch für die Gleichung lösen – X Quadrat mal Y Quadrat ist gleich eins – wenn die Person das aufzulösen – Y – Quadrat ist gleich eins durch X Quadrat – mit dem Wurzelziehen vorsichtig sein – Y positiv und negativ geht – also Y ist gleich plus minus die Wurzel aus eins durch X Quadrat – so – die Wurzel aus Einzel X Quadrat – ist eins durch die Wurzel aus X Quadrat – was ist die Wurzel aus X Quadrat ✂ also nicht – X selbst das heute nicht hin wenn X negativ ist minus drei minus drei Quadrat ist neun Wurzel ist plus drei – für negative X wird das nicht hinhauen es ist der Betrag von X aus der Wurzel kommt immer null oder etwas Positives raus – wenn ich jetzt einen Appell auf Wetteinsätze – so hier steht also plus minus – eins durch – X im Betrag – wenn X positiv ist habe ich eine Übergabe – Beistrich X – dividiert durch – Sonny Bärbel – aber auch minus – eins durch X den hier – gespiegelt – wenn X negativ ist steht der einst durch – Betrag von X – sind sie hier – oder minus das dann sind sie da – eine schön symmetrische Figur – sie können symmetrische Leerzeichen sein aber ich hoffe Sie an – wie es aussehen sollte dass sie mehr über die einzelnen – eins eins minus eins eins und so weiter – so – ein – eine Ansammlung von Höhenlinien – hier auf der roten Höhenlinie – ist die – Figur insgesamt auf der Höhe null – und hier auf der grünen Höhenlinie – die anscheinend in vier verschiedenen Ästen kommt – ist die Figur insgesamt auf der Höhe Einsen – können Sie an dieser ansonsten – aussieht man wahrscheinlich hier sowas haben wie ein halb – hier werden nur noch darunter Hammers wie ein viertel – und so weiter – wird sich dann wohl ?? Dis harmonisch einfügen – was ich gerade eben gesehen habe was – komisch wird ?? nehmen Sie eine Höhenlinie sang ?? ein halb – die Höhe liegen ein halb – warum geht das nicht – an können sich Höhenlinien zu verschiedenen Höhen nicht kreuzen hier sehen Sie Hündinnen zur selben Höhe – der Kreuzung Punkt haben null null – Baum kann sie kein Kreuzungspunkt zwischen Höhen in verschiedener Höhe haben warum müssen die voneinander immer – abweichen – warum dürfen sie sich nicht kreuzen Höhen in verschiedener Höhe – ist der Ärger dann hätten sie an diesem Punkte die Höhe null und die für ein halb – ?? sich jetzt irgendwas vorstellen mit dem Bergüberhang – oder sowas aber das ist nicht im Sinne des Erfinders an dieser Stelle – zu jedem X Y Bert soll ja eine Höhe gehören ich möchte eine Funktion haben den nimmt ein X oder Y liefert einen einzigen Wert zurück – hier wird sie zwei Werte zurück liefern einmal Null und einmal das violette ein halb das kann nicht sein also Höhenlinien – kreuzen sich nicht – in eine Höhenlinie hier startet – muss sie in diesem Bereich bleiben – und kann nicht in Schläuchen sie wird sicherlich nicht so hässlich aussehen aber – bei irgendwelchen abgedrehten – Funktion könnte sie so hässlich aus in die kann aber auf keinen Fall ist dadurch – das würde nicht funktionieren – das zu den Höhenlinien noch mal so ?? weiter mit dem Patienten ich hätte gerne den Gradienten – an dieser Stelle – mein Zimmer den Gradienten an dieser Stelle ein – und den Patienten an minus eins eins an dieser Stelle – wie zeigt der Gradient ✂ der Gradient – Kran Jens dieser Funktion – an der Stelle allgemein X Y – heiß ich nehme die Funktion – partiell nach X abgeleitet – mit diesem runden – Delta – mal ausgedacht – das Manuskriptgeldern – aus bisschen – verzieren könnte – oder vereinfachen könnte dann ist es unbedingt draus geworden das keinen offiziellen Namen hat es ganz viele Namen aber bekanntlich offiziell partielle Ableitung von F nach X – partielle Ableitung von F nach – Y – gemeint ist sie leiten ganz normal nach X ab und tun so als ob Y eine Konstante ist – also den hier X vertrat mal Y Quadrat – nach X ableiten – und zu tun als ob Y eine Konstante – diese Konstante – dahinten Anführungszeichen oben – Y Quadrat ist eine ?? Konstante bleibt stehen – X vertrat leidig ab dass wir zwei X also stetige oben zwei X mal Y Quadrat – und natürlich analog – Punkt umgekehrt machen – Patienten Y arbeiten soll heißen – X als Konstante zu betrachten ganz normale Y abzuleiten – X fordert Y – X als Konstante davon steht eine Konstante bleibt stehen – ?? Quadrat ableiten also mal zwei – Y dass wir unser Gradient – Peter dich jetzt an jeder Stelle angeben hier können Sie beliebige Clips einsetzen – ich wollte aber mal – eins eins und minus eins eins – einsetzen – also der Gradient – äh – an der Stelle eins eins – ich hatte sie für etwas sehr aufwendig mit den Klammern außen aber für mich das komisch aus wenn ich nur das Schreiben – weich kann ich den Gradienten aus einem Funktionswert – bilden – habe das mal so sehr aufwendig so – gibt zwei mal eins mal eins oben zwei – einmal zwei mal eins und zwei – der Gradient an der Stelle eins eins ist bei zwei der Vektor zwei zwei und es ist extrem hilfreich den dann tatsächlich an diese Stelle eins eins dran zumal – sie ?? – zwei nach rechts zwei nach oben das hier wird der Gradient sein wird At-Zeichen – so – der andere – der Gradient an der Stelle minus – eins – eins – zwei mal minus eins mal eins also minus zwei – minus eins Quadrat plus eins mal zwei mal eins und steht plus zwei minus zwei zwei der Gradient in der Stelle minus eins eins – so sehr aus – zwei nach links zwei nach oben – das könnte man jetzt in jedem Punkt machen sie könnten ihr Überleben gehen und – Pfeile dran malen – den ?? schon falsch – wollte er so sein wenn es über an jeden Punkt Pfeile dran malen wenn sie wollen – Zeitrahmen allgemein nicht besser wird ?? nur zwei – ein Vektorfeld – für diese Punkte hier gibt es jeweils einen Vektor das macht ein Vektorfeld aus – muss man typischerweise mit der Kopf hat bei Vektorfeldern – sind solche Strömungsfelder – zum Beispiel irgendwie ihren Sinn – Flusslauf – und das Wasser so durchströmt – ähm – und dann geben sie an jedem Punkt zum Beispiel ein Geschwindigkeitsvektor – nicht obendrauf sondern sogar innen drin im Fluss für jeden Punkt im Fluss haben sie einen Geschwindigkeitsvektor – das wäre so ein ganz klassisches – Vektorfeld – eine Abbildung – von Teilen einer Fläche oder des Raums nach Vektoren – nach der Menge der Vektoren – ich ordnen Punkt Vektoren zu ein Vektorfeld – der Gradient ist so ein Vektorfeld auf einfache Art – und der zum Paar – klassische Eigenschaften – die man jetzt einmal sehen kann der Gradient – steht immer senkrecht auf den Höhenlinien – das heißt sie hätten die Richtung sofort angeben können – ?? zumindest – besser so zeigt warum zeigte eigentlich nicht zum Ursprung Beistrich der Weg vom Ursprung – zum – Ursprung kennen wir ja kleiner – wird unser Funktion der kleineren Siege – zum Ursprung marschieren – auf der Grünen in Hessen zur Funktion eins auf der roten Linie Sonderfunktion – Nullen – zum Ursprung hin wie die Funktion kleiner das ist der direkte Weg – ins Tal – das will ich nicht der Gradient zeigt den Berg rauf den Vogesen bergauf natürlich nach außen hin diese Funktion hier wird nach außen hin Größe des ?? zeigte – nach außen – der Gradient zeigt aber nicht direkt zur Bergspitze – Klammer auf malen – wenn sie – so eine Landkarte haben – wir jetzt den Berg rauf sagen wir – hundert Meter zwei hundert Meter drei hundert Meter – an dieser Stelle der Gradient – wie zeigt der Gradient an dieser Stelle ✂ senkrecht auf der Höhenlinie – ja – senkrecht auf der Höhenlinie – und – in Richtung steigender Werte – für eine Ameise – ist das hier – eine sehr kurzsichtige Ameise – ist das hier der Weg den Berg rauf – in die Ameise kein Fernglas dabei nicht sieht dass der Berg ganz woanders ist – wie läuft die Ameise die läuft – senkrecht – zu der Höhenlinie – so steil wie es geht den Berg rauf so zeigt der Gradient – nicht zum Berg sondern lokal – der stärkste Anstieg und die Länge dieses Vektor sagt eben wie steil es ist je steiler es ist desto – länger wird der Gradient – nun – wenn ich den Gradienten hier noch einzeichnen wollen würde – welcher ist welcher von den beiden Gradienten ist länger der Gradient hier oder der Gradient dar welcher von den beiden Esslinger werbe AB – welcher es länger ✂ A oder B – der B ist länger der Gradient bei BS länger die Steigung ist steiler – hier geht's steiler rauf – senkrecht – wieder zu erhöhen ihn aber viel steiler rauf – auf diese Strecke hier Gewinn ich hundert Meter in der Höhe von hundert bis zwei hundert und auf diese kürzere Arbeit nur halb so kurze Strecke Gewinn ich hundert Meter das heißt die Steigung praktisch doppelt so groß war das Stück – einen – Dackel noch was zu Höhenlinien – je enger die Höhenlinien sind desto steiler wird das Ganze in eine Schlucht – wird's dann also so aus ?? – dann also so aussehen stellen sich dem – Trend kennen vor irgendwo ganz unten ist der Colorado – ihr vielleicht gerade nicht so viel Steigung aber da wo's – steil wird – laufen die Höhenlinien so hier gucken sie – gerade runter ins Tal also wenn sie das ihr von der Seite gucken sie Info in Colorado und so geht's dann runter zum Colorado sieht das schon auf der Landkarte aus mit den Höhen in diesen Extremgetränk – hänge die Höhenlinie zusammen liegen desto steiler ist das Gelände je weiter die auseinanderliegen – desto – flacher ist das Gelände – der Gradient ist dann – sozusagen immer umgekehrt da wo die Höhenlinien dicht zusammen liegen ist der Gradient extrem lang – und auch nicht irritieren lassen der Gradient – sagt in der Länge – was über die Steigung – der sag nicht was jetzt der Weg zur Spitze ist zu sehen das die Beine nicht miteinander zu tun haben derzeit etliche zuspitzenden – das wäre die falsche Idee – sagt nur wie stark die Steigung ist wenn hier die Höhen ihnen bisschen länger liegen würde – wäre noch viel länger der Gradient – so das wir so die erste Aufgabe zum Gradienten