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16.2 Raum der Funktionen mit Periode 1, Skalarprodukt, RMS


CC-BY-NC-SA 3.0

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alsobei der Foyerreihegeht um periodischeFunktionsonst habe ich nicht so schöne saubere Summenoch viel billiger möchte ich mehr Funktionen mit der Periodeeins anguckendas heißt Funktionen die sich nach der Zeit einsWohneinheitennach der Zeit eins wiederholen??ich hatte noch gerneBeistrich T dreiX Punkt denkt bei solchen Signalenmöglichstoft ein Signal die von der Zeitwas natürlich dazu führt dass ich hierschreiben sollte an dieder abhängigen Variableneine Funktiondie mit der Periode eins periodischin das hierunddas hier die Länge eins istgenausolänger eins istoder das jetztnichtgeradezu Fuß weiter bauendas Wiederholenbis ins unendlichedas ist der Gedankewieder losundes hat natürlich seit unendlicherZeit unendlich langer Zeithat nichts anderes stattgefunden?? es muss natürlich auch hier vor?? losgegangensein alsrückwärts und rückwärtsaufDortmund zurweit unterund so weiterdanndiese Periode muss nicht unbedingt auf Null stattfinden können Aussagen von da bis daist die für sie sagen vondiesem kleinen Buckel bis zu dem kleinen Buckel ist die Periode illegal durch die Periode abtragennach der Zeit einssoll sich diese Funktion wiederholt und somit andere Periode natürlich entsprechendeinfach haltendannwas man sich klarmachen sollte an dieser Stelle schonwenn eine Funktiondie Periode ein zweiundvierzigsteLandhat sie automatischdie Periode eins auf Basis gibtähmeine gewisse Zweideutigkeitbei diesem Begriff Periode Periode eins heißt mathematischnach der Zeit eins geht es von vorne losist natürlich eine Funktion haben die nach der Zeiteinszwei vierzig war simpel zumaler drei malwieder von vorne angefangen hatund somit der Periode ein Drittelüberwachenintensives Wärmegefälledie in der Zeit dreimal durch sich das anguckenund sie von da bis dawarvon da bis dawieder dreimal durchdiese Funktionhatein Dritteldenn sie istüber die Zeit eins drei mal durchaber sie hat ebenfallsdie Periodeeinswiederholt sich auch nach der Periode eins diese Funktion anguckennach der Länge eins nach der Zeit eins wiederholte sicher auchversichert ?? Nummer ein gemalt eine Funktion mit der Periode zwei auch wiederbei VW einfach Sinus förmlichso und so die hätte die Periodenlänge zwei nach zweiZeiteinheitengeht von vorne loseine Fusion mit der Periodenlänge ein DrittelPunktin der Zeit eins drei mal vorhat automatisch auf die Periode einsaber nicht jede peri nicht jede Funktionmit der Periodenlänge einshat auch die Periodenlänge ein drittes?? was also eindeutig definiert wäreaus meiner Mathematik aber seltener benutzt was eindeutig definiert werdenist die kürzest mögliche Periodewenn ich von einer Funktion nicht Angemessenperiodeist allgemeines ist mehrdeutig für die rote können Sie angebenein Drittel zwei Dritteldrei Drittelvier Drittel alles mögliche Perioden für die roteähm wenn sie die kurz mögliche angeben das wäre nur ein Drittel für die U-Bootedas wären eindeutige Begriffe der Mathematik ist man offen an der Stellewas einen guten Grund hatnämlich dass diese Funktion aneinenVektorraum bildenalle Funktionen der Periode eins können sie beliebig zusammen addieren beliebig zusammen mischen und sie kriegen wieder Funktion der Periode einsauch die rote?? das macht das ganzenett geschlossenwenn ich da sehr pingelig wäre und sagedie rote ?? eigentlich die Periode einzelner eigentlich die Periode ein Drittelwird es in der Mathematik so einiges kaputt machen und großzügigkann sein dass siein der Physik und Elektrotechnikdas anders sie mit der Periodenlängevorsichtig sein der Mathematik müsste man dann sagen dieminimale Periodenlänge um hier für die rote Welle eindeutig ein Drittel rauszukriegenist aber definitivBestandteilder Menge der Funktionen mit Periode eins Punkt weil sie sich nach der Zeit einswiederholtin diesem Vektorraumdie Menge aller Funktionenmit der Periode einsgibt es eine netteBasisfunktionnämlich folgenden zweibetrachte folgende Funktion X wird abgebildetauf die hoch zweiPiNTund sehen alles durcheinanderrede plötzlich von Träumen von Funktionenfür komplexe Zahleneherreines geht alles durcheinanderdiese Funktionenhierkann man sicher so vorstellenTdass diequasi rotierendenKomplexen rotierenwenn N gleich null istVersagen für alleganzen ZahlenZminus achtundneunzigminus dreizehn null?? vierzig natürlich und so weiter für alle Ganzzahl Z bitten Sie diese Funktioneng gleich null ist ?? einfache Konstantekommt eins rausauch das ist eine Funktion mit der Periodeeinsdenn Funktion die konstant gleich eins ist wiederholt sich ja nach der Länge eins der Mathematikererbarmungsloshörenist eine wunderschöne Funktion mit der Periodenlänge alsKonstante ?? wird auch die Periodenlänge Wurzel zwei und sie hat auch die Periodenlängeachtundneunzigaberist insbesondere meinem Raumstring mit der Periodenlängeeinsdas wäre N gleich nur konstant gleich einsmit sich hierin gleich eins nehmenam sehr ?? Überlagerungvon Kosinus und Sinusmit der Frequenzeins zwei Pi mal die Frequenzwartezeitmit der Frequenz einsin der Sequenz eines sinnlosen Kurses überlagertkönnte man sich so vorstellenwiestellt man so gerne vor das hier einmalum die Achse quasi gedreht wirdihrPreis quasi übergehenundirgendwie Bewegung ausführen?? eigentlich großes Plus ihm allerdings wenn in gleich zwei Sessel was wir in gleich einswenn in gleich zwei istin der doppelten FrequenzundFarbeder Doppeldas wäre dann sowas wie ein gleich zwei und so weiter so stell ich mir das vor Funktionen in Komplexenrotierendie benutzt man als Basisfunktiondas haben sie schon in Wolfram Alpha gesehenvom Alpha hatte die erste Zerlegung tatsächlich auch in solche Funktionnicht in soallgemeinverständlich Funktionen wie Sinus und Kosinus sondern in solchepräziseren Funktionendieser aussehenden Funktionendie aber nach ?? viel eleganter Hand zu haben sinddiese Funktionen hier haben die Rollegleich von den Standard Basisvektorerinnern ?? drei eins null nullnull eins null null null einsdiese Rolle wird übernommen werden von diesen Funktionund baut alle Funktionen aus diesen hier zusammenwie man im Erdreich alle Lektoren aus den ?? zusammen Punktwas jetzt noch zeigen will ist dass diese Funktion sich tatsächlichso verhalten wie die Standardbasisdreidass das einen Sinn ergibt immer das verstanden hatist völlig klar wie die Foyerreihefunktionierendeshalb ist mir das so wichtig an der Stelledas klarzumachendass es sehr ähnlich zur Zerlegung von Lektoren R zwei hundert dreißigS habe ich unendlich viele Vektorener in die Verlegerdiese Vektoren sindFunktionenaber dieRechentrickssind dieselben dahintersteckenund das ganze mit Leben zu füllen braucht der Verein Skalarproduktmöchte zeigen dass diese Funktionen sich so verhalten wie die Standard Basisvektorzwei ?? dreihundert Ortsvektor hundert zweiunddreißiginsbesondere alle senkrecht aufeinander und habe einst das hat was mit Skalarprodukt zu tunsenkrecht aufeinander Skalarprodukt null länger eins heißtLängenquadratist ?? mit sich selbst muss Einsseingebrauchen ein Skalarproduktzu machen ?? SkalarproduktPunkt manmuss jetzt sagenwas das SkalarproduktzweierFunktionenist das wirklich haarsträubend an ist abereinfach formal gemeinich möchte ausgerechnet eine Funktion mal eine andere gibt eine Zahlgewechselt sei jetztin sinnvoller Weiseundhoffentlich sogar recht ähnlich was vorher bei denäh üblichen Vektorräumen hattenzwei und dreiwird etwas anders geschrieben bei den Vektoren etwa sowas wie A mal weninteressiert etwas anders geschrieben mit spitzen Klammernhistorischer Zeit hätte man anders machen können ?? historische Seite sich so entwickelt wie die spitzen Klammerngemeint ist dasselbeSkalarproduktwendet sichzwei dieser Objekte modifiziereneine Zahl zu kommenundwas rechnet man für diese Funktionen diePeriode eins haben man rechnetdie ersteKomplex Punkt jetzt mal die zweitedavon das integraldas volle Skalarprodukt seinBeistrich doch ?? vergleichewird das bei Vektoren hatten eins zwei dreimaldrei diedreißig drei sieben neunwareinmal drei plus zwei mal sieben Plusdrei mal neun ich hoffe dassieht doch gewisse Ähnlichkeitenerkennen könnenich nehmean der Stelle null zu sagenvon dem einen von dem anderenProduktdann sozusagen an der Stelle einsvon dem einen von dem anderenProduktan der Stellezweivon dem einen von dem andernProduktgroß entsteht auch hier an der Stelle T von dem eine von anderen Produkt das ganze summierenbei herrlichen ?? sind vielevon denen lediglich die Summe sondern das integralhoffe das es nicht ganz unlogisch ist das und Ausdruck dabei auftauchenmussdieses Komplex korrigieren ist wahrscheinlich am schwierigsten zu begründenKomma die Analogiewiederholtdie vorderste Stelleweiter anguckenmittlere Stelle bei der Ankunft effizientereStelle bei ziehen und zusammen addieren das Addierenmacht jetzt das integralweil zu viele haben die zu integrieren?? Anschaulichdebattepassieren magund hier wird immer modifiziertereine mal die Anlagean allen Stellendurch dieses Tee durchdas Komplex korrigierenwenn sie sich erinnerneins plus drei I Komplex völlig etwa eins minus drei ?? bringen sich alle hieß und ersetzt sie durch minus dieses in vergleichbaremBetragbei ?? mit konvexen Zahlen gerechnet wird und ich trotzdem möchte das dieLängeeine reelle Zahl wirddurch diesen Trick der sich hierdas komplexe Turnier zu schreibensieht man gleichen Aktiondas ist also das Skalarproduktwas man sich angucktund nun kommtdie Mengedie daraus abgeleitetwirddie Länge einer Funktion ins Quadratganz analogzum Skalarproduktüblichen Zuschnittsstellte das Skalarproduktdes Dings mit sich selbst Außenvektoristoder seine Funktion ist das Skalarprodukt eines Dings mit sich selbst ?? die Länge parat seinund wenn ich das hin schreibesteht da das integral von null bis einsKomplex korrigiert meine Funktionmal meine Funktion ??DTund jetzt wird hoffentlich die Bedeutung von diesemKomplex korrigieren etwas klarerBeistrich um darüber ziehen zudiese beiden kann ich nämlich jetzt zusammenfassenbei denen sich noch alles in Form von Brüchen komplexer Zahlen da war das ein Trick wenn ich Rechner Hplus B MaliKomplex korrigiertmal A groß B Malisteht daA minus B Malivon Komplex korrigierenplus B Maliund das geht jetzt mit der dritten biologischen Formen das gibt QuadratminusQuadratB Quadratmacht A Quadratgroß B QuadratPatrick hatten schon mal beimTeilen konvexen Zahlenverwechselt Zahlmal Komplex fundiertesist die Menge der komplexen Zahl ins Quadratbereits alles Quadratdas imaginiert ins Quadrat das verbindlich das hier ist die Länge der komplexen ZahlF und Tins Quadrathier wird also zum Schlussdes Quadratder Funktion integriertBetragsquadratefunktionzudeshalb das Komplex korrigiert wenn es ?? Komplex korrigiert wäre für dich hier Murks rauskriegenKomma so kann ich sicher sein das wird eine reelle Zahl ohne wenn und aberdas hierSieber nach ?? ist nichts anderes als Wut Wiens querein Ding ins Quadratdie Länge eines Dings ins Quadratistdie Quadrategemitteltintegralin gewisser Weise ein Mittelwertwenn sie das rüber bringendie Länge meiner Funktionslängeim abstrakten Sinneist also die Wurzelaus null einsBetragsquadratan jeder StelleFunktiondas ist nichts anderesals was man anderswoWiens quer heißtaus demMittel des QuadratWiens quer aus dem Mittel des Quadrat die Wurzel gutwiewirdas hier istgut das ist nie das istSquaredancePunkt das ist nachher nichts anderes als der äh Messwertdie Länge was die Mathematiker denn als die Länge verkaufenist den Elektrotechnikerdanach ?? nicht anders als der FMS Wertinsofern ist das sogareinen eine nette Größe für alle Beteiligtendas ?? wird sich ein Vektorraum hat in dem die Längeder äh Messwert istmit Kamera schnell noch nachrechnen dass diese Funktion hiersich wunderbar verhalten wie die Standard Basisfunktioneninsbesondere rechnete sie alle die Anführungszeichen untenLänge Anführungszeichen obenim RMS Werteins habendas es billig nachzurechnen?? fünf?? ich Bildernunschreibe ich das malSinn viel zu schreiben von der Funktionmit der Kanaren lebt von dieser Funktion T wird abgebildet auf die zwo Pi IN TN eine ganze Zahlvon dieser Funktionmöchte ich die Längemüssen jetzt den RMS Wert habenanwelchem alles Quadrat aus was leichter istdas ?? das integral von null bis einsund nun rechne ich an jeder Stelledas Betragsquadratvon meinem FunktionswertBetragsquadratvon meinem Funktionswertwas ist das hier was ist das Betragsquadratvon ?? zwo Pi NTwegen Euler einsE hoch I mal einen Winkeldie komplexe Zahl mit der Länge eins mit diesem Winkelquadrateinsweiterhinsind die Krisen eins von null bis eins macht einsdie Länge ins Quadrat ist einsLänge ist eine positive Zahl also ist die Längedamit RMS werde selberdie Länge gleicheinsdie bei den Standard Basisvektorals diese Funktionenhier haben alle die Anführungszeichen untenLänge Anführungszeichen obeneinsletzte Geschichtedie stets alle aufeinander senkrechtwenn ich mir zwei davon nehme zwei verschiedenedavon nehmenund werde jetzt das Skalarproduktspäter Skalarproduktvon Tibet abgebildet auf EUzwoPi ähmT mitT wird abgebildet auf E hoch zwo PiähmTwenn sie dasbei den Simpsons setzt Basisvektorenim R drei machensie nur raus X mal Y Z malähm ideal aufeinander senkrecht befindliche netterweise raus diese Funktionenstehenim abstrakten Sinne eines abstrakten Sinne zugegebenermaßenaufeinandersenkrecht?? Definitionrechtlich hier das integral von null bis eins die ersteKomplex korrigiert zwo PiNTKomplex korrigiert mal die zweite Ehe Punktdie ähm TDTKomplex von Indien ja das ist die hoch minus zwo I N TI durch Minuswehr setzendie beiden zusammenfassenzweierPotenz inderselben Basissie addieren die Exponentendas macht also E hoch zwei PiI mal ähm minus indiedie beiden zusammenfassenvor Jahren die hoch minus dreizehn mal Ivovierzehngibt zusammen ?? vierzehntensdreizehnals zusammengefasst?? davon kann es sofort Stammfunktionangeben?? ich suche etwas was nach T abgeleitet das sie ergibt das wird wohl so was werden sie hoch zwei Pi IähmNT bisschen verzierensind kommtist sein Durchzugim Senwas ich davon gesagt habe ähm soll ich gleich in sein zwischen zwei verschiedeneFunktionenähm nicht gleich ähmdas wäre eine Stammfunktiondazudie Probe machennach T ableiten kriegen siedas nach dem sie das Jazz weiter nach vorne gibt sich mit einer stehenBezirksvereinmuss dann auchgemeinsam Faktor hier einst durch zwo Pi die ähm ISM vorne mal Klammer aufEinsetzen Juni zwo Piähmmal einsminus E hochnulldass sie hintendie Null macht eins und dass wir vornehier wenden sie wieder Euler andie hoch I mal einen Winkelverwechselt Zahl ?? eins und diesen Winkelwas ist das für ein Winkelzweigdieganze Umdrehung mal in mindestensich nehmeeine komplexe Zahl mit dem Winkelähm minus ähm ganze Umdrehungenähm dieses ähm ganze Umdrehungenwas kommt raus überraschenderweisewieder eins und das heißt das Ganze ist nulldiese Skalarproduktdieses total schräge Skalarproduktbei diesen beiden Dingennulldas heißt die verhalten sich wirklichwie die üblichen Standard Basisfunktionenwar das verstanden hat ist der Rest total simpel beigesetzt