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28A.2 Mittelwertbildung verringert Varianz und Standardabweichung


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetzt – kennen Sie das aus der Physik – das man mehrmals – misst und dann den Mittelwert bildet – um die Schwankung – kleiner zu machen – wenn ich – zufällige – Fehler habe – mäßig einfach häufig – und bildet dann – den Mittelwert – um dieses zufälligen Fehler – in der Wirkung etwas rauszunehmen – das kann jetzt ausrechnen wie stark – die Schwankung dadurch sinkt – und es hat vorab aber folgendes – an – was ist die Varianz – einer Summe – zweier Zufallsgrößen – versüßen Hilfsmittel was man dafür verwenden kann die Varianz – der Summe nicht einer Summe sieben eine Summe Bayerns der Summe – zweier Zufallsgrößen – X plus Y – an – die soll die Varianz Sigmaex – Quadrat haben die soll die Varianz Sigma Y – Quadrat haben – und die beiden Zufallsgrößen – sollen unabhängig sein ich will jetzt nicht die mathematische Definition von unabhängig an der Stelle bringen – ähm – das was man sich unter vorstellt die Augenzahl auf dem einen Würfel die Augenzahl auf dem anderen Würfel – das – wäre die Bedeutung von um unabhängig – nicht unabhängig wäre ✂ ja das Beispiel gerade – Komma Bowling – X ist wie viel Kugeln heimisch irgend ein Spieler beim – ersten Wurf – erwischt Y wie Federer zweiten Wurf erwischt mindesten guter Spieler es werden beide groß seine zu schlechte Spielers werden beide klein seien die wäre nicht unabhängig – voneinander – ähm – bei den üblichen Fehlern beim Essen – in den gleichen physikalischen Experimenten – geht man davon aus das die – unabhängig voneinander passieren es sei denn man hat guten Grund dafür dass sie unabhängig voneinander sind – so von dieser Summe möchte ich jetzt die Varianz ausrechnen – das heißt ich gucke mir an den Erwartungswert – von – letzter was die Varianz ist die Varianz ist – ?? – Erwartungswert – vom Quadrat minus Quadrat vom Erwartungswert – das Schreiben jetzt für diese Summe hin Punkt sie machen eine Experiment – Millionen Mal – messen eine Größe jeweils gemessen andere Größe und was sie aufschreiben – ist die Summe dieser beiden – und die Varianz kriegen sie jetzt in dem sie die Summe nehmen – und Quadrieren – davon den Mittelwert minus – der Erwartungswert – der Summe verliert – sich dieselbe Formel wie eben jetzt auf die Summe angewendet – was ist die Varianz einer Zufallsgröße – es ist der Erwartungswert – dieser Zufallsgröße – auch das Quadrat hingeschrieben – soll – es ist der Erwartungswert – dieser Zufallsgröße – ins Quadrat – dieses hier – minus das Quadrat des Erwartungswert – dieser Zufallsgröße – egal wie die Zufallsgröße – nun heißt in diesem Fall heiße Zufallsgröße X plus Y – an – und nun kann man war das ein quadratisches – Netz dieser einzelnen Therme auseinandernehmen – hier vorne – steht also – ?? Wasserfall Inderin – innen drin mit dem Quadrat steht da das Quadrat von X plus zweimal X – Y plus das Quadrat von Y – Genome – hinten auch – ich muss besten Erwartungswert auseinandernehmen – Erwartungswert – einer Summe ist Erwartungswert vom ersten – Brust Erwartungswert vom zweiten – ?? sind genauso auseinandernehmen – das Quadrat dieser Summe – mit den also werden Erwartungswert – von X – Quadrat – plus zweimal der Erwartungswert – von X – mal Erwartungswert – von Y – plus – Erwartungswert – von Y – ins Quadrat – hoffe dass irgendwelche – dieser Trümmer zusammen sortieren kann – mal sehen hier vorne haben bei den Erwartungswert – von X – Quadrat – plus – hier kommt jetzt zweimal der Erwartungswert – von X – mal Y – plus der Erwartungswert – von – Y – ins Quadrat – sehen kommt minus der Erwartungswert – von X – ins Quadrat – minus zweimal das Produkt – minus – hinein – so – ?? Bayer – das sieht er ✂ trümmermäßig – aus können sie irgendwas darin wieder erkennen – alle der erste hier der müsste einem auffallen – das Mittel vom Quadrat – minus das Quadrat vermittelt hier vorne steht die Varianz – Sigma Quadrat von X – hier Hintenmittel – vom Quadrat Sinus das Quadrat vermittelt dir steht die Varianz von Y – und den in der Mitte ?? muss man jetzt – wegdiskutieren – Lustigerweise – fliegt er raus wenn X und Y – unabhängig sind nicht miteinander zu tun haben – dann können Sie lustigerweise – den Erwartungswert – des Produkts schreiben als das Produkt Erwartungswert – das geht nicht immer lassen sich mal ganz dringend sagen – wenn sie Dinge zum Beispiel haben wir Erwartungswert – von X – mal X – dann ist das im allgemeinen nicht dasselbe wie der Erwartungswert – von X – mal der Erwartungswert – von X – das haut nicht hin im allgemeinen – eher – billige Idee für ein Gegenbeispiel – das ich in der Situation – in den Erwartungswert nicht auseinandernehmen – kann – Komma was auf wenn ihr X – folgende Verteilung hat – ähm – es ist minus eins – mit einer bestimmten Häufigkeit – und mit derselben Häufigkeit – auch plus eins und sonst nichts – warum klappt das Ion nämlich – genau für diese Zufallsgröße – ist der Schwerpunkt eh von X null zwangsläufig – in das Mitteln – fünf hundert tausend mal ein zwei tausend ?? minus eins – Süchtigen auf Langstrecken null raus für den Erwartungswert – aber das Quadrat dieser Zufallsgröße – wenn immer nur plus einzelne minus eins ist das Quadrat der Tourismus ist immer plus eins – Erwartungswert – von immer plus eins ist eins und ein sie sich beim besten Willen nicht – das Produkt aus null null – sie können nicht – in jedem Fall – auf diese Weise ein Produkt im Erwartungswert zerlegen – wenn einer ?? Konstante ist dreimal X dann können Sie die drei rausziehen – ?? aber wenn beides Zufallsgrößen – sind dann wird's heikel – ich darf das aber tun wenn diese beiden Zufallsgrößen wie hier X und Y – wenn die unabhängig – sind dann darf ich das tun liefert noch ein bisschen mehr – erklären warum das da plötzlich geht das in der Mitte ist null – File – X und Y unabhängig sein sollen – zwei unabhängige Zufallsgrößen – haben – dann ist Erwartungswert des Produkts gleich dem Produkt der Erwartungswerte – bei denen sich unabhängige Ereignisse – dadurch die Wahrscheinlichkeit – dass beides passiert – halt SA und des eigens die Schnittmenge Ereignisse – die Wahrscheinlichkeit des Bades passiert war das Produkt der Wahrscheinlichkeiten – bei unabhängigen Ereignissen – bei unabhängigen – Zufallsgrößen – zulässigerweise – dasselbe aber dann für die Erwartungswert – der Erwartungswert des Produkts für das Produkt Erwartungswert – an – seiner bisschen mehr auseinandernehmen – wieso das passiert – immer folgendes aufschreiben – der Erwartungswert – von – X minus seinen Erwartungswert – mal – Y minus – seinen Erwartungswert – nennst es glaube ich – leichter zu verstehen diese Erwartungswert – der sollte – Null sein ich gucke mir an Weinen geht X nach oben damit das bloß oder nach unten damit das negativ mal angeht Y nach oben oder wann Gibson nach unten dann wie dieses hier positiv oder negativ – das sollte sich auf lange Sicht ergeben das sollte null werden – dann nehmen Sie diesen Ausdruck hier – kann man ausführliche sich vor so kommt man drauf den Ausdruck nehmen Sie buchstabieren den außen hin genau das ist die Erwartungswert des Produkts gleich dem Produkt Erwartungswert – sein – okay Wassermassen gelehrt – die Summe – zweier – unabhängiger – Zufallsgrößen – hat eine ganz billige Varianz – ist einfach die Summe der Varianten – Big Macs forderte Sigma Y Quadrat – im Addieren von Zufallsgrößen – die unabhängig sind addieren sich die Varianz – das ist ein großer Trick addieren sich die Varianz – sind ja die Quadrate der Abweichung eskalieren sind nicht die Abweichungen – sondern die Quadrate – der abweichen dass es vom sie bei der Fehlerrechnung – an dieser Stelle lassen – sich Wurzeln haben – einen – weil die Abweichung – ich jetzt hier habe die Standardabweichung – von dem hier – wird die Wurzel seien aus Sigma X Quadrat plus Sigma Y Quadrat – schreibt das noch mal hin die Standardabweichung – war das in der Physik Dinge auch häufiger vorkommt dann die Standardabweichung – von – X plus Y – wenn sie zwei addieren wird sein – die Summe von – der Standardabweichung – von X ins Quadrat – plus – der – Y ins Quadrat und daraus die Wurzel das ist eher die Varianz das Quadrat der Standardabweichung – dieses hier sind sie ganz häufig in der Wiener ?? in der Physik denke ich – die Fehler quadratisch – summiert und dann die Wurzel das ist ?? Standardabweichung – rechtlich mit größten Fehlern sondern Standardabweichungen – typischen Fehlern haben die Quadrat und wurzeln – so die Folterwein draufhinaus warum denn durch Mitteln – das ganze besser wird – was passiert wenn ich hundertmal messe – und damit warum sinkt die – Schwankung – das vergessenen Hilfsmittel dass die Summe – bei der Summe – die Varianten auch addiert werden – das möchte ich nun machen Messe – hundertmal – und werde den Mittelwert – und ?? frage ich mich was passiert mit der Schwankung – oder erst mal – was ist die Varianz – von der Zufallsgröße – Dichter habe das Essen sehr eigenwillige Zufallsgröße – nun – ich habe nicht mehr ein einzelnes Experiment – und nehme davon das Ergebnis – sondern ich mache hundert Experimente – und Bilder von den Mittelwert dass ein großes Experiment – trachte nicht meine kleinen Experimente – sondern mein großes Experiment ist mache hundert kleine Experiment – und das liefert einen Wert und dann mach ich noch mal hundert ?? Instrumente – das sie ein wird und noch mal hundert und so weiter – das ist meine neue Zufallsgröße – entsteht in dem ich hundert mal – ein anderes Experiment machen – und was sie wissen ist dass diese Größe die da rauskommt – besser ist – weniger schwankend – als die Diebe vorher hatten aber um wie viel das möchte ich jetzt ausrechnen – können erst mal die Varianz – so hinschreiben was sollte die Varianz sein von – X eins – plus X zwei – plus und so weiter – X hundert dass meine hundert Messergebnisse – durch hundert – schreibt das mal so – diese X eins bis sechs hundert ist mein kleines Experiment – das ursprüngliche Experiment – und die Zufallsgröße meines neuen Experiments – ist hundertmal das kleine Experiment zu machen und den Mittelwert zu bilden kann ich wieder nach der Schwankungsfragen – was das in erster mit der hundert hier wie kann ich die hundert Nachforderungen – gestört mich ich habe schon was über – ähm – die Varianz einer Summe – Punkt bin dann sofort anziehen wenn ich es schaffe die hundert nach vorne zu und wickeln Sie die hundert aus der Varianz rausgeholt ✂ mal hin was passiert wenn ich meinen Zufallsgröße – von Doppler was passiert mit der Varianz nehmen Sie hier den Würfel – aber immer das doppelte zwei – zehn – zwölf – acht – sechs – vier zwei vier – ich nehme – das Ergebnis vom Würfel verdoppelt es aber – was passiert mit der Standardabweichung – und was passiert mit der Varianz wenn ich das mache immer das die doppelte Zahl nehmen ✂ wenn sie jeden Wert mal zwei nehmen wird in der Tat an die Standardabweichung – verdoppelt – die Abweichungen vom Mittel – sind dann ja auch – fünf Komma null drei Komma fünf fünf Komma null eins Komma null oder minus fünf Komma null – die Abweichung vom Mittel sind verdoppelt – dann muss die Standardabweichung – auch verdoppelt sein wenn sie Originalgröße – verdoppeln – und die – Varianz – muss Quadrat – vervierfacht sein – wenn sie ihre Zufallskurse verdoppeln wir die Varianz vervierfacht sein – wenn sie ihre Zufallsgröße – durch hundert Teilen passiert was mit der Varianz ✂ Zufallsgröße mal drei Varianz mal neun die Zufallsgröße – mal sehen – Varianz mal hundert – die Zufallsgröße durch hundert Varianz durch zehn tausend – ähm – ein Zehntausendstel – wenn sich in den Meta haben komme bei der Varianz Quadratmeter – Haus – eins – ein Hundertstel Meter haben sie ein Zehntausendstel – Quadratmeter – äh ein Zehntausendstel – von der Varianz – von X eins – plus X zwei – plus plus plus plus X hundert so – jetzt kommen Hilfsmittel von eben – wenn ich davon ausgehe dass diese Messungen alle – unabhängig voneinander sind das die Fehler – die ich bei dem einen Versuch mache – statistisch unabhängig sind von den widerlich bei dem nächsten Miniversuch hier mache – was Beistrich hundertprozentig wahr ist aber schon eine gute Näherung – nicht lauter statistische Fehler habe das die alle unabhängig voneinander sind dann darf ich jetzt sagen die Varianz von denen hier Aha – müssen wir schon die Varianz einer Summe – hatte ausgerechnet – die Varianz einer Summe ist die Summe der Varianz – wenn dies summierten Zufallsgrößen – abhängig sind das heißt hier steht – das ist die Varianz – von X eins – plus plus plus plus plus die Varianz – von X ein hundert – im Ergebnis des hundertsten Experiments – die müssen sich addieren diese Varianten – kann ich das billiger schreiben – die Varianz von X eins plus die Varianz von X zwei – ?? sechs hundert ist hundertmal dasselbe Experiment ✂ ich wiederhole immer dasselbe Experiment das ist der Trick das heißt – die Schwankung des ersten ist die Schwankung des zweiten ist die Schwankung des Dritten ist die Schwankung des hundertsten alte Varianz müssen gleich groß sein es immer dasselbe Experiment ist – also steht da zum Schluss hundertmal – die Varianz – dabei fixiert – die Varianz von X – die Varianz eines Experiments – hundertmal – steht dahinter man dann sehen sie was zum Schluss bleibt – zum Schluss haben sie hundert durch zehn tausend als ein Hundertstel – ein hundertste – Mal die Varianz des ursprünglichen Experiments – wenn sie hundertmal messen und den Mittelwert bilden – ist die Varianz um den Faktor ein hundert so runter – durch diese Überlegung – Mitregisters – diese hundertsten hier im Männerquadrat – rauskommt weil die Varianzimpfung – Quadrat hinten hat – er – aber die Schwankung innen drin – im Faktor hundert rauskommt weil die Varianz einer Summe von – unabhängigen Zufallsgrößen – die Summe – der Varianzminister – kommt nur der Faktor hundert und zum Schluss gewinnt ein Faktor hundert unten – das es – das was man gewinnt in dem man mehrfach misst sich nicht nur hundertmal – sieht das Beispiel hundert mal genommen – hundertmal messen ist die – Varianz des statistischen Fehlers und Faktor hundert runter gegenüber einem – Experiment – und das heißt für die – Standardabweichung – Abweichung – von den Mittelwert – was passiert mit der Standardabweichung ✂ da kommt jetzt wirklich das einzige genau – das ist ein Zehntel mal die ursprüngliche – Standardabweichung – die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung – sie wenn sie das Quadrieren sehen Sie ein hundertste Sigma X Quadrat änderte Sigma X Quadrat – so – also – wenn ich – hundertmal messe – und den Mittelwert Bilder – ist der zufällige Fehler ein Zehntel – von den den ich vorher hatte – das ist jetzt kein super geniales Verfahren um seine Fehler runterzudrücken – am – hundertmal messen – bringt mir eine Dezimalstelle – sehr aufwendig der Wille hier neun Meßapparat kaufen statt dass ich hundertmal messe – Amt – wenn man sich ganz so häufig macht wenn sie fünf mal sechs mal sieben mal zehn mal messen rentiert es sich rentiert es sich er aber der Nutzen wird kleiner und kleiner durch diese Wurzel – wird der Nutzen kleiner kleiner in der Messungen macht – ähm – insofern ist das kein Verfahren mehrfach messen – ist kein Verfahren mit wahnsinnigen Genauigkeiten zu erreichen – und nebenbei Hammers und Bar Randbedingungen – eingebaut die Fehler die welche haben – müssen alle – unabhängig voneinander sein – stellen sich vor der Fehler hängt super genau Messungen machen fängt der Fehler vielleicht von den Gezeiten ?? – Anziehungskraft des Mondes – dann – das irgendwas in der Apparatur mehr auseinandergezogen – wird oder mir weniger auseinandergezogen – wird und sie machen diese hundert Messungen alle tagsüber – dann haben Sie natürlich diese – nicht – unabhängig voneinander – und was sie nicht drin haben – sind – nicht zufällige Fehler – wenn ihr Messgerät falsch geeicht ist – und das die ganze Zeit einen Wert anzeigte um null Komma eins daneben ist es jeder von diesen hundert mehrten um null Komma eins daneben – können Sie so oft messen wie sie wollte nur komm eins ging sie niemals raus – sodass ich nicht zu viel versprechen von dem er Fachmessen – ein paarmal messen zehnmal messen – ist gleich noch okay aber alles darüber hinaus bringt wirklich etwas – in – Edwin ich nicht ganz zur Normalverteilung – bekommen – Komma vertagen – immer diese Idee jetzt weiter treibt – Mittelwerte bilden – Komma zur Normalverteilung – man sich anguckt wie sich denn so einen Mittelwert verteilt – sieht man dass sich der mehr und mehr in Richtung dieser Glockenkurve zieht – mal fast zum Sommer gerade auf – am Anfang haben sie irgendwelche fürchterlichen Verteilungen – sie nur einmal messen – jetzt leichte Wert den sie haben wollen drei Komma eins vier – haben – und hier ist vielleicht – dann – muss man so ist gleich drei Komma null – kleines M vor drei Komma fünf sehr weit zurück in so eine Verteilung – wenn sie es anfangen Mittelwerte zu bilden – wird sich das mehr und mehr – auf eine immer – schärfere – Glockenkurve hinziehen das ist der zentrale Grenzwertsatz – und die Glockenkurve die dann entsteht – ist die Normalverteilung – die gucken uns dann – nächstes Mal an