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28A.2 Mittelwertbildung verringert Varianz und Standardabweichung


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetztkennen Sie das aus der Physikdas man mehrmalsmisst und dann den Mittelwert bildetum die Schwankungkleiner zu machenwenn ichzufälligeFehler habemäßig einfach häufigund bildet dannden Mittelwertum dieses zufälligen Fehlerin der Wirkung etwas rauszunehmendas kann jetzt ausrechnen wie starkdie Schwankung dadurch sinktund es hat vorab aber folgendesanwas ist die Varianzeiner Summezweier Zufallsgrößenversüßen Hilfsmittel was man dafür verwenden kann die Varianzder Summe nicht einer Summe sieben eine Summe Bayerns der Summezweier ZufallsgrößenX plus Yandie soll die Varianz SigmaexQuadrat haben die soll die Varianz Sigma YQuadrat habenund die beiden Zufallsgrößensollen unabhängig sein ich will jetzt nicht die mathematische Definition von unabhängig an der Stelle bringenähmdas was man sich unter vorstellt die Augenzahl auf dem einen Würfel die Augenzahl auf dem anderen Würfeldaswäre die Bedeutung von um unabhängignicht unabhängig wäreja das Beispiel geradeKomma BowlingX ist wie viel Kugeln heimisch irgend ein Spieler beimersten Wurferwischt Y wie Federer zweiten Wurf erwischt mindesten guter Spieler es werden beide groß seine zu schlechte Spielers werden beide klein seien die wäre nicht unabhängigvoneinanderähmbei den üblichen Fehlern beim Essenin den gleichen physikalischen Experimentengeht man davon aus das dieunabhängig voneinander passieren es sei denn man hat guten Grund dafür dass sie unabhängig voneinander sindso von dieser Summe möchte ich jetzt die Varianz ausrechnendas heißt ich gucke mir an den Erwartungswertvonletzter was die Varianz ist die Varianz ist??Erwartungswertvom Quadrat minus Quadrat vom Erwartungswertdas Schreiben jetzt für diese Summe hin Punkt sie machen eine ExperimentMillionen Malmessen eine Größe jeweils gemessen andere Größe und was sie aufschreibenist die Summe dieser beidenund die Varianz kriegen sie jetzt in dem sie die Summe nehmenund Quadrierendavon den Mittelwert minusder Erwartungswertder Summe verliertsich dieselbe Formel wie eben jetzt auf die Summe angewendetwas ist die Varianz einer Zufallsgrößees ist der Erwartungswertdieser Zufallsgrößeauch das Quadrat hingeschriebensolles ist der Erwartungswertdieser Zufallsgrößeins Quadratdieses hierminus das Quadrat des Erwartungswertdieser Zufallsgrößeegal wie die Zufallsgrößenun heißt in diesem Fall heiße Zufallsgröße X plus Yanund nun kann man war das ein quadratischesNetz dieser einzelnen Therme auseinandernehmenhier vornesteht also?? Wasserfall Inderininnen drin mit dem Quadrat steht da das Quadrat von X plus zweimal XY plus das Quadrat von YGenomehinten auchich muss besten Erwartungswert auseinandernehmenErwartungswerteiner Summe ist Erwartungswert vom erstenBrust Erwartungswert vom zweiten?? sind genauso auseinandernehmendas Quadrat dieser Summemit den also werden Erwartungswertvon XQuadratplus zweimal der Erwartungswertvon Xmal Erwartungswertvon YplusErwartungswertvon Yins Quadrathoffe dass irgendwelchedieser Trümmer zusammen sortieren kannmal sehen hier vorne haben bei den Erwartungswertvon XQuadratplushier kommt jetzt zweimal der Erwartungswertvon Xmal Yplus der ErwartungswertvonYins Quadratsehen kommt minus der Erwartungswertvon Xins Quadratminus zweimal das Produktminushineinso?? Bayerdas sieht ertrümmermäßigaus können sie irgendwas darin wieder erkennenalle der erste hier der müsste einem auffallendas Mittel vom Quadratminus das Quadrat vermittelt hier vorne steht die VarianzSigma Quadrat von Xhier Hintenmittelvom Quadrat Sinus das Quadrat vermittelt dir steht die Varianz von Yund den in der Mitte ?? muss man jetztwegdiskutierenLustigerweisefliegt er raus wenn X und Yunabhängig sind nicht miteinander zu tun habendann können Sie lustigerweiseden Erwartungswertdes Produkts schreiben als das Produkt Erwartungswertdas geht nicht immer lassen sich mal ganz dringend sagenwenn sie Dinge zum Beispiel haben wir Erwartungswertvon Xmal Xdann ist das im allgemeinen nicht dasselbe wie der Erwartungswertvon Xmal der Erwartungswertvon Xdas haut nicht hin im allgemeineneherbillige Idee für ein Gegenbeispieldas ich in der Situationin den Erwartungswert nicht auseinandernehmenkannKomma was auf wenn ihr Xfolgende Verteilung hatähmes ist minus einsmit einer bestimmten Häufigkeitund mit derselben Häufigkeitauch plus eins und sonst nichtswarum klappt das Ion nämlichgenau für diese Zufallsgrößeist der Schwerpunkt eh von X null zwangsläufigin das Mittelnfünf hundert tausend mal ein zwei tausend ?? minus einsSüchtigen auf Langstrecken null raus für den Erwartungswertaber das Quadrat dieser Zufallsgrößewenn immer nur plus einzelne minus eins ist das Quadrat der Tourismus ist immer plus einsErwartungswertvon immer plus eins ist eins und ein sie sich beim besten Willen nichtdas Produkt aus null nullsie können nichtin jedem Fallauf diese Weise ein Produkt im Erwartungswert zerlegenwenn einer ?? Konstante ist dreimal X dann können Sie die drei rausziehen?? aber wenn beides Zufallsgrößensind dann wird's heikelich darf das aber tun wenn diese beiden Zufallsgrößen wie hier X und Ywenn die unabhängigsind dann darf ich das tun liefert noch ein bisschen mehrerklären warum das da plötzlich geht das in der Mitte ist nullFileX und Y unabhängig sein sollenzwei unabhängige Zufallsgrößenhabendann ist Erwartungswert des Produkts gleich dem Produkt der Erwartungswertebei denen sich unabhängige Ereignissedadurch die Wahrscheinlichkeitdass beides passierthalt SA und des eigens die Schnittmenge Ereignissedie Wahrscheinlichkeit des Bades passiert war das Produkt der Wahrscheinlichkeitenbei unabhängigen Ereignissenbei unabhängigenZufallsgrößenzulässigerweisedasselbe aber dann für die Erwartungswertder Erwartungswert des Produkts für das Produkt Erwartungswertanseiner bisschen mehr auseinandernehmenwieso das passiertimmer folgendes aufschreibender ErwartungswertvonX minus seinen ErwartungswertmalY minusseinen Erwartungswertnennst es glaube ichleichter zu verstehen diese Erwartungswertder sollteNull sein ich gucke mir an Weinen geht X nach oben damit das bloß oder nach unten damit das negativ mal angeht Y nach oben oder wann Gibson nach unten dann wie dieses hier positiv oder negativdas sollte sich auf lange Sicht ergeben das sollte null werdendann nehmen Sie diesen Ausdruck hierkann man ausführliche sich vor so kommt man drauf den Ausdruck nehmen Sie buchstabieren den außen hin genau das ist die Erwartungswert des Produkts gleich dem Produkt Erwartungswertseinokay Wassermassen gelehrtdie SummezweierunabhängigerZufallsgrößenhat eine ganz billige Varianzist einfach die Summe der VariantenBig Macs forderte Sigma Y Quadratim Addieren von Zufallsgrößendie unabhängig sind addieren sich die Varianzdas ist ein großer Trick addieren sich die Varianzsind ja die Quadrate der Abweichung eskalieren sind nicht die Abweichungensondern die Quadrateder abweichen dass es vom sie bei der Fehlerrechnungan dieser Stelle lassensich Wurzeln habeneinenweil die Abweichungich jetzt hier habe die Standardabweichungvon dem hierwird die Wurzel seien aus Sigma X Quadrat plus Sigma Y Quadratschreibt das noch mal hin die Standardabweichungwar das in der Physik Dinge auch häufiger vorkommt dann die StandardabweichungvonX plus Ywenn sie zwei addieren wird seindie Summe vonder Standardabweichungvon X ins QuadratplusderY ins Quadrat und daraus die Wurzel das ist eher die Varianz das Quadrat der Standardabweichungdieses hier sind sie ganz häufig in der Wiener ?? in der Physik denke ichdie Fehler quadratischsummiert und dann die Wurzel das ist ?? Standardabweichungrechtlich mit größten Fehlern sondern Standardabweichungentypischen Fehlern haben die Quadrat und wurzelnso die Folterwein draufhinaus warum denn durch Mittelndas ganze besser wirdwas passiert wenn ich hundertmal messeund damit warum sinkt dieSchwankungdas vergessenen Hilfsmittel dass die Summebei der Summedie Varianten auch addiert werdendas möchte ich nun machen Messehundertmalund werde den Mittelwertund ?? frage ich mich was passiert mit der Schwankungoder erst malwas ist die Varianzvon der ZufallsgrößeDichter habe das Essen sehr eigenwillige Zufallsgrößenunich habe nicht mehr ein einzelnes Experimentund nehme davon das Ergebnissondern ich mache hundert Experimenteund Bilder von den Mittelwert dass ein großes Experimenttrachte nicht meine kleinen Experimentesondern mein großes Experiment ist mache hundert kleine Experimentund das liefert einen Wert und dann mach ich noch mal hundert ?? Instrumentedas sie ein wird und noch mal hundert und so weiterdas ist meine neue Zufallsgrößeentsteht in dem ich hundert malein anderes Experiment machenund was sie wissen ist dass diese Größe die da rauskommtbesser istweniger schwankendals die Diebe vorher hatten aber um wie viel das möchte ich jetzt ausrechnenkönnen erst mal die Varianzso hinschreiben was sollte die Varianz sein vonX einsplus X zweiplus und so weiterX hundert dass meine hundert Messergebnissedurch hundertschreibt das mal sodiese X eins bis sechs hundert ist mein kleines Experimentdas ursprüngliche Experimentund die Zufallsgröße meines neuen Experimentsist hundertmal das kleine Experiment zu machen und den Mittelwert zu bilden kann ich wieder nach der Schwankungsfragenwas das in erster mit der hundert hier wie kann ich die hundert Nachforderungengestört mich ich habe schon was überähmdie Varianz einer SummePunkt bin dann sofort anziehen wenn ich es schaffe die hundert nach vorne zu und wickeln Sie die hundert aus der Varianz rausgeholtmal hin was passiert wenn ich meinen Zufallsgrößevon Doppler was passiert mit der Varianz nehmen Sie hier den Würfelaber immer das doppelte zweizehnzwölfachtsechsvier zwei vierich nehmedas Ergebnis vom Würfel verdoppelt es aberwas passiert mit der Standardabweichungund was passiert mit der Varianz wenn ich das mache immer das die doppelte Zahl nehmenwenn sie jeden Wert mal zwei nehmen wird in der Tat an die Standardabweichungverdoppeltdie Abweichungen vom Mittelsind dann ja auchfünf Komma null drei Komma fünf fünf Komma null eins Komma null oder minus fünf Komma nulldie Abweichung vom Mittel sind verdoppeltdann muss die Standardabweichungauch verdoppelt sein wenn sie Originalgrößeverdoppelnund dieVarianzmuss Quadratvervierfacht seinwenn sie ihre Zufallskurse verdoppeln wir die Varianz vervierfacht seinwenn sie ihre Zufallsgrößedurch hundert Teilen passiert was mit der VarianzZufallsgröße mal drei Varianz mal neun die Zufallsgrößemal sehenVarianz mal hundertdie Zufallsgröße durch hundert Varianz durch zehn tausendähmein Zehntausendstelwenn sich in den Meta haben komme bei der Varianz QuadratmeterHauseinsein Hundertstel Meter haben sie ein ZehntausendstelQuadratmeteräh ein Zehntausendstelvon der Varianzvon X einsplus X zweiplus plus plus plus X hundert sojetzt kommen Hilfsmittel von ebenwenn ich davon ausgehe dass diese Messungen alleunabhängig voneinander sind das die Fehlerdie ich bei dem einen Versuch machestatistisch unabhängig sind von den widerlich bei dem nächsten Miniversuch hier machewas Beistrich hundertprozentig wahr ist aber schon eine gute Näherungnicht lauter statistische Fehler habe das die alle unabhängig voneinander sind dann darf ich jetzt sagen die Varianz von denen hier Ahamüssen wir schon die Varianz einer Summehatte ausgerechnetdie Varianz einer Summe ist die Summe der Varianzwenn dies summierten Zufallsgrößenabhängig sind das heißt hier stehtdas ist die Varianzvon X einsplus plus plus plus plus die Varianzvon X ein hundertim Ergebnis des hundertsten Experimentsdie müssen sich addieren diese Variantenkann ich das billiger schreibendie Varianz von X eins plus die Varianz von X zwei?? sechs hundert ist hundertmal dasselbe Experimentich wiederhole immer dasselbe Experiment das ist der Trick das heißtdie Schwankung des ersten ist die Schwankung des zweiten ist die Schwankung des Dritten ist die Schwankung des hundertsten alte Varianz müssen gleich groß sein es immer dasselbe Experiment istalso steht da zum Schluss hundertmaldie Varianzdabei fixiertdie Varianz von Xdie Varianz eines Experimentshundertmalsteht dahinter man dann sehen sie was zum Schluss bleibtzum Schluss haben sie hundert durch zehn tausend als ein Hundertstelein hundertsteMal die Varianz des ursprünglichen Experimentswenn sie hundertmal messen und den Mittelwert bildenist die Varianz um den Faktor ein hundert so runterdurch diese ÜberlegungMitregistersdiese hundertsten hier im Männerquadratrauskommt weil die VarianzimpfungQuadrat hinten hateraber die Schwankung innen drinim Faktor hundert rauskommt weil die Varianz einer Summe vonunabhängigen Zufallsgrößendie Summeder Varianzministerkommt nur der Faktor hundert und zum Schluss gewinnt ein Faktor hundert untendas esdas was man gewinnt in dem man mehrfach misst sich nicht nur hundertmalsieht das Beispiel hundert mal genommenhundertmal messen ist dieVarianz des statistischen Fehlers und Faktor hundert runter gegenüber einemExperimentund das heißt für dieStandardabweichungAbweichungvon den Mittelwertwas passiert mit der Standardabweichungda kommt jetzt wirklich das einzige genaudas ist ein Zehntel mal die ursprünglicheStandardabweichungdie Varianz ist das Quadrat der Standardabweichungsie wenn sie das Quadrieren sehen Sie ein hundertste Sigma X Quadrat änderte Sigma X Quadratsoalsowenn ichhundertmal messeund den Mittelwert Bilderist der zufällige Fehler ein Zehntelvon den den ich vorher hattedas ist jetzt kein super geniales Verfahren um seine Fehler runterzudrückenamhundertmal messenbringt mir eine Dezimalstellesehr aufwendig der Wille hier neun Meßapparat kaufen statt dass ich hundertmal messeAmtwenn man sich ganz so häufig macht wenn sie fünf mal sechs mal sieben mal zehn mal messen rentiert es sich rentiert es sich er aber der Nutzen wird kleiner und kleiner durch diese Wurzelwird der Nutzen kleiner kleiner in der Messungen machtähminsofern ist das kein Verfahren mehrfach messenist kein Verfahren mit wahnsinnigen Genauigkeiten zu erreichenund nebenbei Hammers und Bar Randbedingungeneingebaut die Fehler die welche habenmüssen alleunabhängig voneinander seinstellen sich vor der Fehler hängt super genau Messungen machen fängt der Fehler vielleicht von den Gezeiten ??Anziehungskraft des Mondesdanndas irgendwas in der Apparatur mehr auseinandergezogenwird oder mir weniger auseinandergezogenwird und sie machen diese hundert Messungen alle tagsüberdann haben Sie natürlich diesenichtunabhängig voneinanderund was sie nicht drin habensindnicht zufällige Fehlerwenn ihr Messgerät falsch geeicht istund das die ganze Zeit einen Wert anzeigte um null Komma eins daneben ist es jeder von diesen hundert mehrten um null Komma eins danebenkönnen Sie so oft messen wie sie wollte nur komm eins ging sie niemals raussodass ich nicht zu viel versprechen von dem er Fachmessenein paarmal messen zehnmal messenist gleich noch okay aber alles darüber hinaus bringt wirklich etwasinEdwin ich nicht ganz zur NormalverteilungbekommenKomma vertagenimmer diese Idee jetzt weiter treibtMittelwerte bildenKomma zur Normalverteilungman sich anguckt wie sich denn so einen Mittelwert verteiltsieht man dass sich der mehr und mehr in Richtung dieser Glockenkurve ziehtmal fast zum Sommer gerade aufam Anfang haben sie irgendwelche fürchterlichen Verteilungensie nur einmal messenjetzt leichte Wert den sie haben wollen drei Komma eins vierhabenund hier ist vielleichtdannmuss man so ist gleich drei Komma nullkleines M vor drei Komma fünf sehr weit zurück in so eine Verteilungwenn sie es anfangen Mittelwerte zu bildenwird sich das mehr und mehrauf eine immerschärfereGlockenkurve hinziehen das ist der zentrale Grenzwertsatzund die Glockenkurve die dann entstehtist die Normalverteilungdie gucken uns dannnächstes Mal an