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02.2.2.2 Skalarprodukt Teil 2, Orthogonalität


CC-BY-NC-SA 3.0

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das Skalarproduktzweiter TeilanPunkt wir haben angefangen ?? bin erzählt sie mögen bitte alles vergessen was über Skalarproduktwissen undeinfach malso ?? dumme Definitionnehmen Reihen aus derAlgebra heraus einfach nur rechnerischdie animalische Definitionwas ich sage okay dieses Ding einen Weg aus dem er dreimal an anderen aus dem A drei Badesee Mose drei soll seinX Komponenten multiplizierenaddierendazu?? Komponenten modifizierenaddieren dazuZ Komponenten Y Z Komponenten modifiziereneine dumme DefinitionKomma locker ausrechnenKomma sich überlegen was denn das bedeutetdann möchte ich jetzt Schritt für Schritt entwickeln warum das das Skalarproduktist was sie sowieso keinenRaumes diese geometrischen Eigenschaften hat mit dem Kosinus und mit der Länge eines Vektor ist das mit der Länge eines Wetters hatten wir letztes Mal auch schon wenn Sie einen Vektor mal sich selbst nehmenkommt dabei offensichtlichhier eins Quadrat plus zwei Quadratfuß?? Quadratistnichts anderes als das Quadrat der Längedes Vektor ist das Bild ganz banalhat man da schon den erstenFingerzeigwas der Skalarproduktmit Geometrie zu tun hat Skalarprodukt ein zweites Mal selbst gibt die Länge des Sektorsbezieht und ?? machen neunzehn ?? genau umgekehrt man sagt die Länge ?? ergibt das Karatelängendas Quadrat der Länge eines Vektor sagt man danach ist das Skalarprodukt eines sind sich selbst hoffe man gar nicht mehr genau weiß was die Länge istund das letzte auch schon hattenwar mithilfe von Pythagorasfestzustellenwas denn passiert?? nicht zwei Vektoren habe die senkrecht aufeinander sind A mal B und die beidensenkrecht aufeinandermit Al senkrechtBda kam ganz dreist null rausergab sich mit etwas Wissen Tücke aus dem Pythagorasdas heißt ein Kriterium dafür waren zwei Vektorensenkrecht aufeinander stehen ?? geht auch umgekehrt das habe ich ausführlich vorgeführtes Gedicht umgekehrt wenn Null rauskommtdann stehen die beiden senkrecht aufeinanderoder einer davon ?? null oder man definiert es dann schlicht ergreifend allgemein so auch wieder umgekehrtwenn das Skalarprodukt null es dann heißen die beiden senkrecht aufeinanderes wird insbesondere dazu dass der Nullvektor senkrecht auf einen anderen steht der Nullvektor zwar kein Richtung oder jede Richtung führen aber trotzdem sagt man anders als der Nullvektor steht senkrecht auf einen anderen den Nullvektor mal irgendwas kommt immer nurmuss mir keine Fallunterscheidungmehr machen wenn der Skalarprodukt null ist Stegemann senkrecht aufeinander und es eine davon der Nullvektoreine Nullvektoregal ich nenne das einfach soimmer stehen die beiden senkrecht aufeinander wenn der Skalarprodukt null istder Nullvektor steht tatsächlich noch eindas nicht allgemeine Fallweitergehenwenn ichzwei Vektoren in allgemeiner Lage habeim er zweimal es jetzt auf des kommenden genauso ?? immer drei vorstellenim R vier kann man sich nicht gut vorstellenund brechen dann einfach genau dasselbe was man in der zweitem A drei gerechnet hatVektorasiaein Vektor A einen Vektor Bund ich möchte nunausrechnen was denn deren Skalarproduktsein sollund eine geometrische Idee haben was dahinter steckt??amTrick ist wo ich weißdas das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren null ist das ich dieses B-Zellen Wegewie siein der Physikkräfte zerlegendieses Bildchen an Anteilparallel zu meinem Vektor Aund einen Anteileines ganz gelungenen Anteils senkrecht zu meinem Vektor der hiersoll senkrechtseindenen ich schon mal Fidenen er nicht Bsenkrechtein fastgleicher Weiseund diesen hier nämlich B paralleldas als sicher zerlegtden Vektor B in einen Anteil parallelzu meinem Vektor A und einen Anteils senkrecht zum ?? warund nun versuchen Komma mit Geometrie festzustellenwas denn das werden wirddie Länge vonB parallelschreibt man die Länge vonB parallelkann ich jetzt versuchen mitSinuskursesund Freunden auszurechnendie Länge von dem hierLänge von B parallelnach welcherWinkelfunktionschreit dasandere Sinus würde mir sagengegen Kathete der Sinus von Fi würde mir sagen gegen Kathete durch Hypothenuse wird das nicht was ich braucheaber an Kathetedurch über den Rosediesen rechten Winkel ?? nicht vergessenan Kathete durch Überdehnung sodass es schon hilfreichalso der Kosinusirgendwoder Kosinus sagt an Kathete durch Hypotheken Musewenn ich mit der Bedienung zu modifizieren habe ich noch diean Kathete die Länge der roten Hose istdie Länge von Vektor Bdas ist jetzt noch nicht ganz richtig muss ich gestehen ?? wirklich alle Winkel betrachtendas wahre Vorsichthabe Fragezeichen entweder darüber nachdenken das hat man nicht immerhinaber erst mal denken sich somit Schulmathematikan Kathete durch Hypothenuse ist der Kosinus wenn ich mit dem Rhythmus modifizieren okay dann kommt die Länge deran Kathete rauswann stimmt das nicht für welche Winkel ist dasfalschPunkt es funktioniert im Prinzipauch wenn der Winkel über neunzig Grad ist nur mit der Kosinus negativverlaufen Kosinus vorstellenund achtzigGrad hier neunzig Grad daab neunzig Grad wieder großes negativ und das natürlich ziemlich würde dann steht da einenicht negative Zahl diese Länge ist eine nicht negative Zahl mal eine negative Zahl das kann so nicht funktionierendamit das auch für negative Dinge funktioniertdamit das offen negative Winkelfunktion erforderlichen Betrag vom Kosinus das macht diese Überlegungetwasunangenehmerals eine sein müsste also kann ich die Länge von diesem parallelen Anteilfeststellendies dann auch garantiert immer größer gleich nur den großen Betrag nehmenich schreib dir vielleicht malVorsichtredenviel größer neunzig Graddie Länge von B parallel kernigdamit kann ich jetzt B parallelinsgesamthinschreiben?? ich weiß nämlich dass B parallel ein Vielfaches von A sein mussdie beiden zeigen die selbe Richtung zu Wasser gerade gebaut B parallel soll der Anteil von Bparallel zu A sein wie parallel ist ein Vielfaches von A und ich kann dieses Vielfache direkt angebenwenn sie die Längevon B parallel wissenPunkt die können Sie dannwie parallel als Vielfaches von A schreibenüber das hinalsodas mussdas mit dem Verhältnis der Längen zu tun haben wenn ich auf die Länge eins bringen willteile ich einfach??teile ich einfachdurch seine LängenNormalisierungeines Vektor ?? schon gesehenich nehme durch Stillschweigen anders einig der Nullvektor sind für dich hier durch null teilenjetzt habe ich einen Vektorder zeigt in die Richtung von A hat aber die Länge eins wenn A fünf Zentimeter lange Seite durch fünf ?? sind Aspekte der Länge einsund möchte daraus einen Vektor bauender die Länge von B parallel hat der Mut beziehe ich das ganzemit der Länge von B parallelhabe ergerade gesehen ?? auch das kann leider auch dasfalsche Vorzeichen habenalso so habe ich auf jeden Fall einen Vektorder Länge von B parallelin die Richtung von A oderentgegen der Richtung von Ain B so zeigen würde Beistrich ein Vektor entgegen von Armit anderen Worten dieses Vorzeichenhierich brauche hier das Minuswenn der Winkelüber neunzig Grad istoderso unterschiedliche sich als buchstabieren Männer auf die andere Weise über neunzig Grad istdas wäre wie Parallelen ausgedrückt als Vielfaches von Adiese Länge von B parallel habe ich darüber schonda steht die Länge von B paralleldas heißt hier stehtplus minusdie Länge von Bdurch die Länge von Amal AGänseblümchengeschriebendamit ??kümmernmalBetrag von Kosinus phijetzt an sie hoffentlich was mit dem Plus Minus und den Betrag vom Kosinus passiertdie beiden hierarbeiten perfekt zusammenwenn der Kosinus negativ wird euch davon ?? das Minuszeichenin ihren Winkel über neunzig Grad steht genau dann braucht davon das Minuszeichenderzeit gerade in die falsche Richtungdas heißtich kriege das Plus Minus geschenkt wenn ich einfach die Betragstriche um den Kosinus weglassenso stimmt'sdas ich in die Betrag wieder weg ?? bisschen ärgerlich mit dem Betrag strichenKomma kann sie dann wieder Deck wegdiskutierenalso richtig auf diese Weise daswie parallel dieser parallele Anteil von Bganz drauf das Bild der parallele Anteil von B parallel zu Aist die Länge von B durch die Länge von Arm mal den Vektor A mal den Kursen zum Winkel zwischen den beidenUnterstützernautomatisch auch ob B parallelentgegen von A oder mit einer Zeitin der Kosinus größer als neunzig Grad steht da im Endeffekt minus Adass es als eingebaut damit habe ich jetzt B parallel ausgerechnetund nun kann mannur dreizehnschriebenjanoch mal die komplette Zerlegung einsetzenwas wird denn das Skalarproduktwerden einmal wie das wollte ich eigentlichdas Skalarprodukt zweierallgemeiner VektorenPatrick war das ich B zerlegt habein einen Anteilparallel zu A ein Anteils senkrecht zu Abi seine Kraft zerlegendas ist also B ist B parallel plusB senkrechtwas kann ich nun machen mit dem SkalarproduktSkalarproduktdarf ich einfach ausmultiplizierenes aber schon gesehensieht man ?? mit seinen schreibtaus dieserObst grundsätzlichen Idee wenn sie dasmit eigene Summe habenkönnen sich in ausmultiplizierensteht dann das Skalarprodukt aus modifizierterals das sich aus modifizieren können gibt Vektorarmmal den parallelenAnteilplus Vektor A mal den senkrechtenAnteil von Bjetzt können nur mit Erkenntnis drauflos dass das hier null ergibtwar mal der Anteil von B senkrecht zu Awar mal der Anteil von B senkrecht zur ergibt nullda steht nur noch A Skalarproduktmitparallele Anteilmit den parallelen Anteil und ihr steht der parallele Anteil das ist also A malund nun kommt der parallele Anteildie Länge von Bdurch die Länge von Aimmer schönerimmer stillschweigend vorausgesetzt als ungleich nur Spezialals billigmal den Vektor Amal den Kosinus des Winkels dazwischenKosinussowas haben wir aber mal B parallel A mal das Wetter vornejetzt Kombi parallel das Verhältnis der LängenAund der Kosinuswie fassen sie das zusammen?? muss man erkennen ihr steht A SkalarproduktA malirgendein Krempel A mal A Stecker drinnen A Skalarprodukt mit Artikeln jetzt nicht diesen Weg ?? direkt mit seiner Länge kürzen das hat mich inähm ?? letztlicheins zwei drei durch Wurzel entsprechendwie soll ich das jetzt gekürzt kriegen und dann sagen Chromepflicht erweckt das heimliche?? aber am Altar gibt die Länge ins Quadratvon Adurch und steht einmal die Längemal die Länge von Bmal den Kosinusjetzt Komma kürzenund da steht das was sie sowieso schon kennen die Länge von Amal die Länge von Bmal den Kosinus vom Winkel zwischen den beiden Vektorendas ist diegeometrische Interpol Interpretationvondem Skalarproduktalso ich würde so anfangen dass ich eher sagevorgeführt?? gedenke nutzen Skalarprodukt ganz dumm rechnerischkomponentenweisemodifiziertaddieren und gucken uns dann an was den dann geometrisch passiertsind das passiert geometrische gegen dasselbe Resultatwie Weinenüber die Komponenten wenn sie die Länge des einnehmen mal die Länge des anderen bei den Kursen zum Winkel zwischen?? ganz billige Anwendung davon istwenn sie das Skalarprodukt in Komponenten ausrechnensteht hier eine bekannte Zahlging sie auch die Länge des Sektors des ersten elektrischen Komponenten ausgerechnet Länge des zweiten weglassen Komponenten ausgerechnetbekannte Zahl ist gleich bekannte Zahl meine ganze Zahl mal Kosinusdas heißt sie können sagen was der große Sonnenwinkel zwischen Vektoren ist eine Adminklasseund nebenbei lerne ich hieraus etwasüber das Vorzeichen des Kanalproduktswennder Winkel spitzeistund stumpf ist was etwas Verschiedenes jeweils ein spitzer Winkelsoll heißenerst zwischen null und neunzig Gradund jetzt leider nur Streit ist null Grad ein spitzer Winkel ist neunzig Grad spitze Winkel neunzig ?? wahrscheinlich ein spitzer Winkel soll ein rechter Winkel deshalb manchmal soein spitzer Winkel und was passiert mit einem stumpfen Winkeldas heißt der Winkel istüber streckenweise nicht ausreichte Winkel istträgt so über neunzig Gradalso neunzig Grad kleiner Viehist hundert achtzig Gradein stumpfer Winkel oder schon kein stumpfer Winkel mehrwill ich auch keine Philosophie anfangen ich hab mal kleiner hundert achtzig Gradals stumpfer Winkelals stumpfen Winkelin diesem Fallwenn der Winkelein spitzer Winkel ist ist der Kosinuspositivetwa neunzig Grad gerade nulldas heißtdasSkalarproduktmussgrößer alsnull sein bei der KosinusProzess als nur die Länge des einmal die Länge des anderen ist garantiert die positive Zahl wenn nicht einer von beiden null istmir sowieso Probleme den Kosinusdannalsospitze winkelhi Skalarproduktist positiv in diesen Fällen hierals ein positives Skalarproduktmit der Winkel stumpf ist in diesen Fällenüber neunzig Gradist der Kosinusja mal das ist der Kosinus negativdas Skalarprodukt wird negativdas heißt ich kann nicht unterscheidenzwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen auf einem kann auch sofort entscheidenob die beidenspitz oder stumpf zueinanderspitz oder stumpf zueinander liegen?? über das Vorzeichen des Skalarprodukt zu singen Komma welche mit den Längenkriegen sie sogarim richtigen Winkel rausdas kriegt man dann gemütlich geschenkt mit dem Skalarproduktden Kosinussatzgeschenkthabe ich im Fokus etwas umständlich erklären müssen jetzt geht'sKosinussatzjetzt geht das ganz banalsie nehmen A und B als Kantenvektoreneines Dreieckswarund Bwie auch immer die gerade liegenvon mir ausmeinte die so ein A und B wurde sie meine so ein A und Blässt auf einen Punkt zu zeigen es für dasselbe dabei rechnerisch rauskommen??ich finde am einfachsten das so auf zumal zwei Vektorenund so liegen Verein gemeinsam Punkt ausgehend hier zwischen der Winkelfiknochensauberes Arzt soeine Seite wirklich sauber abschließtPunktwennsodas Ordner Besitzrecht wirklich gewordensowieausdrücklich kein rechtwinkliges drei kamsie das Ausführen ausdrücklich nicht rechtens ist weil ich hoffewie können Sie in keinen Vektor für diedritte Seitefindenals wenn sie die beiden hier habendie beiden Kanten haben könnte ?? Seite direkt hinschreibendas ist Aminus Bmalig das was inGemäldes mit der Subversion so richtig merken ich würde minus B bildendas wäre minus Bdie Behauptung ist das dieser Vektor da obenA minus B ist im See den roten minus B hängen sie den dahinminus Bdann sehen Sie A minus Bwird das hiererscheint ?? hinzuhauendieser Vektor und derSonne selbe sein?? die dritte Kante ist die Differenzso wie ich die beiden Netze gezeichnet habe bei doss ein Punkt ausgehend ?? ist die dritte bekannte Differenz an minus B oder andersrum den USAReservenfünfzehn??und nun will ich mir überlegen wie die Seitenlängenzusammenhängenin diesem Dreieckdie Länge des Sektors als die Länge dieser Seite Länge des Sektors bei der Seitedie Länge des Differenzsektorsist die Länge der Seitedas ist das einzigekompliziertedie Länge dieser Seite darumwie lang ist die dritte Seitedas ist die Länge des Weckers A minus Bmit dem Skalarprodukt kann ich immerhin sagen was das Quadrat davon istnämlich das Produkt A minus B mit sich selbstVektorlängeins Quadrat war Vektor SkalarproduktVektorwie kann ich das umformenjetztin gewisser Weise die biologische Form aber jetzt für Vektoren ich schreib lieber zu Fuß hinkein Unsinn zu machen A mal Aals einfach aus modifizieren was man ja mit dem Skalarprodukt unter AmandaAmmann minus Bwar mein minus B das Minus kann vorne ziehenminus B mal anminus B mal minus B machtlosB malBdas kann ich nett zusammenfassenAmalarkenwar schon ist die Länge von eins Quadratminus A mal Bauch schon Unterschiede minus am AB minus B Maradem Skalarprodukt ist die Reihenfolge egalwie man A Komma B das heißt hier steht minus zwei Mal warBdas kenne aber auch schondas Skalarprodukt in geometrischerForm ist die Länge des einmal die Länge des andern mal den Kosinushier steht also Länge A Länge B mal den Kosinus macht insgesamtdie Länge der einen Kante ins Quadrat plus die Länge der anderen Kante ins Quadratminus zwei mal die Länge der einen kannte mal die Länge der anderen kanntemal den Kosinusverdient auch viel genannt ja mal den Kosinus von dem Winkelzwischen den beidenin solchem Dreieck eigentlich nicht viel nennenwie solche Dinge in Dreieck nennendas sollte eigentlich im Dreieck Gamma heißenKomma der lieberGamma hin hier ist die Seite CABdreißig Seite C gegenüber der Seite C liegt der Punkt Cund dann daran der Winkel Klammer aufjährlich der Winkel alpha undWetter immer gegenüber der Seitewobei mir jetzt auffällt das ist reichlich ärgerlicherweisedann im Uhrzeigersinn beschriftet ist das unschönaber der Kosinussatz gilt auch für Dreiecke die im Uhrzeigersinn beschriftet sindokay als eine solche verstehen wie der Winkel Kommadas jetzt alles zusammen nehmen hier steht die Länge derdritten Seiteim Dreieck steht alsodreidie Länge der dritten Seite ins Quadrat C bei der sie Quadrat ist die Länge derersten Seite ins Quadrat und die Länge der zweiten Seite Grad minus zwei mal die Länge der ersten Seite mal die Länge der zweiten Seitemal den KosinusvonGamma schreibe jetzt mal ganz dreistdas ist der altbekannteKosinussatzim allgemeinen Dreieckvorgemerkt also Pythagorasfür das allgemeine Dreieckdas es Pythagorasund dem allgemeinen drei kriegen siezweimal das Skalarprodukt abgezogendas ist der Kosinussatzgestern auch eingebaut Komma das Skalarprodukt hatnatürlich analog dann weiteren sehr zügig durch tauschen?? Laquadratist wie Quadrat und Seequadratenhier PCund Winkel alphaund so weiter vergleichendas zum Skalarprodukt