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04.04 Eindeutigkeit der Lösung, homogenes Gleichungssystem


CC-BY-NC-SA 3.0

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noch mal zusammengefasst – das Material von gestern ich starte mit einem Jahren Gleichungssystem – soundsoviel mal X plus uns immer Y soundsoviel – mal – Z ist gleich irgendwas unter Normalgleichungen – von der Sorte – drei unbekannte vier Unbekannte eine Million unbekannte – vier Gleichungen – hundert tausend Gleichungen – alles – egal – ein lineares Gleichungssystem – alle soll zur selben Zeit erfüllt sein alle Gleichungen – der erste Schritt war – dieses gleichen System – aufzufassen – als eine Koeffizientenmatrix – mal einen Vektor der aus den Unbekannten gebildet wird – das soll sein die Inhomogenitäten – und die Koeffizientenmatrix – enthält die Koeffizienten – daher der Name – Dietz zahlen vor den Unbekannten – das Bett Koeffizientenmatrix – und in Homogenität – ist das was – ohne Produkt – konstant auf der anderen Seite steht das Video mit dem Vektor Babyphon – auf diese Weise kommen also von der – von den Gleichungssystem – den genialen Gleichungssystem – zu einer – Gleichungsmatrix – mal Vektor ist gleich Vektor ich suche also einen Vektor – X – die jetzt im dreidimensionalen – so das dieser Vektor von rechts an die Matrix multipliziert einen vorgegebenen anderen Vektordetails – bekannt ist bekannt X ist – unbekannt – des – über Angleichung der Mathematik zwei große Fragen einmal – gibt es eine Lösungsexistenz – oder zwei oder unendlich viele ?? keine – ?? gibt es mindestens eine Lösung – und die andere große Frage der Mathematik bei Gleichungen ist Eindeutigkeit – gibt es höchstens – eine Lösung – und nicht zwei nicht unendlich viel – gestern hatte ich nur Wasser zählt zur – Existenz – außer mal grob zusammengefasst – wie das mit der Existenz ging – wenn ich mich frage – ?? etwas – allgemeiner – mich Frage – finde ich für jedes – B egal was auf der rechten Seite steht finde ich für jedes B was auf der rechten Seite steht ein X – also nicht nur für ein spezielles sondern für jedes Bild gegeben die Matrix A bin ich für jedes B ein X – die Frage kann man – relativ – klar beantworten – also nicht für eins – nicht Verein B sondern für alle B – etwas allgemeiner – also die Frage – ?? etwas – ziemlich allgemein – gibt es – X – für – ein ?? Schreiben gibt es für alle B – gibt es für alle B – alle B – jeweils – ein X jeweils – ein X – so – das – A mal X Matrix A die Provinzkoeffizientenmatrix – X gleich B ist in Homogenität – Fragezeichen – dass die Frage bei der Existenz ?? etwas – sagen etwas abgehoben gefragt nicht nur für ein WE möchte wissen ob es für alle Babys Geld – übrig glücklich für jedes B diese gleichen System gelöst – und dann hatte ich – vorgeführt – okay das – klappt – genau dann wenn aus der Matrix A – aus der Matrix A – alle möglichen Vektoren herauskommen – können – alle Vektoren des jeweiligen Raums natürlich herauskommen schreibst ?? ganz so das Wissen flapsig im freundlichen Lehrbuch stände das nicht so aber – ich hoffe so wird's klarer – das heißt nichts anderes als das erste Mal sagen alle Vektoren herauskommen – ?? okay jedes B kann aus der Matrix herauskommen – ähm – dafür gab's eine Bezeichnung für alle Vektoren erste Matrix herauskommen können das ist der Spaltenraum – der Matrix – oder das Bild der linearen Abbildungsspaltenbildspaltenraum – beziehungsweise – Bild – linearen Abbildung – ist die komplette – Menge die möglich ist – wenn Sie zum Beispiel – eine drei mal vier Matrix haben Uppsala eine drei mal vier Matrix haben – dann ist das maximale was mögliches als Output – alle Vektoren des R drei – das maximal mögliche welche er ?? – und dann in der Dimension die Zahl der Zeilen – was auch die Zahl der Gleichungen ist – einerseits – mal – das heißt alle können herauskommen – wenn der Spaltenraum – das was aus der Matrix heraus kommt – gleich – eher hoch sei der Zeilen Zwischenfall – hat drei – Spaltenraum – andere der Besetzung vom zweiten Raum – alles was ich bilden kann indem ich die erste Spalte nehme mal irgendwas bloß die zweite Spalte mal irgendwas plus die dritte Mann irgendwas kritisierte mal irgendwas plus die fünfte sechs mal irgendwas – das ist das was aus der Matrix herauskommen kann und ich vorgeführt dass das nichts anderes ist und das kann in einer einzigen Maßzahl zusammenfassen – nämlich dass der – Rang – der Matrix – gleich – der Zahl der Opfer der Zahl der Zeilen ist – Rang der Matrix soll die Dimension – des Balten Punkt sein – wie viele Dimensionen hat das Bild – dieser Abbildung – was herauskommen – ist ein Raum wie viele Dimensionen hat dieser Raum – das soll der Rang sein – sehnlich – ?? Dimension des hat seine Zeit im besten Fall im Optimalfall – seine Zeit in das stimmt – habe ich – für jedes B – ein X – das war die Existenz von Lösungen – und zwar sofort betrachtet für jedes B nicht für ein einzelnes Bild für ein einzelnes B wird das Sichern der Reifen heißen das einzelne B die einzelne in Homogenität widersteht muss im Spaltenraum – sein – da hilft uns hier diese pauschale Angaben trank der Matrix nicht zu viel da muss man genauer nachgucken – spalten – das als kurze Wiederholung und jetzt geht's um die Eindeutigkeit – der andere Aspekt die Eindeutigkeit – netterweise – ist das alles – manch alles es ist zu neunzig Prozent Spiegel symmetrisch – bei der Existenz – geht's um – das was reinkommt – es geht um Spalten – und es geht um die Zahl der Zeilen – bei der Eindeutigkeit – vertauscht sich in gewisser Weise die Rolle von Spalten und Zeilen nicht hundertprozentig – aber – weitgehend – guck ich mir deinen Spalten statt Zeilen oder umgekehrt an bei der Eindeutigkeit – des Inn Leertaste Punkt vier – kann ich untersuchen ob sein Gleichungssystem – genau eine Lösung hat – die sagen genau – einmal sagen was das genau eine Lösung – genau einen Satz in diesem Fall X Y Z – ist gleich dreizehn hundert zweiundvierzig zeitgleich sieben und nichts anderes – als wenn ich drei Lösungen ist der dreizehnten – zweite Dezember siebzehn nicht drei Lösung das ist dann eine Lösung für das Verstehen – christlicher – wird dreizehn – sieben das wäre – die eine Lösung wenn es nur diese diesen einen Vektor gibt – an einer Lösung für heißen es gäbe einen anderen Vektor – der das kann – jede Lösung hat also – mehrere unbekannte drin stehen – ?? angenommen – ich hätte zwei Lösungen für das gleiche System was ich früher mal hatte ?? weißem Skript nicht abgefahren – ähm – angenommen ich hätte zwei Lösungen gefunden – gehen Norman Hobbes – angenommen – ich hätte zwei – von – ?? was das bedeuten würde – schreibe ausdrücklich nicht zwei verschiedene angenommen ich hätte zwei Lösung gefunden ist kann sein dass sie nachher dieselben sind Zahlen – angenommen ?? zweitens – X eins – Y eins Z eins B eins – und – X zwei – Y zwei Z zwei – W zwei – ?? mich fragen – wann – müssen die zwangsläufig gleich sein wenn ihr zwangsläufig leisten müssen – gab's nur eine Lösung – wenn die nicht zwangsläufig als gleich sein müssen ups dann gab's tatsächlich mehrere Lösungen – man sie dann auch es gibt ?? sofort unendlich viele beiden Jahren Gleichungssystem – soweit es mehrere gibt sofort unendlich viele – angenommen ich hätte zwei Lösungen also zwei Lösungen des ursprünglichen gleich – Bildungssystems – äh – steht im Text rein zwanzig X eins wird bedeutend plus fünfundvierzig – Y eins – minus drei – Z eins – vier – eins – eins – plus vier – B eins – gleich – sieben wäre die erste Gleichung aus dem – ?? für die erste – Lösung es müsste obendrein – gelten zwei Absatz eins minus Z eins – plus sechs B eins – ist gleich – drei – Bohnen – minus fünfzehn – Extrastops – ins minus drei – eins ist gleich – fünf – das würde bedeuten – dass dieser Vektor eine Lösung meines Gleichungssystems – ist – und wenn der auch noch eine Lösung sein soll – und das gleiche gelten wenn ich statt der eins über eine zwei – Schreiben – diese also so schreiben dass sie eins sieht – so – also gegeben zwei Lösungen – für mein Gleichungssystems – wäre jeweils – das Gleichungssystem – erfüllt – und dann frage ich mich was bedeutet das eigentlich – anders klappen kann das nicht klappen unter welchen Umständen klappt das unter welchen Umständen es auf keinen Fall klappen – der große Trick und das sieht man aber ?? Differenzialgleichungen – auch mal der große Trick ist jetzt diese beiden gleichen Systeme voneinander abzuziehen – sie nehmen die schwarze erste Gleichung und die rote erste Gleichung ziehen die voneinander ab – und gucken was passiert – die schwarze Gleichung nehmen – die rote abziehen – dann steht da rein zwanzig X eins – minus drei zwanzig X zwei also drei zwanzig X eins minus X zwei – und es geht weiter fünfundvierzig – Y eins minus fünf wird sich Y zwei also fünfundvierzig – Y eins minus Y – zwei – minus drei Z eins – minus minus dreizehn zwei das macht minus drei Z eins minus Z zwei – dasselbe Spiel mit dem W – plus vier – B – eins minus zwei – und das nette ist auf der Seite muss jetzt stehen – sieben – von der roten Gleichung minus sieben von den anderen sieben von der schwarzen Gleichung minus sieben von der roten Gleichung – das es gleich sieben minus sieben also null – die sieben ist weg diese in Homogenitätsweg – das wird nachher auch bei den Differenzialgleichungen – ein wesentlicher Trick sein – wenn sie eine Gleichung dieser Art haben eine lineare Gleichung – für eine Lösung und dieselbe gleich noch mal für die andere Lösung sie ziehen die beiden voneinander ab ?? haben sie laute Differenzen stehen X eins mäßig zwei ?? und so weiter – und auf der rechten Seite bleibt sieben sieben null die in Homogenität fliegt raus – das entsprechende passiert mit den anderen Gleichungen – habe ich hier zwei – Y eins minus Y zwei – minus – Z eins – minus Z zwei – plus sechs mal – B eins minus W zwei ist gleich – minus drei von der schwarzen Gleichung minus minus drei von der roten Gleichung also null – und hier unten habe ich minus fünfzehn – X eins minus X zwei – plus fünf – Y eins minus Y zwei – minus drei – B eins minus W zwei steht alles ?? Punkt – gleich fünf von der Roten minus fünf von der schwarzen null – die Differenzen – erfüllen also ein Gleichungssystem – das man homogen – nennt – es hat keine in Homogenität – das ist ein homogenes – homogenes – lineares – Gleichungssystem – mit derselben Matrix – kann zwanzig und vierzig minus drei vier null zwei es ist dieselbe Koeffizientenmatrix – jetzt aber auf die Differenz zweier Lösungen angewendet – wenn Sie also zwei Lösungen haben – sie das die Differenz der beiden Lösungen – das zugeordnete – homogene Wissen heißt lineare Gleichungssystem – selber Matrix – angewendet auf die Differenz der Lösungen gibt den Nullvektor – umgekehrt geht das auch nach zwei Minuten nachdenken wenn man sieht – dass man so einen Vektor hat – der zu null gemacht wird von der Koeffizientenmatrix – hier den Differenzvektor – wenn sie so ein Vektor haben dazu nur gemacht wird können Sie den zu irgendeiner Lösung addieren – und haben eine andere Lösung – damit habe ich jetzt – ein Kriterium – also das Lineal Gleichungssystem – das ursprüngliche Lineal Gleichungssystem – ist genau dann eindeutig lösbar – also Lösungen – steht auch ein Text – des – ursprünglichen – Einsatzes war inhomogen – ursprünglichen – linearen Gleichungssystems – dann ?? Lösung denn schreiben ?? sage eindeutig – die Lösung ist eindeutig – die Lösung des ursprünglichen Inger gleichen Systems ist eindeutig – genau dann – genau dann – wenn – das – wenn die homogene – Form von dem Lineal Gleichungssystem – des linearen Gleichungssystems – eine einzige Lösung hat – nämlich den Nullvektor wenn hier nur der Nullvektor stehen darf – den Nullvektor – als solchem Ansatz draus machen das groß Schreiben so – Nullvektor – wenn dieses Gleichungssystem – eine andere Lösung als den Nullvektor hat – dann heißt das ich kann – eins eine zweite Lösung finden die verschieden ist von der ersten irgendetwas – von diesen X eins mäßig zwei Tassen zwar irgendjemand von denen muss verschieden von null sein wenn dieses Kassensystem an einer Lösung als Nullvektor hat – und ich finde eine zweite Lösung die von den ursprünglichen Verschiedenes – in einer Richtung genauso wenn ich eine zweite Lösung habe die von ursprünglichen verschieden ist – ist die Differenz – nicht null wenn die beiden ?? nicht verschieden – aber – die homogene Form – darauf angewendet – ergibt null gerade gesehen ?? – das ist – das Kriterium – für die Eindeutigkeit – ich gucke mir von den Männern gleichen System die homogene Form an und muss ?? gucken ob die homogene Form eindeutig lösbar ist – die homogene Fonds immer mit dem Nullvektor lösbar ?? ganz immer nur reinschreiben null null null null null Durchgang auf der rechten Seite nur raus – wenn das die einzige Lösung ist – dann habe ich gewonnen – und – auch das ursprüngliche Lineal Gleichungssystem – bei dem auf der rechten Seite nicht der Nullvektor steht – kann nur eindeutig lösbar sein wenn es überhaupt lösbar ist das infrage unabhängig davon – wenn es überhaupt lösbar ist das ursprüngliche Leitsystem – ist dann auch – ein nur eindeutig lösbar