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14.3.1 Taylor-Reihe, Potenzreihen, Teil 1


CC-BY-NC-SA 3.0

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dassjemand die Teller Polynomich kann ein Polynomvierten Grades dritten Grades tausend Grad ein millionsten Grades angeben das ich mit soundsoviel Ableitungen dann an die Originalfunktionanpasst ??der Gedanke ist immer das jetzt weitertreibeneine Million eine Milliardewird es dieses unendliche weitertreiben was passiert dann lassen sich Täler schreie ich mit Tellerpolynomsondern Tellerreiheeine Reihe soll heißen eine unendlich lange Summe der professionelle Ausdruck für unendlich lange Summe ReiheanSie es im englischenwenn ich das bis ins unendliche weiter treibedas bitte passierenmeine Hoffnung ist ??dass ich dabei die Originalfunktionwieder kriegen?? das so hinschreiben eine Funktion an einer Stelleplus die Ableitung einer Funktion an der Stelle mal X minus X nullplus und so weiterplusan der Entertainerseine endlos erste Term ist die Enteableitungan der Stelle X null malX minus X null Ente Fakultätin Fakultät so und jetzt aber Schluss und so weiter es ist wichtig bis ins unendlichealle in Anführungszeichen aufsummiereneine unendlich lange Summewenn ich das mache was wird denn dann eigentlich passieren wird es hinhauenoder nicht kann ich meine Originalfunktionzurückdas wäre schön?? ist auch schön wenn es funktioniert dass ich meine Originalfunktionzurück kriege habe ich nämlich hiereine x-beliebige Funktion ausgedrücktmit lauter einfachen Sachen eine feste Zahl eine feste Zahl mal X minus eine feste Zahleine feste Zahl die Ableitung ist eine feste Zahl mal X ist eine feste Zahl hoch ähm durch in Fakultätsind laut ?? Geschichtenwenn das männlichen hinhauen würde wäre das nicht schlechthabe ich nicht nureine Näherung sondernsogar was exaktes sichert meine FunktionF exakt hingeschrieben nicht nurnäherungsweisewie hiermit einem bisher unbekannten Fehler sondern sogar genau hingeschriebenund fange malanfür viele spannende Funktionenhaut das wirklich hindie wesentlicheLiebe schon kennen es die Exponentialfunktionzum Beispieldie Ex Mensa Fusion also ähE hoch Xzum Beispielein Schreiben zum Beispieldie ExponentialfunktionZionExoder Ego Xkann ?? Komma vorsichtig guckenwas passiert?? Fehlersinnvollerweiseeinfach X nur gleich null ?? ich nehme die übliche handelsübliche Ex Mensafunktionbildet dieFunktionOzons wird und die Ableitung an der Stelle nulles müssen flache ?? mit fünfzig Grad sogucke mir die an an der Stelle X nullbestimme alle diese Ausdrückean der StelleX ?? nullnulldann kriegen sieAlexnur gleichnullwas steht dann dader Spezialfunktioneine Stelle nur mit eins deren Ableitung ist er wieder der Expresshafen zu einer Stelle null wird ein und so weiteralle diese werden einsund dann sehen wir was die Tellerreihe werden wirddaraus für die Tellerreihevon Tälerder Klassen und Hehlereihier steht einsplusein mal X minus nulldann kommt pluseinmalzweite AbleitungX minus nullX null nicht seinen Wechsel ist gleich null X minusnull Quadrat halbe plus und so weiter Hier stehtdie Entableitung an der Stelle nullwieder die Ex Mensa Fusion eine Stelle null also einmalX minus null hoch ähmdurch den Fakultätsschlussund so weiterund das ist die übliche Formelliebe für dich Mensa Fusion hatten eins plusX plus X Fahrrad halbePlus und so weiter irgendwo steht X hochN durch N Fakultätplusund so weiter es kommt also ganz normalohnebesondere Spielereiendie übliche Formel für die Ex Mensafunktionrausdie Tälerreihefür die Ex Mensafunktionwenn ich X gleich nullbenutzeeinen als als Stützpunktist die ganz normale Formelhilfeder Kommentarfunktionhabendas heißt für die haut es hin der Kommentarfunktionkann ich tatsächlich direkt als Teller reinschreiben und dass es keine näherungsweiseeines stimmt exaktbekanntermaßenden das bei unserer Definition für den KommentarfunktionanKomma dasselbe für Sinus und Kosinusäh zum Beispielso gemacht gewesenzum BeispielSinus und Kosinusspannendist der Funktionswertan der Stelle null der die Ableitung der Funktion an der Stelle null die zweite Ableitungdie dritte Ableitungund so weitervom Sinus und von Kosinusund dann kann ich direktdieseKellerei hinschreibenwenn sie sich den Sinus anguckender Sinus an der Stelle nullistnulldie Ableitung vom Sinus der GT mit fünf vierzig Grad durch die Ableitung vom Sinus an der Stelle null ist einsdie zweite Ableitung viel kommt ist der an dieser Stelle ist Nulldie dritte Ableitung der besonderen bisschen mehr nachdenkender Sinus wird zum Kosinuswird zum minusSinus wird zu minus Kosinus minus groß X von null bis minus einsergeht es so weiter null eins null minus eins geht immer so weiter null eins null minus einsbeim Kosinus der Kurs ist eine Stelle null ist ein Reserve ?? Domains verschobenSinus Kosinus Mine Sinusgemeint verschobene großes N der Stelle nullisteinsseine Steigung an der Stelle null ist nulldieKrümmung hier an der Stelle nullund Mac minus einsder wird wieder nur das es einfach um einsverschoben hier steht ja bei den Ableitungen Sinus und Kosinusminus Sinus mit großem virtuellen Kosinus losminus Sinus minus KosinusSinus und so weiter das sind dieWerte der Ableitungenvon Sinus und Kosinus an der Stelle nulljetzt kann ich die Teller reinschreibenfür den Sinus und für den Kosinusausgeliefert Doppelpunktschon gleich Schreibeninder Funktionswertals solcher null plusjetzt die Steigungder Tangenten gerade malX minusX null null bei dem Spiel plus null mal ??hoch zwei Branchen zu schreiben ?? mal null stehtminusdritte Ableitungminus einsder stetige X minus null hoch dreidurch drei Fakultätund so weitersofort nach dem selben Muster unter Kosinus wird seineinsplusnull mal irgendwasminuseinmal die zweitePotenzhalbePlus null mal irgendwasund so weiterund das sind die üblichen Potenzreihen für Sinus und Kosinus die Branchen hattennunalso ist der SinusfolgendesXminus X hoch drei durch drei Fakultätplus minus so weit es geht also der Shop warzunächst noch dazu es käme daneben also plusX hoch fünf durch fünf Fakultätminus Ixus sieben durch sieben Fakultät plus minusbis ins unendliche beim Kosinus geht mit eins los einsminus X QuadrathalbeConti als nächster plus X hoch vier durch vier Fakultätminus X hoch sechstenssechs Fakultätplus Minuswissen sonderndas sinddie Teller rein für Sinus und Kosinus wenn man eine Stelle null anfängtderselbe Gedankeganzganz zu Beginneraber sehran einer Stelle X nullsuche ichdas bespassendermir das Best passendeBest passende Polynomjemals aber an der Stelle nullnehme den Sinusnehme den Sinusund baue jetzt ein Polynomdas super passtdas billigste was sie machen können ist dass sie eine gerade nehme das hier wäre die geradedas X die Tangenten gerade an dieser Stelle?? X anschreibenPunktähmdas wäre ja einfach die TangentengesehenSpiegel ParabelproblemSinus an der Stelle gar nicht machen das ist einfach weiterhin den Agenten gerade die Komischparabelspannteine komische Parabel die Links oben anfängt nach rechts unten läuft minus X hoch dreider wirdsich hier sonachihrem durchringenmit X hoch fünfGreen war dann die Biegung wieder nach unten plus X hoch fünfdas heißtgeradePluszeichen rettenminus aus denalswir die kubischeBüsche dranamplus X hoch fünf das heißt der wird dann wenn ich den dazu nehmewenn ich Dinge dazu nehme wenn wir von unten kommenBeistrich kriegen wir schon eine Biegung mehr und werden nach oben gehenweiter sie gehen bis zu mehr wird sich das Ergebnis an die handelsübliche Sinuskurvean schmiegen es wird sich mehr und mehr um die x-Achseherumwickeln??ich zeigt das doch das ?? mit Wolfram Alphaokay mit Wolfram Alpha versuchessi bie essredeter esan X gleichnullbis zur Ordnungzwanzigdas Werk wird erst wieder die Tellerpolynom?? man sieht wie sich mehr und mehr um die Achse wickelnund netterweisepasst dann tatsächlich man kann bis ins unendliche gehenkann Polynom mehr sonderneine Reihe eine Potenzreihean eine Summe von Potenzenund kriegt tatsächlich den Sinus wieder raus das sie wäre jetzt also immer das ?? bis fünf sehr schönist mit der Phrase heuteähmbis zum fünften also hierhaben wir dieTangenten gerade an der Stelle nulldanndas sicher schon dasdie fünfte Ordnungherrscht hier ein zwei drei das ist die kubische Parabeldie sehen Sie hier das ist die kubische Parabel muss von links oben kommen nach rechts unten gehendennBeistrich minus X hoch drei wenn's mir die ersten beiden Termine nehmenX minus Ixus drei sechstelhaben sie eine kubische Parabel die von schlussendlich kommt und nach mir geht sind die Passionso zwischenminus neunzig ?? plus neunzig Grad nicht so schlechtbei den Sinus ausrechnensie diesekomische Parabel einfach aus unserem bisschen besser werden sollen ähm sie noch den Thermik so fünf dazuin der nächstenAbleitung die nicht nurdaspasst sich hier dann auch über neunzig Grad hinaus recht gut an?? weitertreibenje mehr sie jetzt mitnehmen je mehr Potenzen sie mitnehmendesto mehr wickelt sich das ??um die x-Achsemaldreizehn ist das jetztbeschlossene dreizehn sein Amtsehen wie das jetzt hier bisneunzig Gradund achtzig Grad zwei hundert siebzig Grad schon recht gut passtund jeglicher sogar schon fast diese Nullstelle bei zwei ziehenund das kann man bis ins unendliche treiben netterweise bestimmt wirklichhundert ein Polynom was sich mehr und mehr um die Achse wickeltdas Wetter passiertan dasselbe für den Kosinus also für Sinus und Kosinus ist netterweisediese Reihe Potenzreiheist unendlich lange Summe von Potenzendiese Potenzreihe wird exaktdie wirklich besitzen endlich aufzunehmendas ist der übliche Beweis dann auch sehr unanschaulich aber die übliche weiß für diese Eulersche Identitätdass die Ehefunktionwas mit Sinus und Kosinus zu tun hatwenn sieTexte in das Amber neunwenn sie in die Ehefunktionin die Potenzreihe der FunktionI maleinen Winkel einsetzen?? er dain die PotenzreiheKellereiDE Funktionsetzen sie ihm mal einen Winkel ein dann steht da das ist eins Plus I mal einen Winkelplusimmer diesen Winkelquadrathalbe Plus mal diesen WinkelPunkt dreidurch drei Fakultätsechstel plus neunzehn?? vierdurch vier Fakultät vierundzwanzigund so weiterokay für den Kosinus wenn ich Kosinus eines Winkels hin schreibewar das einsminusdiesen WinkelquadrathalbePlus den Winkel hoch vier vierundzwanzigsteMinus Plus und so weiter wenn ich den Sinus eines Winkels hinschreibenWinkeleherminusminus der Winkel hoch drei durch sechs minus der Winkel hoch dreisechsund so weiterwenn ich ihm mal den Sinus eines Winkels hinschreibendas mandas malund jetzt guckt man vorsichtigwas den KosinusPhiplus I mal Sinusvier sind die beiden AddierenKosinus des iMac-Diensten haben sie einsokaysie haben die mal vielsie haben minus vier Quadrat halbesie haben die hoch drei das ist die hoch drei das ist wie Quadratswallisminus Iminus G vier hoch drei sechstepasst auch die hoch vier einsvier passt auch insoweit bekannt intern wird ?? überzeugen das in der Tatdas nichts anderes ist als mit dem Potenzreihenuntertauchenzu sehendass er Hochfigleich großen Fibrose Sinus vier ich für das ihr unanschaulichaber das ist dieübliche Art das zu zeigenschon andere gezeigt KommaEokifiaus kleinen Winkelnzusammen stecken kann