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07A.1 Eigenwerte, Eigenvektoren bestimmen; charakteristisches Polynom


CC-BY-NC-SA 3.0

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zweiFingerübungenfür Eigenwerte und Eigenvektorenbestimmen Sie für folgendeMatrizennämlich eins zweivier einsund für die Matrixeins zweinull einsalle Eigenwerteundfalls es welche gibtjeweils ein EigenvektorwerteFragezeichenEigenvektorendas Sortieren nachSchema FMusik ?? Komma sagen wo das herkommtähmwenn ich eine quadratische Matrix habeist ein Vektorder nicht ?? Nullvektor des Eigenvektorzu einemvielfachenvon sich gemacht für die man die Matrix hat eine ganz blöde Wirkung als einfache Wirkung auf diesen Vektordie vervielfachtihnmöglicheseventuell nicht Nullvektor es war das Feuer langweilig Nullvektor durch Nullvektordann nennt man dieses Lande einen Eigenwertzum EW um diesen Vektor eben ein Eigenvektorweckte der zu einem vielfachen von sich ??können auch sagen damit haben Richtung gefunden die Matrix unverändert lässtwas ihn schon sagtdas Drehungen zumindest für reelle Zahlen keineEigenwerte Eigenvektorenhaben werdenzu müssen Drehung nicht um hundert achtzig Grad unter Null Grad ?? Wirkung zwei ?? vierzig Grad wirdim reellen keine Eigenwerte keine Eigenvektoren haben weil kein Vektor in dieselbe Richtung zeigt nach der Drehungwas kann man schon sehendas Rezept gibt hierzuähm dieses hier auf der rechten Seite schreibe ich alsBeamter mal die Einheitsmatrixmal mein Vektordirektorist der eines Matrix mal der Weg zur jetzt bin ich beides auf dieselbe Seite dann steht daMatrix A minusandermal die Einheitsmatrixmal der Weg ist der Nullvektorden hierrüber gebracht?? kann ich die beiden zusammenfassenundDialekte ausklammern als hier steht die Matrix A minusandermal die Einheitsmatrixmalden Vektordas ist eigentlichganz billig ist es kostet zum bisschen Überwindung besonders einmal durchdrungen hat aber dieses billig was hier passiert ich habe jetzt eine quadratische Matrixvektorzu null machter nicht der Nullvektor sein soll Punkt zu Beginn gesagt mit den Nullvektor wäre das langweilig Fauser nicht der Nullvektor sein wird von dieser quadratischen Matrix zu null gemacht ??es geht aber noch in anderen Vektor der zum ?? gemacht wird nämlich den NullvektorDas heißt dieses Gleichungssystemwas hier steht ist nicht eindeutig lösbarwenn ich in gleichen System mit so vielen Gleichungen wieunbekannten habe das nicht eindeutig lösbar ist weiß ich die Determinante ist nullund umgekehrt wenn die dominante null ist und so weiter es ist nicht eindeutig lösbar lustiger Weise geht das hier genau dann wenn die Determinantevon der Matrix widerstehtmeine Matrix minus andermal die Einheitsmatrix gleich null istdieses Ding kennen sich die charakteristischeGleichung für die Matrixder Vektor ist jetzt wegund der steht einfach nur eine Zahl gleich nullso fängt mantypischerweiseander zumindest bei kleinen Matrizen Sommer zwei dreimal treiben zum Eigenwert Eigenvektorengeht man sucht die langen Gas die diese Gleichung erfüllendie charakteristischeGleichung erfüllenamund dann weiß man das sind Eigenwerte und sucht dann passende Eigenvektorendazudas Schreiben immerhin für diebeiden Matrizen hiergesucht ist A Minuslanderdie Einheitsmatrixdaraus die Determinantefür diese beiden Matrizen A jeweilseine nach der anderendas möchte ich lösen als erstesalso der erste Teil eins zwei vier eins mit Marmeladeund schreibt diese Gleichung Handy Determinantevonder Matrix ich habe eins zwei vier einsminus andermal der Einheitsmatrixder steht einfach hier Minuslander da Minislanderdas gleich null Punktdann wenn Lande ein Eigenwert ist und nur dannwird dieses null werden wir diese Determinante null werdendann hat dieses Gleichungssystemein Lösungsproblemgenau dann finde ich so ein Vektorder nicht der Nullvektor ist und zu Nullvektor gemacht wird und so weiter und so weiterinteressiert mich das hier welche Lande erfüllen diese Gleichung??Maus zu buchstabierenals ich Evan stehtneben Rechnung schreibt man dann typischerweise gar nicht hin hier vorne steht eins zweivier eins minus andermal die Matrix eins null null einseins minus andermal einszwei minus andermal nullviersechs vier minus andermal null viereins minus andermal eins einzelne Sammlerverschaffen dannkann ich hin das ist der Clandas einmal gemacht hatund das rechnen sie jetzt mit HauptdiagonaleNebendiagonalensteht also eins minus Lambdamal eins Minuslanderauf der Hauptdiagonalenminusvier mal zweiminus vier mal zwei ganz ausführlich?? vorne haben wir einsminus zwei LanderPluslander Quadratmachte insgesamtflammender Quadrat minus zweiLambdaplus eins minus acht sind minus sieben eine quadratische Gleichungmit dreimal drei Matrizen machen Hamm seine kubische Gleichungist mit tausend mal tausend Matrizen machen haben sondernGleichung die mit Landau tausend anfängt was offensichtlich keine mehr so lösen wir da muss man anders angehenegal für zweimal zwei dreimal drei Klammer zu tunähmdie kriegen jetzt also Lander ist gleichQ Formeleins Plus Minus jetzt kommt die Wurzel eins Quadratminus minus sieben also Betrachter hines gibt also zwei Lösungenzwei verschiedene Werte von Lander die das machen das sind die Eigenwertedamit habe ich jetzt gelernt dass diese Matrix hieralso die eins zwei vier einsdass diese Matrixeine Richtungmal eins Plus Wurzel acht nimmt und eine andere Richtung mal eins minus Wurzel acht nimmt und auch sonstkeine Richtungen erhalten bleiben zwei Richtungen bleiben erhaltenjeweilsmit dem Faktor werden dann multipliziertim jeweiligen Eigenwertsonst gibt's keine alten Richtungendie Eigenwertserieist der nächste SchrittEigenvektorendazu zu bestimmen damit man weiß welche Richtungen es sind zwar sicher noch nicht ist x-Achse oder irgendwas querfeldeingehalten wird ich weiß nur den Faktormit in die jeweilige Richtung modifiziert wird??das geht hier dann weiterkennen und das Lamm dannwenn ich das einsetze in dieses A minus andermal Einheitsmatrixsuche ich also ein Vektor der nicht der Nullvektor ist aber zu doll gemacht werden habe ich ein Eigenvektordiesen Ausdruck derselbe Ausdruck der eben schon in der Determinante stand den nehmen Sie setzen das Lander ein Wasser gefunden habenund suchen Sie ein Vektorder von dieser Matrixzu Nullvektor gemacht werden musste weckte dann auch im Kern nebenbeiden gleichen Systemnummer zurückzugehen und suche einen Vektor im Kern der nicht der Nullvektor istbesonders ?? hinzukriegen dieses Matrix hinschreiben ein Wetter zu finden der zumNullvektor gemacht wirddas es ja diese Matrixmit dem Landerbechervektorwird zum Nullvektor gemachtalsoich kenne meine Eigenwertezwei Stück hier und jetzt suche ich jeweils einen Vektorder von dieser Matrix zu null gemacht wird dann es ist ein Eigenvektorzum jeweiligen Eigenwert die schreiben diese Matrix in A minus andermal Einheitsmatrixund suchen nach Vektoren die von der zur nur gemacht werdenman löst im Endeffekt einen Jahres Gleichungssystemnetterweise ?? diese Matrix ja schonhier steht sie jawenn sie die Strich wieder vergessen und es wieder als Matrix hinschreiben?? guckenein Swing Sander zwei vier eins Minuslandereins minus Lambda zwei vier eins Minuslanderdas war meineMatrix minus andermal die Einheitsmatrixwenn ich jetzt für Landerein Eigenwerteinsätzeeins Plusminuswurzelacht immer das bei den beiden auf einmaleins Plusminuswurzelachtdass es jetzt A minus Eigenwert malEinheitsmatrixwenn ich das mit dem Eigenvektor multiplizieremit einem eigenvektormedizinischererfolgswirksamniemals bessermuss der Nullvektor rauskommenich suche alsoV X Y nicht beide gleich null dritter zehnten null rauskommt?? noch bisschen hierstreicheneins minus eins fliegt rauseins minus eins darf ich das raus diese Matrix hier ist alsominus plusminus Das heißt Minus PlusWurzel achtzweiviervier minus plusminus minus PlusWurzel achtBits einen ganz dummen Trickwenn sich die erste Zeile anguckenmal diesen Vektor muss null ergebenwas wissen Sie jetzt eigentlich schongenau das heißt doch das Skalarproduktaus diesem Vektormit dem Vektorist null das heißt sie stehen senkrecht aufeinander dasselbe für den unterenwenn Siediesen Vektor mit dem modifizieren und unseren erhofftenEigenvektorkommt null rausbestehen aus senkrecht aufeinander ?? geeignete muss endlich auch ein Zeilen stehen ich suche ein Vektor senkrecht auf ein Zeichen stehtund das ist relativeinfach zu kriegenhaben wieder mitmachenwie kriegen Sie einen Vektor der senkrechtauf der ersten Zeile stehtder ganz alte Trick genauvertauschen und einennegativ machenwir nehmen folgendessucht ja nur irgend einen in der Richtung ?? wir nicht alle wissenheimlich vertauschen diese beiden die zwei nach oben und dieminus Plus Wurzel acht nach unten und ich ändere ein Vorzeicheneine Meiers minus Plus Wurzel im Plusminuswurzelacht?? zum Eigenwert nehme hiermit Plus hatten wir dann hier unten auch die Plus Wurzel achtähm der steht senkrecht auf der ersten Zeiledas heißt diese Null habe ich geschenktLeerschritt netterweise automatisch senkrecht auf der zweiten Zeiledenn wenn er das nicht nicht tätewürde ich keine Lösung finden ?? ich muss eine Lösung finden also muss der aus senkrecht auf der zweitenZeile stehen die ganz Nachricht ist kein Hexenwerk dannvon ?? vor vier mal zwei sind acht und jetzt kommt minus Plus Wurzel acht Mark Plusminuswurzelacht bis minus acht achtens achtens null wird automatisch senkrecht stehende geometrischer Kanallöschungin eine Richtung aufzuzeigendann muss das ganze ?? ausführlich lösen dieses Gleichungssystemwas man hier hateine GleichungX eine GleichungY zwei unbekannteMann sucht einfach einen Vektor der senkrechtauf der ersten Seite dieser Matrix steht und dann ist es erledigt alle vielfachen davonausgenommen das null fachesind Eigenvektorenzum EigenwertSambia eins Plus Wurzel acht des Plus nehmen und eins Minuswurzelacht wenn sie das Minus nehmenundansonsten gibt's keine Richtungendiebestehen bleiben bei der Matrix zwei Richtungen bleiben bestehen bei dieser MatrixKlammer zu vertiefenPunkt die zweite Matrix anselbe Rechnung etwas anderes Resultatich muss gerade noch was zur ersten Aufgabe nachtragen was ich gerade gesehen habeähmich weder hier die Richtung bestimmen ich weiß daseine Richtungvon der Matrix erhalten wirdandas ist ein Vektorjeweils in diese Richtung natürlich sind alle vielfachen davon nimmt das dreizehnfacheoder das Minus von vierzig fache alle vielfachen davon sind natürlich auch Eigenvektorenes reicht einen anzugeben das ist dann stillschweigendklar dass alle vielfachen auch funktionieren ich suche hier nur einanSohnes Komma zweiteneins zwei null einsalso schreib jetzt mal wieder hin eins zwei null einseins Minuslandereins Minuslandermeine Matrixministernder die Einheitsmatrixdavon die Determinante muss null seindamit dieseLösung für dieses Gleichungssystemhier obenhier damit diese Lösung nicht eindeutig istdas rechnen wir auseins Minuslandermaleins Minuslandereins MinuslanderQuadratminus null mal zweiKlammer zu Warschaus in Schuss ?? sodas muss null werdeneins minus Sonderquadratmuss null werden das könnte mit PQ Formel machen aber irgendwie finde ich das bisschen heftig mit Wirkung vom sie sehen sofort das Lander gleich eins sein muss ohne wenn und aberBerufungen machensteht da bis Minuswurzel nullaber sie sehen hier direktin die Lander von eins abziehen und verlieren kommt null raus also wissen Sie eins Minuslanderist schon nur gewesen also Sandergleich eins seines gibt noch einen Eigenwertund ist einsund jetzt gucken wir was für den so Einrichtungenfindennun ich rechnejetzt meine Matrix eins minus eins den Eigenwert zwei nulleins minus einsMal einen Kandidaten für einen Eigenvektordas muss der Nullvektor werdenangucken eins minus eins Napster steht null ?? steht nulldas können Sie jetzt wieder mit Schema F machen die geradeich nehmedie Zeile hier oben null zweivertauschen die beiden und Ende ein Vorzeichenzwei minus null wenn sie wollenich finde es hübscher wenn sich folgendes überlegenmir steht null mal?? null mal VXplus zweimalvor Y ist nullnull Mal folgst du zweimal folgsam ist null Das heißtV Y muss null sein sonst kann es nicht hinhauen nun mal VX plus zweimal Volkstanz nurzweimal fünftens null Versäumnisnull seinund damit kriege ichalsozum Beispielnach zum Beispielnehme ich den hier Frau X von Yist gleicheins nullzwei null oder minus zweiundvierzignullalle in derselben Richtung sind erlaubt als ein Stellvertreterfür den für den EigenvektorEigenvektorensind alle vielfachen von dem hieraußerdem nullfachen der Nullvektor keinEigenvektor seinwas sie Sonstiges ich habe nur noch eine Richtung diese Matrix erhält eine Richtungaber nicht zwei Richtungenanwenn sie sich die Original angucken diese Matrix dessen Schilderungdeshalb die kippt allesdiese Matrix gibt alles entlang derX Richtung TX Richtung beibehaltenaber sonst bald keine Richtung gehaltendas kann auch noch passierenmuss sie noch gar nicht dabei habenes kann passieren das sie in zwei Richtungen denselben eigenenWert haben wie sehr diese Matrix dann aus meiner zwei mal zwei Matrixund sie haben in zwei Richtungen denselben EigenwertGrassermit unserer ausdrücklich gesagt habe Richtungminus eins null sehr streng genommen die Gegenrichtung ist die Gegenrichtungeine andere Richtungdanndas es für mich natürlichdieselbe Eigenrichtunghierdieselbe gerade in deren Richtung dieserEigenvektorenlaufen also minus Einzel will ich auch nicht wenn ich einen haben wollen würde der querläuft?? versagen nicht einen anderen Eigenvektor Hamborn würde der querläuftwie müsste diese Matrix aussehen damit das möglich wärewahrscheinlich die Antwort zu pathologisch wenn diese Matrix komplett null wäre wenn hier auch nochnull stünde statt der zwei auch eine null Stunde dann können Sie jeden Vektor einsetzen kriegen null null rauswenn sich das als ergeben hätte bei unserer Rechnung des hier oben noch ?? null stündedann wäre lustiger weiß jeder Vektor der nicht der Nullvektor Essen Eigenvektorzu diesem eigenen einsSingers passieren könnte wenn sie nicht die zwei gestanden hätte sondern nulldann hätte ich hier eine null gestanden und die Originalmatrixhätte da eine null gehabtsehen Atoll Einheitsmatrixnatürlich bei der Einheitsmatrixist jeder Vektorder nicht der Nullvektor ist ein Eigenvektor mit dem ein hundert eins bei der Einheitsmatrix wird jeder Vektor zum einfachen von sich selbstaus der Ärger kann auch noch passierendas sie dann für einen eigenen Wertmehrere Richtung kriegenwenn hier nicht die zwei gestanden hätte sondern die null dass sie dann hier gleiche Ebene kriegen zum Beispiel in zweite Missionarsgebildeoder dann dreidimensionalist nicht das übliche typischerweise wird gerade seinaber das konnte dann auch noch passiereneinenum aus einemdreidimensionalenHangzum abgewöhnenelfselbe Aufgabe für diese Matrixzwei zwei einsnulldrei minus fünfnull null vier ??extra so gewähltdass man die Determinante leicht ausrechnen kann ?? vier nullMeter keine Kopf Rechenübungen veranstaltenalsohier war ebenfalls gefragt Eigenwert?? Eigenvektorenähmmich interessiert ja wiedergroßes dieses hiermeine Matrix Minuslanderdie Einheitsmatrixdavon die DeterminantesollNull sein genau dann ist das Landerein Eigenwertalso sage ich Null soll bitte seien die Determinanteaus zwei Minuslanderzwei eins nulldrei Minuslanderminus fünfnull null vier Minuslanderdie gleichen möchte ich lösenmeine Matrix minus langsamer die Einheitsmatrixmuss ein Lösungsproblemhaben wenn Lander in Eigenwertist?? genau dann eine das Problem wenn man dann Eigenwert des will sagen die Determinante ist null so findig die Eigenwertefür die kleinen Matrizen für die großen gesamtendoch etwas anders angehenLeerzeichen hier die Determinante aus nach dem französischen Verfahrenähmsind wir auf der HauptdiagonalenAktion zwei Minuslanderdrei Minuslandervier Minuslanderes geht weiter zweimalminus fünf mal null schönes S nullund einmal null mal null ist auch null minusnull mal irgendwas minus null malirgendwas minus vier Minuslander mal null ?? alles weg ist da das überden sie warum ich da die null hingeschrieben habedamit fertig werden ?? verwendetkompetente kubische Gleichungberechnen hier gar nicht weiter an dieser Stelle sind wir schon fertigjetzt lesen Sie sofort ab Lander S zweioder Lander S drei oder Lander ist vierdas sind die drei Lösungensie stehen hier schonuns vor die Füße geworfenalso weiß ich jetztdrei Eigenwertelanderist gleich zweioder Lander es gleich drei oder Lambda ist gleichvierdazu suchen sie jetzt mal EigenvektorenokayEigenvektorendazuScannerzum Beispiel mein Eigenwertgleich zweiein Eigenvektordazu die Eigenschaft habendass meine Originalmatrixminus zwei mal die Einheitsmatrixauf diesen Vektor angewendetder Nullvektor gibt's also suche ich mal so eineneine OriginalmatrixKomma ?? EigenvektorzuWertzweides hiermit Lander gleich zwei also nullzwei eins null ?? gleich zwei eins minus fünfnull null vier minus zwei macht zwei null zweidas hier mal mein gesuchterEigenvektorsoll der Nullvektor seinNetz guckt man sich das hierscharf an ??stellt festnun mal VXnun mal VX Nummer volksfolgsamgar nicht vorVX ist beliebigdie können das Gleichungssystemeauch zu Fuß lösen aberwarum ?? gleichen System zu Fuß lösen wenn man es auchauf die schnelleEnde Wellen lösen kannVZsind in der letzten Gleichung null mal VX plus null Mal vor Y plus zweimalVZ ist gleich nullMakernull mal VX plus null Mal vor Y plus zweimal vor Z ist gleich nulldas geht nur wenn VZ gleich null istLiebig und VZmuss gleich null seinokay wenn VZ gleich null ist Punkt die zweite gleichen null mal VXeinmal vor Y minus fünf mal VZHotels aber null einmal fünfzehn hundert übrig muss null sein schick verübt sein muss auch null sein beide müssen neu seinalsoweiß ichEigenvektorwäre zum Beispieleins null nulloder alle vielfachen davon außerdem null -fachenSatzes wirklich wieder eine geradeeine einzige Richtungdie dannverdoppelt wird?? im Raumamdernächste Eigenwertmuss es ja auch wieder ein mindestens einenRichtung dazu geben Eigenvektorzu Eigenwertdrei dreizum Eigenwert drei??ich bilde meine Matrix mit dem Eigenwert drei ?? hier drei drei drei Einsätzen macht minus eins zwei einsnullnull minus fünfminus eins zwei eins null null minus fünfminus eins zwei eins null null minus fünf und unten steht steht stehtdie minus drei null null eins steht untendiese Matrixsechsmal einzelnen null null einsmaljetzt natürlich ein anderer Eigenvektor das so nicht derselbe sein wie auf mich Frau schreibe ich vierzig das Alphabet durchgehenPunkt das soll der Nullvektor sein?? angucken was wir alleslernen hierselbe Trick für eben?? untennull malVX plus null Mal vor Y plus einmalVZ ist gleich null ist die letzte Gleichungdamit weiß ich wieder VZ muss null seinseinwas man sieht sie aus der zweiten Gleichung aus der mittleren Gleichungsich als ?? Gesang aus dieser zweiten Gleichung ja nicht gar nichts Neues nun mal VX plus null Mal vor Yverschickt das es immer nullminus fünf mal VZwas sowieso null ist weil ich schon weiß es VZ ?? soll gleich null sein ich lerne gar nichts aus der mittleren Gleichung nur mal VX plus Nummer vor Ysteht nichts von X und Y drinund minus fünf mal VZ sowieso null in der letzten Gleichung des was sie mit der gleichen hilft nichts?? ob die Obergleichungwasbringtminus einmal VXplus zweimalvor Yplus VZgleich null ?? die das Licht immerhinin einerGlorie nehme mal die obersteKarte dastehtminus VXplus zweimalvor Yplus VZist gleich nulldas machen sie aus der Gleichungals ersteserinnern Sie sich VZ zweier Nullen der schönen ?? bei den hier einfach und dann sehen Sie das VXvor Y sich gegenseitig balancieren müssendannzwei V Yist gleich und den rüber VXGibson Komponente ist das Doppelte der Exkomponentedas ist auch wieder also nur eine gerade die sich da ergibtder Eigenvektorzum Beispielwas kann ich zum Beispiel als Eigenvektorals Richtung Vektor für diese gerade angebenzwei eins null wird es bringen zwei eins nullähmVXist zweivor Y ist ein Stent stimmt tatsächlich zweimal eins ist gleich zwei und VZ ist zwangsweise nur alle vielfachen davonwerdenauf das dreifache gebracht von der Matrix das weiß ich auch wieder Hände wedeln zwingend offiziell machen wollen gleichen System lösen mit Klaus oder wird immer?? und der letzteEigeneigenvektorenEigenvektorzum Eigenwertvier zum Eigenwert vierich schreibe die Matrix wieder hin und Setzelander gleich vierUhr waren wir hier waren wirdann steht da minus zwei zwei einseinsnullhundert vier minus eins minus fünfnull minus eins minus fünf und unten steht??null nullnullnullnullnull diese Matrixmalden erhofften Eigenvektor jetzt wieder anderes VX Wartezeit als eben natürlichsoll der Nullvektor seinwas weiß manstimmt sie können die zweite Gleichung nehmendann sehen Sie minusvor Yminusfünf VZ ist gleich nullminus V Y minus fünf VZist gleich nullmit anderen Worten vor Y ist gleichminusfünfVsetztdie unter gleichen Bindung gar nichts null mal VX plus nur mal vor Y plus Nummer VZ ist gleich null sehr lustig das wussten bevor schonähmdie obere GleichungKomma also minus zwei VXplus zwei V Yplus VZist gleich null das ist die obere Gleichung ??was man mit der oberen Gleichunggenau ich weiß ja schon wie vor Y VZ Zusammenhängenden hier setzt sich einundfindeminus zweiVXpluszweimal vor Y dessen also minus zehn mal VZzweimal vor Y sind minus zehn VZ minus zehn VZplus VZ ist gleich nulldann bin ich hier bei minus zwei VXminus zehn plus einen sind also minus neun VZund damit habe ich VX und VZ zusammenVXist alsozwei neuntelminus zwei neuntel minus zwei neuntel VZeinenzwei VXsind also minusneun VZDetail noch durch zwei dann haben sie VXist gleich minus neunhalbe VZauchwas sagt mir dasüber meine Eigenvektorenwas essen Kandidat alsoam dümmsten verschanzen wir für VZ feste Zahl einsetzender Sagen für VZ setzen nur einslieferte gleich Einsätzesehen sie vor Y ist minus fünfund VX ist minus neun halbeund natürlich wieder alle vielfachen davon außerdem nullfachenMann sich aus der Gleichungskrisegekommen ist ?? es gibt nur diese eine gerade ?? es gibt nicht etliche andere Richtung die auch nur funktionierenkönnte kann nur diese Karte sei das Land tatsächlich jetzt drei geraden im Raumalle vielfachen hiervonwerden zum vierfachenalle vielfachenvon dem hier werden zumdreifachen?? und alle vielfachen von dem wir werden zum doppelten durch die Matrixund alle anderenzeigen nicht mehr entlang derselbengeradewenn ich sie durch die Matrixaber durch schickebei den zwei mal zwei hundertPersonen schnellen Weg hier aber wann war er in gleicher ?? und schnellen Weg ich nehme mir eine Zeiletauschen die beiden um Ende ein Vorzeichensind immer dreimal dreißig nicht ganz so einfach weich mehr Zeilenin Betracht ziehen musstrotzdem geht sie mit einem kleinen Trick ich suche ein Vektor für den letzten Fall Eigenwert vier ich suche einen Vektor Volksaufstand VZ der senkrecht auf der ersten Zeile steht damit dann rauskommtund senkrecht auf der zweiten Zeile steht damit da null raus kommtdas gesetzlich zu Fuß hin einige schon gesehen gerade Vektorproduktalso lösen sich die Gleichungen wie auch immer oder bilden sie einfach Vektorprodukt minus zwei zwei einsKreuz null minus eins minus fünf ?? Ausrufezeichenkommtminus zwei zwei eins Kreuznull minus eins ?? fünfminuszwei zwei eins Kreuznullmein Gedächtnisäh null minus eins minus fünfminusihrProbleme das malschaffen alternativ davordas machtoben streichen zweimalminus fünf minus zehnminus minus eins minus zehn plus eins sind minus neunfür die ?? Komponente in der Mitte streichen und falschen rechneneinmal nullminusminus zweimal minus fünf minus minus minusminus zehnso gehört es ja auch eine Schuldbekenntnis aussehen muss und für die Zeitkomponenteunten streichenminus zweimalminus eins sind plus zweiminus nullund sie sehen das ist das Doppelte von dem was ich eben raus hatte Doppelte Sack geht einfach ?? ein vierzig Fach lieferetatsächlich das null facheso wär's einfacher gegangen wenn man sich eine ?? geändertgute Frage geht das immer gesehenin dieser Situation ich habe hier zwei Zeilenin den Licht null Vektoren stehenund in der dritten Zeile steht Nullvektoram in der Situation von Singles auf jeden Fall in den Situationen hier vorhersehenzweimal derselbe Weg und so weiterwürde ich noch mal einmal nachdenken es sollte funktionieren aber schalten gebe es das Gehirn einArmdie Frage ist nichthier den Eigenmittel zu finden an der Stelle soll die Frage sich so ein Vektor senkrecht auf dem und senkrecht auf dem steht und dafür ist die AntwortVektorprodukter beantwortetewichtige Fragen