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17.02 Betrag, Winkel einer komplexen Zahl


CC-BY-NC-SA 3.0

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analogzu den Vektoren hat man Betrag und Winkeleiner komplexen Zahlnureineleere AchseErle Axeweiterzu ich mal mal wieder zwei plus wie ein hier wäre zweites wiebei den rothier wäre zwei plus die??und gebe ich einfach ganz dumm an was die Entfernung vom Ursprung istdiese Länge hierder Abstand vom Ursprungund nenne dasdieLänge oder den Betragder komplexen Zahlendas nennt sich Z einsBetrageinfach die Länge dieses von Vektoren kennen die Länge der komplexen Zahlwie lang ist hier der Abstandvom Ursprungsarmenkönnen ?? ausrechnen ist die Zahl haben hierdie Länge von Z einsnach Pythagorasmussten sie rausPunkt es sieht wirklich rein geometrisch?? einsbis dahin eins bis dahin eins nach oben rein geometrisch die Länge bestimmtnichts mit ihmwar also Wurzelaus zwei Quadrat plus eins Quadratohne dass er nie vorkommt diese Länge hierin Zentimetern abgelesenohne irgendwas an dieDas heißtdiedie Menge einer komplexen Zahlder Betrag einer komplexen ZahlistBeate ?? ins Quadrat plus Imaginärteil ins Quadratund dann die Wurzeln auch wichtig eine Stelle wieder kein Ientsteht einfach der nackte Imaginärteilohne Nieder Weisung diese plötzlichen minus kriegenund schon ganz fürchterliche Effekte das soll wirklich rein geometrisch die Länge seinwenn sie das mitnormalen DL Zahlen machen mit üblichen reellen Zahlen machensich das vor mit derer über jeweils mit minus zweider sich vor sie würden dasselbe rechnen mit minus zwei dann stünde daminus zwei Quadrat plus Imaginärteil S null QuadratmachtWurzel aus minus zwei Quadratfuß null Quadratzwei genauminus zwei verglichen mit vier Wurzel macht zwar für die normalenreellen Zahlen ist das wieder der gewöhnliche Absolutbetragdas ist ?? Verallgemeinerungdes Absolutbetragminus zwei Sitze ein bisschennah dran sodas es Verallgemeinerungdes Absolutbetragfür reelle Zahlen das er gerechnet die den ganz normalen Absolutbetragwie weit ist die minus zwei vom Ursprung weg zweiwie weit ist die minus dreizehn vom Ursprungsweg dreizehn über diese Busreise vom Ursprungsweg dreizehnaber nun in die Ebene gerechnetund jetzt das komplexe ?? geht in Aktion man kann dieses noch etwas raffinierter schreibenwollenwenn sie nämlich folgendes Rechnengegeben seine konvexe Zeit setzt mit soundsovielplus soundsovielmal diealso diese A und BbezahlenA der Realteil weder Imaginärteildann ist das Quadratdes Betrags das Quadrat der Längenach Pythagorassich an was sie passiert A ist der Realteilso viel gehe ich nach rechts in meinem Koordinatensystemkostet sein Ebene ist die um A nach rechtsin die ich um B nach obenhier nicht meine Zeit setztes jetzt diese Abstanddas ist die Länge der Zeit setztdieser Abstand ?? und nach PythagorasStrikenach Pythagorasdas Quadratdieser Länge Quadrate gute News istder Realteil ins Quadrat und Imaginärteilins Quadratohne Ioder zwei AB und so weiterdas ist ganz nacktPythagorasübrigens eintritt das anders zu schreiben mit dem Come-backs korrigierten der kommt hin und wieder Vergleichen wiederum sehr sehr gern und häufig vorallemProbleme mal folgendeseine Zahlsetzt diese komplexe Zahl Z Magier komplex korrigiertesdas sieht es bisschen komisch aus und soll ich das tunwir das als mathematischesExperimentwas wird es werden eine komplette Zahl mal ihren Komplex korrigiert esdie doppelte Zahl soll sein A plus B Magiewas ist das konvexe kollidierte von Abfluss B MaliAminus B Mali das Vorzeichendes Imaginärteilzu ändernsound jetzt kommt die dritte binomisch Reformmeine Sicherheit aber zu Fuß ?? muss man zu Fußarm à laA Quadratmit denminusamalbida wieder schönplus BI mal Ar dieser hier plus BI mal A B niemalsAdes Abiturs ABund jetzt kommt der hier noch die beiden zusammendas es bisschen heikelplus B mal diemal minus mal B Mali auf jeden Fall B Quadratplus Minus macht insgesamt ein Minusihm mal dieQuadratnoch malB mal B gibt es B Quadratplus mein minus gibt es minus I Mali gibt es in Quadratwas macht das hier hintenan mich erinnern die Quadrat es minus eins minusB Quadrat mal minus einsmachtB Quadratund entsteht hier ??AbiabiBeistrich weg A Quadrat groß B Quadratund das ist das netterweise wisse was oben rausgekommen istPunktdas heißt ich kann das Quadrat der Länge einer komplexen Zahl bestimmenindem ich sie mit ihrem Come-backs korrigierten multiplizieredas in ganz üblicher Trichterrechnereine Zahlkonvexe Zahl meine komplex korrigiertessind das selbe raus als wenn ich das Quadrat der Länge bestimmt habendas ist die Längeundmit der Länge Komma sie ?? überlegen müsste Winkel sein solleiner komplexen Zahlheißen auch gerne Argument manchmal ?? PhaseihrerAchseeine komplexe Zahlähm nämlich die A plus B Maliheißt der Realteil ist A und der ImaginärteilBund interessiert mich der Winkelimmer nur diese Länge hier das ist die Länge der komplexen Zahl der Länge der Gutmusikerwarenjetzt interessiert mich der Winkelwie gesagt er heißt manchmal auch Argument und das manchmal auch PhaseanPhase deutet schon an wenn die Schwingungen habendiese Winkel sehr gerne was mit Phasenverschiebungzu tun doch einfachaufdasüblicheimmer diesen Winkel in Zusammenhang mit RealteilungImaginärteilbringt ist das ich den Tangensbildernvom Winkeldas wäre gegen Kathetedurch ein DTP durch Aalso der Tangens von dem Winkel ist das VerhältnisdesImaginärteilszum RealteilungImaginärteildurch Realteilgibt den Tangens vom Winkel der Zahlbringt mich auffolgende Gleichungsie in ganz vielen Lehrbüchern Fall stehtanes gibt Leute die sind ganz tollkühn und lösen das ja auf der Tangens ist das Verhältnisvon Sven Imaginärteilzu Realteilkönnte man jetzt glauben okay dann ist doch der Winkel offensichtlichder Argus TangensvonImaginärteildurch Realteilaber sich in ihm erzählt habe das Haut eben nicht immer hindas ist der Ärger mit dem Argus Tangensähmin der Hälfte der Fällehabe der Maler dazuVorsichtanPunkt das normal an hiermit dem Argusstangedesder hier der Argus Tangensder Argus Tangens liefert Werte von null bis neunzig Gradund von null bis minus neunzig Grad aber niemalsWinkelab neunzig Grad aufwärts und niemalsab minus neunzig Gradabwärtsdas heißt wann geht das eigentlichein paar Beispiel einzeichnen?? Nummer eins Nummer zwei Nummer dreiNummer vier und mich fragen welchen von den Fällen passt das mit dem Argus Tangenshier ist der Winkel zwischen null Grad und neunzig Grad das funktioniert mit dem Argus Tangens der Gesteine für diesen Winkel ?? liefernhier untenist der Winkel zwischen null Grad und minus neunzig Grad der Haut auch hin mit dem Argus Tangenshier ist der Winkel aberüber neunzig Graddas machte Argus Tangens nicht der Argus Tangens wird für den falschen Weg geliefert unter unten ist der Winkel negativer als minus neunzig Grad für den bitte auch den falschen Winkel liefernähmwas wäre also die Bedingungwas kann ich als Bedingung hinschreiben das Geld wennwas?? diese Formel gilt nur auf der rechten Seitedie sie die Bedingung A muss größer sein als ?? nicht mal kleiner sein wie entspannt gleich seinebei neunzig Grad auch nicht rauskommen teilen hierdurch nulldas ist auch schon schlecht aber muss größer sein alsnull Fandas nicht vergessen das vergessen ziemlich vieleLehrbuchautorenwenn A größer ist als null??ganz streng genommen ist das aber nicht richtiganich könnt ja statt diesen Winkel anzugeben auchden Winkel eingehen drei hundert sechzig Grad mehr oder diesen Winkel angeben siebenundzwanzigGrad mehrwennman ganz streng istplus ein ganzzahligesVielfachesvon zwei Pides örtlichen bisschen pingelig anaber ich kann Ihnen versichern sobald sie anfangs sowas am Rechner zu lösenwerden sie so pingelig war garantiert das falsche Vielfache von zwei wieder rauskommt plus ein ganzzahligesVielfachesvon zwei Pisichert habe das gilt nur wenn derTheater größer ist als null Wasser eben hatten mit dem Argus Tangens zwei?? tatsächlichetwas besser hinfahren wenn ich Argus Tangens zwei nehme Art ahnen zweiBAerstes Y kleines Xdas geht immer?? mit dem gleichen Körnchen Salz plus ein ganzzahliges Vielfaches von zwei Pi das kann auf der Argus lange zwei nicht der kann ich zwischenzehn Grad und drei hundert siebzig Grad unterscheidenvondrei hundert sechzig Grad von zweiPi