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09B.3 inhomogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetztmuss diese Differenzialgleichungklein YpsilonSchrägstrich?? plus zwei Ysoll seinSinus von X finden Sieirgend eineLösungirgend eine Lösung der professionelle Begriff ist eine speziellereguläre Lösungfinden Sie irgendeineLösungnicht die allgemeine?? muss gleich anüberlegen sich was Ysein könnte welche Bausteinehaben siesinnvollerweisedas auf der rechten Seite der Sinus auskommen kann ?? basteln sie was zusammenin dieser Weise irgend einenJahr überlegen sich was an Zutatenin den YdrinstehenkannAnsatzY ist gleich was was kann drin vorkommenander Sinus rauskommtWurzelfunktionwahrscheinlichziemlich plötzlich nicht wurde Funktion ableiten und zweimal die Wurzelfunktion?? von der Sinus nicht aufKomma abstellenIxus zweiundvierzigableiten und zweimal jeder Gebrauch kann sie es rauswas leiten sicher ab hundert Yen zweimal dazu damit der Sinus rauskommtraten sie eine Form das ist der Ansatz man schreibt in diesem Prinzip aussehen müsste ich nehmen hiervon was und ich ihm davon was früheres zusammen setzt es ein und dannwas nicht so lange rum ist stimmtdas ist die Idee beim Ansatzwelche Funktionsoll ?? vorkommenwelche Funktionensollten vorkommen?? dannmehr hier hören sie was zusammen aus Sinus und Cosinusalleine wird es nicht bringenbrauchte Sinus offensichtlich welche zwölf sondern eine Sinus rauskommen soll er sollte in unliebsamen Sinus drinstehenaber Sinus alleine bringt es nicht in intensives ableiten ?? den Kosinus und sie müssen Kosinus wieder weg kriegenals ein Gemisch aus Sinus und Kosinusübrigensnatürlich nicht durch das gerade gesehen habe nicht Sinus von achtundneunzigmal X oder sowasnatürlich nur Sinus von Xund Kosinus von X dem sie auch nicht in sie das Fenster wieder rausPunkt achtundneunzigein Gemisch aus Sinus und Kosinus das versuchen sieeine Mischung zweier Funktionen liegen ja Kombinationzweier Funktionendenken Sie an die Linearkombinationzweier Vektorendreimal eins zwei plus sieben mal acht neun ?? ich mich diese beiden Vektoren irgendwiegenauso kann ich Funktionen mischen dreimal die WurzelPluszeichenMalik zu zweiundvierzigsolchen Funktion gemischter Schreiben sehenirgendwasmal den Sinusirgendwasmal den Kosinusja Kombination zweier Funktionendas ist mein Ansatz??ich sollte mal sagen warum sogesehen erst maldas schreit danach das Y den Sinus von X enthält wichtige Sinus von achtundneunzig X und in den Sinus von X enthält in soundsoviel Y identifiziertSinus werden soll erwarte ich das in Y Sinus von X drin steckt alles andere wäre total komischwenn Y der sichersteWegBeistrich aber der Kosinusdrin das ist blöd Beistrich soll kein Kosinus raus Kommaalso muss in Y sowie Kosinus entstehendass die Ausrüstung endlich wieder rausfliegtbei den Y Hack vors heraustretenstehtsoll nächste SchleifeBeistrichminus der Sinus das aber kein Problem weil ich den Sinus weggeben kann ?? schon ein ??das ist eigentlich der Gedanke ?? favorisiert in Aktion sehen dasTheismusso funktionierenalso das ist mein Ansatzsetzen Sie den einbestimmen Sie Art bestimmen Sie Bso das aus dieser Kombination hätte Sinus rauskommtsodie Ableitung von dem Ding auch ?? Beistrich von Texten Sinus ableitenden Kosinussicherheitshalberbevor siemüssen schon sehr die präzise Wasser auswendig wissender Sinus geht mit einer Steigung von eins Losticketnicht minder Steigung von minus eins Dose mit einer Steigung von eins großder Kosinusgeht mit dem Wert von eins losdas einzige was der Sinn von übrig bleibt ist das die Ableitung von Sinusder Kosinuseinemund hier der Kursus abgeleitet ?? Klammer auf der Kosinus abgeleitetder geht mit null los und singtdie Ableitung von Kosinus ist null und dann negativdas es was derminus Sinusgut kannWirkung ?? etwas anderes wäre als mindestensoffizielle Begründung gab's ja letztes Semesterso merke ich mir das wahrlich auch schlechtes Gedächtnis habe die Ableitung von Sinus ist der Kosinusgroß X ist minus Sinuseinsetzendann haben wir aber mal den Kosinus von X minus B mal den Sinus von XErgänzungsstrichplus zweimalplus zweimalAsiensKosinusist gleich Sinus von Xfür alle X??rein mathematisch bin ich versucht zu schreiben A mal Kosinusminus B mal Sinus plus zweimal und so weiter ist als Sinus des öffentlichenSchreibens lassen das X überall weg aberich glaube das wäre dann etwasirritiert sinddas soll gelten für alle X soein Gemisch aus Sinus und Kosinus soll nur der Sinus sein sie haben denSinussie haben den Kosinusein Gemisch daraus soll nur der Sinus seinkann kein Kosinus Vorkommendie einzige Chancelinks darfin der Summe kein Kosinus vorkommenwas heißt das Aplus zwei B muss Null seindann kommt links kein Kosinus vorgegeben sich weg Punktals einzige Chancedie Sinus müssen sich zu eins ergänzenminus IdeenBeistrich auf die andere Seite zuja dein System aus minus Bund zwei Asoll einzahlendamit sich die Sinus zu eins ergänzen Wasserburg von Sinusmusste Wasserdann ein lineares Gleichungssystemschon wieder so Zusammenhang zwischen Differenzialgleichungenund Lineal gleichmäßigzwischen linearenDifferenzialgleichungenund genialen Leitsystemaus der Differenzialgleichungenist ein Leerzeichen Systemdas könnte man hübsch lösenkann es auch einfachentweder ?? lösenals harte Art wäre es jetzt mit Kramer zu lösenKomma aber die Determinante ausrechneneinmalminuseinsminuszwei mal zwei wirklich nur es geht also tatsächlich mit Kramerzu Übung ?? ?? in diesem Trauma gehen würde eins zwei zwei minus einsist dieKoeffizienten Determinanteich ersetze jetzt null einsihr vorne und hinten lang zwei minus einsstehendann haben wir Oberneulandminus eins ist nur minus einmal zwei zweiPunkten einmal minus eins ist minus einsminus zwei mal zweivier und wir sind bei zweifünftel für Armund auch mit Kramer der übungshalberdieselbeDeterminanteunten oben die null einsdie Inhomogenitätendie andere Spalteerste Spalte stehen lassen als zweiisteinmal eins Komma null eins durchselbe Determinante unten minus eins minus vier macht minus ein fünfteldamit soll jetzt eineLösung habensollte ich mich nur damit habe ich eine Lösung vertraute offensichtliche?? damit habe ich eine Lösung ?? ich nehmezwei fünftel bei den Sinusminus ein fünftel mal den KosinusSinusminus ein fünftel mal den Kosinusund habe garantiert eine Lösungdas ist jetzt eine einzige Lösungeine spezielle Lösung verwendetmeinen offiziellen Begriffseine spezielle Partikel Erlösungeine spezielle LösungdieserDifferenzialgleichungensie ist nebenbeidas haben sie gemerkt erste Ordnunglinearinhomogenwegen der Sinus durch die Sinus verlegt sowie Sinus von X mal Y oder soes entsteht jetztquasi ein Rezept wie man solcheDifferenzialgleichungenangehen kann im JahreinhomogenDifferenzialgleichungenangehen kann man sucht sich mit etwas List und Tücke eine spezielle Lösunggucken sichdie Versagergleichunganmit scharfem Augetragen Punktder Sinus rauskommen?? Kosinusund Sinus einstecken müssen oder sie sehen es Musik ?? zwei vierzig rauskommen Länder wohl dieses oder jenes Beistrichdass ?? sich mit scharfem Auge ankriegt eine spezielle Lösungfür dieinhomogeneDifferenzialgleichungendann überlegt man sich man weiterkommenwie kriegt man die allgemeine Lösunggegeben die spezielle Lösung wirklich die allgemeine Lösung hin und da kommt jetztmit siebzehn die bei den linearen Gleichungssystemender Kernwie kriege ich nur raus alle Vektoren für die null rauskommtwas ähnlicheswenn sieirgendeinY habenfür das null rauskommtdann könnte das zu ihrer Lösung addieren?? noch ein anderes ist Komma zweiwenn ich ein anderes Y habe mit dieser Eigenschaftdas dessen Ableitungplus zweimal das Y null vier eine Lösung der homogenen Form sehr selten Differenzialgleichungen?? Epson habe kann ich das dazu addierenPunkt null Kosinus rausdass der große Trick das ist genau das was mit dem Kern bei den Youngleitsystempassiertjetzt übertragen auf lineare Differenzialgleichungendie Strategie ist also folglich suchen wir irgend eine spezielle Lösungund dann löse ich die homogene Form derselben Differenzialgleichungenallgemeinzusammenallgemeineshiervondazu addiertalle Lösungenfür diese hiersind alle Schritt zweiMann bildet dieser Differenzialgleichungeneine homogene Differenzialgleichungenin die man einfach die InhomogenitätenstreichtStrichgroß Beistrichda ich ?? mal homogeneSalinenhomogenisierungich ?? mal homogene Formes ist eine andere Differenzialgleichungensofern es homogene Form nicht ganz korrekt ausdrücklich Bilder eine andere versagt Beistrich dass sie die InhomogenitätenwegBeistrich plus zwei Yist gleich nulldiese sich allgemeinund das kann ich dann zu dieser speziellen Lösung addierendavon bestimmen Sie jetzt die allgemeine Lösungwas einfach ist denn das ist einehomogeneBilliarde versagt ?? mit konstantenKoeffizientendasso im JahrhomogenenKonstante Koeffizientenansatzjedoch flammender Matrix oder was auch immer die unabhängige Variable ist jetzt SixteinenAnsatzzur und von X ist gleich E Hochland Komma X und dann sehen sielangsam mal Ego flammender Matrix plus zweimaldie Hochland Amal X ist gleich nullTeil durch ihren Sammel X und finden Landes gleich minus zweidie allgemeine Lösungoben in die allgemeineLösung ist alsosonst von X ist gleicheine Konstantemal die hoch minus zweiXdie allgemeine Lösung dieserDifferenzialgleichungendie originale Versager hingenommen und sie homogen gemacht das ist die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichungenist es nicht allgemeineLösung der Original Differenzialgleichungendie kriege ich jetztmeine Lösung der ursprünglichenDifferenzialgleichungeninhomogendas Gleisin homogenenDifferenzialgleichungen??ich nehme die spezielle Lösung von eben das warzwar Zweifel Sinus Winzer der Kosinuszwei fünftelminusminus ein fünftel Kosinusund dann war er der wird das ich zu dieser Lösungbeliebige Lösungen addieren kanndie auf der rechten Seite ?? null erzeugenwenn sie Sonnenschein haben dass der Sinus rauskommenaber ?? hingeschrieben mit den zwei fünftel Planmit Iso Ellipsen haben können sie irgendein weiteres dazu addierenfür das auf der rechten Seite null rauskommtdas habe gerade gefundennämlichirgendwas mal die hoch minus zwei Xsich das ?? das kann ich dazu addierenund damit ich die allgemeine Lösung Ahmadi hochminus wächst hier dazu addierendas überlegt man sich dann nicht mehr so im Detail irgendwann ist das dann in Fleisch und BlutPunkt man nimmt eine spezielle Lösung der inhomogenursprünglichenDifferenzialgleichungenund dann streicht man die Inhomogenitätenund löste Differenzialgleichungenallgemeindass dazu der Gemeindedas ist eigentlichnichts anderes als was sie bei den Youngleitsystemgesehen haben ihr steht ein Element des Kernsdas allgemeine Element des Kernslässt sich darauf umformulieren ?? ich sollte noch was zum Verlauf sagen nur die Fragen kann ?? sie haben Überlagerung von Sinus und Kosinusgesprochen sollen Sinus und minus Kosinus wird überlagertKomma irgendwas was so vor sich hin schwingtmit irgendeiner Phasenverschiebungkönnte man ausrechnenund was sie dazu kommtist eine ablehnendeEx Mainzer Funktiondie könnte auch negatives Vorzeichen haben sie könnte auch malein hundert erstehenoder malminus null Komma null null eins erstehenPunkt so wird im Prinzip die allgemeine Lösung aussehen eine Summe aus einem faszinierendenAnteilund ein Exminister abklingen