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17C.4 Rechnen mit komplexen Zahlen, die als Länge und Winkel gegeben sind


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetzt – mal andersrum mit komplexen Zahlen den Beträgen und den Winkeln – angenommen die Zahl Z eins – hat den Betrag – die Länge – vier und den Winkel zwei – meine zwei im Bogenmaß – Winkel von Pi werden hundert und achtzig Grad – mit dem Winkel von zwei im Bogenmaß – und Salze zwei – Betrag drei haben und den Winkel eins im Bogen – und – zu sich gerne Betrag und Winkel von folgenden – vier Sachen – Punkt Winkel – von – erstens die Summe der beiden Zahlen – zweitens – die Differenz der beiden Zahlen – drittens das Produkt der beiden Zahlen und viertens – der Quotient der beiden Zahlen die vier Grundrechenarten – durch definiert – davon Betrag und Winkel – probieren Sie dass man mehr oder minder – intelligent – raffiniert anzugehen – Beistrich – das im Prinzip dasselbe wie eben nur genau umgedreht eben hatten wir ?? als Imaginärteil – und wollten wieder ?? als allgemeinen Erd heraus haben jetzt aber Betrag und Winkelargument – heißt der Winkel auch gerne bei den – komplexen Zahlen ✂ so Produkt und Quotient sie natürlich viel einfacher als eine – zeige mal das Produktwechsel – nicht seit ?? das Produkt – Betrag der Winkel zwei – vier Weges weisen ungefähr hundert zwanzig Grad – das heißt der erste – wird irgendwie so Laufenslänge – von vier haben – der zweite Betrag drei – Winkel eins für sechzig Grad Bogenmaß als für sechzig Grad – der zweite wird aus ungefähr – Differenzen zwischen sechzig Grad – des des flach geworden – ist – nach eins hundert zwanzig Grad Winkel zwei Bogenmaß ungefähr hundert zwanzig Grad ein Betrag von vier so – und hier – ungefähr sechzig Grad Betrag drei – Winkel agieren – ist nicht ganz so toll gelungen – und etwas kürzer – Track drei – Menge drei – so das Produkt der beiden – die Längen werden multipliziert – und die Winkel werden addiert – Punkt das hat also die Länge – vier mal drei die Länge zwölf und den Winkel drei – wenn sie das im Diagramm hier angucken – Winkel dreißig ?? knapp vor Pi in diese Richtung – knapp vor Pi knapp hundert achtzig Grad die Länge zwölf zu sowas – wird das werden das für das Produkt werden etwas – sehr folgende Zeichnung hier – sowie das Produkt werden diesen Winkel und diesen Winkel dann kriegen sie den Winkel des Produkts die Summe der Winkel – und das Produkt der Längen und – der Quotient – das hatte ich es eben nicht ausführlich vorgeführt aber es klar wenn sie beim Produkt modifizieren und addieren – beim Quotienten wollen sie rückwärts rechnen – das Produkt rückgängig machen dann heißt das natürlich die Dinge durcheinander teilen und die Winkel voneinander abziehen – als andere total überraschend – ähm also die Länge durcheinander teilen das heißt die Länge vier Drittel – und die Wege voneinander abziehen – ?? zwei minus eins – Z eins hat den Winkel zwei Z einsetzen – machten Winkel eins – bei Tieren noch mal ich nehme die Differenz der Winkel diesen Winkel – minus den Winkeldifferenzen – der beiden Winkel was zwischen den beiden Toren – Differenzwinkel – das ist der Winkel – des Quotienten – ungefähr sechzig Grad wieder in diese Richtung hier – wieder blaue – Baukomplexe Zahl – und den Betrag für Drittel das Haus ist deutlich kürzer – zu – dass es der ?? und die komplexe Zahl – über den Betrag und Winkel haben – es ist viel leichter – Multiplikation – und Division zu machen – und freut man sich immer modifizieren muss und dividieren muss ?? Betrag ?? Länge und Winkel hat – nur länger entwickelt hat und muss an dir subtrahieren dann ärgert Beistrich dass es jetzt der schwierigere Teil versorgte das man zu kriegen – wie kriegen Sie jetzt die Summe und die Differenz – der beiden ?? ein Zeichen ist nicht die große Aktionskräfte – Parallelogramm – sozusagen – ein Zeichen geht einfach aber wie kriegt man das dann mal vernünftig ausgerechnet – Summe und – Differenz – wird auch in diesem System bleiben hätte gerne Betrag und Winkel von Summe und Differenz ✂ ich muss aber gerade Postenwinkelfunktion – am Einheitskreis sagen also wie funktioniert Sinus und Kosinus für Winkel – ab neunzig Grad aufwärts – und – unterhalb von null Grad ✂ X – damit Y das sollte Einheitspreis – sein – eins – wenn wir einen normalen Winkel haben sozusagen üblichen Winkel zwischen null und neunzig Grad – dieser Situation sind manchmal fertig als Diagonalen seiner Schwägerin in dieser Situation – sind – das übliche – übliche Dreieck sozusagen – hier ist mein Winkel – dann haben Sie hier – auf der x-Achse – den Kosinus – vom Winkel – über den Sattel einer als Einheitskreis – und hier auf der y-Achse haben sie den Sinus vom Winkel – das ist die übliche Fallen als normales rechtwinkliges drei und – man erweiterte Sinus groß Mustang ist das die nicht nur in diesem üblichen Fall funktionieren sondern auf Winkel ab neunzig Grad aufwärts und unterhalb von null Grad – durch den Einheitskreis – die dieser Situation – ist das hier mein Winkel – bis dahin gemessen als ein Winkel zwischen neunzig Grad und hundert achtzig Grad – das hier ist der Kosinus von dem Winkel sollten jetzt EFI nennen – nenne ihn – Alpha von mir aus ?? das griechische Alphabet durchgehen – das es jetzt der Kosinus von dem Winkel der ist negativ – das ist der Sinus von dem Winkel und es positiv – so geht das dann weiter wenn ich hier unten bin – in diesem Quadranten – platzierte – so – nicht und wenn in dem Quadranten – dann ist – entweder – dies der Winkel negativ – oder – dies der Winkel positiv – ?? – ich schreib das was man so hin – das es jetzt von mir aus der Winkellichen in Wetter und der Winkel ist kleiner als null – läuft mit dem Uhrzeigersinn – müsste kleiner als null – ?? in der Situation – sehen Sie dass der – Kosinus – dass sie oben mit der Kosinus sein negativ – ist das der Sinus – und diesen Winkel negativ ist – der Winkel ist zwischen minus neunzig Grad und minus hundert und achtzig Grad – und so weiter so funktionieren Sinus Kosinus Tangens am Einheitskreis – das ist der Trick mit dem man Sinus groß muss dann ganz – für alle Winkel dann definiert nicht nur zwischen null und – nach ?? – nicht dazwischen neunundneunzig Grad essen die üblichen Winkel mit richtigen Dreiecken – zu bauen ?? es ja auf diese Weise für alle Winkel über neunzig Grad hinaus und links von den null Grad – und das angucken sehen Sie das umrechnet der total billig – das hat mir eine schon mal mit Polarkoordinaten – und Pipapo – das ist das Vehikel zum umrechnen sie gar nicht nachdenken eigentlich – Wetter ist natürlich nur – bis zur x-Achse so das Wetter immer von der x-Achse aus und die eben negativ – einen Winkel – von etwa dreißig minus hundert zehn Grad oder sowas zwischen minus neunzig Grad und minus hundert achtzig Grad – ein negativer Winkel auf jeden Fall ✂ Problem was macht also hieran lernt sie – wenn sie länger und Winkel haben können Sie immer brutal – mit Länge mal Kosinus – den Realteil ausrechnen die X Komponente sozusagen – und mit Länge mal Sinus – egal – was der Winkel ist mit Länge mal Sinus – den Imaginärteilkomponente – sozusagen aus – Rechner muss jetzt nicht diese vier Fälle unterscheiden – es ist immer Sinus und Kosinus – Sinus und Kosinus sind so gebaut Resolution am Einheitskreis – dass es immer klappte sie immer das richtige Vorzeichen kriegen – also da – ist wenig Gehirnsschmalz nötig – natürlich um rechnen – ?? ?? Z eins – Gatter Imaginärteil soll der ?? Imaginärteil – und Z zwei – und dann die alten man derzeit jeweils addieren Vektoraddition – möchte ich hier veranstalten – muss erst mal gealtert Imaginärteil von Z eins – und – Z zwei zur Schreibweise – es ist nicht Z eins – Ahrabfluss – niemals ?? und auch nicht Z eins X oder sowas müssen Vektoren schreibt HX von den Vektorartikels – Komponente – sondern – es ist der Realteil – sowie das bei komplexen Zahlen geschrieben Ray – Z eins – eine Funktion einer komplexen Zahl ?? – Realteil werde den Realteil – Realteil – ist – zed eins hatte den Betrag – vier die Länge vier und dem Winkel – zwei – tausend zwei ziehen Bogenmaß – das ist damit gemeint – die Zahl hat die Länge vier – der Winkel ist zwei Bogenmaß – der Realteil – ist – wie weit sich rechts gehe entlang der reellen Achse – an Kathete durch Hypothenuse ist der Kosinus vom Winkel – so kommen sie drauf und das geht nicht nur im Wege fassweise sehen Punkt sehr schön das obige Gelege von zwei – wird als falsch gemalt – Winkel von zwei ungefähr hundert zwanzig Grad so ?? das mal müssen das Essen Winkel von zwei das ist Länge von vier ?? und mich interessiert – dieses Stückchen – das ?? offensichtlich negativ – ein negativer – Realteil der großen sie mit negativer das funktioniert – dank der Konzeption am Einheitspreis – und der Imaginärteil – ist dann der – Sinus – vier mal der Sinus – von zwei – weiträumig das sind jetzt gerundet den – Gesamt schon gesehen das es jetzt nicht was man ernsthaft oder Schreiner veranstalten würde – dann – als man sie draufgefasst dass sowas – bei der Wechselstromtechnik – dann irgendwo vorkommt – der Verbraucher über die – konvexen Zahlen im wesentlichen – in der Matheklausur will natürlich keinen Taschenrechner dieser Stelle haben – wir das schwieriger solche Aufgaben zu stellen – Punkt Martin – wesentliches jetzt Bogenmaß – zwei Bogenmaß – viermal – den Kosinus aus zwei – Klammer der sogar richtig – Kosinus Ärmsten zu sagen Radiant – so – minus eins Komma sechs – zwo sieben minus eins Komma sieben – bis eins Komma sieben – soll der Realteil sein – und der Imaginärteil – vier – mal – zwei – ?? den Sinus – drei Komma – sechs – drei Komma sechs leicht einmal gerade gucken – es sind ungefähr – hundert zwanzig Grad – ein Winkel hier zwei – im Bogenmaß – vier nach da die Länge vier und wir kriegen jetzt hier finden wir Zahl – eins Komma sieben nach links – und für den Imaginärteil – drei Komma sechs nach oben – sieht nicht so schlecht aus – Analogie das für den anderen – Realteil von Z zwei und den Imaginärteil – von Z zwei – da hatte ich dreimal – den Kosinus von eins – und dreimal den Sinus von eins – sprechend – eins – der Kosinus – mal – drei – eins Komma sechs – pro Hund – eins der Sinus – ?? drei – plus auch egal sind zwei Komma – fünf – auch da noch mal einmal gucken – eins im Bogenmaß sind ungefähr sechzig Grad – ich G drei raus aus dem Ursprung – und der sagt mir – dann bin ich horizontal eins Komma sechs gegangen eins Komma sechs und zwei Komma fünf hochzieh – dich völlig unmöglich aus – und nun kann ich diese Summe haben – der Realteil – der Summe – Vektoraddition – sie summieren – die Metallteile von den Einzelteilen – wie sie zur Vektoren – X Komponente der Summe ist die Summe der Komponenten – minus eins Komma sieben plus eins Komma sechs ähm – minus – null Komma eins – und der Imaginärteil – der Summe – ungefähr drei Komma sechs plus zwei Komma fünf – OG – sind sechs Komma eins – ungefähr – das ?? weiter normal gerade – skizzieren – vier in diese Richtung hundert zwanzig Grad drei in diese Richtung sechzig Grad die Summe kriegen wir raus – bleibt praktisch – bei X gleich Null kleben – sie geht – lustigerweise dann Stücke nach links – was mich so sein kleines Stückchen nach links und sechs nach oben was waren vier das waren drei sechs nach oben – sieht so aus als ob klappen könnte – Beistrich also gealtert Imaginärteil der Summe – und – das jedenfalls daneben gealtert Imaginärteil – der Differenz – so grob gerechnet wie ich das hier tue – minus eins Komma sieben minus eins Komma sechs sind minus – drei Komma drei – und drei Komma sechs minus zwei Komma fünf Cent – eins Komma – eins – ?? – damit haben wir – die – Realteil Imaginärteil – ich wollte aber länger und Winkel haben – die Länge ist also – null Komma eins ins Quadrat – immer sich kein Minister vorschreiben minus null Komma eins – ins Quadrat – Komma als es – sicherheitshalber – ich nehme den Realteil ins Quadrat plus – den Imaginärteil ins Quadrat – ist keine ?? ein kleines bisschen mehr seiner sechs Komma eins – Sie haben eine Strecke von sechs Komma eins nach oben – und geht ein kleines Stückchen zur Seite dann kann es ein ganz kleines bisschen mehr werden als sechs Komma eins – null Komma eins ins Quadrat plus – sechs Komma eins ins Quadrat – und daraus die Wurzel – sechs Komma eins bleibt ist eine – nicht jeder ?? praktisch an der y-Achse – eh nur null Komma eins nach links – die Länge ändert sich großartig ?? sechs Komma eins und hier die Länge – ?? die minus drei Komma drei – Quadrieren und die eins Komma eins Quadrieren – Komma zwei – Quadrieren – und die eins Komma eins – ?? verlieren – und daraus die Wurzel drei Komma fünf – fünf – der Winkel – der Winkelwiese – jetzt muss ich vorsichtig sein – ich gehe sechs Komma eins nach oben – und ein kleines Stückchen nach links das heißt ich bin im problematischen Bereich vom – Ax Tangens es ist etwas mehr als neunzig Grad – dann – Flip der Argus Tangens eben aus ich nehme den Arcus lange zum hundert achtzig Grad dazu – Beistrich die ganze Zeit im Bogenmaß gewesen deshalb die Spieler zu – Bogenmaß bietet hundert achtzig Grad plus den Akkus Tangens – gucken – Pakistans bildlicher – gegen Kathete durch an Kathete – imaginär durch real – also sechs Komma eins durch – minus – null Komma eins – das ist mein – bester Wert aus dem ich den Axtangens bilde – Komma einen – durch – null Komma eins – plusminus – daraus ?? zu Fuß haben können dumm dass das so eingetippt habe daraus der – Argus Tangens – und dann noch wieder rauf plus – O ist auf diesem Rechner das Vieh – gibt eins Komma fünf neun – eins Komma fünf neun – vier halbe – ?? wären – Komma variiert – vier halbe sind neunzig Grad – sind eins Komma fünf irgendwas eins Komma fünf vier oder irgendwas – das vier halbe es ist etwas mehr als vier halbe – genau wie sein muss – und jeder Winkel – Pflichtübung – jede Regel gerade mal gucken – wir sind schon wieder im Bösenbereich – so ganz deutlich im bösen Bereich links vom Ursprung bis ?? wieder hundert achtzig Grad dazu zählen Fi plus den Akkus Tangens – imaginär durch real – eins Komma eins – durch minus – drei Komma drei – eins – Komma eins durch drei Komma drei sind ein Drittel also minus ein drittel – Nuss eins durch drei – wie das auch – da von denen invers – Tangens hier – und dann wieder zu plus – Fi – zwei Komma acht eins – zwei Komma acht das muss mir gerade noch mal überlegen zwei Komma acht – würde heißen – neunzig nicht völlig unplausibel – zwei Komma acht heißt – jährlich eins Komma fünf noch was Pi halbe – Pi selbst ist drei Komma eins – es ist weniger als Pi in der Größenordnung – zwei Komma acht – sehe was ich hier habe minus drei Komma drei – eins Komma eins – das sieht brauchbar aus – ?? Winkel von zwei Komma acht im Bogenmaß