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28A.4 Normalverteilung in OpenOffice.org, Wahrscheinlichkeitsdichte, kumulierte Verteilungsfunktion


CC-BY-NC-SA 3.0

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dieNormalverteilungentstehtlaut zentralen Grenzwertsatzwenn siesehr vielekleine Störungen habeneinen Messwerteine Zufallsgrößein der sehr vielekleine Störungen zusammen gemischt sind additiv zusammen gemischt sind dann haben sie automatischso etwas wie Normalverteilungmehr Störungenes sind je kleiner sie sinddann anteiligdestogenauer wird diese Nehrunggibt und bei technische Randbedingungendie Störungen müssenunabhängig voneinander seinmüssen endlich Varianz haben und so weiter und so weiter aber im Endeffekt ist das für die anschauliche Vorstellung von der Normalverteilungeinen Messwertwas passiert mit einem Messwert bin ich ganz viele kleine Störungen habeder wird normal verteilt seinPunkt die Normalverteilung hat zweiGrößen die diese bestimmen es gibt nicht eine Normalverteilungsondern es gibt eine Familiennormalverteilungund sie geben den Erwartungswertan hast dann ??das ist das Zentrum dieser Glockenatürlichauch automatisch dannder Erwartungswertvon derZufallsgrößedahinterWahrscheinlichkeitsdichtehier hatund sie geben dieBreite andieser Glockedas ist die StandardabweichungWahrscheinlichkeitsdichteP von Xmit E hoch X Quadratmit ihrer minus X Quadrat geeignet verziert das ganze um ihn nach rechts verschobenmit Siegmar in die Breite eskaliertund passen in die Höhe eskaliert und so weiter nurDienstagdas will ich jetzt noch maleinenOpenOffice zeigen wie das danntatsächlich exakt aussieht und was man damit plötzlich rechnen kannzum Beispielwenn ich meine X Werte nehme sagen wir von minus einsminus ein minus null Komma neunminus null Komma achtund so weiter und so weitermehr gemischter bis zu sechs raufgibt's eingebautNorm fährtNormalverteilungsnormfährtwenn sie hier unter StatistikcokönnenStatistik StatistikCarilNorm fährt da ist sie so was geben sie ansie geben anwas Take That ist von dem sie die Normalverteilunghaben wollengegebenMittelwertMühe anBeistrich den Erwartungswertja streng genommen und sie geben die Standardabweichungan unsere letzte Größe ganz ist das wusste sie können umschalten ob sie die Dichter habenoder ob siediekumulierteNormalverteilunghaben wollte immer gleich was das istalso hier kommt Norm fährtNormalverteilungX wird für den ich das wissen willder Erwartungswertist jetzt aber mal ganz dreist dreiallgemeine Zufallsgrößesollim Mittel gleich drei seindann kommt die Standardabweichungeins sollte Standardabweichungseiner Gemeinde leichter ablesenwas denn so die Nummer vertreiben allgemein tut ?? Komma für das letzteominöseGröße vier mal nullundimmer soforteine zweite Spalte hier aufder steht dasselbe drinsichere Sikhs werden danndie fünf seinund hinten eine einsder vierte Parameter hier kann null oder eins sein je nach dem kriegen sie die Dichteoder die Verteilungsfunktionwir sehen gleich was das bedeutet dichtere Verteilungsfunktionichsoll was mal paar Stellen spendierenhierweit für allenachkommenKomma stellendas ganze mal Platteneine bessere Idee was das bedeuteteinDiagrammnatürlich XYG ?? X Werte vor und Y Werte vorlernenund das ganzeverbindet einfach mit Linie der so fein aufgelösteVermittlungen verbindenokaydas ist was in OpenOffice und genauso Excelauf Knopfdruck liefernsie erkennen die blaue Kurve wieder das ist die Normalverteilungwie wir sie kennen und liebenund das Orangeist das integralder Normalverteilungvon minus unendlich dessen üblicheVorgehensweisebeiZufallsgrößendass man sie integriert von minus unendlich bis zu einem Wertbei dem man dann sind die gerade ziemlich auflistenzum Beispielbei dreiwenn sie die Normalverteilungintegrieren von minus unendlich bis dreisehen Sie das integral ist ein halb in die Hälfte der Werte wahrscheinlichhalb in die Hälfte der Werte nichtbis zum Wert dreiwenn sie die Normalverteilungdie blaue Kurve integrierenbis zum Wert viererirgendwo beinull Komma knapp vor null Komma neundas heißt die Wahrscheinlichkeitbei dieser blauenWahrscheinlichkeitsdichtedie Wahrscheinlichkeiteinen Wert bis vier zu haben vier oder kleiner zu habenist irgendwas bei null Komma neun einen Wertbis fünf oder kleiner zu habenistalso sein mag null Komma neun fünf oder was ähnliches Klammer zu gleich genauer angucken das ist diese rote Kurve die Verteilungsfunktiondie kumulierteähVerteilung des Ganzen sie summieren quasi auch wie groß ist die Wahrscheinlichkeiteinen Wert bis dahin zu haben und je größersie das X wählendesto mehr nähert sich das natürlich der Zahl einswenn meine Zufallsgröße im Mittel gleich drei istund diese Breite hatdann ist sie mit sehr sehr großer Wahrscheinlichkeit kleiner gleich siebenWahrscheinlichkeitdass sie kleiner gleich sieben ist ist praktisch einsS ?? nähert sich diese Orangekurve gleicht der einsdie Wahrscheinlichkeit dass meine Zufallsgrößesind sie hierkleiner ist als minus eins ist praktisch nullNormalverteilungmit Mittel greifen Standardabweichungeinsdie Chance dass sie deinen Wert rauskriegenbis minus einslinks von minus eins oder gleich minus eins dies praktisch Nulldas sagt uns die OrangekurveKomma gleich ein bisschenin Aktion sehennunerst einmal zu der Normalverteilungskurveals solchererst mal sehen Sie dass sie nicht biseins geht warum geht die Normalverteilungskurvenicht bis einsja die Fläche unter der blauen Kurve muss eins sein wenn sie das anguckenzwei drei viermal null Komma zwei zwei bereits null Komma zwei hoch dann ist diese Fläche die hier diesen Rechteck jetzt schon null Komma vierund der Restnull Komma sechs warum nicht kann ungefähr hinkommen also nicht wundern dass die Normalverteilunghier um nicht bei eins ausläuftdie Fläche muss gleich ein seine Fläche darunternicht der oberste Punkt muss bei Einsätzenähm je breiter die Kurve wirddesto niedriger wird er Punkt darum sitzendamit weiterhin die Fläche gleich eins sein ?? andersbei dieserbei dem integral hier das integral muss zum Schluss bis eins raus laufen das hier ist die Wahrscheinlichkeitdass meine Zufallsgrößekleiner gleich sechs istdies praktisch gleich eins SEO muss bei eins raus laufenwas sie da lernen ist auch das man eigentlich diese beiden Kurven nicht in ein Diagramm malen solltedie Orangekurveist einheitslosdas es Wahrscheinlichkeitdas integralder Wahrscheinlichkeitsdichteläuft direkt bei der Zahl eins die nackte Zahl eins bei der ?? läuft ?? oben ausdie blaue Kurve sie Wahrscheinlichkeitslehrederen Einheit ist eins durch die Einheit meine x-Achse wenn ich unten meta habemuss die eine der y-Achse für die blaue Kurve eins durch Meter sein damit die Fläche einer zwo sein kannan sich sollte die eigentlich beide nicht in ein Diagramm anzeigen habe ich jetzt gemacht das manzumindest irgendwie vergleichen kanndie Branche Kurveals integral derblauen Kurvebei minus unendlich angefangenKommawir können jetzt zum Beispielauf derBranchenkurveablesenwie groß die Wahrscheinlichkeitisteine Standardabweichungtiefer zu seinals der Mittelwert der Mittelwert ist bei dreiErwartungswertMittelwert Mühe ist bei dreibei zwei bin ich eine Standardabweichungund mit ?? gesagt Standardabweichungeinsbei zwei bin ich eine Standardabweichungnach unten gegangen Mühe minus Siegmarjetzt komme ich ablesen okaywie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass ich einen Wert kriege derkleiner gleichminus Sigma istsie in der liegen wir hier bei null KommaO jenull Komma eins fünf oder ähnliche können es in der Tabelle nachguckenmit der Orangenkurvenicht möchte wissen welche bei zwei ?? damit bei zweisodie Orangekurvesagt mir die Wahrscheinlichkeitbei der Normalverteilungeinen Wertkleiner gleich zwei zu kriegenist fünfzehn Komma neun Prozentdie Normalverteilungauf Malenheißt das Tier Siegmarhier einzig herunterminus Sieg war dann heißt dass diese Fläche hierdiese Fläche hiersindungefähr sechzehn Prozentkönnen jetzt auf der Orangenkurveablesen?? weiterhindrei war derErwartungswertund Mittelwert gleichzeitigdie Wahrscheinlichkeiteineein Ergebnis zu haben bis zum Mittelwert ist ein halbder Hälfte der gefälligen sieht rund eine Hefte fälligen sie drüberdurch Ehrlichkeit null diese genau drauf deshalb hier ein halbein Messwert bis zu drei zu haben wenn ich eine Standardabweichungnach unten geheüber einzig Kanada Beistrich sind sie hierokaydann liegen da nur noch ungefähr sechzehn Prozent drunterdieser Teil der Kurve hier sind nur noch sechzehn Prozent dasselbe geht natürlich nach obenist asymmetrisch wenn sie hier gucken bei Mühe plus Siegmar eine Standardabweichungnach obendann sehen Sie das muss natürlich aus Symmetriegründenauch sechzehn Prozent sein ??zusammen sind dabei etwa zweiunddreißigProzent das heißt insgesamthier in der Mitte müssen wir achtundsechzig Prozent habendieser Teil in der Mitte müssen achtundsechzig Prozent seindamit für sechzig Prozent links und sechzehn Prozent Recht haben könnenalso bei der Normalverteilungist die Wahrscheinlichkeitin diesem Bereich zu liegenderErwartungswertminus StandardabweichungErwartungswert plus StandardabweichungachtundsechzigProzentwenn Sie also so ein Messwert angegeben haben von wegendreiMeter plus minus ein Meter das wäre jetzt eher die Angabe für meine Kurve ebenerdige Sach Erwartungswert dreiund dann Abweichung einswenn sie den angegeben haben heißt dasachtundsechzig Prozent der Messungenliegen zwischendrei Scheiben von Dennis Götze liegen von zweibisvier Meterzwei wäreMittelwert minus Standardabweichungvier wäre Mittelwert plus Standardabweichungkönnen mit der Orangenkurve einfach ablesen geht unterliegen sechzehnProzentsymmetrisch Beseitigung dann auch sechzehn Prozent liegen bleiben in der Mitte achtundsechzig Prozentich Komma vierundsechzig Prozent weit links sechzehn Prozent verloren gehen recht sechzehn Prozent verloren gehen ?? in ?? zwei ?? dreißig Prozent in der roten Fläche verloreninsgesamtmuss sie wahrscheinlich ?? Einsseinbleiben hundert Prozent zwei dreißigsind die achtundsiebzig Prozent ungefähr achtundsechzigkann mich genau wissen ungefähr sechzig Prozent bleiben in der Mittedes könnte natürlich für andereAbweichungen auch machen das willige sich vor Fenster wie das geht ?? die Gruppen sich nicht minus Sigma an sie gucken sich Mühe minus zwei Siegmar andie Fläche wird natürlich schon bedeutend kleiner dir links und rechts fehlt und kann sie sagen wie groß ist die Wahrscheinlichkeitzwischen minus zwei Siegmar Ü plus zwei Sigma liegendas hatte ich auch in Videos vorgeführt ?? mitplus minus dreißig Grad ich dasvorgeführt es zu dieser Sixt Sigmabereichsehr gernein der Literatur vorkommtPunktnun kann man aber auchdie Frage anders stellen wenn ich das jetzt alles weiß über meine Verteilungkenne den Mittelwertich kenne die Standardabweichungwie groß ist die Wahrscheinlichkeiteinen Wertzu kriegenKomma von vier Komma fünf ich das noch mal auf Malemit das Mittel bei dreiund die Standardabweichungvoneinswie groß ist denn jetzt die Wahrscheinlichkeiteinen Wert zu kriegen der so schlimm ist wie vier Komma fünfdie Wahrscheinlichkeitgenau diesen Wert vier Komma fünf zu kriegen ist ja nulldamit kann ich nicht viel anfangen ich hätte gern ein Maß dafürdass ich sagen kannhabenvier Komma fünfSohneabweichungistplausibelglaube ich oder ??oder ein Maß das mit den ihm erlaubt zu sagen die Komma fünffür dieseZufallsgrößekann auf keinen Fall sein wäre höchst komisch wäre so gut wie Lottogewinndie können nicht direkt die Wahrscheinlichkeitnehmen das wir Komma fünf rauskommtwahrscheinlicher dass die Kurven rauskommt ist Null wahrscheinlich galt das drei rauskommt dies null wahrscheinlich Karte zwei rauskommt ist nurjeder exakte Werthat die Wahrscheinlichkeitnullich kann immer nur die WahrscheinlichkeitenfürIntervalle angeben diesen sinnvollwie kann ich mich hieraus lügen wenn ich sagen will wie schlecht sein Messergebnisvier Komma fünf ist wie wahrscheinlich ist ein Messergebnis vier Komma fünfin der Mittelwert drei sein sollteals um zu sagen wie schlecht dieser Messwert oder wie gut dieser Messwerte Komma fünf istmit einer Wahrscheinlichkeitkann ich mir nicht in allein angucken der Trick ist ich gucke mir alle an die schlimmer sindvier Komma fünfund alle darüber diesen ja noch schlimmerund auf der anderen Seitein eins Komma fünf nach oben gegangen ich gehe eins Komma fünf nach untendieser Messwert bei eins Komma fünfder ist genauso schlimm wie vier Komma fünf zwei fünf nach oben eins Komma fünf nach unten und alle daruntersind noch schlimmerwas ich angebeist diese Flächedie Wahrscheinlichkeitmindestenseins Komma fünf daneben zu liegen das gibt man anum zu sagen wie gut oder schlecht zu ein Messwert ist wie groß ist die Wahrscheinlichkeiteinen schlimmeren in Anführungszeichenein schlimmeren Messwert zu haben sindwenn sie ein Messwertdrei Komma null null eins habenMesswert von drei Komma null null eins haben und gucken sich diese beiden Flächen anvon drei Komma null null eins bis ins unendlicheund vonzwei Komma neun neunbis ins minus ähnliche wie groß wird die Summe dieser beiden Flächen werdenneunundneunzig Komma neun Prozent ?? ist ja fast die gesamte Fläche unter der Kurve wenn wirbis äh zwei Komma neun neun gehen von links und dann bei drei Komma null eins wieder anfangen haben sie praktisch die ganze Fläche unter der Kurve praktisch hundert Prozentein Messwert von drei Komma null einsist höchst plausibel den König glauben dann habe ich hier in Wahrscheinlichkeitvon fast hundert Prozentdas mein Messwert schlechter sein müssteandas immer wieder löschezum ein Messwert von vier Komma fünf ist das nicht mehr ganz so klarich möchte diese blaue Fläche berechnenund dann habe ich hier das Doppelte sehen was sie angucken müssendas integral bis eins Komma fünfund das mal zwei das ist die Fläche die außerhalb liegtdie habe er schon mit der roten Kurveich gehe bis eins Komma fünf und dann kann ich hier auf derBranchen soll ich sagen ?? auf der Branchenkurve ablesenwie groß die Wahrscheinlichkeit ist ein Wert bis eins Komma fünf zu habendas istdie linke Seite hierund das mal zweigibt mir dann alles als ich gucke nach?? auf der orangenen Kurvewas da was da was dabei eins Komma fünf stehtknapp sieben Prozentdieses hier sind eins Komma fünf knapp sieben Prozent das sagt mirdassdiese Fläche hiersieben Prozent ausmachtda muss natürlich auch diese Fläche sieben Prozent ausmachenund ich kann sagen wie schlecht oder wie gut man wird vier Komma fünf istinvierzehn Prozent der Fälle siebter sieben in vierzehn Prozent der Fälle kriege ich ein Messwertder vier Komma fünf ist oder schlechterein Messwert soll sagen wir so schlecht ist wie vier Komma fünfoder noch schlechter der mindesten so schlecht wird wie fünf vier Komma fünf unter müssen sich eben selbst entscheidenvierzehn Prozentist das plausibel ist das unplausibel typischerweise setzt man so die Grenze bei fünf Prozent?? sagt wenn ich jenseits der fünf ProzentGrenze bin in einem von zwanzig Fällendann soll weiter mal wirklich ganz doll nachguckenhier die vierzehn Prozent die würde man schon mal erlauben das ein Messwert habe derso schlecht ist das ?? nur in vierzehn Prozent der Fälle vorkommendas ein Trick um jetzt Wahrscheinlichkeitenfür einzelne Zahlen zusammenzufügendie wahrscheinlich da das vier Komma fünf rauskommt ist Null aber ich kann sagen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass ein Wert rauskommt der so schlecht ist wie vier Komma fünf oder schlechtermitdiesem integraldie geht einfach hier bis zu eins Komma fünfdas mal zwei Siege natürlich auch ?? oben integrierenaber das konnte nicht direkt raus aus der Funktionsfunktionin OpenOffice liefert die ?? integriert von links durchdas am leichtesten diese Fläche links zu nehmen und sie zu verdoppelnalso von seinermal Verteilungsfunktiongibt es zwei Variantendie mit Null hinten das ist die Dichte die mit eins hinten ist das integraldie Verteilungsfunktionman kann aber auch zurückrechnendass man direktvon den Prozentzahlenschließtauf die Echse dass es Norm in??Kommaals das wenn jetzt meine Prozentzahlnicht über ein nullundNahverkehrin kleinen Schrittennull Komma eins ProzentMöglichkeit lieber noch in ?? noch kleiner null Komma null eins Prozent und dann jetztziemlich grob dadurchzehn Prozentfünfzig Prozentneunzig ProzentneunundneunzigProzentOhrenneun hundert neunundneunzigComputer oben null null angefangen das wollte ich gar nicht mit ein Promille Anfang null Komma null nulleins sodas soll meinerWahrscheinlichkeitenseinein Promilleein ProzentProzent ein halbeins minuszehn Prozent eins minusein Prozent eins minus ein Promillejetzt kann ich umgekehrtabfragenwelche X werde dazu gehören Norm inda geben sie wieder denX Wert an wovon will ich denn jetztüber sechs für die Prozentzahl von welcher Prozentzeichenwelcher Wahrscheinlichkeitwill ich dieIndexwert wissenund ich brauch den Mittelwert dreigesprochen Standardabweichungüber einssojetzt sagte mir zu den ProzentzahlendenX Wertbis zu einem X Wert von minusnull Komma ungefähreinsbis ein X Wert von minus null Komma eins etwa ist eine Wahrscheinlichkeit von einem PromilleX werde die es rauskommenliegenunter minus null Komma null neun von mir aus mit einer Scheinwelt von einem Promille liegt sie liegen unter null Komma sechs sieben mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Prozentsie liegen unter eins Komma sieben mit einer Scheinwelt von zehn Prozent liegen unter drei das war der Mittelwert mit einer Schandtat von ein halb und so weiterum das mal zu kloppensind X Y in der Richtung zu Platten sieht komisch aus ich mach mir folgenden Trickich setzedieErgebnisspaltenach linksdie Spalte in der Mitte war meine Eingabe ich setze jetzt mal trotzdem die Ergebnisse nach links damit fünfzig Platten kann das X werdedas es in Wahrscheinlichkeitenhatte das falsch rumX Y Und-Zeichen Verbindung mit Punktenso sieht das dann auszu erkennen ob ich diese Verteilungsfunktionwiederdas ist die Kurve die ebendas ist die Kurve die eben orange warKlammer aufdiese Orangekurvejetztwird gerade blau?? und ist andersrum gerechnet ich habe gefragtfür eine Wahrscheinlichkeit von einem Promille was musste X Wert seinminusnull Komma null neun dass es jetzt der X werde dazu bis dahin steckt unter der Kurveein Promille drunterfür Wahrscheinlichkeitvon einem Prozentwas musste X Wert seinsagt Norm indas muss Take That sein für ein Prozent das ist X Wert null Komma sechs sieben bis dahin steckt unter der Normalverteilungein Prozentbis eins Komma sieben zwei vier steckende Normalverteilungstecken zehn Prozentfünfzig Prozent steckenbis zur drei drunter das Weidemittelwert und so geht das dann weiterneunzig Prozent stecken bis zur vier Komma zwei drunterund so weiter also wenn sie die Prozentzahlenvorgeben wollen wenn sie genaue Schranken haben wollen wenn sie sagen ich möchte sicher sein daszehn Prozent links zehn Prozent rechts höchstens verloren gehenkönnen sie rückwärts rechnen und wissen okaydie Linken muss als bei null Komma sechs sieben liegendie Rechte Grenze symmetrisch dazu ??theoretisch für diese wahrscheinlich gleich niemals Nullsich hier die Dichte anguckendie Hamster hat da schon sehr viele Nullen die Dichte ist Komma wann er mehr Nullenandiese Dichte entschwindetziemlich schnell gegen nullgeht jetzt niemals ganz neu also theoretischkönnte tatsächlich hier auch im Wert von minus zwoundvierzig rauskriegendie Wahrscheinlichkeit wäre aber dermaßen winzig dass ich das nichtso lieferbar vorführen was dann passiert aber ?? hat noch mal dazudieähmgrundlegende Figur ist ja was wie E hochminus X QuadratSie wissen schonwenn sie eh hochX anguckenfürnegative Zahlen wird dassehr sehr kleinniemals kleiner als null aber auch niemals gleich nur sehr kleine Zahlen nicht bei nurminus X Quadrat macht das ganze ja noch schlimmerVenedigs leicht tausend ist die TT hoch minus eine Milliondas ist wirklich klein hat die beiden Texte links und rechts dieSchwänze dieser Normalverteilungdie drücken sich extremdicht auf diex-Achseaber rein theoretisch könnte der Celli auch Minus von vierzig raus kriegen sie müssen nur häufig genug Experiment durchführenwelche X Werte kommen mit dieser WahrscheinlichkeitrausKommaokay sehenwow das sind schon extrem viele Nullenund sie sind nur bis minus drei Komma sieben gegangenim Rahmen Nullendiese Wahrscheinlichkeithier das es aber deutlich schlechter als Lotto wahrscheinlichzweimal ob ineinander zu gewinnen von der Wahrscheinlichkeitherdie haben sie bei minus vier Komma sechs fünfdie Wahrscheinlichkeitdass sie hierbei minus vier Komma sechs fünf oder drunter liegenist kleiner als zwei miteinander Lotto zu gewinnenhaben sie kriegen hier kaum nennenswerte Zahlen ausder Mitte sitzen bisschen weiter Treiberund das könne als ich war seine komme ich nicht zu Potter hierwegen des Quadrat was in der Spezialfunktionstehtwahrscheinlich kein von zehn hoch minus dreißigwinzig winzig winzig winzignull Kommaneun zwanzig null den Händen einfach als Wahrscheinlichkeitdas haben sie wenn sie guckenbis sie Zahlen haben wollen von minusacht Komma vier oder kleinerdas erfasste noch zu sehen minus acht Komma vier ?? kleiner ist ein super super kleiner Schein alle dieseKurven drücken sich extremdicht auf die x-Achse die wahrscheinlich ?? ist nicht nullaberdies praktisch nures bleibt nicht viel übrig dannim realen Leben haben wir sowieso irgendwelche Grenzen für ihre Messwertean wenn das hierLänge istwenn sie glaube ich nicht erwarten das wenn sie den Mittelwert von drei Metern haben sind irgendwiehundert MilliardenKilometer rauskriegen könnendannso langes Lineal haben sie gar nicht die hundert Milliarden Kilometer ausklinken rein theoretisch die Normalverteilungkönnte das tatsächlich als Ergebnis bringen wenn sie nur häufig genug messen