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28A.4 Normalverteilung in OpenOffice.org, Wahrscheinlichkeitsdichte, kumulierte Verteilungsfunktion


CC-BY-NC-SA 3.0

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die – Normalverteilung – entsteht – laut zentralen Grenzwertsatz – wenn sie – sehr viele – kleine Störungen haben – einen Messwert – eine Zufallsgröße – in der sehr viele – kleine Störungen zusammen gemischt sind additiv zusammen gemischt sind dann haben sie automatisch – so etwas wie Normalverteilung – mehr Störungen – es sind je kleiner sie sind – dann anteilig – desto – genauer wird diese Nehrung – gibt und bei technische Randbedingungen – die Störungen müssen – unabhängig voneinander sein – müssen endlich Varianz haben und so weiter und so weiter aber im Endeffekt ist das für die anschauliche Vorstellung von der Normalverteilung – einen Messwert – was passiert mit einem Messwert bin ich ganz viele kleine Störungen habe – der wird normal verteilt sein – Punkt die Normalverteilung hat zwei – Größen die diese bestimmen es gibt nicht eine Normalverteilung – sondern es gibt eine Familiennormalverteilung – und sie geben den Erwartungswert – an hast dann ?? – das ist das Zentrum dieser Glocke – natürlich – auch automatisch dann – der Erwartungswert – von der – Zufallsgröße – dahinter – Wahrscheinlichkeitsdichte – hier hat – und sie geben die – Breite an – dieser Glocke – das ist die Standardabweichung – Wahrscheinlichkeitsdichte – P von X – mit E hoch X Quadrat – mit ihrer minus X Quadrat geeignet verziert das ganze um ihn nach rechts verschoben – mit Siegmar in die Breite eskaliert – und passen in die Höhe eskaliert und so weiter nur – Dienstag – das will ich jetzt noch mal – einen – OpenOffice zeigen wie das dann – tatsächlich exakt aussieht und was man damit plötzlich rechnen kann – zum Beispiel – wenn ich meine X Werte nehme sagen wir von minus eins – minus ein minus null Komma neun – minus null Komma acht – und so weiter und so weiter – mehr gemischter bis zu sechs rauf – gibt's eingebaut – Norm fährt – Normalverteilungsnorm – fährt – wenn sie hier unter Statistikco – können – Statistik Statistik – Caril – Norm fährt da ist sie so was geben sie an – sie geben an – was Take That ist von dem sie die Normalverteilung – haben wollen – gegeben – Mittelwert – Mühe an – Beistrich den Erwartungswert – ja streng genommen und sie geben die Standardabweichung – an unsere letzte Größe ganz ist das wusste sie können umschalten ob sie die Dichter haben – oder ob sie – die – kumulierte – Normalverteilung – haben wollte immer gleich was das ist – also hier kommt Norm fährt – Normalverteilung – X wird für den ich das wissen will – der Erwartungswert – ist jetzt aber mal ganz dreist drei – allgemeine Zufallsgröße – soll – im Mittel gleich drei sein – dann kommt die Standardabweichung – eins sollte Standardabweichung – seiner Gemeinde leichter ablesen – was denn so die Nummer vertreiben allgemein tut ?? Komma für das letzte – ominöse – Größe vier mal null – und – immer sofort – eine zweite Spalte hier auf – der steht dasselbe drin – sichere Sikhs werden dann – die fünf sein – und hinten eine eins – der vierte Parameter hier kann null oder eins sein je nach dem kriegen sie die Dichte – oder die Verteilungsfunktion – wir sehen gleich was das bedeutet dichtere Verteilungsfunktion – ich – soll was mal paar Stellen spendieren – hier – weit für alle – nachkommen – Komma stellen – das ganze mal Platten – eine bessere Idee was das bedeutet – ein – Diagramm – natürlich X – Y – G ?? X Werte vor und Y Werte vor – lernen – und das ganze – verbindet einfach mit Linie der so fein aufgelöste – Vermittlungen verbinden – okay – das ist was in OpenOffice und genauso Excel – auf Knopfdruck liefern – sie erkennen die blaue Kurve wieder das ist die Normalverteilung – wie wir sie kennen und lieben – und das Orange – ist das integral – der Normalverteilung – von minus unendlich dessen übliche – Vorgehensweise – bei – Zufallsgrößen – dass man sie integriert von minus unendlich bis zu einem Wert – bei dem man dann sind die gerade ziemlich auflisten – zum Beispiel – bei drei – wenn sie die Normalverteilung – integrieren von minus unendlich bis drei – sehen Sie das integral ist ein halb in die Hälfte der Werte wahrscheinlich – halb in die Hälfte der Werte nicht – bis zum Wert drei – wenn sie die Normalverteilung – die blaue Kurve integrieren – bis zum Wert vier – er – irgendwo bei – null Komma knapp vor null Komma neun – das heißt die Wahrscheinlichkeit – bei dieser blauen – Wahrscheinlichkeitsdichte – die Wahrscheinlichkeit – einen Wert bis vier zu haben vier oder kleiner zu haben – ist irgendwas bei null Komma neun einen Wert – bis fünf oder kleiner zu haben – ist – also sein mag null Komma neun fünf oder was ähnliches Klammer zu gleich genauer angucken das ist diese rote Kurve die Verteilungsfunktion – die kumulierte – äh – Verteilung des Ganzen sie summieren quasi auch wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – einen Wert bis dahin zu haben und je größer – sie das X wählen – desto mehr nähert sich das natürlich der Zahl eins – wenn meine Zufallsgröße im Mittel gleich drei ist – und diese Breite hat – dann ist sie mit sehr sehr großer Wahrscheinlichkeit kleiner gleich sieben – Wahrscheinlichkeit – dass sie kleiner gleich sieben ist ist praktisch eins – S ?? nähert sich diese Orangekurve gleicht der eins – die Wahrscheinlichkeit dass meine Zufallsgröße – sind sie hier – kleiner ist als minus eins ist praktisch null – Normalverteilung – mit Mittel greifen Standardabweichung – eins – die Chance dass sie deinen Wert rauskriegen – bis minus eins – links von minus eins oder gleich minus eins dies praktisch Null – das sagt uns die Orangekurve – Komma gleich ein bisschen – in Aktion sehen – nun – erst einmal zu der Normalverteilungskurve – als solcher – erst mal sehen Sie dass sie nicht bis – eins geht warum geht die Normalverteilungskurve – nicht bis eins ✂ ja die Fläche unter der blauen Kurve muss eins sein wenn sie das angucken – zwei drei vier – mal null Komma zwei zwei bereits null Komma zwei hoch dann ist diese Fläche die hier diesen Rechteck jetzt schon null Komma vier – und der Rest – null Komma sechs warum nicht kann ungefähr hinkommen also nicht wundern dass die Normalverteilung – hier um nicht bei eins ausläuft – die Fläche muss gleich ein seine Fläche darunter – nicht der oberste Punkt muss bei Einsätzen – ähm je breiter die Kurve wird – desto niedriger wird er Punkt darum sitzen – damit weiterhin die Fläche gleich eins sein ?? anders – bei dieser – bei dem integral hier das integral muss zum Schluss bis eins raus laufen das hier ist die Wahrscheinlichkeit – dass meine Zufallsgröße – kleiner gleich sechs ist – dies praktisch gleich eins SEO muss bei eins raus laufen – was sie da lernen ist auch das man eigentlich diese beiden Kurven nicht in ein Diagramm malen sollte – die Orangekurve – ist einheitslos – das es Wahrscheinlichkeit – das integral – der Wahrscheinlichkeitsdichte – läuft direkt bei der Zahl eins die nackte Zahl eins bei der ?? läuft ?? oben aus – die blaue Kurve sie Wahrscheinlichkeitslehre – deren Einheit ist eins durch die Einheit meine x-Achse wenn ich unten meta habe – muss die eine der y-Achse für die blaue Kurve eins durch Meter sein damit die Fläche einer zwo sein kann – an sich sollte die eigentlich beide nicht in ein Diagramm anzeigen habe ich jetzt gemacht das man – zumindest irgendwie vergleichen kann – die Branche Kurve – als integral der – blauen Kurve – bei minus unendlich angefangen – Komma – wir können jetzt zum Beispiel – auf der – Branchenkurve – ablesen – wie groß die Wahrscheinlichkeit – ist – eine Standardabweichung – tiefer zu sein – als der Mittelwert der Mittelwert ist bei drei – Erwartungswert – Mittelwert Mühe ist bei drei – bei zwei bin ich eine Standardabweichung – und mit ?? gesagt Standardabweichung – eins – bei zwei bin ich eine Standardabweichung – nach unten gegangen Mühe minus Siegmar – jetzt komme ich ablesen okay – wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – dass ich einen Wert kriege der – kleiner gleich – minus Sigma ist – sie in der liegen wir hier bei null Komma – O je – null Komma eins fünf oder ähnliche können es in der Tabelle nachgucken – mit der Orangenkurve – nicht möchte wissen welche bei zwei ?? damit bei zwei – so – die Orangekurve – sagt mir die Wahrscheinlichkeit – bei der Normalverteilung – einen Wert – kleiner gleich zwei zu kriegen – ist fünfzehn Komma neun Prozent – die Normalverteilung – auf Malen – heißt das Tier Siegmar – hier einzig herunter – minus Sieg war dann heißt dass diese Fläche hier – diese Fläche hier – sind – ungefähr sechzehn Prozent – können jetzt auf der Orangenkurve – ablesen – ?? weiterhin – drei war der – Erwartungswert – und Mittelwert gleichzeitig – die Wahrscheinlichkeit – eine – ein Ergebnis zu haben bis zum Mittelwert ist ein halb – der Hälfte der gefälligen sieht rund eine Hefte fälligen sie drüber – durch Ehrlichkeit null diese genau drauf deshalb hier ein halb – ein Messwert bis zu drei zu haben wenn ich eine Standardabweichung – nach unten gehe – über einzig Kanada Beistrich sind sie hier – okay – dann liegen da nur noch ungefähr sechzehn Prozent drunter – dieser Teil der Kurve hier sind nur noch sechzehn Prozent dasselbe geht natürlich nach oben – ist asymmetrisch wenn sie hier gucken bei Mühe plus Siegmar eine Standardabweichung – nach oben – dann sehen Sie das muss natürlich aus Symmetriegründen – auch sechzehn Prozent sein ?? – zusammen sind dabei etwa zweiunddreißig – Prozent das heißt insgesamt – hier in der Mitte müssen wir achtundsechzig Prozent haben – dieser Teil in der Mitte müssen achtundsechzig Prozent sein – damit für sechzig Prozent links und sechzehn Prozent Recht haben können – also bei der Normalverteilung – ist die Wahrscheinlichkeit – in diesem Bereich zu liegen – der – Erwartungswert – minus Standardabweichung – Erwartungswert plus Standardabweichung – achtundsechzig – Prozent – wenn Sie also so ein Messwert angegeben haben von wegen – drei – Meter plus minus ein Meter das wäre jetzt eher die Angabe für meine Kurve ebenerdige Sach Erwartungswert drei – und dann Abweichung eins – wenn sie den angegeben haben heißt das – achtundsechzig Prozent der Messungen – liegen zwischen – drei Scheiben von Dennis Götze liegen von zwei – bis – vier Meter – zwei wäre – Mittelwert minus Standardabweichung – vier wäre Mittelwert plus Standardabweichung – können mit der Orangenkurve einfach ablesen geht unterliegen sechzehn – Prozent – symmetrisch Beseitigung dann auch sechzehn Prozent liegen bleiben in der Mitte achtundsechzig Prozent ✂ ich Komma vierundsechzig Prozent weit links sechzehn Prozent verloren gehen recht sechzehn Prozent verloren gehen ?? in ?? zwei ?? dreißig Prozent in der roten Fläche verloren – insgesamt – muss sie wahrscheinlich ?? Einssein – bleiben hundert Prozent zwei dreißig – sind die achtundsiebzig Prozent ungefähr achtundsechzig – kann mich genau wissen ungefähr sechzig Prozent bleiben in der Mitte – des könnte natürlich für andere – Abweichungen auch machen das willige sich vor Fenster wie das geht ?? die Gruppen sich nicht minus Sigma an sie gucken sich Mühe minus zwei Siegmar an – die Fläche wird natürlich schon bedeutend kleiner dir links und rechts fehlt und kann sie sagen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – zwischen minus zwei Siegmar Ü plus zwei Sigma liegen – das hatte ich auch in Videos vorgeführt ?? mit – plus minus dreißig Grad ich das – vorgeführt es zu dieser Sixt Sigmabereich – sehr gerne – in der Literatur vorkommt – Punkt – nun kann man aber auch – die Frage anders stellen wenn ich das jetzt alles weiß über meine Verteilung – kenne den Mittelwert – ich kenne die Standardabweichung – wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – einen Wert – zu kriegen – Komma von vier Komma fünf ich das noch mal auf Male – mit das Mittel bei drei – und die Standardabweichung – von – eins – wie groß ist denn jetzt die Wahrscheinlichkeit – einen Wert zu kriegen der so schlimm ist wie vier Komma fünf – die Wahrscheinlichkeit – genau diesen Wert vier Komma fünf zu kriegen ist ja null – damit kann ich nicht viel anfangen ich hätte gern ein Maß dafür – dass ich sagen kann – haben – vier Komma fünf – Sohneabweichung – ist – plausibel – glaube ich oder ?? – oder ein Maß das mit den ihm erlaubt zu sagen die Komma fünf – für diese – Zufallsgröße – kann auf keinen Fall sein wäre höchst komisch wäre so gut wie Lottogewinn – die können nicht direkt die Wahrscheinlichkeit – nehmen das wir Komma fünf rauskommt – wahrscheinlicher dass die Kurven rauskommt ist Null wahrscheinlich galt das drei rauskommt dies null wahrscheinlich Karte zwei rauskommt ist nur – jeder exakte Wert – hat die Wahrscheinlichkeit – null – ich kann immer nur die Wahrscheinlichkeiten – für – Intervalle angeben diesen sinnvoll – wie kann ich mich hieraus lügen wenn ich sagen will wie schlecht sein Messergebnis – vier Komma fünf ist wie wahrscheinlich ist ein Messergebnis vier Komma fünf – in der Mittelwert drei sein sollte ✂ als um zu sagen wie schlecht dieser Messwert oder wie gut dieser Messwerte Komma fünf ist – mit einer Wahrscheinlichkeit – kann ich mir nicht in allein angucken der Trick ist ich gucke mir alle an die schlimmer sind – vier Komma fünf – und alle darüber diesen ja noch schlimmer – und auf der anderen Seite – in eins Komma fünf nach oben gegangen ich gehe eins Komma fünf nach unten – dieser Messwert bei eins Komma fünf – der ist genauso schlimm wie vier Komma fünf zwei fünf nach oben eins Komma fünf nach unten und alle darunter – sind noch schlimmer – was ich angebe – ist diese Fläche – die Wahrscheinlichkeit – mindestens – eins Komma fünf daneben zu liegen das gibt man an – um zu sagen wie gut oder schlecht zu ein Messwert ist wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – einen schlimmeren in Anführungszeichen – ein schlimmeren Messwert zu haben sind – wenn sie ein Messwert – drei Komma null null eins haben – Messwert von drei Komma null null eins haben und gucken sich diese beiden Flächen an – von drei Komma null null eins bis ins unendliche – und von – zwei Komma neun neun – bis ins minus ähnliche wie groß wird die Summe dieser beiden Flächen werden ✂ neunundneunzig Komma neun Prozent ?? ist ja fast die gesamte Fläche unter der Kurve wenn wir – bis äh zwei Komma neun neun gehen von links und dann bei drei Komma null eins wieder anfangen haben sie praktisch die ganze Fläche unter der Kurve praktisch hundert Prozent – ein Messwert von drei Komma null eins – ist höchst plausibel den König glauben dann habe ich hier in Wahrscheinlichkeit – von fast hundert Prozent – das mein Messwert schlechter sein müsste – an – das immer wieder lösche – zum ein Messwert von vier Komma fünf ist das nicht mehr ganz so klar – ich möchte diese blaue Fläche berechnen – und dann habe ich hier das Doppelte sehen was sie angucken müssen – das integral bis eins Komma fünf – und das mal zwei das ist die Fläche die außerhalb liegt – die habe er schon mit der roten Kurve – ich gehe bis eins Komma fünf und dann kann ich hier auf der – Branchen soll ich sagen ?? auf der Branchenkurve ablesen – wie groß die Wahrscheinlichkeit ist ein Wert bis eins Komma fünf zu haben – das ist – die linke Seite hier – und das mal zwei – gibt mir dann alles als ich gucke nach – ?? auf der orangenen Kurve – was da was da was dabei eins Komma fünf steht – knapp sieben Prozent – dieses hier sind eins Komma fünf knapp sieben Prozent das sagt mir – dass – diese Fläche hier – sieben Prozent ausmacht – da muss natürlich auch diese Fläche sieben Prozent ausmachen – und ich kann sagen wie schlecht oder wie gut man wird vier Komma fünf ist – in – vierzehn Prozent der Fälle siebter sieben in vierzehn Prozent der Fälle kriege ich ein Messwert – der vier Komma fünf ist oder schlechter – ein Messwert soll sagen wir so schlecht ist wie vier Komma fünf – oder noch schlechter der mindesten so schlecht wird wie fünf vier Komma fünf unter müssen sich eben selbst entscheiden – vierzehn Prozent – ist das plausibel ist das unplausibel typischerweise setzt man so die Grenze bei fünf Prozent – ?? sagt wenn ich jenseits der fünf Prozent – Grenze bin in einem von zwanzig Fällen – dann soll weiter mal wirklich ganz doll nachgucken – hier die vierzehn Prozent die würde man schon mal erlauben das ein Messwert habe der – so schlecht ist das ?? nur in vierzehn Prozent der Fälle vorkommen – das ein Trick um jetzt Wahrscheinlichkeiten – für einzelne Zahlen zusammenzufügen – die wahrscheinlich da das vier Komma fünf rauskommt ist Null aber ich kann sagen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass ein Wert rauskommt der so schlecht ist wie vier Komma fünf oder schlechter – mit – diesem integral – die geht einfach hier bis zu eins Komma fünf – das mal zwei Siege natürlich auch ?? oben integrieren – aber das konnte nicht direkt raus aus der Funktionsfunktion – in OpenOffice liefert die ?? integriert von links durch – das am leichtesten diese Fläche links zu nehmen und sie zu verdoppeln – also von seiner – mal Verteilungsfunktion – gibt es zwei Varianten – die mit Null hinten das ist die Dichte die mit eins hinten ist das integral – die Verteilungsfunktion – man kann aber auch zurückrechnen – dass man direkt – von den Prozentzahlen – schließt – auf die Echse dass es Norm in – ?? – Komma – als das wenn jetzt meine Prozentzahl – nicht über ein null – und – Nahverkehr – in kleinen Schritten – null Komma eins Prozent – Möglichkeit lieber noch in ?? noch kleiner null Komma null eins Prozent und dann jetzt – ziemlich grob dadurch – zehn Prozent – fünfzig Prozent – neunzig Prozent – neunundneunzig – Prozent – Ohren – neun hundert neunundneunzig – Computer oben null null angefangen das wollte ich gar nicht mit ein Promille Anfang null Komma null null – eins so – das soll meiner – Wahrscheinlichkeiten – sein – ein Promille – ein Prozent – Prozent ein halb – eins minus – zehn Prozent eins minus – ein Prozent eins minus ein Promille – jetzt kann ich umgekehrt – abfragen – welche X werde dazu gehören Norm in – da geben sie wieder den – X Wert an wovon will ich denn jetzt – über sechs für die Prozentzahl von welcher Prozentzeichen – welcher Wahrscheinlichkeit – will ich die – Indexwert wissen – und ich brauch den Mittelwert drei – gesprochen Standardabweichung – über eins – so – jetzt sagte mir zu den Prozentzahlen – den – X Wert – bis zu einem X Wert von minus – null Komma ungefähr – eins – bis ein X Wert von minus null Komma eins etwa ist eine Wahrscheinlichkeit von einem Promille – X werde die es rauskommen – liegen – unter minus null Komma null neun von mir aus mit einer Scheinwelt von einem Promille liegt sie liegen unter null Komma sechs sieben mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Prozent – sie liegen unter eins Komma sieben mit einer Scheinwelt von zehn Prozent liegen unter drei das war der Mittelwert mit einer Schandtat von ein halb und so weiter – um das mal zu kloppen – sind X Y in der Richtung zu Platten sieht komisch aus ich mach mir folgenden Trick – ich setze – die – Ergebnisspalte – nach links – die Spalte in der Mitte war meine Eingabe ich setze jetzt mal trotzdem die Ergebnisse nach links damit fünfzig Platten kann das X werde – das es in Wahrscheinlichkeiten – hatte das falsch rum – X Y Und-Zeichen Verbindung mit Punkten – so sieht das dann aus – zu erkennen ob ich diese Verteilungsfunktion – wieder – das ist die Kurve die eben – das ist die Kurve die eben orange war – Klammer auf – diese Orangekurve – jetzt – wird gerade blau – ?? und ist andersrum gerechnet ich habe gefragt – für eine Wahrscheinlichkeit von einem Promille was musste X Wert sein – minus – null Komma null neun dass es jetzt der X werde dazu bis dahin steckt unter der Kurve – ein Promille drunter – für Wahrscheinlichkeit – von einem Prozent – was musste X Wert sein – sagt Norm in – das muss Take That sein für ein Prozent das ist X Wert null Komma sechs sieben bis dahin steckt unter der Normalverteilung – ein Prozent – bis eins Komma sieben zwei vier steckende Normalverteilung – stecken zehn Prozent – fünfzig Prozent stecken – bis zur drei drunter das Weidemittelwert und so geht das dann weiter – neunzig Prozent stecken bis zur vier Komma zwei drunter – und so weiter also wenn sie die Prozentzahlen – vorgeben wollen wenn sie genaue Schranken haben wollen wenn sie sagen ich möchte sicher sein das – zehn Prozent links zehn Prozent rechts höchstens verloren gehen – können sie rückwärts rechnen und wissen okay – die Linken muss als bei null Komma sechs sieben liegen – die Rechte Grenze symmetrisch dazu ?? ✂ theoretisch für diese wahrscheinlich gleich niemals Null – sich hier die Dichte angucken – die Hamster hat da schon sehr viele Nullen die Dichte ist Komma wann er mehr Nullen – an – diese Dichte entschwindet – ziemlich schnell gegen null – geht jetzt niemals ganz neu also theoretisch – könnte tatsächlich hier auch im Wert von minus zwoundvierzig rauskriegen – die Wahrscheinlichkeit wäre aber dermaßen winzig dass ich das nicht – so lieferbar vorführen was dann passiert aber ?? hat noch mal dazu – die – ähm – grundlegende Figur ist ja was wie E hochminus X Quadrat – Sie wissen schon – wenn sie eh hoch – X angucken – für – negative Zahlen wird das – sehr sehr klein – niemals kleiner als null aber auch niemals gleich nur sehr kleine Zahlen nicht bei nur – minus X Quadrat macht das ganze ja noch schlimmer – Venedigs leicht tausend ist die TT hoch minus eine Million – das ist wirklich klein hat die beiden Texte links und rechts die – Schwänze dieser Normalverteilung – die drücken sich extrem – dicht auf die – x-Achse – aber rein theoretisch könnte der Celli auch Minus von vierzig raus kriegen sie müssen nur häufig genug Experiment durchführen – welche X Werte kommen mit dieser Wahrscheinlichkeit – raus – Komma – okay sehen – wow das sind schon extrem viele Nullen – und sie sind nur bis minus drei Komma sieben gegangen – im Rahmen Nullen – diese Wahrscheinlichkeit – hier das es aber deutlich schlechter als Lotto wahrscheinlich – zweimal ob ineinander zu gewinnen von der Wahrscheinlichkeit – her – die haben sie bei minus vier Komma sechs fünf – die Wahrscheinlichkeit – dass sie hier – bei minus vier Komma sechs fünf oder drunter liegen – ist kleiner als zwei miteinander Lotto zu gewinnen – haben sie kriegen hier kaum nennenswerte Zahlen aus – der Mitte sitzen bisschen weiter Treiber – und das könne als ich war seine komme ich nicht zu Potter hier – wegen des Quadrat was in der Spezialfunktion – steht – wahrscheinlich kein von zehn hoch minus dreißig – winzig winzig winzig winzig – null Komma – neun zwanzig null den Händen einfach als Wahrscheinlichkeit – das haben sie wenn sie gucken – bis sie Zahlen haben wollen von minus – acht Komma vier oder kleiner – das erfasste noch zu sehen minus acht Komma vier ?? kleiner ist ein super super kleiner Schein alle diese – Kurven drücken sich extrem – dicht auf die x-Achse die wahrscheinlich ?? ist nicht null – aber – dies praktisch nur – es bleibt nicht viel übrig dann – im realen Leben haben wir sowieso irgendwelche Grenzen für ihre Messwerte – an wenn das hier – Länge ist – wenn sie glaube ich nicht erwarten das wenn sie den Mittelwert von drei Metern haben sind irgendwie – hundert Milliarden – Kilometer rauskriegen können – dann – so langes Lineal haben sie gar nicht die hundert Milliarden Kilometer ausklinken rein theoretisch die Normalverteilung – könnte das tatsächlich als Ergebnis bringen wenn sie nur häufig genug messen