[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

08.1_2 Dynamische Systeme, logistische Gleichung


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

dynamischeSysteme das ist ein Oberbegriffam was jetzt eigentlich vorkommt dieses Semester sind Differenzialgleichungenein großerein großes Teilgebiet davon frei zu der das größteaber ich wollt einmalden Oberbegriff wirklich einführen dynamischeSystemedas ist das womit sichdie Wirtschaft und das Klima und die Physik und Chemie und die Biologie modellieren typischerweiseein dynamisches Systeminzwei wesentliche Zutatenhabe ich am Anfang des Semester schon mal gesagtzwei wesentliche Tour Zutatenzu einem solchen dynamischen SystemerstensZuständedas System befindet sich zu jedem Zeitpunktin einemgenau einen Zustand ?? updatedie Zustände zusammengenommenbilden einen ZustandsraumStagebaseoder Facebasephasenraumähmund dazu ein Entwicklungsgesetzdas mir sagt wie es denn weitergehtgegeben den aktuellen Zustandwie geht's von da weitergeht'sbei uns wird das jetzt die kommenden Wochenein Differentialgleichungsein Entwicklungsgesetzgegeben zum BeispielGeschwindigkeitV Geschwindigkeit und Position gegeben Geschwindigkeit und Positionsagte fast Differenzialgleichungenwie dichten Geschwindigkeitund Positionweiterentwickelnwas ist es deren zeitliche Ableitungin Abhängigkeitvon Geschwindigkeitund Position wiederhat es Entwicklungsgesetzsoll insofern vollständig sein wenn ich einen Anfangszustandhabesoll das Entwicklungsgesetzmehr glauben dass ichweiter rechnen kann bis ins unendlichewas denn passiertdas eine ganz abstrakte Ideefürpraktisch alle Modelle die man bautdie Entwicklungsgesetzedie jetzt vorkommen sinddie terminisierteEntwicklungsgesetzeist kein Zufall trennenim allgemeinen ist es raffinierter auch noch Zufall drin zu habenin jedem Schritt auch noch Einwürfe zu werfendann hat man einen stochastischen Prozess wieder so schön heißt das nennt man dannplötzlich Prozess und nicht mehr SystemJesu als erster bei den Differenzialgleichungenund die feministische Systeme gehen es ist kein Zufall eingebaut wenn ich den Anfangszustandweißmuss dasüber Abermillionen Milliarden Jahre klar sein wie es weitergeht aus dem Anfangszustandohne irgendwas an Würfelnohne was an Meßungenauigkeitendas ist die einfache Variante aber nicht gerade um in die realistische Varianteder leninistische dynamisches Systemokay zu den Zuständen nochimmein übliches Beispiel istich nehme eine Kegelbahnzeichnerische HerausforderungKommaeine Kegelbahn stellte die höfliche?? ?? ?? ?? sehr wichtig ?? vor Arch eine Ideestellt sich die Gegend vorsodas Wort wahrscheinlich wie das Original sollneun sein ein zwei drei vier fünf sechs sieben acht wirdes wohl okay?? dann ist es nur neunmeine neuen Kegel und eine Kugelim drei dimensionalenwas beschreibt den Zustanddie beschreibe ich den Zustand dieses Systems Kegelbahnmuss dazu sagen die Massen von denen sie natürlich festder Untergrund ist fest die Beschaffenheit des Untergrunds fest alle sind aus Holz aus Plastik und so weiter All das ist festwieer was brauche ich jetzt umeinfach das simpelste an der Physik zu beschreibenfür jeden dieser zehn müsste ich wissenPositionGeschwindigkeitspositiondessen drei Vektor die Geschwindigkeit essen dreier Vektordie Orientierungim Raumin welche Richtung zeigt das Ding gerade drei Winkel jeweilsOrientierungsind jeweils drei Winkelund die Winkelgeschwindigkeitzwei Wege für die Achseundeine Zahlfürden nackten Zahlenwert soundsovielRadiant pro Sekunde die Windgeschwindigkeitnoch mal drei Zahlendas lustig anzusehenwarenund das macht für Nummer zwei als Phasenraumoder Zustandsraumstagebaseich hoffe Verfasser mit doppelter SchlussphaseüblicherZustandsraumphasenraumder Phasenraum werden all das anzugebennicht brauchenzehn mal drei Werte für Position drei wird für Geschwindigkeit?? Werte für Orientierung drei Werte für Winkelgeschwindigkeitjeder Zustandbraucht drei plus drei plus dreimachtbei zehnäh und hundert und zwanzig?? sind hundert und zwanzig Wertemuss hundert und zwanzig Werte angeben einen einzigen Zustand zu schreiben ?? Phasenraum wird dann eher hundert zwanzig werdenodereine Untermenge vom R hundert zwanzig unbeteiligteresder Physik es mal ganz dreist ??okay wir nehmen den ganzen ?? hundert zwanzig auf immer da Milliarden Lichtjahren sind sie weg sein könntentrotzen über den ganzen hundert zwanzig als an der Macht zwischen kompliziertdas wäre der Phasen womit sich hierein Punkt in diesem Raum habenhaben sie einen Vektor mit hundert zwanzig Einträgenin der Fach einfach die ersten drei Einträge für die Positiondes ersten Gipfels die nächsten Einträge für die Geschwindigkeit des ersten Preises und so weiter und so weiterhundert zwanzigste Eintrag wird werdendie Z Komponente der Winkelgeschwindigkeitder Kugeleinhundert zwanzig untergebrachtdass wir ein hundert zwanzig Minuten aller Phasenbisschenschwer vorzustellenaber ich brauche wirklich so viele Zahlenum den Zustand zu beschreibenbrauche alle diese Angabenum dann mit der einfachen newtonschen Physik sagen zu können wie ist denn weitergehtes reicht nicht nur die Positionweil ich dann nicht weiß ob das Ding gerade auf dem Weg nach rechts ist ?? auf den Weg nach links ist oder ganz doll auf mit hoher Geschwindigkeit auf den Weg nach oben ich brauche die Geschwindigkeitunbedingtdes reicht mir nicht nur die Orientierung zu wissen die Braut natürlich auch übrigens genauso wissenwas denn die Winkelgeschwindigkeitist um zu wissen wie's weitergeht vom aktuellenMomentdas wäre in der newtonschen Physik zumindest soPunkt das als Beispielfür ein dynamisches System das dynamische Systemkegelbahndie Kegel sind alle fest definiert mit Massenformenund Reibungskoeffizientenelastizitätanwas ich angeben muss ist das hier hundert zwanzig Größen sich angeben sie bestimmen den Zustandum ein Entwicklungsgesetzwird die newtonsche Mechanik seinbedeckt ein einen eine Gleichung aufstellen für die Kraftund für die Kraft einerüber die Kraft ?? ich dann automatischGleichungenüber die Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigungund über die Ableitung der Wegegeschwindigkeitaneine Idee wie man das zergliedern kann das Feld der dynamischen Systemekann einmal gucken ob meine Zeitin Schritten abläuft dass es Zeit diskretoder ob meine Zeitohne Schritte kontinuierlichabläuft Zeit kontinuierlichdie klassische Mechanik wäre natürlich Zeit kontinuierlichKorntininunehrlichund dann kann ich mir anguckenob der Zustandsraumauseinzelnen Punkten bestehtoderob auch der kontinuierlichalso jährlich einmal dann einen diskretenZustandsraumdiskret nicht wiedas Gegenteil von indiskret sonderneinzeln liegend abzählbardiskretper Zustandsraumder schreibenZustandsraumund ein kontinuierlicherKontinuumderZukunftRaumzu klein jetzt?? lesen kannsofür die Nummer dreiein zeitdiskretesSystemmit einem diskreten Zustandsraumich kann die Zuständeeinzelnabzählenund die Zeit verläuftin Schrittenwelchem anderen Fach kommt das vordas schreit für mich nach Steuerungstechnikähmdie Maschineist im einen folgenden zehn zwanzig tausend auf jeden Fall endlich vielen Zuständenanunsdie Steuerungstechniksorgt dafür dass jeweils der passende Zustand dannweiter gewählt wirdvon einem zum nächsten gehtwenn ich dort Technik digital soll ich dazu sagen ?? digitales ist natürlich heutepraktisch immer Zeit diskretman läuft in ZeitschriftenMillisekunden sind oder Mikrosekunden aber es läuft auf jeden Fall in Zeitschriften durchund dann ist das Ding also sowohl Zeit diskret wie auchzustandsdiskretnundieMechanik hat mir schon gesehen Mechanik ist Zeit kontinuierlichdie Zeit fließt ohne Stufenund der Zustandsraumhat auch keinekleinen Kästchen sondern es kontinuierlichhier bei Nummer sechs sind wir bei ?? klassischen Mechanikwarer einübles Beispiel ist das Federpendelunternehmensdie Kegel von ebendie Höhevon dem Peter Wendelkellerpendelund die Geschwindigkeitsind stufenlos einstellbarkontinuierlichdie Zeit fließtangeblichen Stufenin diesem Modell hatte Zeit undwas ebenfalls dazu gehörtäh ist heute eher seltener wird die analoge Regelungstechnikgehört rauchenden in diesem Quadranten reinwenn sie eine Regelung aufbauenmit Transistorenund Operationsverstärkeranverläuft die Zeit nicht in Stufendie Signale verlaufen nicht in Stufendas gehört hier unten hin konnte man obendrein noch hinschreiben Mechanik und die analogeRegelungstechnikPunktNickwarhier oben kontinuierlicherZustandsraumund Zeit diskret schreit für mich nach der digitalenRegelungstechnikähmich habeZeitscheibenim Rechner typischerweisealles anderes ?? sehr schwer zu bauen ich habe Zeit scheint aber die Werte mit denen ich umgehe sindwenn man nicht allzu genau hin Punktkontinuierlichhaben bleibt Komma zahlen typischerweiseoder zumindest extrem hochaufgelösteganze Zahlenfünfundsechzigtausend Stufenwarenweitere zwanzigsten fünfzig Stufen aber typischerweise dann im sechzig tausend Stufen oder eben Mitleid Komma Zahlen noch wesentlich mehr Stufendie fühlen sich an wiekontinuierlichstreng genommen ist das nicht kontinuierlich streng genommen gibt dann vielleicht doch nur ich weiter streng genommen gibt's dann doch nurüberlegen irgendwas bei soundsoviel Milliarden Kleid Komma zahlenaber es fühlt sich kontinuierlich an das Mustergerne einsortierenkanndas was es nicht gibt es hier die Nummer fünf das ergibt nicht viel Sinnzeitkontinuierlichund ein diskreter Zustandsraumdas heißt wenn ihr die Zeit läuftanmein Zustandsraumhat nur soundsoviel Möglichkeiten?? ich habe hier drei Möglichkeitenim Zustandsraum drei verschiedene Zustände die man System haben kannStatik irgend einen Zustandbemisst sich das System dann irgendwannspontan entscheidenin einen Zustand zu springendas gibt's in der QuantenmechanikQuantensprungähmaber daspasstnicht zu dem feministischendas geht nichtder feministisch wann soll das System denn springenmüsse ?? ein Zufallsprozesssein der Steuermann dieses System springtam?? mit anderen Worten das kann nicht funktionieren Zeit kontinuierlich und diskreter Zustandsraumgeht nichtbitte mindestensvierzigH immer nochgeht nicht die feministisch Dame sich zu vereinbarenMechanikgeht am einfachsten an der Stelle denken Sie an ein zerfallendesUran zwo hundert soundsoviel Atomähmdas Uran zwar zu unseren Atomexistiertoder existiert nichtdiskreter Zustandsraumesganz einfach formulieren?? die Zeit läuft kontinuierlichund irgendwannentscheidet sich dieses Atomzu zerfallenaber dass der Zufallsprozessdann mit Zufall funktioniert dasaber die feministischohne das jemanden Würfel würfeltoder verwirft?? das nicht inokay das als Übersicht zu dendynamischen Systemengroß nur nach ?? gehtnächste Woche gehtsind eigentlich noch den EntwicklungsgesetzePunkt siewird Entwicklungsgesetzeahnendas in dem ich dann DifferentialgleichungMaker doch andereEntwicklungsgesetzehaben hier braucht offensichtlich anders Entwicklungsgesetzhier wohl auchhier untenhabe Differenzialgleichungendarum sollst ?? in den kommenden Wochen gehenführe aber nochfür den Abschnitt zweiein dynamisches System vor?? vondieser Artum ihn zu zeigen was für ?? Blödsinn passieren kann warum das alles nicht so einfach ist man dasauf den ersten Blick glauben magwas ich ihn zeigen möchte nennt sich die logistische Gleichungals Entwicklungsgesetzdas ist dann mein Entwicklungsgesetzdie logistischeGleichungangenommenich habeeinen Zustand X ähmwird jetzt beschrieben durch eine einzige Zahlen sagen ?? geht der nächste Zustand wieder beschrieben durch eine einzige Zahl isteine Konstantemaldie Zeit in den alten Zustand beschrieben hat mal eins minusdasdas nennt sich logistische Gleichungdieses SystemZustand ist beschrieben durch eine einzige Zahl richtig billig nicht hundert zwanzig zahlen wir eben eine einzige Zahl die Zeit läuft diskretschrittendenSchritt ein plus eins und das ist das Entwicklungsgesetzdas besagt wie von einem Schritt zum nächsten Kommaich nehme den Zustandim aktuellen Schritteins mal eins minus den Wertmal eine Konstante dieses Festin einem Konstante sagtdies festundsage das ist dann der nächsteWertdas ist ein billiges Modell für Bevölkerungersondern schon sagen Bevölkerungswachstumwenndas X sehr klein ist dicht bei Null sollte sagen wenn es X dicht bei null istist eins minusX dicht bei einsund sie habenganz normale Verzinsung hierdie nächste Generation ist K mal die aktuelle Generationdas wäre ganz Normalverzinsungwenn ich dicht bei null binwas passiert wenn das X dicht bei eins istwenn es X dicht bei eins istwird das Wachstum abgeschmiertschlimmer noch es wird nicht nur das Wachstum abgeschmiert die nächste Generationist unsere Firma die aktuelle Generation mal praktisch null kleines Xbei eins istein Wachstum mitAbschiebungein billigesModell für Wachstumsprozessedie eine Grenze haben hier ist die Grenze dann bei eins?? kann man sichmit OpenOffice vordrei angucken wie sich die System verhält das Handling auf ziemlich komplexe Weise von diesem Ka abder TV groß dieses Ka ist Enseskaähmknapp über eins ist startet das im ganz normalen Wachstumum dann irgendwannein Problem zu kriegen mit dem Wachstum wenn dieses K kleiner ist als einskein Wachstum mehr Sonderzahl negative Zinsen sondern Zahlezinsendas heißt es wird noch schrumpfen könnenKomma sein Punktalso dieser Mann in seinTeam ein paar Schritte durch einfachnachSchrittewaren das hier soll mein Weg seindenn ein Staat werde ich nehme vielleicht maletwas was wirklich langsam wachsen kann null Komma nullnull eins sodas als Staat wirdder nächste Wert soll sein der aktuelle Wertmaldiese Konstante K die solch auch irgendwo hinschreiben TschuldigungPlanung ist allesKonstante K so schreiben null Komma neun sollte zuerst seinIndex Nummer siebenversucht also das wird werdenKin Dollarzeichen festnagelnmalX maleins minusXund das zieht jetzt auchnicht glauben wollten beim Erstellensiehtes geschickter ausals in jedem Schritt nimmt erden alten Wertmal eins minus den alten Wertmal diese Konstante Khier wiederden alten Wertmal eins müssen alten Wert mal diese Konstante K und so weiter in jedem Schrittwardort normalauswählenamYdas tatsächlich mal der Aktion ist schonoriginell das zwei Punkte Punkt nach Auslassungspunkteokayso fängt das anK gleich null Komma neundas heißt ja dasich in jeder Generationsozusagen zehn Prozent Zinsen zahlenda steht dann jada steht dann ja null Komma neun mal der aktuelle Wert maletwas dicht bei eins null Komma neun mal der aktuelle der Das heißt in Prozentzeichen Zahlenoh Wunder wenn sie jedes Jahr zehn Prozent Zinsen zahlen ?? jede Generation zehn Prozent Zinsen zahlen kein Wunder was passiertdas sie bricht zusammenwaren jetzt nämlich nicht null Komma neun malsieben gewesen für Lückentextacht niemals eins Komma einsdas heißt ich kriege zehn Prozentdas heißt es wird am Anfang erst wachsen nicht genommen ich Return es wird am Anfang wachsen sie Prozent auf zehn Prozent drauf und so weiterbis ich in die Größenordnungder eins kommedann habe ich ein Problem mit dem Wachstumsehen was passiert okay schade bei den null Komma eins?? zehn Prozent draufjede Generationwächst und wächst und wächst habe erkurz vor der einsgeht es nicht mehr weiterweil der abschließende Faktor darindass wir für Text achtjetzt weiter spielen was passiert wenn A zwei stehtsind Punkt dann sowas superschnell hier an der Kanteähmfür ?? Index Nummer neun drei Komma zwei das ist der nächste spannende Wert drei Komma zweidafür sind ganz was Neues?? es oszilliert nämlich hin und her Doppelpunkt doch in kleiner Symbol nehmen?? kleiner SymbolSubjekteigenschaftenAachter bei demso besserwarKomma was sie das Ding springt hin und herwenn eine Generation groß ist dies demnächst ein bisschen kleinerdie nächste wieder größer die nächste kleine bestehenden Zyklus ist eine große Generation eine kleine eine große eine kleine Generationdas passiert bei drei Komma zweisechs neunbei drei Komma fünf ist wie das alles müssen schnellerbei drei Komma fünfhat das in Viererzyklusimmer rein somit kann sie gar nicht erkennen was was istsobei drei Komma fünfeine große Generationeine ganz kleineeinenicht ganz so große eine nicht ganz so kleine dann wieder eine große ?? in seinen Züge läuft dasegal wo mein Start erscheint jetzt sichtbar nullbei drei Komma fünf fünf es liegt dann alles sehr eng beisammenbei drei Komma fünf fünfan sie was passiert Punkt es kommensehenkann man das seheneins zweieins zwei drei vier fünf sechs sieben acht und dann geht's von vorne los das achter Zyklus dann nicht mehr viel miteinander sein acht Ineinandersystemetwas kleiner machen wieder nach ??das man erkennen kannwie dasinsgesamt aussiehtKomma jetzt in achter Zyklushier unten sehen Sie viereimmer zusammen gehören vier die zusammengehören Umsätze nochmals geht es in achter Zyklus das geht natürlich so weiterähPeriodenverdopplungdieses Phänomen das gibt's nicht nur bei diesem System das ganz üblichesPhänomen in solchen zwischen ?? chaotischen Systemennehmenund wirkliches Chaos für die Nummer zwölf das heißt wirklich Chaos in der Mathematik ist weniger vier Komma null eintragedas sieht anders Ding um die Ohrenso sieht das dann ausdas es ein wunderschöner Zufallszahlengeneratoranwenn Sie diese Zahlen hier so sehensie das aus als ob die alle gewürfelt werden aber es wird tatsächlich jedes Mal gerechnet vier mal die alte Zahl mal eins minus die alte Zahlauch wenn das Ganze wie gewürfelt aussiehtamChaos nennt sich das in der Mathematikweniger wegen des gewürfeltenalswegen derAuswirkungkleiner Störungen darüber nach Mannes der Mathematik festwenn sie die erste Zahl nicht ganz genau gewusst hätten sondern wenn sievielleichtda einen kleinenkleinen Messfehler gehabt hätten in der allerersten Zahlachten Sie mal noch was sie auf die den Interessentenals ein winziger ?? in eine winzige Änderung in der Anfangszeitgezimmerten rechten Teil achtendass er sich komplett geändert??das nennt sich in der MathematikausdasdieAnfangsbedingungenextrem wichtig sind ?? wie mir noch malsowasund winziger winziger winziger Fehler in der Anfangim Anfangswertundeine Änderung sobaldman paar Generationen weiter alsähm das ist exponentiellFehler WachstumdiesesAbweichungenvon den ursprünglichen Daten wachsen exponentiellso lange bis sie hier sichtbar werden ?? der technischen exponentiell wachsenkann ?? nicht mehr rauskommen als einzelne weniger auskommen als nullwaren am Anfang wachsen exponentiell das nennt sich Chaos in der Mathematik ist ein gewissesübliches Phänomen in komplizierteren dynamischen Systemendas als Warnhinweisewerden die ganze Zeit jetzt die nächsten Wochen mit der von zahlreichen rum rechnenanman sollte nicht vergessen das die Sache ziemlich kompliziert werden können selbst so billige Systeme können sehr kompliziert werden