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05H.1 Die Spur als Ableitung der Determinante
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Spur als Ableitung – Determinante da – jetzt schon ganz Stube – Begriffe vor 83, Begriffe Spur Ableitung Determinante – noch mal – gekramt angenommen, – ich habe irgendeine – in Matrix R – breit wie hoch eine quadratische Matrix. – wie wird man typischerweise dann wenn man sie in Bestandteilen – schreibt, Elementen – schreibt so haben A11 – steht links oben, dann geht's weiter mit A12 – und – so weiter, der letzte wär sein A1 in untergeht – sa-21 – und so weiter – bis – nach hinten, der allerletzte rechts ist Anm – der Index FOREIGN erzählt die Zeile – und der Index hinten fehlt die Spalte, – ist lustigerweise nicht die Clips, sondern genau umgedreht mit der erste ist nicht dick, sondern erst ist sozusagen, y – und Index ist sozusagen XO nicht y vorsichtig bei den Matrizen in – die Clubs zählt – vorne die Zeile – und hinten 12 – und weiter die Spalte, das – macht auch bei Bildverarbeitung – ganz schön viel Ärger, wenn erstmal durcheinander geht – und Spalten. – Determinante – I – Begriff die Determinante von A – hast – dich ja offiziell oder – dem Strich hingeschrieben, die schreiben keine runden Klammern für die matrix sollen sie schreiben, Striche und Zusagen berechne die Determinante aus – dieser Matrix und so weiter und so weiter. Ich schreib jetzt kann ich den ganzen Sermon hin NN – gibt's die fürchterliche Formel, die ich jetzt nicht hin schreibe. – es gibt eine anschauliche – dafür, – was ist die anschauliche Bedeutung der Determinante ✂ Wahrzeichen sagt, was über die Änderung der Regierung und der fährt der Betrag soll ich sagen sagt was über den Volumen – Faktor und das hört sich ganz schlimm an Mann – diese Matrix A – n-dimensionalen – Körper wirken. – erfährt dann – sieht es in Volumen in N Dimensionen, also Fläche in 2 Dimension verändert – wagt er sich das verändert um erfährt, ob aus der rechten Hand eine linke anfährt und so weiter, das ist das Vorzeichen. – schreibe das jetzt mal in der ganz stimmen vor mir – Fraktur des n-dimensional – Volumens. – n = 2 die Fläche in leicht Reis normale dreidimensionale – Volumen und so weiter. – Körper, den sie rein schmeißen durch, die matrix immer durchlaufen lassen wird. – erleiden, was ein Volumen angeht denselben faktu erleiden hatte – ich einen alten Videos – zu begründen versucht – ich haben ein Vorzeichen, ich schreibe das jetzt mal so – dreist das Vorzeichen. – - für – Änderung, – wenn aus der rechten Hand eine linke wird das ist die anschauliche Bedeutung der – man keine großartige Formel, sondern in den meisten Fällen – diese Anschauung kann man sofort sagen kann, was die Determinante sein muss ist besonders an sie 0. – das Volumen platt ist, dann ist sie null die Determinante. Das kommt ja bei den Gleichungssystemen vor jetzt – besondere – ist die Determinante. – kam noch der Begriff Spur – vor der hatten wir offiziell noch nicht – Spur oder englischen trace das soll ich sagen der Termin an die ist einfach im englischen den Namen Spur – ist im englischen trace – Spur – hat dann also den Kurznamen – TR für trace. – Die Spur ist ganz banal, – gehen auf der – einmal – runter und an – dir – ist völlig simpel A 11 – + A 22 + undsoweiter + A. NN – einmal – die Hauptdiagonale – runter – addiert das gar keine fürchterliche Formel. – Formel – Und möchte ich jetzt fragen ergibt das irgendeinen Sinn, warum habe ich nicht die nebendiagonale – warum nehme ich nicht kreuz und quer irgendwelche die ich addiere, – die Hauptdiagonale – was ist die Bedeutung davon? – will ich gerade mal mit ihnen hin – der Bedeutungen der Spur, – hat dieses Objekt – was ich Bild indem ich einfach von oben nach unten die optimale – unten nach oben egal. Hauptsache die Hauptdiagonale hat – dieses Objekt irgendeine mathematische Bedeutung eine anschauliche Bedeutung dann auch obendrein noch – ist gar nicht klar, aber kommt da hin, – wollte ich mit ihnen einmal gerade durchexerzieren, wie man dahin kommt, das ist – eine schöne Übung noch mal für die ganzen Regeln – Gesetzmäßigkeiten – zur Determinante. – gucken wir uns folgendes – an oder Strich, das sind die – unsere spielst hier die Determinante und die Spur. – Jetzt an wir folgendes – Experiment. – betritt die Bühne Hase – eine Zahl – bei Null. – jetzt rechnen wir folgen, dass – dir demnate von der Einheitsmatrix in – N mal in plus – diese kleine Zahl mal – unsere Matrix A. – ich störe – Einheitsmatrix so – ein kleines bisschen – der Matrix. A, ich – nehme einen kleinen Anteil von der Matrix A dazu davon interessiert mich die Determinante, – könnte man jetzt einmal – hinschreiben – A11 – A22 und so weiter – links oben ganz links oben. ✂ oben in der Einheitsmatrix steht links oben eine eins dazu addiere ich Haar mal, was in der Matrix A steht – in der Matrix A steht links oben – oben im Resultat hier steht 1 – + – 11 – bisschen mehr Platz schaffen hier. – steht – Zeile erste Spalte zweite Zeile erste Spalte, was steht an der Stelle ✂ + Hummer H2 – 10, – weil da in der Einheitsmatrix und 0 steht unterhalb – der diagonal und – der Matrix A steht da 212 – Zahl die erste Spalte nach 1. H, hier steht – 21, – steht hier demzufolge Hama. – und hier steht EinsPlus – harmala – 22. – Chatte nicht ganz so viele hin. Keine Angst. – steht harmala – steht – dann haben wir hier Hammer – 2 – 3 und 1 + h mal – orangene – Striche dazwischen. – so weiter Und ganz am Ende steht a1plus.am – einzigen von der Einheitsmatrix auf – der Hauptdiagonalen umsonst und sonst habe ich immer mal was in der Matrix A steht harmala – 11 h mal 12 so weiter und so weiter. Davon – möchte ich die Determinante haben, – sieht schlimm aus lustige – ist, dass dieses Ergebnis viel einfacher wird, als es jetzt aussieht, – wir so ein paar – für Determinanten anwenden. ✂ die erste fundamentale Regel für Determinanten – einer Spalte ein Faktor haben kann sie den rausziehen – aus der Spalte an der Seite genauso, – geht leider nicht so richtig, weil immer die eins dabei steht noch nicht, gleich wird es gehen, – Grundregel für Determinanten, wenn Sie in einer Spalte genau die Mehrzahl eine Summe von Vektoren stehen haben, können Sie die determinant entsprechend auseinandernehmen, das machen wir hier. – könnte die erste – raffiniert – zerlegen, ich könnte sagen, das ist dieser Vektor hier – + h mal 11 und lauter Nullen. – dieser Weg, der hier oben eine Null – dann die ganzen Haare mal. – Legung kann ich machen der ersten Spalte. – dann bekomme ich – + ha100, – also – weiter bis zu Ende durch – Rest bleibt – Anteil der grüne vector – Hama – 2.1. – A31 – und so weiter und so weiter bis haben – 1 – so weiter und so weiter habe – ich ein paar von den anderen hier noch hin, – geht's weiter mit Hummer. – H1 Hummer – A12 – hier weiter mit 1 + Hummer. H2 – 21 – + Hamann – Arzt 22. – haben wir h13 – haben wir Hummer H3 – 2 – und so weiter und so weiter. – A13 – und so weiter und – weiter. – jetzt versuchen Sie diese beiden Determinanten mal – vereinfachen. ✂ Determinante mit dem roten Vektor den wirklich nach der ersten – geht das mit dem entwickeln? Sie streichen – erste Spalte? – + harmala 11, – was steht in der ersten Spalte 1 – + h x 11 – x eine unterdeterminante – streichen die Zeile außen aus, dem wir das gerade genommen haben – + haben alle 11. Sie streichen die Zeile, – haben sie eine – kleinere quadratische Matrix, die Determinante – das unterdeterminante – da rein, – mal eine Determinante, da – steht 1 + – 22. – geht es weiter da – drunter mit harmala – 22 – davon steht Hammer – Und hierfür stehen – 1+ Hama A33 – und so weiter und so weiter. – geht's mit der Null weiter. Den ja habe ich – geht's wieder null weiter. – 0. Mal habe ich dich jetzt nicht ernsthaft hin, hätte – ich sogar -0 – mal eine unterdeterminante – die entsteht, wenn Sie hier streichen, dass - kommt von der schachbrettregel – plus minus. – -0 mal ein unter detrimenti, dann kommt hier plus 0 mal eine – unterdeterminante. – also irgendeiner da – Zoos nur mal eine unterdeterminante – und so weiter, das – ist natürlich für dich langweilig, weil du immer nur davor stehen das ist alles nur – bleibt das hier über in der linken oberen Eintrag mal die entsprechende unterdeterminante – und sonst kommen lauter 0000 – an der anderen Null – sind. – sie kriegen wir die nach der ersten Spalte entwickeln, – könnte – man sich jetzt auch wieder mit dem Volumen vorstellen, – sie haben einen Vektor ihres Volumens, der zeigt längs der x-Achse, – soll dann passieren. – andere fliegt raus lauter Nullen kommt da hinten, wenn Sie das hier oben entwickeln, also 1 + h x 11 – eine e - 1 x 1 - 1 – die haben wir hier – grüne – da können sie jetzt lustigerweise h aus der ersten Spalte rausziehen. – wenn sie genau hingucken sehen sie noch was. ✂ aus der ersten Spalte schön, aber wir können Haare auch aus der ersten Zeile 0 steht er vorne, dann klappt das auch alles aus – der ersten Zeile – heraus erste Spalte ziehen und – aus – Zeile. – ziehen – aber so + – h aus der ersten Spalte ein H aus der ersten Zeile hquadrat steht – da – der Determinante nehme – ich jetzt hier das h in der ersten – raus – und so weiter bis an1. – Und ich nehme das Haar aus der ersten Zeile raus A12 – und so weiter bis – so weiter und so weiter irgendwas fürchterliches drin ist mir auch relativ egal, – haarquadrat – sehr – klein ist hatte ich am Anfang gesagt. Ha soll ungefähr Null sein nicht bei Null sein, dann ist haarquadrat nun wirklich nicht mal nur wenn Sie einer Zahl ich bei Null quadrieren ist, – ihm wirklich klein 1000 für quadrieren Hansi 1 millionste a – ist eine wirklich sehr kleine Zahl, – hätte ich gleich mich – interessiert, das da a Quadrat mal irgendwas – vernünftiger Größe steht. – Ja wird nicht explodieren, da – kommt noch mal weiter Haar drin vor aber nichts davon wird – zusammengefasst schreibe ich was – sie rauskommt aus der Determinante langsamer – welche Determinante war da ist das war die Determinante von 1 – und ein bisschen gestört – Determinante wird also sein. – + Hama A11 – in Klammern – Determinante 1 + – und so weiter a231 – plus harmala – 33 – so weiter und so weiter. – haarquadrat heißt, das offiziell etwas von der Ordnung haarquadrat – darf mal schauen, was kommt in Informatik wieder diese Schreibweise? – nachlesen wollen. – heißt das Landau groß o – Ich könnte wir uns einander so streng mathematisch definiert etwas von der Ordnung haarquadrat – Soll hier eine kleine Zahl sein. Ich bei Null soll ich sagen eine Zahl die Spannung sein. – kriege ich etwas was – klein ist etwas von der Ordnung haarquadrat a Quadrat – mal – handfeste Größe, wie gesagt, die wird nicht mehr durch ha geteilt oder sowas – die hier hinter dem haarquadrat kommt ist beschränkt. NH gegen Null geht – wäre die professionelle Arten – zu schreiben etwas von der Ordnung haarquadrat. – das nehmen Sie mir einfach auf die Schnelle ab, – man das dann hübsch wir schreiben kann. – sind also angekommen, dass sie sie datamanager von eben ice-plus – haben mal – Truck links oben mal – Determinante plus – von der Ordnung haarquadrat ist, den – sie was man jetzt tun kann um weiterzukommen ✂ das ist also ein – von der Farm, die wir eben schon mal hatten genauso sah – unsere ursprüngliche Determinante aus, dass der – gestanden hat. – kribbelt sich quasi auf jeden Alter Pulli – wenn wir dasselbe noch mal an das muss jetzt also nach derselben Art zu rechnen sein EinsPlus – haben mal Arzt 22 – Dings oben. – eine unterdeterminante – dann – ist die erste Spalte die erste Zeile hier weg und es los mit 1 plus harmala 33. – so weiter und so weiter, + – muss natürlich auch dazu plus Ordnung von – außer – diese kleinere – Determinante n -1 mal n -1 hätte ich genauso, – entsprechend aus, wie die der angefangen haben, – geht – durch dir und dann mache ich das hier noch mal – so weiter und so weiter immer wieder ist – der Pulli aufgerubbelt ist. – Was kriegen die zum Schluss schreiben Sie gerade mal hin, was sie zum Schluss dann haben. ✂ der Gedanke, was ist jetzt die letzte Masche die wir auf Gewinn und so weiter bis – unter unterdeterminante – steht da zum Schluss. Es ist zum Schluss nur noch eine Determinante mit einem einzigen Eintrag eine Einmaleins Determinante untersteht drin 1 + harmala NN – demnach die mit einem einzigen Eintrag, das ist einfach die Zahl, die da drinnen steht, das sieht so aus wie ein Betrag, wo – es geht es nicht gemeint – kein Betrag – aus einer Matrix mit einem einzigen Eintrag. – dem Land hat ein Vorzeichen, der Betrag ist immer – oder 0. – ist das Letzte. – sie bekommen – unter unter unter unterdeterminante – 1+ harmala, – nn mit einem einzigen Eintrag – gucken sich an, – übrig bleibt, wenn wir das alles zusammenfassen. ✂ Multiplizieren – also auch die Diagonale runter, hier haben wir 1. – + harmala – 11, – Faktor links oben kommt davor jetzt hier wieder der Faktor links oben kommt davor mal – plus – kommt der Faktor EinsPlus – Hammer – dazu. – Pünktchen und so weiter und der letzte Faktor ist diese Determinante hier und das ist 1 + hmm, – einmal die ganze Diagonale – runter multipliziert. – gibt's immer noch was mit haarquadrat immer bei jedem von diesen Faktoren kommt noch was mit haarquadrat lauter – Quadrat Quadrat Quadrat mit irgendwelchen Verzierung, also plus Ordnung haarquadrat – weit wie elegant, das ist diese Schreibweise. Oh von haarquadrat ist nicht umsonst erfunden worden. – gehe den Rest unter diesem Teppich von hquadrat irgendwo gibt's jetzt immer noch mit haarquadrat sonst – so mal so ein Zimmer, sonst wird mal haarquadrat. – Ok packe ich alles in den hier hinten rein, wovon haarquadrat das – aber bis dahin, – diese – Determinante ist – schlechter geworden. – ist es ein – Hauptdiagonale runter. – Es ging sich das noch mal scharf an, – lässt sich vereinfachen, – Sie dieses Produkt ausmultiplizieren. – sagen alles mit hquadrat – unter diesem Teppich hier gehe ich unter diesen Teppich, was können Sie dann hier noch veranstalten? ✂ der größte Brocken ist also ein x 1 x 1 manchmal Merkmal 11 – hoch n oder 1 plus. – Jetzt suche ich – mit einem h drinnen, also eine kleine Zahl sein haarquadrat ist winzig h3s Superwind sich lieber erstmal nur mit – mal A11, – da habe ich ein Haar drin ist schön – x 11 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1, den würde ich kriegen. Harmala – 11 – + einmal – ha2 – 2 x 1 x 1 x 1 x 1, also kriege ich Hummer H2 2 + – und – weiter + – x 1 x 1 x 1 x 1 x aus dem letzten nämlich. – geht's weiter mit harmala – 11 – x harmala – 22 mal irgendwas dessen haarquadrat drin alles, – was jetzt noch kommt ist mindestens 1 h Quadrat drin und das kann ich hier unter meinem Ofen haarquadrat Teppich – soll ich auch noch sagen, die so von hquadrat also Ordnung von haarquadrat sie sehen, – ist ein anderer Werte jetzt hier verborgen ist man schreibt trotzdem weiterhin. Ruf von hquadrat Ordnung von Aquatec irgendwas von der Ordnung haarquadrat, egal, was die so von hquadrat ist nicht exakt dasselbe – Werther wie dieses es ist von der Ordnung haarquadrat schreibt man so. – Nicht irritieren lassen, so – wie – das hier, das ist nämlich jetzt 1 + h mal die Spur. – Matrix Hammer – links oben der nächste und so weiter die Diagonale runter. – hquadrat – man lernt – Anwendung der – für – die Determinante von – + – eine gestörte Einheitsmatrix auf – was mit der Spur – zu tun? – Determinante von – Einheitsmatrix – + – h – andere Matrix quadratisch – beide denselben formatiert – sein die – Zahl 1, das ist die Zahl 1 nicht die Einheitsmatrix – Casa – kleine – Störung mal – die Spur von A – etwas – der Ordnung haarquadrat – daran sieht man ok die Spur muss das sächlich irgendeinen tieferen Sinn haben – kommt aus der Determinante raus, wenn ich die Determinante an der Einheitsmatrix etwas störe, – ich etwas mit der Spur. Die Spur ist total billig auszurechnen einfach nur Elemente auf der Hauptdiagonale dir, – entsteht, wenn ich die Determinante etwas störe. – man jetzt noch mal gerade anders – interpretieren. – alles kann mir die Überschrift noch ein dritter Begriff für Ableitung – Erinnerung – mal zur Ableitung. – Sie eine Funktion haben an einer gestörten Stelle. – sich gerade mal zu erinnern lineare Näherung. – wir können Sie die Funktion an einer gestörten Stelle hinschreiben. ✂ So, – ist die lineare Näherung einer Funktion die sagen, der wird an der gestörten Stelle ist der Wert an der original Stelle, – + wie – weit gehe ich nach rechts – die üblichen Koordinatensystem – mal die Ableitung so – weit gehe ich da nämlich rauf – ein – Rest, den könnte man jetzt auch mit osem Bohlen schreiben, aber das will ich jetzt gerade nicht antun, – Rosenkohl nehmen, wenn – die Funktion oft genug differenzierbar – ist, ist auch hier hinten Ufern haarquadrat, – die lineare Näherung, die kommt im Laufe des Semesters noch mal dran als Bestandteil von taylor. – Insofern – kann sich schon mal wieder dran gewöhnen. – sieht jetzt die Rolle der Spur hier. Die Spur ist nämlich – Spur ist wohl sowas wie die – als Matrix ableiten hat das offensichtlich etwas mit der Spur zu tun? Darum ging es mir weiß – ich nichts mehr, darum die für die Determinante zu wiederholen.