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23.01 Idee des Integrals


CC-BY-NC-SA 3.0

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Integral – was soll das sein – ich fange an mit dem bestimmten – integral – die Vorstellung – die man verknüpft mit dem bestimmten integral – bestimmtes integral – an ist die einer Fläche – die Fläche unter einer Funktionskurve – unter einem Graphen – allerdings mit einem Körnchen Salz – und zwar – die Fläche von einer Stelle A bis zu einer Stelle B – unter einer Funktionskurve – unter dem Graphen einer Funktion wäre die professionelle Art es zu sagen – habe er mit Vorzeichen – diesen Teil der Fläche nehme ich positiv – diesen Teil der Fläche nämlich positiv – rein malen – und diesen Teil der Fläche nämlich negativ – Konzerte zu einfach – ganz wesentlich – am – und im Symbol – soll das dann heißen bestimmtes integral – von A – bis B des lang gezogene es das Integralzeichen – von A bis B meine Funktion – integrieren – die X – heißen gerne Differenzial – gibt aber heute eigentlich nur noch an das X die Variable ist mit der diese Funktion der Ente Grand – angegeben sie schreiben ihre Funktionen in einer Variablen – und hinten steht die diese Variable das einzig heute noch die Bedeutung von dem die externen – sind gleich noch – eigentlich könnte man es auch so auffassen lassen ist dies ein kleines – unendlich kleines Stückchen ?? seinen Infiniti Signalsstückchen – entlang der x-Achse ist – das wir mit den Funktionswerten – multipliziert – und dann auf summiert so kann man sich das vorstellen das es die Historie dahinter – aber eigentlich dieses Design nur noch heute – um uns zu sagen ?? X ist die Variable – diese Funktion – an Erstlings also einfach diese Fläche sein mit Vorzeichen – das bestimmte integral – unbestimmtes – integral – gleich das das bestimmte integral das ein Mann anfängt – eine Fläche – warum dieser Unsinn mit dem negativen Vorzeichen – der Unsinn – ist nötig damit das Integrallineal – ist – das ein spezieller mathematischer Begriff Linearität – Genialität – heißt – ich kann Summen bilden und die Welt ist in Ordnung und ich kann mit festen Faktor multiplizieren und die Welt in Ordnung ?? beschreiben was das heißt – das integral Essen folgenden Sinne Lin ja – ich kann das Vielfache – einer Funktion integrieren – wird drei neunzig fache einer Funktion – und kriegen – die drei neunzig -fache Fläche – damit das funktioniert – auch schon das mit dem negativen Vorzeichen – also das Teil eins der Linearität – ein Vielfaches – integrieren – mit ein Vielfaches – des integral – wenn sie eine Funktion – mal zwei nehmen dem sie diese Funktion nimmt sie die mal zwei – ?? all den doppelten Wert – wenn wir das integral – doppelt so groß werden zweimal – diese Fläche – ist keine groß Waschung kleiner mal was zu den negativen Zahlen möchte das die Linearität – vollständig haben also Punkt eins Genialitätskonstanten – darf ich ausziehen – wenn sie auch sagen Punkt zwei – Summen davon zerlegen – Kristall zweite Linearität – wenn im integral eine Summe von Funktionen steht – dann darf ich zerlegen – das ist das integral der ersten Funktion hatte diese Fläche mit Vorzeichen unter der ersten Funktion – plus – diese Fläche mit Vorzeichen – nach unter der zweiten Funktion – das sollte geometrisch auch – nicht wirklich überraschend sein – in die zwei Funktionen addieren – die Funktionen dann addieren sie noch eine drauf – als die Striche hier sind jetzt das was ich draufaddiert habe – wenn sie die beiden addieren was ist dann die Gesamtfläche – sie addieren die beiden – Gesamtbeiträgen – die beiden Flächen sollte auch – klar sein dass das so sein muss – ?? die beiden Eigenschaften verlangt man sinnvollerweise – von dem integral sonst kann das mit diesem Flächen nicht hinhauen – es Muslim Jahreszeit – andere Sachen ?? später auch Lineal – vertragen sich mit konstanten Faktoren vertragen sich mit Summen – bei den Matrizen sind ?? einiges von der Sorte – integral ist das erste was sie als – Lineal ankommen – mir ein Hammer schon – verbunden damit – am Rande bemerkt Jens am Rande bemerkt furchtbar Genialität bitte die Ableitung ist natürlich auch den ja wenn sie es vielfach Uppsala das Vielfache einer Funktion ableiten – kriegen sie das Vielfache der Ableitung – wenn die Summe zweier Funktion ableiten kriegen sie die Summe der Ableitung die Ableitung auch den ja das aber auch schon gesehen – hier die Linearität des integral – und das kann es nicht klappen mit der Fläche – so oft genug gesagt warum muss die Fläche – unter der x-Achse dabei aber negativ gelten – das hier ist der Ärger – wenn sie das minus eins fache einer Funktion – integrieren – und hätten das nicht – dass die unterhalb der x-Achse negativzählt – würde das kaputtgehen – war – auch kein Lückentext aber nur einmal angucken stellen sich vor ich integriere das minus eins fache einer Funktion – das sei der Graf meiner Originalfunktion – das wäre der Krebs der Kraft der – Minusfunktion – dann minus elf nach sauberer – Erzählung – minus elf – möchte jetzt – das integral bilden – und ins Verhältnis setzen – zum integral der Originalfunktion – wenn das integral – so funktioniert wie man sich das dumm vorstellt es einfach nur die Fläche liefern würde wenn das integral einfach nur die Fläche liefern würde ✂ und kein Vorzeichen berücksichtigen würde was würden Sie dann von dieser Gleichung halten welchen Faktor müsste ich hier reinschreiben – Komma in kleinen Schritten – welcher Faktor müsste vor diesem integral stehen damit das integral rauskommt – wenn dieses integral so gebaut wäre wie massiv – sich vorstellt es einfach die Fläche bestimmt – das Vorzeichen vergisst – das hier – wäre positiv – das hier wäre auch wieder die Fläche um bei diesem komischen integral auch wieder positiv eine positive Fläche – die beiden Flächen werden gleichen da müsste eins steht – das ER – komisch aus minus eins F im integral – ist einmal das integral das will man haben das würde alles mögliche kaputtmachen – dann – ist es keiner bereit den Preis zu zahlen – des hier das falsche Vorzeichen draußen steht – deshalb das integral – mit dieser komischen Eigenschaft zunächst komischen Eigenschaft das die Funktionswerte – unter der x-Achse negativ zählen – sonst macht man die Linearität kaputt das kann nicht funktionieren – wenn ich nicht gleichzeitig diese komische Regel hat – ab – an – das ?? des Integralfonds mir leider nicht ganz so wie man es bestellt hat es ist nicht die Fläche sondern die Fläche – unter Berücksichtigung des Vorzeichens – meiner Funktion – was ich damit eher kaufe ist dass diese Regel hier auch für negative Konstanten geht ich kann negative konstanten – negativen Faktoren soll ich sagen – oder als auf einmal negative konstante Faktoren so negative konstante Faktoren kann ich als negative Konstante Faktoren aus dem integral rausziehen – wenn das integral anders gemacht wäre für das Funktionieren – meines wesentlichen Preis zu zahlen – als alles andere dadurch viel einfacher wird als wenn man jetzt da plötzlich Vorzeichen eingebaut – okay Eigenschaft eins – des integral sie groß erste Eigenschaft des integral es ist im Jahr und unter versteht man immer diese beiden Sachen es verträgt – Konstante Faktoren und es verträgt – Summen – soll sein ?? verträgt sich mit – ?? die nächste große Eigenschaft rein anschaulich schon – ist das das integral – additiv ist wie so schön heißt – das integral ist additiv – integral – ist – war die – tief – bezüglich der Integralgrenzen – nämlich – wenn ich zwei integrale habe – die – mit den Grenzen – exakt aneinander passen – dann darf ich addieren was ist damit gemeint irgendeine Funktion – ich bestimme – integrale – in sie dieses integral ausrechnen – die Fläche minus diese Fläche plus diese Fläche – und dieses integral ausrechnen – und beide zusammen addieren haben Sie hoffentlich das integral von A bis C das soll Antiquität – heißen – auch jetzt nichts tiefliegendes – das ist was man einfach vom integralen Verlangen würde – das integral für den Tourismus ist das Können das integral von A bis C – über die große Strecke muss sein das integral von A bis B – plus das integral von D bis C – wenn das ich fusionieren würde hätten uns ganz klassisch – falsch gebaut – an – diese Regel möchte man auch gerne weiter treiben soeben wie eben diese Regel bei der Linearität – das soll auch gefälligst für negative Zahlen gelten negative Zahlen aus dem integral ziehen kann – man – diese rege mich auch gerne weiter treiben sie gilt erst mal nur wenn A links liegt und sie rechts liegt aber nicht – in beliebiger Reihenfolge man sagt einfach – egal – diese Regel soll immer gelten ob AB oder links oder rechts ob die Grenzen oben unten – egal stehender sie können das integral von sieben bis ?? misst minus zehn bilden und das integral von – achtundneunzig – bis zwoundvierzig bilden falsch rum – das integral von sieben bis sieben bilden all das ist dann plötzlich erlaubt – man verlangt einfach das diese Regel gilt – insbesondere habe ich dann folgendes – wenn ich diese Regel hier keiner durchziehe auch wenn – die Grenzen oben – nicht mehr kleiner sind als die ganzen unten – ergibt sich folgende – vier – ?? an – Schaffer – somit das integral – von A bis B – plus das integral von B bis A das geht sehr schräg aus – wie gesagt diese Regel soll – für alle ABC geltenden – Fouls möchten sich Regeln merken – das soll für alle ABC gelten auch wenn die nicht – allerdings – sie ✂ rechts liegen – ich kann erweitertes aber das hinschreiben was muss das ergeben – sich immer wieder streng logisch zu Ende gedacht A bis B Hammer da oben A bis B D bis A das heißt diese Regel kann ich anwenden wenn ich einfach sie gleich Ansätze – in der Regel werden sie gleich A und dann steht das da unten – okay – C gleich A das heiß ich habe das integral von A bis A das natürlich sehr spannenden integral von A bis A – wenn das irgendwas sinnvolles sein soll das integral von A bis A – dann wohl null – Weideflächen – ist also das hier muss Null sein – und damit hab ich gelernt – ?? die Summe dieser beiden integral einmal richtig rumeinmal falsch rum ist null – besagen das integral falsch rum – ist minus das integral richtig rum – ?? sie die beiden Integrationsgrenzen – vertauschen – kriegen Sie einfach – das negative – und in der einen oder anderen Formular vor offiziellem – ?? natürlich nicht falsch rum integrieren von – hundert bis zwoundvierzig werden sie eigentlich nicht integrieren das kommt vor ?? irgendwelche Regeln streng durchexerziert – in einen Aufwasch behandelt anhand des falsch rum und das heißt einfach nur negativ das integral – richtig Punkt sonst wäre wieder diese Regel kaputt – die man gerne auch für allgemeine ABC haben will nicht nur wenn A links liegt und sie – uff – das ist eigentlich was man – grundlagenmäßig – über das Integralwissen – muss – man – jetzt kann man noch hingehen und tatsächlich – sich überlegen wie das integral in ausgerechnet werden soll – Komma dass – ?? überhaupt nicht weiß wie man anfängt – das möchte ich nur skizzieren kann man – im Mathematikstudium – paar Wochen drauf verwenden – das etwas was aber überhaupt nicht interessantes in der Praxis – wahrscheinlich haben Sie diese erste Möglichkeit schon in den in der Schule gesehen das nennt sich Riemann Summen – das es eigentlich nicht mehr so Stand der Technik heute – wie kann ich auf dummerweise – denn tatsächlich mal ein integral ausrechnen – das dümmste was man tun kann ist – dass man die Strecke von A bis B – in kleine Streifen teilt – ich soll doch mal nach Riemannsummen okay richtig – das integral ist garantiert größer als wenn sie dir addieren – lauter Rechtecke darunter und – sie können laute Rechtecke drunter bilden – unter der Summe – unter der Funktion der Summe lauter Rechtecke unter der Funktion bilden wenn sie deren Fläche auf summieren – noch Funktionswert – mal Streifenbreite – Funktionsstreifenbreite – kommt daher Summe Funktionswert – mal Streifenbreite – ?? die das auch zu mir nahm sein wird der Grande kleiner ist als der Wert des integral – weil sie – nur was auf ?? weggelassen haben wenn sie mir den größten Wert hinnehmen – aus jeden – Streifen den größten Fusionswert nehmen wenn sie dann die Streifen auf summieren – all das auch summieren haben sie etwas das ganze größer ist – aber die Funktion nicht allzu übel ist – sollten – unter Summe und Obersumme heißt das dann so schön sollten diese beiden Summen – gegen ein und denselben Grenzwert laufen wenn ich denn diese Streifen immer schmaler – das ist der Gedanke Streifen bilden – in dieser Richtung – immer schmaler machen auf summieren – und hoffen dass es einen Grenzwert gibt wenn die Fusion stetig ist gibt es garantiert einen Grenzwert – dann – aber leider ist dieses Riemann Integralhals – ist dann dieses Riemann integral ist er – die Durchsagen etwas etwas pingelig – was die beiden Fonds der Funktionen geht stetig sind die Funktion okay – aber es müssen viele wird mit den Funktion – dann fällt das Riemann integral auf die Nase – das was man – typischerweise – benutzt – ist das Lebeck integral – das ist das wo man dann paar Wochen – in einer – ganz strengen Mathe Vorlesung mit verbringen kann – ich möchte zunächst einmal gezeigt haben was der Grundgedanke – ist der Grundgedanke von Herrn Riemann ist hingegen die Funktion so – auf dieser langen Schneidemaschine – an das sie so durchgeschnitten wird – an – können sich überlegen was ich ?? kann sich vorstellen was sich alle weg ausgedacht hat – Punkt andersrum schreiben was sonst nennt ?? aber das ist das Leben weg integral dann – wie bessere – Gebäck integral – das ist das professionelle integral – das frisst ziemlich üppig üblich ?? ziemlich – üble Funktionen – an – der und der Gedanke von Herrn Ribbeck ist gewesen – wir schneiden andersrum beschneiden so – was irgendwie an einen Pyramiden gedacht oder was auch immer – wir schneiden so rum – und summieren das auf – ich baue – Treppenfunktion – nennen sich die Braut baue Treppenfunktionen – die sich – in meine Funktion rein schmiegen von unten und von oben – und gucke was mit dieser Summe – der Fläche dieser – ganzen Quadrate – Rechtecke passiert und hoffe dass das ein ganz Weltbild – in der Tat geht das viel besser dieses Lübeck integral ist deutlich – großzügiger – als das – er wie man integral – ?? – ich möchte Ihnen die die – dritten Definitionen – von beiden nicht präsentieren ich wollte nur einmal zeigen was im Prinzip der Gedanke ist in das schöne ist – die korrekte Definition dahinter interessieren eine in der Praxis herzlich wenig man recht mit dem integral und es funktioniert – dass es fast wieder so wie bei den Grenzwerten – an – man weiß auch nicht ?? dann in der Praxis streng nach das irgend ein Grenzwert – mit abseilen und ändern was auch immer genau der richtige ist der sein soll Komma wenn Grenzwertsätze – an und genauso dann bei den integralen – ganz ernsthaft rechnet niemand ein integral so ausrechnen – wie man deine integral so ausgesprochen abstrakt – in der Mathematik um sich zu überlegen welche Funktionen denn – in welchem Sinne integrierbar sind – aber später – Komma dass sie mich vergessen – möchte in einem Beispiel noch bringen für eine Funktion die das Lebeck integral kann das Riemann integral nicht das ICD haben – ab wo die beiden sich unterscheiden – und – sie werden sehen dass diese Funktion schon so – durchgeknallt ist – dass sie dann doch wohl in der Praxis auch nicht vorkommen mir das heißt in der Praxis – Komma tatsächlich mit den Riemann integral Beistrich jedoch richtig reinschreibt – mit dem Riemann integral – zurande – im Endeffekt interessiert es aber ein gar nicht mehr wie das integral tatsächlich ausgerechnet worden – ist definiert worden – okay eine blöde Funktion – sollte sagen ?? Fonds und eine – üble Funktion – die das Riemann integral ?? kann aber das Lebeck integral kann – diese Funktion ist – eins – oder null – nämlich – eins wenn – das X – Einbruch ist eine rationale Zahl also wenn X aus Q kann in diesem Index aus Kuh ist – in X eine rationale Zahl ist X Element Q dann soll die Funktion eins sein und sie sollen Null sein wenn X keine – rationale Zahl ist Phoenix kein Bruch ist – überlegen was denn das wofür Werte sein mögen – nun – für X gleich eins – eins ist eine rationale Zahl ist der Wert eins fix gleich zwei – zwei ist eine rationale Zahl der wert ist eins – und so weiter anderthalb – drei Halbe ist ein Bruch eine rationale Zahl – ein halbes Einbruch klappt auch – ähm ein Drittel – ?? zwei Dritteln und synonym gelandet – beim – sieben Sechstel – ?? was weiß ich neunzehn – neunzehn zehntel alles Brüche – was passiert ?? aber von ✂ Ärger bei dieser Funktion – okay das sieht also aus als ob die Funktion hier schön an durchgezogene Linie weiter – auf der Höhe eins wäre stimmt aber nicht ähm Wurzel zwei – ergibt null – Wurzel zwei halbe null Komma sieben ergibt null drei Irrational – Pi Halbe – ergibt null und so weiter die ganzen irrationalen Zahlen hier alle irrationalen Zahlen – anderer unten für die kommt null raus das heißt ich hab hier – Staub – auf dieser auf der Hilfs ?? gleich eins – und Staub – auf der Höhe – Y gleich null das eine richtig fiese Funktion – was soll jetzt die Fläche unter dieser Funktion sein – ?? an das Riemann integral – schmeißt das Handtuch würde ich auch weil – sie das aus – er mit Lebeck komplette Levi Strauss – man kann sich auch halbwegs anschaulich überlegen was rauskommen – muss – wenn Sie diese Funktion integrieren – denn – was in keiner wusste muss man sagen es gibt – so viele Brüche – wie es natürliche Zahlen gibt – es gibt aber unendlich mehr – aktuelle Zahlen als natürliche Zahlen gibt hier unten die werden gewinnen die Nullen werden gewinnen – habe ich nie vorgeführt wenn sie mal der Wikipedia gucken Bank Antworten finden Sie das – ist auch nicht so richtig wichtig – an dieser Stelle es hilfreich wenn man es weiß die eins – kommt zwar unendlich häufig vor aber die null kommt unendlich häufiger vor als die eins – was auch immer das sein soll das heißt dies integral ist schlicht und ergreifend Null und dass es auch was Lebeck ausbricht – und weiß wie man leider nicht rauskriegen – an solchen Stellen für solche pathologischen Funktionen – sieht man dann plötzlich ein Unterschied – insofern ist das – in der Praxis kein richtiges Drama – am – man kann zeigen – wenn sie – die richtige Art integral anwenden – wenn sie ein beschränktes – Integration – eingeschränkten Indikationsbereich – haben so heißt das eingeschränkte Indikationsbereich – A und B beide schönem endlichen – freundliche – Quelle zahlen – und wenn die Funktion beschränkt ist die muss nicht stetig seines Reich das die Funktion beschränkt ist – wenn die Funktion beschränkt ist – dann gibt es tatsächlich – tatsächlich – mathematisch Wege eindeutig zu sagen was das integral ist – ohne wenn und aber – das geht auch noch in zwei Dimensionen in drei Dimensionen bricht es zusammen im Skript habe ich mir darüber geschrieben – aber in einer zwei Dimension geht es das heißt ich muss mir bei den normalen Signalen geheißen – überlegen welche Art von Integration ich habe – die Funktion ordentlich genug ist das ich die Fläche bestimmen kann – wenn – der Integrationsbereich – im endlichen liegt – das endlich ist und wenn meine Funktion – beschränkt ist – nicht ins unendliche entweicht wenn ich das beides habe – dann kann ich sicher sein dass das integral zumindest ein hinreichend – allgemein definiertes integral – funktioniert – und endlich ist