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14B.4 rationale Funktion; Nullstellen, Polstellen, Partialbruchzerlegung, Integral

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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ein – paar Aufgaben zu einer etwas größeren nationalen Funktion – zu – minus sechs X – drei – plus – zehn – X – minus sechs X plus neun – Zählern – in den habe ich – X hoch drei – minus sieben X Quadrat – plus sechzehn X – minus sechzehn X minus zwölf – of – Soda zum ein paar – Teilaufgaben – erstens – interessiert mich das Asymptote Polynom – für X gegen tus müssen endlich – zu zweitens interessieren mich die Nullstellen und die Polstellen – und weil die hier mittig so vielen X hoch drei nicht gut zu finden sind sage ich mal probieren sie – zwei und drei aus – was passiert – und – dann das in Partialbrüche – fassen diese Funktion mit Partialbrüchen – schreiben – und zuletzt interessiert mich das integral – dieser Funktion von vier bis fünf diese Funktion von vier bis fünf nicht ganz in – diese Funktion von vier bis fünf integrieren – und – das ?? Klammer auf heute gewesen sein – also ohne Taschenrechner soll sofort zehn – X so viel durch X hoch drei ✂ wir kriegen zwangsläufig – eine Asymptote – die – irgendwie so verläuft – Funktion – wird – Anführungszeichen – links unten anfangen – und sich dann – nach rechts oben – hochschlängeln – auf einer dieser Graden welche auch immer X plus irgendwas das muss es zwangsläufig werden ohne dass ich den Grafik Taschenrechner ausgeholt habe – an das muss ohne gehen – genau jetzt mit – Polynomdivision – ich nehme das wirklich als Rechenaufgabe – in Zähler durch den Nenner – Zählerzähler – durch den Nenner – Anführungsstriche zu – ?? so – knapp ?? – sowas – sowas wird das werden – ?? – X so viel durch X hoch drei gibt X ich multipliziere zurück dann habe ich hier X hoch vier – minus sieben – X hoch drei – plus sechzehn X Quadrat – minus zwölf X – der muss abgezogen werden – ?? zu vier Music Sofia – Kraus – minus sechs X hoch drei – plus sieben X hoch drei sind X hoch drei – Sinix Quadrat minus sechzehn X Quadrat sind minus sechs X Quadrat – minus sechs X plus zwölf X plus – sechs X in tausend neun – wird das noch einmal X hoch drei durch X hoch drei plus eins – also – zu multiplizieren – X hoch drei minus sieben X Quadrat – plus – sechzehn X minus zwölf – der vorne fliegt raus minus sechs plus sieben – sind X Quadrat – sechs – minus sechzehn sind minus zehn – neun – plus zwölf sind – einundzwanzig – dabei stellt sich die deutsche Arbeitszeit soll – nun das Blatt als Rest X Quadrat X hoch drei geht nicht mehr – hier steht also – der Rest – jetzt kann ich mein Originalpolynom – anders schreiben – also habe ich gelernt mein Originalpolynom – mit sportlichen – Blabla durch Blabla ist also – X plus eins – Plus – sollten es einige schon bei der Polynomdivision – geschrieben kann man auch machen – plus den Rest durch den alten Nenner – den Rest minus zehn – X – plus einundzwanzig – durch den alten Nenner X hoch drei minus sieben – X Quadrat – sehr konsequent von mir das ich in deutsche sieben Macher und englische eins – plus sechzehn X minus – zwölf – so – was heißt jetzt Asymptote Polynom – ja gleich auf die Suche je ✂ nach dem Asymptote Polynom hier vorne steht es Y ist gleich X plus eins – sehen als es ist die gerade die um eins nach oben verschoben ist fünfzig Grad um eins nach oben verschoben von den Dichter eben gerade – gekritzelt hatte Asymptote Polynom – und – dieses Polynom ist natürlich – im engeren Sinne – eine gerade – wenn sie hier X ?? dreiundvierzig plus achtundneunzig – zu drei haben – Ansätzen Beistrich des Polynom dieses Polynom ist ein sehr billiges Polynom einfach eine geradezu – eins – ?? Polynom ersten Grades – ähm – das ist – das einen Totenpolynom – für X gegen plusminus unendlich weil – der hintere Teil eben – wegfällt – wenn sie mit X über alle Grenzen wachsen – ?? defekt X Quadrat durch X hoch drei – X hoch drei gewinnt der hintere Stern – geht gegen null wenn X gegen unendlich geht und auch nichts gegen mir seitlich – deshalb steht hier vorne – das Asymptote Polynom – also ich gucke mir an was die Nullstellen von Zähler sind ich gucke man was nur Stellen vom Nenner sind – gegebenenfalls – kürzlich welche davon weg ich guck mir nicht – an was die Nullstellen von diesen Zähler sind – in der null wird – wird im Zweifelsfalle von das Asymptote Polynom nicht null das ist nicht viel aus das man sich nicht das sie sich den angucken – dieser Zähler ist der Spannende für die Nullstellen von der Gesamtfunktion – ?? Komma wo der Zähler – null wird ✂ oder Zähler null wird das sind ja – Kandidaten – für null Stellen vom gesamten – an – der gesagt mal zwei auszuprobieren – mit zwei Einsätzen steht jede gerade Zahl damit Zahl deiner Freizeit eine gerade Zeit eine ungerade Zahl also kann niemals nur rauskommen wenn sie zwei und setzen – bei Null keine ungerade Zahl ist ?? gar nicht ausrechnen – lohnt sich nicht ?? probier mal den anderen drei – werden drei – drei hoch vier drei ins Quadratsquadrat – neuntes Quadrat einundachtzig – minus sechs mal dreiunddreißig – vierundzwanzig – plus zehn mal – neun – minus sechs mal drei – plus neun noch sehr unübersichtlich – am – ?? könnte versuchen über einen Faktor neun – auszunehmen – das wird fusioniert – immer über Faktor neun raus – steht dann neun – hundert einundachtzig – minus – aus der sieben zwanzig nämlichen Faktor neun raus und ins drei sechs mal drei Plus hier einfach zehn – minus – sechs mal drei ein Faktor neun rausnehmen – ?? zweite sechs ist zwei mal drei – mal drei – über ein hundert und drei weg ist bleibt die zwei ✂ übrig – und die hinten – Rechtsnordosten – ?? plus eins das es etwas übersichtlicher – neun – minus – achtzehn sind minus neun – plus zehn – plus eins minus zwei plus eins ?? ist gleich null in der Tat – es kommt null raus also weiß ich – also weiß ich dass diese Polynomdivision – folgende Polynomdivision – auf geht – also machen wir X hoch vier minus sechs X hoch drei – plus zehn X Quadrat – minus sechs X plus – neun – durch X minus drei das muss aufgehen – wird sich auf Twitter mich verrechnet – das gibt's – in Trier – nur – so viel durch X – macht X hoch drei – zurück multiplizieren – X hoch vier – minus drei – X hoch drei – minus sechs plus drei es bleiben minus drei X hoch drei – und der ganze andere Dämon – minus drei X hoch drei durch X macht minus drei – X Quadrat – zurück und beziehen Mieten – X hoch drei – und hier kommt jetzt als zweites minus drei Mal minus drei Mal X Quadrat sind neun – X Quadrat – Demo sicher zehn zehn X Quadrat minus neun X fordert gibt X Quadrat und – was noch alles hinter steht – X Quadrat durch X gibt plus X – zu beziehen X fordert minus drei X X Quadrat minus drei X – den muss ich abziehen – es bleiben minus sechs plus drei sind minus – drei – X – plus neun – wunderbar das geht auf minus – drei – minus drei X plus neun – X plus neun monieren – hätte ich so das geht wirklich auf – ?? kann ich mir dieses Polynom hier angucken – X hoch drei minus X Quadrat plus X minus drei was für den Dahrendorf ✂ das ?? Komma die drei als Nullstelle X hoch drei minus drei Mal X Quadrat wird nur wenn sie drei Einsätzen – X minus drei wird null drei einsetzen aber das hat noch mal die drei als Nullstelle – besagtem Schluss wird die drei eine doppelte Nullstelle – des Zählers werden – nun – ich teile den durch X minus drei was eigentlich billig ist – sie im Vergleich X hoch drei minus drei X Quadrat – plus X minus drei durch X minus drei – und sich gar nicht großartig Polynomdivision – zu machen – X hoch drei minus drei X Quadrat – ist X Quadrat – mal X minus drei – und X minus drei durch X minus drei ist eins – können Strecke zurück modifizieren X Quadrat mal – X gibt X hoch drei X fordert bei minus drei minus drei X Quadrat einmal X ist der einmal Mindestpreis der sie können ja ausführlich Polynomdivision – machen aber lohnt sich nicht ?? – kommt also das raus – für den Zähler – also weiß ich – das ich den Zähler schreiben kann – als was – ein Bestandteil habe ich ✂ es gehört – dann der Zähler wird sein – X minus drei – Mal – X minus drei Mal X Quadrat plus eins – also X minus drei – Quadrat – mal X Quadrat – plus – eins – der – Nenner nach dem selben Verfahren – etwas schlichter der Nenner – hier – Klammer auf also – wird der Nenner null – Shop Markenartikel mehr wo wird Nenner null der schönen – Gramm – nun – immer testweise – zwei wieder anfangen – X gleich zwei – dann kriegt er acht minus sieben mal – vier – plus sechzehn – ?? zwei minus zwölf – nun – acht minus – achtundzwanzig – plus zweiunddreißig – minus zwölf – dann – was ich immer gerne mache es die positiven und negativen getrennt zusammen ähm – acht plus zweiunddreißig – nicht voneinander abziehen es einfacher für mich acht plus zwei ?? dreißig S vierzig – minus achtundzwanzig minus zwölf – minus vierzig plus vierzig minus vierzig ist Null – also geht durch zwei zu teilen – folgendes – X hoch drei – minus sieben X Quadrat plus sechzehn X minus zwölf – durch – X minus zwei muss aufgehen – ohne wenn und aber – zu wenig Platz hier – am – X hoch drei durch X macht X Quadrat – zurückkriegen – wir X hoch drei minus zwei X Quadrat – minus sieben – null – zwei sind minus – fünf X Quadrat – und was da oben noch zusteht – minus fünf X Quadrat durch X sind minus fünf – X zurück modifiziert kriegen wir fünf X – minus fünf X Quadrat – plus zehn X minus fünf X Quadrat plus zehn X – sechzehn minus zehn – sechs X minus zwölf – sechs X durch X sind plus – sechs – und zurück modifizieren – sechs – X minus zwölf wie sich das gehört – und kein Rest so muss das sein Ruf – so – so einfach ist der – Nenner jetzt geworden X minus zwei ?? abgespalten was machen sie mit dem was übrig bleibt X Quadratsblabla – wird entweder PQ Formel oder den Satz von Vita – die sechs ✂ muss das Produkt der beiden Lösungen sein – die fünf ist minus die Summe der beiden Lösungen – eine – zwei Zahlen deren Summe fünf ist zu deren Produkt sechs ist also zwei und drei – das ist – X minus zwei Mal X minus drei wie auch immer sie draufkommen – also weiß ich wie ich den Nenner schreiben kann – als X minus zwei – ins Quadrat – mal X minus drei – etwa immer die gesamte – rationale Funktion zusammen vereinfachen – die – und – aus ?? kleine Skizze wirft ein schlechtes völlig offiziell gar nicht vorgesehen ?? aber keine schlechte Idee – Punkt wie kann ich jetzt die rationale Fusion schreiben insgesamt – und wie sieht die aus – den Gruppendaumen – also wenn ich all das zusammen fasse – meine originalrationale – Funktion – ist also – die Sicht auf den Nenner – X minus ✂ zwei Quadrat mal X minus – drei – und der Zählerzählerzähler – war X ?? drei Quadratmeter – plus eins – Grad – mal X Quadrat plus Heinz so – die Frage war nach – null Stellen und Polstellen – bevor ich sagen null Stellen Polstellen – soll Knochen anderes wichtiges X – eher – erwähnen – bevor ich jetzt anfange zu kürzen ?? Dummys Metzgerei – bevor ich anfange zu kürzen guck ich mir sehr streng mathematisch das an Wasser steht und stelle fest ?? – ist eine Stelle drei nicht definiert Beistrich ✂ null Teile und ist an der Stelle zwei nicht definiert weil ich durch null teilen – zwei – Lücken – in Definitionsbereich – sowie üblich Machtbasis der maximal Definitionsbereich – die Wellenzahl – aber nicht – die zwei und nicht die drei – so und jetzt – kürzlich mal – dann sehe ich es gibt nur eine Polstelle – die zwei ist eine Polstelle und zwei ?? Polstelle zweiter Ordnung – und die drei ist – gar nichts – sie hätte eine Nullstelle sein können aber sie ist Definitionslücke – das ist vielleicht – immer ein absolutes Drama deshalb – ausführlich daneben – nun also hier sehe ich ich hab die Polstelle – eine – doppelte Beutel oder korrekt eine Baustelle zweiter Ordnung an der Stelle zwei – diese drei hier sieht so aus für eine Nullstelle – aber streng genommen ist es keine Nullstelle denn es ist Definitionslücke – schreibt hier mal keine Nullstelle wegen Definitionslücke – man hätte – diesen Definitionslücke – einfach Männer Null schließen können aber so sieht die Funktion Original ich aus die Originalfunktion – teils durch null an der Stelle ist gleich drei des ?? Ramstein Definitionslücke – ich kann diese – Lücke stetig heben die so schön heißt in dem ?? null darein kleben – dass sich danach dem kürzen – nun – Komma dass – Wohnungen minimal skizzieren – die Asymptote ist bekannt für X gegen plus minus unendlich – vergessene – diagonale – Farbe so eine Personalie – so – das wir die Asymptote werden für X gegen plus minus unendlich – dann habe ich hier – die Polstelle zweiter Ordnung bei X gleich zwei – das heißt ich habe hier so quer auch Asymptote einmal – diese schräge Asymptote hierfür – plus minus unendlich und hier – am quer dazu – exakt – vertikal – durch die Stelle zwei auch ?? Asymptote – da muss die Funktion in die Polstelle reingehen – was ich bisher weiß ist die Funktion kommt von hier – geht nach hier – und sie wird – an dieser Polstelle entweder links rauf gehen und rechts wieder runter gehen oder – alternativ – links runtergehen und rechts darauf gemessene Polstelle zweiter Ordnung – die Muster selben Seite – weg gehen von der sie dann wiederkommt und umgekehrt – ähm kann sich noch überlegen ob nach oben oder nach unten – eine Möglichkeit – ist sich anzugucken – was denn so der führende Term wird wenn Sie X gleich zwei Einsätzen – ist X minus zwei Quadrat – der Term der das Ganze zum explodieren bringt und man kann jetzt angucken was der Rest macht hier steht – zwei minus drei – das ist minus eins – minus eins mal zwei Quadrat plus eins fünf – an der Stelle zwei steht hier mehr oder minder minus fünf durch – X ?? zwei Quadrat – minus fünf durch zwei Quadrat das heißt wir kriegen hier – eine heftige Explosion – nach unten wegen der minus fünf die minus fünfzehnter auch gleich wieder bei den Partialbrüchen – übrigens – so muss das ja Aussehen – am – ?? gucken wie das hier weitergehen – kann wir haben ja keine Nullstelle – hier unter der zwei – das heißt der muss hier in Wieso abbiegen – und hier auf der rechten Seite habe einzig das Anrecht auf den Nullstelle aber wir haben sie leider nicht – besser noch drin – an der Stelle drei – so in der Art sollte das Aussehen wir kommen – uns anstrengend an dieser – Geräte gerade – biegen ab in die Polstelle – kommen von der selben Richtung wieder – haben keine Nullstelle eine Stelle drei aber eigentlich nur das Anrecht auf Nullstelle an der Stelle drei wenn da nicht Definitionslücke – werden und – gehen dann wieder gegen diese schräg liegende Asymptote – noch nicht mit der Gibsonachse den habe ich gar nicht so schlecht gezeichnet – ähm – wenn sie nun einsetzen X gleich null kriegen sie minus drei – mal – eins Operators eins minus drei Mal eins durch minus zwei ins Quadrat minus drei durch vier minus drei viertel – also – irgendwas von dieser Art war gar nicht so schlecht gezeichnet – üblich soll ich sagen – eigentlich weiß ich jetzt nicht ob diese Kurve nicht leicht doch so läuft und ob sie nicht so läuft ?? aber das wäre höchst unwahrscheinlich – ?? ich muss noch mal auf eine – trickreiche Ecke bei der Partialbruchzerlegung – hinweisen – ganz andere Geschichte wenn sie sowas haben wir X hoch zweiundvierzig – plus X sucht dreizehn – durch – X minus fünf – ins Quadrat – mal X minus sieben zum Beispiel – dann – wenn würden sie ja jetzt naiv als Partialbrüche – ansetzen – dadurch – X minus fünf Quadrat – um den abzufangen – aber dann kriege ich auch immer geschenkt im Zweifelsfall – ?? wohin ich haben will – Geschenk B durch X minus fünf – entsprechende Polstelle erster Ordnung – als dritte Ordnung wäre eine zweite eine erste Ordnung ganze Reihe runter – und dann kriegt hier noch C durch – X minus sieben das würde man naiv annehmen – aber – wenn sie die drei ?? auf einen Bus durchbringen – stellen sie fest es reicht nicht für die X hoch zweiundvierzig – Hauptnenner wäre er X minus fünf ins Quadrat – mal X minus sieben – den ersten multipliziere ich mit X minus sieben – den zweiten modifiziert – mit X minus fünf mal X minus sieben – wenn letztmalig kein Platz mehr – und beim letzten kriege ich – äh X minus fünf Quadrat – als Faktor dazu wenn sie sich angucken was da überhaupt rauskommen kann – ist das höchstens X Quadratserzähler – vorne gar keine X Quadrat I kriegen sie B mal X quadratischen dezimal X Quadrat – X und dreizehn X hoch zwei vierzig im Zähler keine Chance – das wird nichtfunktionieren – mit den Standard bei zahlreichen – was man tut ist – und spaltet erst mal das Asymptote Polynom ab – dann hab ich in Zähler – in diesem Fall nur was mit X Quadrat das wird funktionieren – also mal ganz zurück – auf null sozusagen Asymptote Polynom – das abgespalten – Asymptote Polynom hier – das was dann übrig bleibt stehen hier – den herrlichen Partialbrüche – umwandeln – mit dem gesamten wird das nicht funktionieren – zumindest mit der üblichen Sorte Partialbrüche – also für die partial Berufe guck ich mir die Funktion – minus – das Asymptote Polynom an was hinten blau übrig bleibt X Quadrat minus zehn X plus einundzwanzig – Grad – minus zehn X – plus einundzwanzig – den Nenner aber schon zerlegt X minus zwei Quadrat mal X minus drei – sehr derselbe Nenner für die ganze Zeit – das ist also die rationale Funktion – minus – ihr Asymptote Polynom besser begleiten vergessen das muss wieder draufagieren ?? Asymptote – Polynom – ist das – am – ?? man könnte das jetzt so nehmen wie es da steht unten habe ich X hoch drei irgendwas – Grad drei oben habe ich X Quadratsgrad – zwei – würde das noch nie missversteht – und sagen das ist – A durch – X minus drei – Polstelle erster Ordnung plus B durch X minus zwei Quadrat – und ich kriege ungefragt – gerne auch – dann eine Polstelle erster Ordnung dann noch dazu – ?? zu Manns erster Ordnung hier noch dazu wenn ich also Manier mit Porsche zweite Ordnung habe das könnte man machen – wäre sogar relativ geradlinig – und könnte aber auch sofort sagen – halt – mit dem minus drei dabei noch was los minus drei war doch gar keine echte Polstelle – wenn hier – Aha – eine echte Zahl wäre sang die sieben was würde dann passieren – also wenn das A – keine null wäre sondern handfeste Zahl wie die sieben Horizont wird sich unter die minus achtundneunzig – hätte ich auf der rechten Seite Polstelle bei drei – eine bei zwei klar – auch zwangsläufig eine bei drei Determinanten ✂ machen wir die Polstelle bei drei nicht kaputt – hier rechts werde Polstelle bei drei aber ich weiß doch meine Gesamtfunktion – ob mit oder ohne dass Polynompolynom – vorne machte Polstelle nicht kaputt meine Gesamtfusion hat keine Polstelle – bei drei – daraus folgt zwangsläufig – dass dieses A gleich null sein muss das es reichlich unsinnig das ich diesen der mir reinnehmen kann ich machen den Schlussgleichungen – aus den Fang des A gleich null ist dann ?? ich würde – erst noch vereinfachen – müsste sich tun aber man könnte an dieser Stelle erst noch vereinfachen – offensichtlich ist diese minus drei hier – X minus dreißig anzunehmende muss wieder wegfallen – allem dazu können Sie zum Beispiel einfach den Zähler mit PQ Formen zerlegen – wieder die eh tah Satz von Peter – das Produkt – quadratischen – Rahmen Polynom das Produkt der beiden null Stellen steht hinten ein zwanzig minus die Summe steht hier – drei und sieben müssen die Nullstellen sein – X minus drei – mal X minus sieben oder sie machen – ganz normale PQ Formel – unten X minus zwei Quadrat – mal X minus drei und jetzt kann ich mal wieder kürzen und sehr Artikel X minus drei – das Weih auf Fehlalarm – bei drei gibt's gar keine Polstelle – wann an was einfacher dann ist mein Ansatz für die Partialbruchzerlegung – das eine Konstante – durch X minus zwei – ins Quadrat – plus – eine Konstante durch X minus zwei – Stimmen Sie – A und B – das haken war gerade mal unorthodox bestimmen – wie sehen Sie welchen Wert das A haben muss ohne dass sie großartig rechnen ✂ dieser Term hier – ist – die schlimmste Explosion sozusagen – an X gleich zwei – der ?? ist nicht ganz so schlimm ✂ wie mit dem Quadrat – der hier – bei dem geht die Post ab jetzt guck ich mir hier an – wie stark da die Post AG dem sie da X minus zwei Quadrat das ist derselbe wie hier was wird aus X minus sieben wenn sie zwei Einsätzen – interessiert mich ja um die zwei herum wenn sie ihr zwei Einsätzen steht A zwei minus sieben fünf – um die zwei herumsteht im Endeffekt – minus fünf durch X minus zwei Quadrat – hier muss – eine minus fünf stehen dir kam eben schon vor – dem minus fünf an anderer Stelle hier muss zwangsläufig eine minus fünf Stellen – das ist der – führende Term um diese Polstelle bei zwei herum – so schlimm wird's – sozusagen dieses B – ist ein bisschen ekliger – kann das mal auf einen – Hauptnenner bringen – ich hatte eben – auch gesehen es gibt eine ganz andere Lösung mit Polynomdivision – aber will ich es gar nicht drauf eingehen – in diesem Fall geht das – aber gar nicht weiter drauf eingehen ?? Hauptmänner – wie machen Sie aus Neunkirchen und Dritte sozusagen – ein Hauptnenner neunte – den zweiten Bruch mit X minus zwei erweitern – also steht der A – plus – B mal X minus zwei – so und jetzt muss für alle X – muss dass er gleich seine Seitenränder schreiben für alle X muss das gleich sein – aus an der Stelle zwei – klaro – ähm – das heißt – der Zähler – hier muss gleich den Zähler da sein Punkt das – erlaubt mir das jetzt abzulesen – an – sie sehen B mal X ist die einzige Chance NB zu kriegen – wie groß muss also B sein – B mal X ist die einzige Chance an X zu kriegen – und ich muss ?? plus ein X haben also muss B gleich – eins sein ✂ und dass ich jetzt überhaupt Leerzeichen System hingeschrieben habe können Sie auch machen aber lohnt sich irgendwie ?? ich kenne Leerzeichen jetzt ?? – damit habe ich die komplette Funktion – ganz anders geschrieben – kann schreiben meine komplette Funktion – ist ihr Asymptote Polynom X plus eins – Plus was ich jetzt aus dem – Wasser Partialbruchzerlegung – kriege minus fünf durch X minus zwei Quadrat plus eins durch X minus zwei – minus fünf durch X minus zwei Quadrat plus – eins durch X minus zwei – das heißt jetzt Partialbruchzerlegung – hier das Asymptote Polynom – bleibt – locker stehen – und den – Rest – durch originalen Nenner den Zell lege ich in Partialbrüche – jetzt kann ich hier schön erkennen – wie sich diese Funktion einen Polstelle verhält – so letzte Geschichte war's Integral – von vier bis fünf diese Funktion integrieren – das geht mit der Partialbruchzerlegung – diese Funktion her als solche dieser sehr hässlich – ?? mir – diese Fusion als solches sehr hässlich – vom Alpha kann das Auge kann nur vom Alpha das mit Partialbruchzerlegung – an – und so können wir das auch – wobei ich dazu sagen sollte – das integral von Rationalfusion – ist eigentlich wirklich spannend – an – Ablassinformationen – oder sowas nach ?? die Wärme spannt dafür also schlimmere Sachen als das integral – des Integral – seitlich wenig – hilfreich – egal – nur das es Integral davon das geht mithilfe der Partialbruchzerlegung – netterweise – bei jetzt muss ich nur noch integrieren X toll und eins gibt's geschenkt – und hier die – fünf durch X minus zwei Quadrat gibt es fast geschenkt und eins durch X minus zwei die integrierte gibt es auch praktisch geschenkt – so kann man die Partialbruchzerlegung – einsetzen – das heißt aber nicht dass das tägliche Anwendung für die Partialbruchzerlegung – ist beim besten Willen nicht – so – Stammfunktion – X muss ich fragen ?? Zweirad Halbe die billigste Stammfunktion – für eins Funktion X – eins durch X minus zwei – Damen sogleich – in den nächsten Wochennummer bisschen nach Punkt Ableitungen – die Kranich schreibt schon mal ganz dreist in den Logarithmus – von Betrag X minus zwei der natürliche Rhythmus von Betrag X minus zwei – das ist vielleicht am Anfang überraschend – später mehr dazu dieser nie gesehen haben – und hier passiert nichts dramatisches – am – fünf durch X minus eins – in sie einst durch X ableiten kriegen sie minus – eins durch – X Quadrat – das erklärt das Minuszeichen – in der Ableitung macht nicht kaputt – gerade mit den Stress – das wird – eine Stammfunktion – sein ich brauche nur irgend eine Stammfunktion – bei dessen bestimmtes integral ist – die setzen die fünf ein – fünfundzwanzig – Halbe plus fünf plus fünf – Drittel – plus den natürlichen Rhythmus aus Betrag – fünf minus zwei also aus drei – minus – setzen die vier ein – äh sechzehn Halbe macht acht – Klos vier Abschluss und jetzt fünf durch zwei – plus natürlichen Rhythmus aus Betrag vier minus zwei aus dem Rhythmus aus zwei – und so weiter – und so weiter – Radio können Firmen zwanzig halbe – sind vierundzwanzigeinhalb – will – vierundzwanzigeinhalb – Clubs leichter wenn ich sage für zwanzig habe minus sechzehn halbe Nervenzellen sich ?? mit sechzehn tausend neun Halbe plus fünf minus vier – Cent plus eins – plus fünf Drittel – minus fünf halbe – wenn sie auf sechstel – ahnen – hier mal zweiten habe ich da zehn – hier mal drei den Richter fünfzehn – wie kann ich die beiden ?? zusammenfassen ✂ ein Autorhythmus – minus ?? Rhythmus gibt Logarithmus – drei – durch zwei – Teams müssen wir auch bald haben – wir ein halb plus eins fünfeinhalb – Jahre minus – fünf sechstel fast ein ganzes abgezogen – und darunter Doppelpunkt von drei ?? noch drauf – der natürliche Rhythmus von – eins zwei halbe wäre null – das hier ist also bisschen mehr als nur zwischen null und einundvierzig – fast eins ab Punkt irgendwas – bei fünf bei sechs wird zum Schluss auskommen