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04E.1 Beispiele für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme; Bild, Rang, Kern, Defekt

CC-BY-NC-SA 3.0

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wir – bauen mal ein paar Beispiele – zur linearen Gleichungssystem – schreiben Sie mal Gleichungssysteme – folgender Art ähm – erstens – zwei Gleichungen Leerschritte setzen – ab zwei GL zwei unbekannte – ?? – mit genau einer Lösung zwei Gleichungen zwar unbekannt und es gibt genau eine Lösung – LSG schreibe ich auch nur – zwei Gleichungen zwei unbekannte – und es gibt keine Lösungen – zwei Gleichungen zwei unbekannte – und es gibt unendlich viele Lösungen – ?? unendlich heißen unendlich viele – Lösungen – das Mama noch mal – auf zwei verschiedene Arten – nämlich mit drei Gleichungen – und zwei unbekannten – und mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten – und so weiter und so weiter und so weiter – jeweils diese drei Fälle – genau eine – Lösung – keine Lösung – unendlich viele – betonten auch genau eine – keine – und unendlich viele – Versuche immer dafür Beispiele zu bauen jeweils gleichen Systeme dieser Art also drei Gleichungen – zwei unbekannte – keine Lösung – könnte so was aussehen – müsse mehr Gefühl dafür kriegen – mit zwei gleichen nur drei Unbekannten und so weiter das macht natürlich kein Mensch in dieser vollen theoretischen – Ausführlichkeit – gleich sondern – es interessiert ein nach ?? eine Million Gleichung mit einer Million unbekannten – aber wenn es einmal ihr jetzt im Sandkasten verstandener bei den kleinen Leitsystem – von Idee was den – groß wohl auf sich hat an die großen Lagersysteme muss man systematisch angehen an die sie hier können sie – irgendwie dran gehen wird schon funktionieren – also das jetzt aber nun Sandkasten um mal zu verstehen wie man systematisch angehen würde – und was ich jeweils noch wissen möchte – Stichwort systematisches – dran gehen – wenn sie sich die Koeffizientenmatrix – angucken – wie steht es mit dem Bild – und dem Rank – und dem Kern – und dem Defekt – der Koeffizientenmatrix – ich schreibe nur QF – Bindestrich Matrix – Bild sicherheitshalber offiziell bei Dramatik müssen eine vom Spaltenraum – reden – okay also jeweils ein Beispiel – finden – neun Beispiele – und darum sich zu ihrem Beispiel Bild trank gern und defekt – der Koeffizientenmatrix – an wies bei ihm jeweils ist – wie hätte man das jetzt daran erkennen können wie viele Lösungen es gibt – oder eben nicht gibt ✂ der – sehr zwei Gleichung zwei unbekannte genau eine Lösung – genau eine nebenbei zu dieser mathematischen Sprechweise – genau eine Lösung also nicht zwei nicht unendlich nicht null genau eine nicht mehr als eine nicht weniger als eine – genau eine sagt man so schön – eine eindeutige Lösung hat das ?? eben auch – zum Beispiel – das jetzt gerade gesehen habe ein Register selig sich zu überlegen was soll denn genau diese eine Lösung sein – zum Beispiel dass sie sagen X soll – dreizehn sein und Y soll zwoundvierzig – Leerzeichen sich fest – seine Schweifklammer davon zeigen dass man Dinge aus gleichen Systemen des hat genau eine Lösung – so banal kannst werden – Komma dass es total fies normalerweise wird man das werden auch anders schreiben dass man dann sagst ?? können stattdessen ja auch schreiben ein X plus null Y ist gleich dreizehn – O und null X plus ein Y ist gleich zweiundvierzig – dann sieht es bisschen – mehr – nach linearen Gleichungssystem – aus aber das ist auch schon länger Gleichungssystem – so könnte man es zum Beispiel anfangen – oder sie nehmen andere Zahlen – das keine gute Idee Sven sie sowas haben zwei X plus drei Y ist gleich dreiundzwanzig – und Cinema zweite gleichen das Doppelte – vier X plus sechs Y – ist gleich sechsundvierzig – hatte nämlich zu viel Lösungen – die zweite Gleichung sagt jetzt im Endeffekt dasselbe wie die erste Gleichung – sie haben dadurch im Endeffekt eine Gleichung zu wenig Komma gleich drauf das wird so auf Anhieb nicht fusioniert – wenn sie Zahlen würfeln – eins zwei drei D fünf – wird es typischerweise – bei zwei Gleichung bekannten genau eine Lösung geben – müsse sich überzeugen dass man richtig gewürfelt hatte mich gerade Pech gehabt hat mit seinen Zahlen – sowas auch gegangen – kann man diese Koeffizientenmatrix – hier – wäre also eins null null eins – kann man sagen – in diesem ganz einfachen Fall von vorn an was ist es Bild – der Speicher um – eine Matrix – eine lineare Abbildung redet man typischerweise vom Bild und bei der Matrix vom Spaltenraum – ist aber vom Konzept derselbe – was aber hier beim Bild schweigsam – war – als Rang – was haben wir als Kern – und was haben wir als die – Sekt – für diese Matrix – die Einheitsmatrix – offensichtlich ✂ kurz – wiederholt – der Spaltenraum – das Bild das sind alle Vektoren die aus der Matrix herauskommen – können wenn sie dieses bilden eins null null eins die Matrix – mal – irgendwas – ist die Frage was kann hieraus kommen – wenn sich das angucken die Einheitsmatrix – mal einen beliebigen Vektor es genau wieder dieser beliebige Vektor – jeder Vektor im A zwei kann rauskommen – das es das Bild – der Spaltenraum – Unterspaltenraum – heißt seit langem an einem Beispiel – zu wiederholen – das Bild – alles was an Vektoren rauskommen kann aus dieser Matrix Fernsehrechte Matrix mal ein beliebigen Vektor – das ist der komplette R zwei – jeder – ?? rauskommen – des Satin was über die rechte Seite hier wenn sie wissen das aus der Koeffizientenmatrix – jeder Vektor rauskommen kann heißt das es auf der rechten Seite jeder Vektor aufstehen kann und das gleiche System eine Lösung hat es gibt eine siebzehn sie einsetzen können und es kommt – alles beliebige raus was sie wollen – das sagt uns hier – das der – Spaltenraum der A zwei ist – der komplette Raum der rauskommen kann – damit es dieses gleichen System sind ?? Systeme mit dieser Matrix hier – sind Matrix immer lösbar egal was auf der rechten Seite steht – der Rand ist die Dimension davon zwei – wie viele Dimensionen – hat das Bild – es ist eine Ebene der A zwei – zwei Dimension – der Kern ist der Gegenspieler – vom Bild der Kern sagt – was ist die Menge der Vektoren – sodass Matrix mal ?? der Nullvektor wird welche Vektoren werden von der Matrix zum Nullvektor gemacht jetzt aber normal – Bildspaltenraumes – wie Vektoren rauskommen können die Menge aller Regionen auskommen – er – die Menge aller Vektoren die zu null gemacht werden – diese Vektoren im Kern sind also irgendwie nicht unterscheidbar sozusagen durch die Matrix die Matrix macht sie alle zum Nullvektor – sagt das Wasser Eindeutigkeit – Bild hat was mit der Existenz von Lösungen zu tun kann das rauskommen was auf der rechten Seite steht Kern hat was mit der Eindeutigkeit – zu tun – wie viele in Anführungszeichen – Vektor zumisst oder welche Vektoren werden zum Nullvektor gemacht sehen schon in diesem gleichen System – mit sich hier nicht nur null null einsetzen können – Fragezeichen – dann ist es offensichtlich nicht eindeutig – lösbar es gibt mehr als eine Lösung – der Kern sagt – welche Vektoren das sind ich einsetzen kann und ich kriege null null raus sie sind bei der Einheitsmatrix – welche Vektoren können Sie einsetzen kriegen den Nullvektor raus für die Einheitsmatrix ✂ nur den Nullvektor dass es jetzt komisch zu schreiben schreibe mal die Menge mit dem Vektor null null – viele Klammer auf – der Kern ist eine Menge von Vektoren nicht ?? schreiben Kern ist gleich null der Kern ist eine Menge von Vektoren des ?? die schweigsame – in den Schweif Klammer zu des ein Vektor drinnen der Nullvektor – deshalb diese komische Schreibweise hier – hat aber eine gewisse Logik – das ist der einzige Weg ?? bei dem es geht wenn sie sie probieren – mit dreizehn zwoundvierzig kriegen sie auch ganze zwei vierzig wieder rausrichte Nullvektor wird von ?? funktioniert – nur mit dem Nullvektor funktioniert – das auch wieder den Nullvektor – der Defekt sagt wie viele Dimensionen – der Kern hat – das wieder Frank misst diese Dimension das Bild hat misst der Defekt – über Dimension der Kern hat Rang – und defekt einfach nur zahlen Dimensionszahlen – als ob sie für Sportwagen nur D das die Masse angeben soll soviel Tonnen angeben – das richtige Ding ist das Bild die Dimension davon ist der Rang das richtige Ding ist der Kern die Dimension davon ist der Defekt – ganz ganz in einer Zeit zusammengefasst – ?? mehr was es im Detail so in einer Zeit zusammengefasst – was ist die Dimension – von den ?? hier ✂ so – null Dimensionen – ein Punkt – ein Punkt ist ein nulldimensionales – Gebilde eine gerade – eine Kurve – eindimensionale – Gebilde – ein Stück Fläche – zweidimensional – die Oberfläche einer Kugel zweidimensional – ein Volumen – dreidimensional – drei – null eins eins zwei – was vielleicht irritierend ist – dass diese Menge die darin gemalt habe aus – Vektoren im R drei bestehen können – sagen oder seine Kurve im Raum – deutet also an so eine Kurve im Raum – dann ist natürlich – jeder einzelne Punkt auf dieser Kurve ein Punkt was soll er sich seiner Vektor ein Punkt im ?? Arbeit ist das der Punkt – äh elf zwölf – dreizehn und das hier – hinten weiter ist der Punkt – ich hatte keine Ahnung fünfzig – sechzig siebzig oder sowas also diese Kurve ist eine Menge an Punkten – die im dreidimensionalen – Leben – die Kurve an sich ist aber ein ein dimensionales Gebilde – vorsichtig sein mit – der – Schreibunsprechweise – an der Stelle also – ich habe eine Kurve die im dreidimensionalen – lebt – Aquarium – erlebt die Kurve – die Bestandteile sozusagen die Punkte der Kurve sind Punkt im dreidimensionalen – die Kurve selbst ist aber eindimensional – mit der denke müssen sich ?? angehen – das ist ein einziger Punkt ein nulldimensionales – Gebilde – Defekt nur – bei diesen beiden Zahlen Rang zwei Defekt null – macht man es danach ?? bei großen Gleichungssystem – fest – in der Defekt null ist müssen sie der Kern ist nur ein einziger Vektor das muss der Nullvektor sein – es ist immer eindeutig lösbar alles wassergleichen System dies Koeffizientenmatrix – hat ist immer eindeutig lösbar wenn der Defekt in die null ist und der Kern – deshalb der Nullvektor ist nur der Nullvektor ist – der Rang sagt in was Existenz von Lösungen wenn genauso viele Dimensionen – rauskommen – das es reicht um den kompletten Raum ihr zu füllen in R zwei – dann wissen ?? egal was auf die rechte Seite schreiben zu Koeffizientenmatrix – es wird immer eine Lösung geben – wenn der Rang – nicht – gleich ihr jetzt zwei wäre wenn der Rand nicht gleich der Zahl der Gleichungen ist ?? kleiner ist als die Zahl der Gleichungen kann nicht größer werden wenn der Rang kleiner wird als die Zahl der Gleichungen – ist klar – es gibt irgendwas was auf die rechte Seite schreiben kann – und das kommt nicht raus – sonst müsste der Rang eben gleich der Zahl der Gleichungen sein als wenn das jetzt kleines N – der Rand zu klein ist – das Bild der Spaltenraum – nicht alles ist was theoretisch rauskommen könnte dann wissen Sie – es gibt also rechte Seiten – so das das gleiche System keine Lösung hat das seitens – seines Bild und Rangranglesbarkeit – gern und defekt – Eindeutigkeit – Einheitsmatrix sie wahrscheinlich – ein bisschen – banal – übergreifenden weiter Zimmer zum allerersten Teil jedoch noch ?? zweite Matrix – Schnee noch mal ein Beispiel – wenn wir sage – man mit einer Zahlen hier drei X plus vier – Y ist gleich fünf – sechs X plus sieben Y ist gleich acht – einfach in ein Vorzeichen gewürfelte Zahl das sollte – eine einzige Lösung nur geben können – können schon zumindest jetzt überzeugende zweite Gleichnis kein Vielfaches der ersten Gleichung – dreimal zwei sechs aber viermal zwei ist nicht sieben – das sieht schon so weit gut aus wenn ich mir jetzt die Koeffizientenmatrix – angucken zu dieser Gleichung – kriege ich also drei – vier sechs – sieben – jetzt – weil's so schön war Bildrangspaltenraum – besagen – korrekterweise – Kern – und defekt was halten Sie davon bei dieser Matrix ✂ muss – immer mal rausholen – wenn sie diese Matrix – drei vier sechs sieben mit irgend einem Vektor X Y multiplizieren – dann gab es einen Trick wie man es anders schreiben konnte – sie können Thread ausrechnen drei X plus vier Y steht oben sechs X plus sieben Y steht unten aber es gab ein Zwischenschritt ✂ wie sieht das mit Vektoren hinschreiben – konnten – wie ging der Zwischenschritt – also – das sechsfache von drei sechs – und das fünfzehn fache von vier sieben ?? ich hatte jetzt aber mal hin was sie sowieso – schnell raus gegen dreimal X plus viermal Y drei X plus vier mal Y – und sechs X plus sieben Y – des geschenkt Matrix mal Vektor so steht das – Rezept – aber man kann auch diesen Zwischenschritt bilden man sich angucken was da steht drei X – sechzigster – xx X – vier Y sieben Y vier Y sieben Y – es ist normalerweise unsinnig das zu machen Zwischenschritt aber an dieser Stelle so gut sich das klarzumachen – um Bild – und Rang zu verstehen – wenn sie eine Matrix multiplizieren – mit einem Vektor – basiert eigentlich folgendes – dass sie dessen oberste Komponente nehmen mal die erste Spalte – dessen zweite Komponente nehmen eine zweite Spalte unsere dritte Komponente hätten mal die dritte Spalte und so weiter Sehen Sie hier die oberste Komponente von Vektor mal die erste Spalte meiner Matrix – die nächste Komponente mal die nächste Spalte der Matrix und so weiter sind weiter je nachdem wie viele – Spalten man – das heißt Wasser passiert Matrix mal Vektorwasser – passiert ist eigentlich das sie – Aha in der Kombination bilden – indem sie dieses Produkt ausrechnen bilden sie eine Linearkombination – aus den Spalten – der Matrix – so zu X mal die erste Spalte soundsoviel – zumal die zweite Spalte – komplett sicher schon wieder mit den Linearkombination – und jetzt ist die Frage – wenn sie die Linearkombinationen – von diesen beiden Spalten ?? zwei Spalten in der Kombination der Spalten bilden – kriegen Sie hier den ganzen eher zwei raus – weniger als den er zwei – mehr als in der ✂ zwei geht wohl kaum was ist die Lage ?? diesen ganzen ?? zwei raus oder nicht bei dieser Matrix – Komma – sondern das Beispiel an den hier nichts drei sechs vier sieben Stunde sondern drei sechs vier acht – was es jetzt hier – ?? statt der sieben schreibe ich Nacht – können Sie aus diesen beiden Vektoren den gesamten eher zwei bilden – Direktor drei sechste Vektor vier acht die beiden ja kombinierte Vektor drei sechs ✂ ?? zeigte Vektor vier acht keine Ahnung – sind die so kann ich daraus in zwei bilden – oder sind die nicht so – so – die beiden sind parallel sie nehmen den ersten – Mal vier durch drei Beamte den zweiten – drei mal vier durch drei gibt vier sechs mal vier durch drei gedacht – sind auch schon wenn sie in gleiche System aufgeschrieben hätten drei X vier Y ist gleich irgendwas – sechs X plus acht ist gleich irgendwas – dieses verdoppelt – fällt ganz schwer auf – diese beiden Vektoren – sind linear abhängig voneinander – derzeit ganz billig ein Vielfaches von dem ersten Das heißt von den ersten haben drei sechs – drei nach rechts sechs nach oben – der zweite ist – die selbe Richtung ein bisschen länger – auf den Kopf stellen aus den beiden hier können sind mit Linearkombination – nicht den ganzen eher zwei bilden – sie brauchen zwei Vektoren – die schräg zueinander stehen die ursprünglichen Vektoren mit der sieben war – die grüne Variante ✂ die beiden stehen schräg zueinander und dann kann man den ganzen eher zwei bilden – zurückkehren – ?? – gute Frage was ist ein ?? mit der rechten Seite – in der Tat das ist völlig egal was auf der rechten Seite steht – erst mal – wirkungslose – Koeffizientenmatrix – an und diese fünf acht Dirk und es war gar nicht vor absurderweise – weggucken sie nur die Koeffizientenmatrix – an – und habe mir gerade festgestellt – das Bild der Spaltenraum ist der komplette eher zwei aus diesen beiden Vektoren können Sie den gesamten eher zwei bilden wenn sie X Y passend wählen – Sie hier eine entsprechende Linearkombination – mit dieser Linearkombination – hier können Sie alles aus dem er zwei bilden – das wissen wir natürlich von der Spaltenraum heißt – sie bilden alle Linearkombination – der Spalten – was kann ich bilden indem Spalten im Jahr kombiniere – das nennt sich Spaltenraum – oder gemeinsames in der Abbildung betrachtet – Bild – da dieser nahm Spaltenraum – zurück zu der Frage – mir die fünf acht – ?? – wo kommt denn jetzt eine die fünf acht vor – interessanter ✂ Weise ist es an dieser Stelle gar nicht wichtig ob es fünf acht ist warum ist es gar nicht wichtig was sie auf der rechten Seite steht in diesem Fall – Beistrich – hier ist – wenn der Spaltenraum der komplette erzweiß – heißt das ja egal was sich hier auf die rechte Seite schreiben es gibt ?? Lösung – ob sie hier dreiundzwanzig – oder zwoundvierzig und minus acht neunzig Wasser Komma Pi hinschreiben auf die rechte Seite egal was sie hinschreiben – sie wissen – sie können Wasser steht – bilden mit diesen beiden Spalten – es gibt ein X es gibt ein Y – immer – egal was auf der rechten Seite steht – deshalb guck ich mir ?? gar nicht an Wasser auf der rechten Seite steht ich hoffe das ich zum Resultat – kriege was allgemein gilt für alle Seiten – das tägliche nämlich – wenn der Spaltenraum – so großes wir nur sein kann zwei Gleichungen – R zwei – dann – weiß ich nämlich ist es mir völlig ✂ egal was der rechts steht es kann alles rauskommen – müssen ?? sagen können was der Rank ist – wurde – er zwei zweidimensional – wie eben – der Kern – was passiert wenn sie das lösen wollen drei vier sechs sieben – X Y ist gleich null – beim Kern möchte ich ja wissen welche Vektoren zu null gemacht werden ein Bildspaltenraum – möchte ich wissen welche rauskommen können alle in der Akkumulation der Spalten der Matrix – beim Kern möchte ich wissen welche Vektoren zu null gemacht werden ?? möchte im Endeffekt dieses seminargleichen System lösen drei X Plus selbst ✂ ungleich null sechs ?? sieben Y gleich null – welche Vektoren X Y – können das – die – beiden Vektoren hier noch mal drei sechs – vier sieben – bisschen länger schräg dazu ?? ich mich mal ein bisschen heftiger als der eine so der andere so von mir aus Prinzip ab – jetzt ist die Frage – wie kann ich aus diesen beiden Vektoren den Nullvektor bauen – nur mal den einen Plus nur bei den anderen das es geschenkt – das geht immer – aber sobald sie sagen sie nehmen von diesem Vektor irgend ein Vielfaches das nicht nur lässt und von diesem Vektor irgend ein Vielfaches was sich nur das – Amt einfach keine Chance kriegen niemals den Nullvektor raus – null null ist die einzige Chance ähm der Kern ist weiterhin – die Menge mit dem Vektor null null die Menge mit dem Nullvektor es gibt keine andere Chance – aus diesen beiden Vektoren – der Nullvektor zusammen zu mischen damit den Defekt auch wieder null wie eben – also selbe Situation wie eben es gibt genau eine Lösung – zu sehen Komma – unsere Kennzahlen – hier sind auch verdächtig ähnlich also zwei – verschiedene grundverschiedene Matrizen – mit gleichen Kennzahlen – diese Kennzahlen ?? oder sagen etwas über die Existenz und Eindeutigkeit – von Lösungen von Gleichungssystemen – mit der jeweiligen Matrix – jetzt habe ich lange rausgeholt – das war der erste Teil der Rest geht jetzt hoffentlich ganz schnell – weitere acht Aufgaben aber auch nicht ganz schnell – was tun sie ihren – Gleichungen an ihren Spaltenvektoren – an – das sie keine Lösung haben was du nie entziehen Spaltenvektoren – und weitere Leerzeilenvektoren – des unendlich viele Lösungen haben ✂ und so weiter – das müsste jetzt relativ zügig durch Latein – zwei – Gleichungen zwei unbekannte keine Lösung – einer – keine Lösung ist einfach zu kriegen wenn sie in Widerspruch bauen – ?? mal so an – Simon ein Widerspruch – ein X plus zwei Y – ist gleich – dreizehn – und ein X plus zwei Y ist gleich dreiundzwanzig – das offensichtlich nicht gut lösbar – sie kriegen keine zwei Zahlen X Y sodass deren Summe X Plus Webserver dreizehntes und gleichzeitig – drei zwanzig ist das wirklich funktionieren – zwei Gleichungen zwei unbekannte – und keine Lösung – das Essen bisschen banal schreibt hier unten mal – etwas hin was – etwas hübscher aussieht oder etwas komplizierter aussieht zwei X Plus – an dem es einfach besser drei X plus sechs Y – und auf die rechte Seite schreibe ich nicht das dreifache – sondern – überlegen – neununddreißig – vierzig schreibe ich ähm eben nicht das dreifache – einmal drei ist die weiter unten zweimal dreißig sechs da auf der rechten Seite steht nicht das dreifache – das kriegen sie nicht gelöst – ist könnte man sich die Koeffizientenmatrix – angucken wie hätten wir das an der Koeffizienten – Matrix sehen können – bisschen – Strecke vor uns eins zwei – drei sechs – und mich interessieren – Bild als offizielle Spaltenraum – eine Matrix – davon die Dimensionen – Das heißt der Rank – sie haben freche Schule etwas gelernt über den Rang ausrechnen kann wie gesagt ?? den Rang im mathematischen – Sinne man kann irgendwie ausrechnen – das Wetter versteht was der einzelne Wort misst die Zahl der ?? aus ging die Dimension von Bild – dann der Kern – und die Dimension Franken den Effekt – das Bild – welche Vektoren können Sie aus dieser Matrix rauskriegen ✂ welche nicht – Punkt – sie kriegen nur eine gerade sie kombinieren – die beiden Spalten was passiert – wenn sie – irgendwas einsetzen X Y – eins zwei drei sechs da irgendwas einsetzen sechs Y kriegen sie habe im gesehen X mal die erste Spalte – plus Y war die zweite Spalte – eins drei zwei sechs – eins drei – und dann zwei sechs das Doppelte davon wenn sie die beiden miteinander kombinieren bleiben Sie immer auf dieser einen geraden – die kriegen niemals ein Vektor quer zu dieser geraden – Das heißt – will Spaltenraum ist nicht die komplette – Ebene des Erz weisen nur eine einzige gerade – die Frage wie schreibe ich das auf was am einfachsten mit der geraden Gleichung – es offiziell schreiben wollen würden können Sie schreiben es sind alle möglichen reellen Zahlen mal den Vektor eins drei – dass sie wahrscheinlich bisschen komisch aus – aber nicht ganz offiziell ich könnte mir vorstellen das man ihn schreibt okay es ist eine Menge – und zwar – alle vielfachen von Vektor eins drei – war sie auch bisschen komisch aus Klammer zu – des Spaltenraumes – folgendes ist es die gerade mit der Gleichungslander – mal eins – drei alle vielfachen – von eins drei – ist er sich professionell aufgeschrieben aber so wissen alle was gemeinschaftlich – alle vielfachen von eins trat das ist das Bild – aus diesen beiden Vektoren können Sie nur Vektoren parallel zu eins drei bilden – eine gerade das also der Rang gleich eins – Dimension davon – sind – Vektoren – im März zwei aber diese Vektoren immer zwei bilden eine gerade – der ?? ist eins Dimension davon – das sagt uns jetzt was über – die Existenz von Lösungen – was aus dieser Matrix rauskommt – sind alle Vektoren und nur die Vektoren die auf dieser geraden liegen wenn sie auf die rechte Seite etwas schreiben was nicht auf dieser geraden Weg dreißig vierzig zum Beispiel nicht nicht auf der geraden – dann ist das nicht lösbar das Gleichungssystem – aus wenn sich ein Merksatz aufschreiben – wollenden Lehrstelle – wenn die rechte Seite – der Vektor auf der rechten Seite wenn der nicht im Spaltenraum liegt – Komma nicht gebildet werden aus den beiden Spalten – sie finden kann ich sie finden Y – das heißt es Gleichungsdistanz – dem ist nicht lösbar – wenn der Vektor der rechten Seite die Inhomogenitäten – in der nicht im Bildspaltenraum – liegt ist die Gleichung nicht lösbar – wenn der Vektor auf der rechten Seite im Bild im Spaltenraum nicht dann finden Sie seine Extension Y um den zusammen zu bauen – hat oder meine Klammer zu die Gleichung ist lösbar – ?? das es nachher die offizielle Bedingung – guckt sich ein ist direkt auf der rechten Seite die in Homogenität – hier jede dreißig vierzig – ist der Vektor im Spaltenraum oder nicht – je nachdem wissen sie eines Tosca – ist nicht lösbar – in der Spaltenraum – alles mögliche ist immer meine kompletten eher zwei mit Rang zwei dann müssen sie es immer lösbar weil alles – dann in diesem Raum ist der alles umfasst – so gerne defekt – die Frage ist wie kriege ich null raus – beim Bild interessiert mich was kommt überhaupt alles raus – Nullvektor soll ich sagen beim Kern interessiert mich – was kann ich tun damit der Nullvektor rauskommt – diese beiden Vektoren hier so überlagern – als Linearkombination – sodass der Nullvektor rauskommt – was wird der ✂ Kern sein – X – muss also minus das Doppelte von Y sein sie können zum Beispiel nehmen Y gleich eins – X gleich schon bei der neben – Gibson gleich eins und X gleich minus zwei dass wir zum Beispiel funktionieren – zwei sechs unterziehen sie ab – zwei sechs kriegen Nullvektor raus – mit siebzehn gleich zehn während – X gleich minus zwanzig wäre das genauso und so weiter – X ist minus das Doppelte von dem seit dem erste obersten Leitung direkt ablesen könne dem Fall einmal X plus zweimal Y ist gleich null sie lösen auf – X ist gleich – minus zwei Y – das heißt der Kern – könnte so aufschreiben – die Menge aller X Y aus dem März zwei – ?? ganz andere Art es aufzuschreiben mit der Eigenschaft – des X ist gleich minus – zwei – Y – nun – was ist das denn für die Menge wenn sie das hier Platten – was ist das eigentlich eine Menge ✂ so – eine verkappte geraden Gleichung notfalls – Erzeugnisse mit uns umstellt – Y ist gleich minus ein halb X – dann schreit es ganz laut Angleichungsbasis – kommen nicht alle Vektoren X Y hier vor – sondern nur die auf einer einzigen geraden man hätte jetzt hier auch Fleisch ?? anschreiben können okay das ist eigentlich – nicht lässiger bei dieser Hände wird in der Schreibweise mache es ist eine gerade – mal irgendwas degradiert durch den Ursprung – können null null einsetzen – muss immer so sein bei den – in ?? beim Bild und beim Kern – der Nullvektor muss immer dabei sein – was wir ein Richtungsvektor für diese gerade hier – das wieder in dieser Parameterform – Minimaleinrichtungsvektor – plus null null ✂ hinschreiben oder – gucken Sie einmal an – was für ein Vektor ist ?? überhaupt in den Kern drin null null bis nicht wann das Richtung Vektor – wenn sie Philips an einzelnen Sätzen kriegen sie für X minus zwei Haus des zum Beispiel im Kern rennen – wenn sie für Y eins einsetzen kriegen sie für X minus zwei raus – das ganze zu machen weil ihr mitwirkte Plus null null – alle vielfachen von minus zwei eins – X ein Vielfaches von minus zwei – Y ein Vielfaches von eins – mal minus zwei – heute – als diese gerade würde das dann werden zum – so schreiben oder – ein Vielfaches von minus zwanzig zehn oder ein Vielfaches von zwanzig minus sehen wir Komma welche Krankheiten sie nimmt schon wieder eine gerade – muss eine Ursprungsgerade sein bei – der Nullvektor auf jeden Fall geht wenn sie den Nullvektor einsetzen diese Nullvektor raus – und damit der Defekt auch gleich einziehen – gerade – was ist die Dimension eins – nebenbei – immer schon ein Gesetz in Aktion – wenn sie hier die Summe bilden – sind sie – eine grandiose Rechnung – eins plus eins gleich zwei ?? hätte das gedacht – diese eins Plus dieser eins – ergibt zwei was hatten wir eben – eben hatten wir den Rang zwei – den Defekt null zwei plus null ist gleich zwei davor gab's auch zwei plus ?? ist gleich zwei – sehen wo diese einzeln kommt sie zu dieser einzelkommt – als es diese zwei hier ✂ genau – die zwei hier ist die Zahl der Unbekannten – nicht die Zahl der gleichen Sinne gleich bei den anderen Fällen das ist die Zahl der Unbekannten – jährte man sich für tun könne sang es die Zahl der gleichen ?? zufällig auch zwei ?? – also mit anderen Worten die Zahl der Spalten – der Koeffizientenmatrix – ich schreibe KM der kurze Matrix – das es diese zwei hier – das anschauliche – einfache anschauliche Bedeutung – mit wie viel Dimensionen – gehe ich in meine Matrix reihen sich die Zahl der unbekannten ?? dieses X Y wie viele Dimensionen über streicht dieser Vektor – in diesem Fall zwei – ?? aus dem er zwei gezahlte Unbekannten die Zahl der Spalten – die Zahl der Dimensionen mit der ich reingehe die teilt sich auf – in wie viele Dimensionen – überleben – kommen aus der Matrix wieder raus das ist der Frank die Dimension des Bild plus wie viele Dimensionen – gehen in der Matrix verloren – das ist der Defekt – die Dimensionszahl – des Kerns – eigentlich eine ganz banale Gleichung aber – schon eine recht tiefschürfende – Erkenntnisse Wasser vernünftig begründen will die Zahl der Dimension mit der sie reingehen in seinem Gartendesignerspalten – der Koeffizientenmatrix – nicht der Zeilen – einer der Spalten – muss ich so aufteilen – in Rang und Kern das heißt den Defektion hätte man gar nicht ausrechnen müssen – wenn man weiß dass der Rang eins ist – weiß man esse Defekt – umgekehrt gerechnet nicht null sein kann ich zwei sein kann ?? auch ein sein muss damit dass diese Summe hier – wieder – die zwei rauskommen kann – so – es mich nur den ganzen Rest hier mal – schnell abhandeln – das Verfahren einmal gesehen hat – zwei Gleichungen zwei unbekannte unendlich viele Lösungen – hatten sie ja schon teilweise schreiben einfach im Endeffekt – dieselben Gleichungen hin ein X plus zwei Y ist gleich – dreizehn – ?? – zwei X plus vier Y ist gleich – sechsundzwanzig – zweite Gleichung ist das Doppelte der ersten Gleichung – das heißt die zweite Gleichung bringt keine neuen Erkenntnisse – die erste Gleichung wird ausreichen und für die erste Gleichung haben sie unendlich viele Lösungen – offensichtlich – einen Lager noch mal die Koeffizientenmatrix – Bande eins zwei – zwei – vier – das sehen Sie auch wieder – die beiden Spalten sind im Jahr voneinander abhängig – der Rang wird nicht zwei sein – weil sie kriegen als Bild nur eine gerade raus dann wissen Sie anhand der Defekt kann nicht null sein ?? Summe von – ?? Defekten war wieder zwei sein muss zwei Spalten – und so weiter und so weiter – und dreizehn sechsundzwanzig – was es jetzt das besondere an dreizehn sechsundzwanzig – und ein Bild kann – gerne defekt ✂ und – andersrum fragen müssen was ist der Unterschied zwischen dreizehn sechsundzwanzig – und dreizehn siebenundzwanzig – dreizehn sechsundzwanzig – kriechen endlich viele Lösungen – für dreizehn siebenundzwanzig – ging ich keine einzige Lösung – bei dann die zweite Gleichung nicht das Doppelte der ersten ist aber senke vorne an als ob das Doppelte wäre – was ist der Unterschied zwischen dreizehn sechsten zwanzig und dreizehn sieben zwanzig was machen die anders diese beiden Vektoren ✂ so – ?? dreizehn sechsten zwanzig dieser Vektor hier dreizehn Ecken zwanzig der ist im Bild der Matrix – ein Element des Bildes – von dieser Martinsheim jetzt nicht den von der Matrix – die dreizehn sieben zwanzig der Vektor ist nicht Element – von der Welt – was ist das Bild der Spaltenraumthematik – der Spaltenraum – sind alle Vektoren die sie kriegen können als in der Kombination der Spalten eins zweimal irgendwas plus zwei vier mal irgendwas alle Vektoren diese so kriegen können ?? das ist das Bild der Spaltenraum – dann sehen Sie okay alle Vektoren bei den besonders Doppelte von X ist – dreizehn sechsten zwanzig ist von dieser Art der ist in dem Bild Drinnensystem – wird ob es ihm schon gesagt hatte – wenn – die Inhomogenitäten – das was auf der rechten Seite steht direkt auf der rechten Seite wenn die Inhomogenitäten – im Bild ist – dann ist die Gleichung lösbar – Entsetzliches – ist sie nicht lösbar – damit ist die Kleidung nicht ?? das werde Unterschied zwischen der linken Gleichung der rechten Gleichung einmal ist die Homogenität im Bild enthalten aber sie nicht enthalten – das der Unterschied zwischen diesen beiden Vektoren – Anführungsstriche unten – noch einen von den vielen raus das Gitter als alles nach Schema F – verringert den Fall heraus etwas ungewöhnlichen Fall – drei Gleichungen zwei unbekannte – sie haben mehr Gleichungen als Unbekannte – dann erwarten sie normalerweise – gar keine Lösung zu haben die verlangen normalerweise – zu viel von ihren Unbekannten – aus dieser Fall wäre der typische bei drei Gleichung zwei Bekannten – über bestimmt diese drei Fälle sind über bestimmt die drei Fälle sind unter bestimmten – über bestimmt mehr gleichen hundert und bekannte unter bestimmt – weniger Gleichungen als Unbekannte sie verlangen zu wenig – ?? Komma dazu die hier sind über bestimmt – drei Fälle – diese drei Fälle hier sind unter bestimmten nennt sich das einfach zählen – wie viele Gleichungen des Unbekannte habe ich – das ?? die noch nicht direkt was zu den Lösungsmengen – aber es gibt ihn ein Verdacht – ein überbestimmtes System – zu viele Gleichungen zu wenig Unbekannte hat typischerweise keine Lösung zu viel verlangen – ein unterbestimmtes – System – zu wenig Gleichungen für zu viele Unbekannte – hat wenn es überhaupt ?? Lösung hat kann sein das es keine Lösung hat sie mit den wenigen Gleichung scharfen Widerspruch zu günstigen ?? überhaupt ?? kann die niemals eindeutig sein unter bestimmten System – kann man sich mit Bildern Kern überlegen – ?? in den alten Videos vor – jetziger Norma dieser eine zum Abschluss – aber trotzdem ähnlich viel Lösung zu haben das ist – ein komischer Fall über bestimmt mit unendlich vielen Lösungen – irgendwas mal X plus irgendwas mal Y ist gleich irgendwas – erste Gleichung mit zwei Bekannten irgendwas X irgendwas Y ist gleich irgendwas zweite Gleichung – irgendwas X irgendwas Y ist gleich irgendwas dritte Gleichung – derzeitig gerne unendlich viele Lösungen kriegen sie das sehen ✂ wir – genau zwei Gleichungen müssen mit Defekt rausfahren – das ganz brutale wäre – das ?? zu schreiben – dieselbe Gleichung – dreimal hinzuschreiben gesamte drei Gleichungen – mit zwei Unbekannten – und Lösung zum Beispiel – eins plus null ist gleich eins oder null bis eins ist gleich eins ein halb plus ein halb ist gleich als das natürliche Risiko möchte ich auch drauf gekommen sozusagen drei Gleichungen mit zwei unbekannten – dicken Sack an ihren Benzin zu banal eskalieren siehst wann sie das draus gesamte drei Gleichung mit zwei Unbekannten – und unendlich viele Lösungen – wenn man eine Mischungsgleichung mit einer Million unbekannter ?? soll der Gesang eine Million eine Gleichung mit einer Million Unbekannten kann man offensichtlich noch raffinierter vorgehen – Gleichungen – ein bisschen Bilder miteinander verrechnet aber das hier wäre ein Beispiel drei Gleichungen zur Bekannte und es gibt unendlich viele Lösungen – trat – er in den letzten – ?? letzte Freiflächen auf die Koeffizientenmatrix – da rein geschmiert – so sehr die Koeffizientenmatrix – aus jetzt nicht quadratisch – der drei – Zeilen und zwei Spalten – was wissen Sie über Rang – und Defekt von dieser Koeffizientenmatrix ✂ so – die gerade mit dem Richtung Vektor eins zwei drei zum Beispiel das ?? Vektor das ist der Spaltenraum – wenn sie die dann in der Kombination – der Spalten bilden sie kriegen immer vielfache von eins zwei drei – dass es eine gerade – sind Vektoren im dreidimensionalen – aber sie bilden eine gerade im dreidimensionalen – die Dimension davon ist – eins – der Defekt – den können Sie es ausrechnen – ohne – nachzudenken – was ist ✂ der Defekt also – solche mit zwei Dimensionen rein – zwei Spalten – eine kommt wieder raus in die ?? geht eine verlorene Zusage gar nicht nachrechnen – was der Kern dessen so weiter – der Defekt ist eins