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19F.1 lineare Differentialgleichung lösen mit und ohne Laplace-Transformation


CC-BY-NC-SA 3.0

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das Komma zum Beispiel einer Differenzialgleichungan über sie bisher gelöst haben und wie sie nun mit Laplacegelöst werden könnte eine lineare Differenzialgleichungenuns für das Mittelklasse Funktionierendie zweite Ableitung meiner gesuchten Funktion ?? Plus vier mal meine gesuchte Funktionkann Erstableitungvorgelegt zu fordern soll sein der Sinus von drei mal die Zeit für alle ZeitenTund ich muss ja zwei Bedingungen vorgeht ?? der Startwertzurzeit nur in meiner Funktion soll Einsseinwohnt der Startwert der Ableitungeiner Funktion soll zwei sein lösen sie es schon so wie bisherich ringe gerade mit mir richtig vielleicht doch statt im sonst Beistrich dass man doch mal Punkt Punkt PunktSchreiber sind davon der Zeitplansiehtetwas konsistent aus meine zwei Punkte macht statt Beistrich ?? Beistrich anders ?? BeistrichLösung wie bisher ein Lineal Differenzialgleichunginhomogenwir machen sie homogen müssen das Allgemeinaddierenein spezielles und inhomogen vor sohomogene Frauallgemeindie homogene Form wäre die zweite Ableitung vom Mann Yist das vierfache Forman Originalist null für alle Zeitenein in Erde von zahlreichen homogenbesser gemacht mit konstanten Koeffizientenmussten den Ansatz noch der Ansatz istY von T ist gleichdie hoch ?? untermalt sie ohne eine konstant noch davor was du ?? Summer was zusammen spannt ist das lambdawenn sie das einsetzen kriegen Sie alsoZwischenschrittenzu Genüge lambda Quadrant plus vierist gleich null ist es sogarlogisch äquivalentund ?? ?? ist gleich null ?? bis ?? also Lander ist gleich plus minus zweiI Klammer zu gutdas heißt die allgemeine Lösung der homogenen FormY von Tein Vielfaches von E hoch plus zwei GTA mal EOplus zwei ET und ein beliebiges Vielfaches von minus zwei hättedie müssen ja zwei Konstanten drin haben sie frei einstellen könnte schon seit ?? zweiter Ordnunggleich auf diese Anfangsbedingungkommt aber noch nicht jetzt mit der homogenenForm sondern insgesamtwir suchen eine spezielle Lösungsuche einespeziellefür die originalen Differenzialgleichungennenne sie mal Sternchenansatzdamit der Sinus raus Punkt aber ich wollte ?? den Sinus reingestecktY steckte Sinus drin vielleicht auf den großen Wasserreservoir ausrechnen gemerktman am Anfang als eine Minute länger überlegt hätte hätte man gemerkt okay Napster muss sich der großes N stecken in ?? ?? großes N steckt kann sich in den Kurses in der zweiten Ableitung ja auch den Kosinusgroß X großes B oder nicht ?? ?? nahm es reicht in Y der Sinusein Vielfaches von Sinus drei T das reicht als Ansatzgroße Lust ?? Punkt dazu nimmt könnte die Festwochen nicht zu große Ansatzist also Y von T ist ein Vielfaches ?? Prozesses zehnmal den Sinus von drei Tsie setzen einzweimal ableiten ?? drei kommt zweimal nach vornewieder neun CLines am ?? kleines großes ?? ableiten ist minus minus minus neun C mal der Sinusvon drei T plusvier maldie Funktion bissiger ist sieSinus vonTsoll sein Sinus von heutedaraus lernen wir minus neunzehn plus vier C des ?? minus fünfzehnminus fünfzehn ?? soll Einsseinin den fünfziger einzelnen also ist sie gleich minus eins durch fünfdiese Konstantejetzt weiß ich die allgemeine Lösungmeinerursprünglichen DifferenzialgleichungenallgemeineLösung von Sternchenist jetzt die SummeY von T ist gleichwas war die allgemeine Lösung der homogenen Form eine Konstante mal I hoch zweiC plus eine Konstante mal Jochen minus zwei C plus die spezielle Lösung hier ?? Konstante nämlich minus ein fünftel minus ein fünftelmal den Sinus von heutewird sie noch A und B zu bestimmendie soll aus der Anfangsbedingungenstammenjetzt suche ich also wieder eine spezielle Lösungan SternchenmitAnfangsbedingungen waren der Wert gleich einsdie Ableitung gleich zwei eine Stelle nullWert an der Stelle gleich einsWohnstilableitungan der Stelle nun gleich zweidas heißtArbeitsbedingungenhin wenn ich null Einsätze?? eins rauskommen?? einsso rauskommt wenn ich nur Einsätze A mal E hoch null also ?? AplusW mal E hoch null sowie mal einziehenminusein fünftelSinus null?? hintminus null damit sie sie nicht gedachtdas so nah sein okay die Summe aus A und B soll ein sein das geht ja noch die Ableitungder Ableitung soll zwei sein?? erscheint jetzt auf die rechte Seitewunderbar also hier die Ableitungdes zwei I Kopf nach vorne zu setzen null ein paar mal zwei ihn mal eben null vier steht zwei Jahre zwanzig ausführlichen Schreibenan nächsten ?? durch minus zwei IBund hier hinten in sie ableiten Business wissen groß musste drei kommt nach vornezu setzen null ein großes von null ist eins also minus drei fünftelzwei Gleichungen für zwei unbekannteKomma was auf die Uhr daraus würden sie jetzt A und B bestimmen?? gerade von der Zeit her nicht aber offensichtlich klarzumachen lineares Gleichungssystemmit zwei unbekannten Krings in?? ist das Hausaufgaben rechnen sie die Zahlenwerte für ?? wie aus der sicher keine Raketentechnikmehr das wäre die Lösung sie bisher hattenhatte die Fraktion dich rausgegangen hier für das A einen konkreten Zahlenwert stehen wie ein konkreten Zahlen stehen und die Zahlenwerte ergeben sich aus Anfangsbedingungsie könnten dann noch das E hoch mit dem die Sinus und Kosinus zerlegen und hiervon zusammenfassendass sie Sinus und Kosinus gemischt haben dass wir dies bisher gegangen ist sodas ?? zur Erinnerung ?? und es war das mit Laplace diese Differenzialgleichungmit der Laplace transformierten lösen was es zu tunsehr Differentialgleichungselber Anfangsbedingungenund jetzt die Lösung mit einer Belastungsformationsicherte mir die linke Seite sie dann zu mir die rechte Seite muss es wieder stimmen das ist der Gedankediese Gleichung sagte dass die Funktion links gleich der Funktion rechts ist für alle Zeiten?? sie links die Leertaste ?? mit dem Rechnerrechts ?? Laplace hatte mit dem Rechnen muss es auch gleich sein für alle esdie gleiche Funktion das ganze mir muss ?? das gleiche rauskommtalso beide Seiten Laplace transformieren?? auf der rechten Seite an in der Tabelle steht dass derSinus aus AmalteewirdzuHaar durches quadratisches?? Quadratkam sie dann hoffentlich in der Tabelle stehen in der FormelsammlungalsoSinus drei Tdas ?? mit ausrechnen wirddrei durch Escort ?? plus neundass es einfachhier stehtvier malplusplus bleibt bloßdas konsumierten?? ?? sind ja ein konstantes vielfachesweiter rasantes Vielfachesdie gesuchte Funktion auf das transformierenmir das gerne auch das ist dann einfach die Laplace konsumierte der gesuchten Funktion?? vorne steht die zweite Ableitungwas passiert mit der zweiten AbleitungWasser Klammer zu macht Ableitungenzu Produkten mit Ines das es sowas fast immer Spamrhythmushat ?? Produkte zu Summen damit wenn die Produkte einfacher die Leertaste Informationmacht Ableitungenzu Produkten damit wenn die Ableitung einfacher Projekte Summation kann das auch auf die passt nicht für das was wir brauchen Ingenieurwissenschaftendas?? als Randbemerkungwenn ich die Laplace transformiertewissen will wie hoch minus ist Tmaljetzt Y zwei Punkt von TEDT was ist die Laplace transformiertemeiner zweiten Ableitungwie kriegen Sie das ausgerechnetalso partielle IntegrationY schon zweimal abgeleitetden will ich integrieren dass es einfach da steht dann nur noch Y Punkt von Teddiese WilligeoqueensST ableiten kriege da minus es mal wie hochminusSCsopartielle Integrationwir kriegen einen wandte die beiden nicht abgeleiteten Funktion ?? hochminus SC?? YPunkt von T in den Grenzen von null bis unendlich?? ist das Faszinosumendlich ?? minus das integral vertauschten Rollen null bis unendlichPunkt es ?? minus Ester Beistrich ?? pluses mal E hoch minus STYPunkt ?? Punkt DEzehnder Runtime hier wenn sie mündlich einsetzen bei dem ich noch mit SSTwirkte hoffentlich das Y Punkt ab wenn sie null einsetzenkriegen sie Ehebruch null acht eins mal wirksam Punkt an der Stelle null?? und Danzig sehen wir sozusagen raus untenkriegen wir YPunkt an der Stelle nur Kosten und hunderten Synapsen von CHIP minus Y Punkt an der Stelle nulldas integral geht mit denselben Mitteln noch mal?? letzte Woche eigentlich?? Anomalien ist gleichminus Y Punkt null Fluss es mal das integral von null bis unendlichhoch minus STY Punkt von TeeteeKomma partielle Integration?? Punkt ist schon abgeleiteternehme noch Yals Stammfunktion den vorderenAbwehr eben gibt minus es Mario Minis STsei es für das hintere integralkriege ich wieder an Termist normal und endlichdas integral von null bis unendlichdie nicht abgeleiteten der Armee hoch minus STmal Y von T steht in eckigen Klammern minusminus erstmalige ?? Systemschon minus es am Schluss es jedoch mindestensTYTT Chier steht jetzt die Laplace transformiertevon Yan der Stelle es?? nennt die Einsätze jedoch mit und so weiteres soll ein positiver Realteil haben einen hinreichend großen positiven Wörtern haben ich innerlich ansässig rieche wieder null raus wenn ich null Einsätze kriege ich einmalObserver null raus sie bestehen minus Y von nulljetzt alles zusammensortiertminus der Startwert der Ableitungund des Plus es mal minusBestatter der Funktion also minus es statt der Funktionund habe esnoch mal war es die Langfassung somit also plus die Laplace transformiertemal es Quadratso wenn ich glaube das ganze Mitte der zweiten Ableitung haben wirklich also Jesus gebastelt mit den Stadtwerkendes Mission schön Komma sei so und es Quadrat mal wieder was transformiertemeine Originalfunktionendie zweite Ableitungwird durch die Leertaste Transformationmehr oder minder zu es quadratsmal?? Konstellationplus Tag sozusagendas man Reisepässen nimmt auf der linken Seite genau das ?? auf der linken Seite ?? minusstatt mit der Ableitunghat minus zwei minus es mal der Staat wird also minus es mal einskommt es plötzlich vor groß S Quadrat mal Leertaste als vermehrte versteht ?? Position zwei Punkt virtueller Passus muss ?? dieser Ausdruck jetzt minusderStadt mit der Ableitungzwei minus es mal der Startwert der Funktionsmanneinsdes Vorder der Person summierteman weiß was das was aus erster Ableitung wird man das was aus der zweiten Ableitung wird immer auch das ?? für die Formelsammlung was man weiß was ziemlich großes Potenzfunktion Expresshafens und so weiter wird das seinem ich auch dass es wichtig sein ?? Associationdass wir das erst noch ?? was wird aus der zweiten Ableitungentsprechend höheren Ableitungenes könnte links zusammenfassenund machen Sie auf der linken Seiteauf jeden bei dem schon zusammenfassendestehen als es Quadrat plus viervon der Laplace konsumiertenmeiner Lösungsfunktionminus Beistrich es ?? von minus es minus zweiversteht auf der linken Seite und jetzt können wirnachRussisch auflösendas am jetzt gelernt was ist die Laplace transformiertemeine Lösungsfunktionsie nehmen dieminus sechs minus zwei noch auf die rechte Seite also ?? haben sie drei durch das Quadrat plus neunInvestment zwei nach rechts rüber plus es plus zweiund dann teilen sie noch durch es fordert plus vier das hier durchdas Quadrat plus vierdas ist die Laplace versammelteeine Lösungsfunktionund die Bedingungen sind jetzt lustigerweise schon eingebautkriege also direkt eine Gleichung Fehler das transformierte meiner LösungsfunktionSinn wenn man an die Übung hat dieses Design schon deutlich kürzer als was oben alles gestanden hat für das bisherige Verfahrender Ärger ist deshalb ?? und Lilapass rationierthat die Differenzialgleichunggelöstaber ich hab nur die Abtastrate vermehrt herausbekommenBeistrich nur sind gerade noch malgucken wie das weitergehtdarin jetzt angekommenbetreibe das aber müssen dem Schutt zusammendas ist also drei tue ich es Quadrat plus neundurch es Quadrat plus vierund dann kommen noch plus es plus zweidurch es Quadrat plus vier?? durch essbares neun durch den innergeteiltevorne S plus zwei durch den immer geteilt da hintengeht das jetzt weiterDamien Partialbruchzerlegungsie sind dass der Nenner ja schon fakturierteistihr vorne können Sie zwei Polstellen ablesenbeidrei I und minus drei?? können Sie zwei Baustellen ablesenbei zweiund minus zwei gibt insgesamt vier Polstellen so winzig vorne zerlegenoderX vertratPlus im Nenner bei den Partialbrüchenkam auch vor im ersten Semestersich daran erinnern Interessen Klammer auf sowas hinter ?? ASgroß Bdurchdas Quadrat plus neun ?? plus CSplus dieEstrada plus vier des Mini nicht bis auf die komplexe Wohlstand runter geht sondern es fordert plus neun es war der Bus vier stehen lässt ?? würde man auch in Kriegen viele Wege führen nach Romund den Händen mit dem etwas zu viel Gedanke machender steht es durch es Quadrat plus vierplus zweidurch das Quadrat plus vier und die können Sie direkt aus der Tabelle SIS Komma plus vier eins durch SVvier der Jerry der Große musste mit der Sinus bestätigt in der Tabelledas wir dann ja auch entsprechendes Messmer A und B und C und D bestimmendas ist das ärgerliche dabei also mit der Laplace Transformationkriegen sie sehr schnell die Laplace konsumierte ihre Lösung hingeschriebenvielleicht reicht in die Leertaste vermehrte ihrer Lösung der Regelungstechnik haben Sie vielleicht das Glück dass das einfach reicht wenn nicht wenn sie wieder zurück transformieren müssenund ?? es kann kein Zugriff auf Wolfram AlphaDan Smith wirklich Valentins ?? mit Partialbruchzerlegunglos und man hat dann doch wieder so viel zu rechnen wie mit der Lösung in der Form bisheralso nehmen Sie mit die Laplace Transformationdie Laplace Transformationderen Witz ist das die Ableitungenzu Produkt mit es macht und ich kann jetzt ganz normal weiter rechnenmit dem es modifizieren durch das es teilen und kriegetatsächlich die Leertaste Information ausgerechnet aber leider nur die Laplace Klammer zu und Leerschritt zum Originalsignalsrückte es leider dann der aufwändigeäh hintere Thermen den kann man hübsch schreiben Beistrich Verhaltens vier steht in der Tabelle und zweifaches Quadrat plus vier steht auch fastin der Tabelle des Hintergerichten hin der erste Term der ist der schwankendequadratische Ausdrücke im Nenner sie erstes Semesterden Berichten so teilen können Komma für den ersten quadratischen Ausdruck den ich habe einmal für den zweiten quadratischen Ausdruck den ich im Nenner habees bestimmt man die vier Konstantenimmer dann fertig ist ?? wieder zerlegenzum Thema lässigesplus neun steht in der Tabelle soundsovieldurch das Charakters neun steht in der Tabellekann es genausowie Kommissar PCDbestimmenauf ein Hauptwerk bringen ?? sinnvollerweise?? es Quadrat plus neunMalist fraglos vierHaupt einererwarten sie den ersten ?? des Kontos vier Zähler man es von ssie en en normales Quadrat plus vier Schlussden zweiten erweitern sie mit S ?? plus neun Zähler Mannes Komma Bussen und Männer Mannes Komma plus neunjetztvergleicht mandiese drei mit dem was da im Zähler stehtdas muss gleich seinkönnen Sie es ablesenpassiert Zähler steht muss sich jedes es gleich drei seinklarschreiben sollen die beiden Roteingriffegelten müssen gleich sein und eingetreten Ausdrückepassieren Zähler steht muss gleich der drei sein ?? für alleZahlen es jetztfolgen wir was daraus müssen sie Gleichungen fürA B C D ablesen wenn das was hier ein gegrilltes Cluster drei sein soll für alles?? steht um den Faktor zu der rostigen te such null drei steht auf der einen Seite und auf der anderen Seite AS hatten ist wenn es von neunzehn hundert ?? es bleibt dem mal vier vier Bplusneun Ddas ist es hoch nulles hoch einsauf der linken Seitekein des hoch einsWinter verschlechtert auch ganz schlimm versteht in dem roten Kringel hier als mit es hoch eins wird eshier haben wir vier ASwill ja wissen wie viel es vorkommen also vier Arm schreibe ich ihn nicht vier AS auf der rechten Seite habe ich vier A Malisund hinten habe ich noch neun C Malisdas muss Null sein links stehtkein SS Quadratsteht links nicht analog jetztBee man es QuadrantBeistrich von dem hier ohne von diesem Ausdruck kriege ich dem ?? des Referatsfür das Quadrat stehen rechtssollen Null sein undes hoch dreilinks keines hoch drei deshalb nur null ?? Amalie Suárez vertratam ?? des hoch drei und vier haben wir zehn MannesmannThema besucht ?? vier Gleichungen für vier unbekanntewenn wir aus ?? Bezieher an ihr kriegen wir einen von vorne von hinten ?? gefolgt ?? intern in einem privaten acht sogenanntenein zwei drei vier fünf sechs sieben machte man sich ?? und aus ?? scheint sich ganz offensichtlich was zu VerinsofernProtokollkönnte stimmenwie können Sie jetzt dieses Gleichungssystemlösenalso A und C müssen auf jeden Fall null seinPunkt sie gleicht nur was gegen die eine Kombinationvon den Bades durch und die Anregung dazu muss auch das kann nur klappen wenn die beide null sindB und D es raffiniertwarwenn wir einfachdie dritte Gleichung nehmen und sagen wie ist gleichminusdieoben einsetzenist gleich minus denen Städter drei ist minusvier D plus neun T minus vier plus man also dreist verstehen?? ist fünf D das heißt die ist drei fünftelund damit haben wir auch WP ist also minus drei fünfteljetzt hat man Navi CDunseres Gremium weitermachendie Laplace hatte Mitte meiner Lösungdieser Gleichung weitergemacht?? das weiter meine Lösung ist also das heißt nur das BS minus zwei fünftel ist minus dreifünftelmaleins durch das Quadratgroß neunfür den ersten LosC ist null D ist plus drei fünftelPluszeichenfünf mal eins durch das Quadrat plusvierund das hinten war ganznormalist es vor ?? plus vier?? plus zwei durchdas Quadrat plusvierjetzt kommt die Tabellein Originalfunktiondie transformierteWeltwir brauchen aus der Tabelleder Spezialfunktionhier verziert mit dem einem Exponentenund kriegen einst durchS plus A Wasserglastransformiertewir brauchen den SinusKreisfrequenzmal die Zeitder Sinus wirdOmegadurchEscort ?? plus Omega Quadrat unter KosinusKreisfrequenzZeitwird es durch?? Plus und ?? PunktTeleatlas Resolutionzurück meineOriginalfunktionklein Ypsilon von Tfür den ersten ?? habe ich den Sinusomega muss drei seinQuadrat ist neun?? plus minus drei nehme obiger gleich drei für den ersten?? oben aber noch die drei drei durch Escort plus neun die drei Hammer da dass es gut überstehen minus ein Fünftel mal den Sinus dreimal sie in ein Fünftelmal den Sinusdrei Täter das wird aus dem ersten Mann Ablass rückgängig macht plus fasst man sie aus dem nächstenum verschlossene zweihundert plus vierhundert plus vier da oben müssen zwei steht ?? aber nicht ?? können deine zwei hinschreibenund benenne auch mit zwei multipliziert ?? dreizehnte Mai zwei ?? soweit also dreizehnten mal der Sinus von zweite?? westliches Quadrat plus vierS plus Richterskala plus vier dasKosinuszwar einmal der Kosinusvon zwei Tee und hinten aber noch zwei DS Komma plus vier zwei durch es verdoppelt wird es einmal der Sinus also gar nicht ?? dreizehntem einen Sinus sondern wir haben dreizehn Zettel Martin Sinus oder schafft es bei den Bus einmal den Sinusund zweitezusammenfassenddie beiden hierzwei T sind zwei Themen haben insgesamt das ist minus einMinus von drei Cplus drei zehntel pluszehn zehntel sind dreizehn zehntel?? noch den Kursus von zweitevierzehntem anzupassen mir das es jetzteine Lösung Hunderte von zahlreichenKlammer zuzu der bisher gelöst haben also minus ein fünftel Sinus Beistrichund dann kriegen wir Sinus und Kosinus gemischtvon zwei Czurück zum klassischen Weg nämlich als Ausgleichdas hier war der klassische Weg unser klassischer Weg was ist die allgemeine Lösung der Differenzialgleichungensind minus ein fünftel Sinus drei Titel sind gut aus dem ?? eben auch gehabt und ein Gemischaus E hoch zwei GT jedoch minus zwei T mit richtigen Koeffizientenund ausgerechnetwieso wird jetzt aus diesem Gemisch was anderes bei Laplace was hier passiertso als ich es dann einfach I hoch zwei I T Euler ersetzt Kosinus groß I Sinus Kosinus minus ?? und die Koeffizienten dazu gebastelthaben sie ein Gemisch von Kosinus zwei T und Sinus zwei T und aus den A und B scheinen genau das Werkes auszukommenwas wir gerade hattenso sieht das ausbeim Lösen von Differentialgleichungmit Laplaceist das lustige dass siedie Laplace transformierteder Lösung sehr schnell hinschreiben können die Anfangsbedingungensind auch sofort eingebautmuss es sich ?? Anfang Gleichung zu lösen und die Anfangsbedingungeins zu bauen diesen sofort eingebauten wieder Pass transformierteder eklige Teil ist ihre Konfirmationhier Zweifel zwar mit Partialbruchzerlegungso hat man das früher gemacht zu Fuß heute kann es natürlich der Rechner sowiesoauf einen Schlag rückwärts dazu mir manchmal hat man Glück und braucht nur die transformiertenicht die Originalfunktionsonst ist es bisschen eklig ?? zu Fuß lassen sichSanity-Check kann das stimmen die Anfangsbedingung waren der Wert einer Stelle nur soll Einssein die Ableitung an der Stelle null soll zwei sein Klammer zu auf die Schnelle mal kuckenwas man ob man ganz daneben liegt Sanity-Checkder Wert an der Stelle null einsY von null wenn sie es einsetzenSinus von null bis null Zins von null ist null Kosinus von null ist einsokayund zwei soll sein die AbleitungY Punkt von nullsie leiten den Sinus ab den Kosinusentwickelte drei Com nach vorne gibt minus drei fünftelbei den Posen seine Stelle null einssie leiten den Siemens Abzweig ?? vornenoch dreizehn fünftel stehen mal im Kosinusder Welt eins also plus dreizehn fünftelKosinusableitenan der Stelle nullnull werdenwir minus drei fünftel plus dreizehn fünftel sind zwei stimmtsowas sieht's gut aus