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24.03 Integration durch Partialbruchzerlegung


CC-BY-NC-SA 3.0

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diedritte und für unser letzte Regel ist Integrationdurch Partialbruchzerlegungdamitkann man alle rationalenFunktionen erledigenAktionPartialbruchzerlegungengich fürs nur ein paar BeispielvorwahlenGleis wies weitergeht Partialbruchzerlegunghat Maya wie kann ich rationale Funktionenin einfacheäh einfache Ausdrücke von der Arteinst durch minus acht hoch drei oder sowas sind wegenschwieriger aber meist einfach Ausdrücke zuBeispiel ich suche eine Stammfunktionzu siebendurch X minus dreiwie finden Sie eine Stammfunktionzu sieben durch ExministerWenner nur einzig X stände wäre es der natürliche Rhythmus vom Betragsteht aber nicht nur eins durch Xbesteht sieben durch irgendwasein Vielfaches konstantes Vielfaches dürfen herausziehenund er steht auch nicht nur durchweg sondern das ganze noch um drei nach rechts verschobenan verschieben und die Stammfunktion auch um drei wird wohl hinhauenplus eine KonstanteBeistrichsodas währende Stammfunktion eines wir sogar alle Stammfunktionenzu sieben durch X minus dreisowas taucht der Showmaster als Jahrbuch auf damit dasSohn Passau können Sie damit integrierenandererseits Jahrbuch der aufgetaucht ist ist eine soundso vielfachePolstelle und sonst nichtswas von diesem Kalibersieben durch X minus drei hochfünfTXsowas für das weitere auftauchenwas gebe das als StammfunktionPunktdie sieben auf jeden Fall davor ziehendie Konzerte mit den grausigen konstanten Faktor siebenmaljetzt brauche ich etwas was einst durch X serve fünf gibt's und das dann noch um drei verschiedeneneinzig X so fünf X auf minus fünf das muss X auf minus fünf rauskommenwenn ich ableitedann war vorherder Exponenthoch minusviereins kleinerminus fünfwenn ich aber das ableite kennen minus vier davor hätte minus vier Mal zur minus fünf das wäre blöd deshalb teile ich durchvier Unteroffiziere mit minus eins wenn siehier jetzt ableiten kommt die minus vier als Faktor davordass es mir sein Viertel weg und die minus vier wird verringert um eins auf minus fünfof alsosiebenmalminus ein viertelmal und jetzt vier statt fünf eins durch X minus drei Verschiebung auch sofort eingebaut hoch vierplus eineKonstanteals in den FällenGegensatz zu Fuß Stammfunktionenrausnahmman nimmt sich rationale Funktion zerlegt den Partialbrüchenahmen hier schon ganz viele von Partialbrüchenintegriert nach dem Musteres gibt nochfiesePartialbrüchedie hat sicher auch erklärt ?? quadratischeAusdrücke stehenhaben wir das ganze ekligerich zeig ihn einmal am Beispiel was mit dem quadratischen Ausdruckpassiert es ist grausammuss auch keiner auswendig lerne das sie die haben was da passieren wird es lassen sich alle rationalen Funktionenmithilfe der Partialbruchzerlegungintegrierenaber das Ergebnis wird ?? zwar haarsträubendKapselskriptaufgeschrieben dann die nächste Zeileschreibt es aber gerade aufalso wenn ich den integrierenwill?? zwei X plusfünfdurch XaberX Quadratplus drei X plus siebenAnderson quadratischer Ausdruck stehen ??über das richtig ekligdas wird folgendesder Logarithmusaus Betrag X Quadrat plusdrei Xplus X Quadratfußdrei plus siebenplusworauf man jasofort gekommen wäre durch reines angucken vier durch Wurzel neunzehnTangenszwei X plus dreiWurzel neunzehn das ?? auswendig zur Klausur kleine??kommt kein Mensch draufdank Wolfram Alfons Massa nicht auswendig lernenmöchten einmal zeigendass mir die Ampullendiese entsetzlichen Terme herkommen ich integriere doch einfach nur Sonne ganz schlicht rationale Funktionanwarum kriege ich plötzlichganz finstere Transversalfunktionendann dabei rausdeine Idee haben wo die herkommenan der Logarithmus ist auch nicht mehr ganz so überraschend den aber eben ja schonan dieser Stelledes also ganz häufiger Kandidat wenn ich rationale Funktionen integriereneinfache Polstellendann tauchte sofort der Logarithmus auf insofern kein großes Wunder der Akkus dann gänzlich eher das große Wunderich führe mal die Proberechnung zumindest vor der sine Idee kriegenbis sich das plötzlich alles in Wohlgefallenauflöstund so ganz dummen Bruch wiedergibtam??also ich möchte das das Wetter hatten auf der rechten Seiteschreib es mal ganz dreistarisch es weiterhin Zeitvon dem Ding da oben die rechte Seite möchte ich testweise malableitenwie leiten Sie denden ableiten mit Kettenregeläußere Funktionsoll seinen Rhythmusbetraghatte schon verkettete Funktionsbetragals äußere Funktion innere Funktion in zwei ab siebenaußer Funktion Rhythmusbetragabgeleitetgibt Kehrwertvon dem was drin stehtjetzt muss ich aber noch die innere Funktion ableiten X Quadratplus drei sieben ableiten das macht zwei X plus dreisind im Prinzip hat man ja eigentlich schon an denden Nenner beisammen zwei X hoch zwei X klappt auch aber nicht plus fünf sondern dummerweise nur plus drei im Prinzip hat man fast alles beisammenoder steht keine fünf jetzt?? drei eingefärbt undklappte vorbeian Zieldieserunsägliche Argus Tangens ist nur nötig um dahinten noch die zwei drauf zu kriegenansonsten überglücklich mit dem Rhythmusund das wäre der erste Term abgeleitetund jetzt kommt der Akkus dann ganzgut vier durch Wurzel neunzehn ist einfachen Faktorjetzt der Argus Tangens der Kammer imPraktikumsaufgabenoder Seminar habe ??Arm Klammer zu Erinnerung wieder außerderTangenseiner erinnertder hier der Akkus dann GentzUmkehrfunktiondazunachdem ich das ganzezurechtgestutzthabe den ?? aus den schmeiß ich raus davon dann die Umkehrfunktionsowas wird der Argus Tangensund?? im ordentlichenSinne zu mühsamerPrinzipwieder Argus Tangens aussiehtsieht der Argus Tangens ausund zu demArgus Tangens suche ich jetzt die Ableitung?? mansich immer Argus Tangensdie Ableitungmuss also von Markus Daniels im Prinzip wie Aussehendie Ableitung wird hier null da wird sie nur die Ableitung ist immer positives geht immer nur aufwärtsallerdings innerlich sehr langsam und da der langsam ?? ableite Vertrages Tangens kann immer nur positiv sein ?? ist maximal vierunddreißigBeistrich man Nachrichten gleich einseine Funktiondie hier die maximale Beule hat eine Stelle ist gleich null gleich Wert eins hat ansonsten auf Null abfällteine Glockenkurvesowas wird dasallerdings nichtig aus der Glockenkurvenicht die beiden miteinander verwechselnund leicht andersläge AusrufezeichenLadenso im Prinzip müsste die Ableitung von Akkus dann Gentz Aussehenhabenwir hatten es alsPraktikums oder sie mir auch nach SeminaraufgabeChemie nicht mehr in ?? eins durch eins Plus X Quadrathoffe man diese Formgrob in gemalter dass man sich daran erinnern kann dass das die Ableitung von Markus Tangens war einzig alsRussland passiertalsojetzt die Ableitung von Markus Tangens wieder mitKettenregelArgus Tangens von einer Funktiones kommt jetzt also einstue ich einsPlus das was da drin steht ins Quadrat einst durch eins Plus Quadratdas machte Argus Tangens in der Ableitungalso was hier drinnen steht zwei X plus dreidurch WurzelneunzehnQuadratmal und jetzt kommt die innere Ableitungwas ist die innere Ableitungder Faktor vor dem X zwei durch Wurzel neunzehn zwei durchWurzelneunzehnsoder ?? im Wege und gucken was insgesamt habenall dieser Aufwand mit dem Argus Tangens nurum hier von plus drei auf Platz fünf zukommenals wäre alles in Ordnung gewesenwas haben wir das es zwei X plus dreidurch X Quadrat plus drei X plus siebendann habe achtdurch Wurzel neunzehn mal Wurzel neunzehn ist also acht durch neunzehn und neunzehn Quadratmal eins durcheins Plusein neunzehntemalund hier kommtProjektvier X Quadratergonomische Formen in den ersten Quadrieren zweimal den erstmalig zweitenzwei mal zwei Xmal drei zweimal Zweig sind vier X mal Reisen zwölf Xund dann drei Quadrat plus neunundso die neunzehn ?? ?? mit reinziehen acht durch neunzehn mal eins durch soundsovielneunzehn sich mit reinda nämlich die neunzehn weg damit aus der einzelnen neunzehn und die Einzelzweckdie acht kommt von zweimal vier?? Liste zehn minus zweiB neun minus eins ?? bis zuzwei ?? nur zwei vieran die vier neunzehn ?? standendie vier neunzehn ?? stand davor die zwei stammte hier aus der inneren Ableitungan der acht so die neunzehn sich rein wird aus der einst eine neunzehntesein neunzehn hundert einsAugen hohe Komma geschweifte Modulunter dann habe ich der acht durchvier X QuadratsfloßzwölfX und jetzt habe ich dann neun plus neunzehn sind achtundzwanzig??ich kann durch das geht alles durch vier ich kann durch vier teilen überalldurch die kurzen Demo durch wir kürzen dann wird die acht zur zweidie vier wird zur eins die zwölf wird zur dreidie achtundzwanzig wird zu siebenund absurderweiseKongress passiert da steht jetzt bei beiden X Quadrat plus drei X plus siebendas für Bruchstrichund wenn so X oder Pluszeichen sieben Tickets bei beiden X Quadrat Pluszeichen zu siebenZweigs plus dreiplus zwei zwei X plus fünfund das hätte sein sollenam?? das ist schon nach ?? schonKatastropheeine ich kann nicht erwarten dass das Thema dann auch zu Fuß hinkriegenPunkt aber Wolfram Alphawas ich Ihnen zeigen wollte ist welche Therme typischerweiseauftauchenwenn ichrationaleFunktion integrieredannkriege ichgerne mal den Logarithmus rein die natürlichen Rhythmus mit Betrag und ich kriege auch gern den Argus Tangens reinso kaputt wie das aussiehtaber sie sehen was passiert ist besonders in diversen Argus Tangens ableitenBeistrich der immerArgus Tangens ableiten Krise eins Plus einzig als Plus X Quadrat das heißt sobald ich so ein Bestandteil habe in meiner Originalfunktionist der Argus Tangens garantiertin der Stammfunktionda nicht WunderKommageht das so weitangedeutetnur die Integration ?? Partialbruchzerlegungwürde ich westwärts publizierte Brüche werden zu einem ?? ehrlich gesagt den den tätig Mini zu Fuß andas für dich immer nur von einfacher stopfenund mich dann überzeugendas es auf plausibles was da rauskommtbei den rationalen Funktionen müsste ich nocheine ganz einen ganz dicken Warnhinweisgeben werden schon imSeminardie uneigentlichenIntegraleüber Polstellenan Polstellen Runfestivalein Problem habenalso Vorsicht beim integrierenVorsichtbeiintegralenrationale Funktionenwennsie Polstellenim Integrationsbereichhaben dann haben Sie ein Problemund zwar ein dickes??am??also außer dass mein erforderlichen Text nicht über Polstellen integrierenignorierenBeispieleinzig X minus drei QuadratY ist gleich eins durch X minus dreiins Quadrat wie sieht der Verlauf von dem Grafenprinzipiellauf jeden Fall eine horizontale Asymptotebei null in der ganz groß X steheneins durch drei Milliarden ins Quadratnicht bei null eins durch minus drei Milliarden ins Quadrat auch dich dann zu beiden Seiten geht es gegen null die Funktion nimmt nur positive Wertesystemeeinzig eine positive Zahl nimmt nur positive Werte an und nähert sich dann also der x-Achse von obensind diese bedingtandeutungsweisevon oben auf die x-Achse zuan der Stelle ist gleich drei haben wir eine Polstelleund zwarweil die Funktion der nur positive Werte annimmt geht es zu beiden Seitennach plus unendlich so muss das AussehenantisemitischerGassen werdenaber im Prinzip muss das Unfall ??und ?? könnte ich mich fragenderpedigree noch mal verlustigan seiner von zwei bisdrei von zwei bis vierallzu nettes ich möchte mal integrieren von zwei bis vierwenn sie das naiv tunwann sie damit auf die Nasesie können jetzt versuchen naiv zu integrieren von zwei bis vier integral von zwei bis vier eins durch X minus dreiQuadrat TXam See fleißigihre Integrationstabellemitgebrachtund finden eine StammfunktionStammfunktionzu eins durch X minus drei QuadratBeistrichX minus drei Sie die Probe machendas ist minus X hoch minus dreihoch minus einsden ableitendie minus eins kommt nach vorne das Minus ist weg die minus eins um eins verringernauch minus zwei?? man könnte jetzt schreiben ?? sich als halber schonFragezeichenist natürlich falschwenn sie das ganz nach Rezeptdurch exerzierenohne zu verstehen was sie da tun können Sie meinen NotausgangPunkt zum suchen einsetzenist alsominus eins durch Osama vier minus drei schoss man inminus eins durch vier minus drei minus minus eins durch zwei minus dreiverrechnet habemachtäh minuseinzig eins minus einsminus minus eins durch zwei minus drei dessen Herausforderungseines Teils minus eins einzig minus eins macht minus eins besteht minus einsminus minus minus eins ist minus eins also minus zweidas ist doch nettwarum ist das komischminus war es ?? schlechter Wertfür das integral einer Funktion die nur positive Zahlen hat das kanns nichtseinwenn überhaupt sollte dieser Wert unendlich seinähm wir hatten im Seminar folgendes welche Funktionenkann ich von null bis eins Integrierennull bis eins X ?? alpha TXund dabei gesehen das es kleiner als unendlichsein ordentliches integralEinhorn ist essbares integralwenn Alphagrößer alsminus eins istalso zum Beispielgeht das SG zum Beispielfürlänger X hoch sieben geht das zum Beispiel Ixus sieben von null bis eins integrierenkeine Fragees geht fix hoch nulles geht für eins durch Wurzel XAlpha gleichminus ein halb aber es geht nicht für eins durch Xeinzig X ist gerade Kante einzig X hat schoneine ähnlich große Fläche unter der Polstelledas heißt die ganzen üblichen rationalen Funktionen können Sie nicht über Polstellen integrieren weil natürlichauch minus eins X und minus zweiten ?? noch viel schlimmerauf keinen Fall Exponenten kleiner als erkannt Beistrich groß als minus einzeichnenkleiner alsminus einsAldi kann man nicht überBaustellen integrierendas als Anmerkung am Randean Punktwarumgeht das eigentlich nichteinig machen sie auch hier nur das was ich gesagt habe finden Sie eine Stammfunktionneben die Stammperson am oberen Ende minus der Fusion am unteren Endeanzu ein kleines Detail geht schiefals ihr Zelt habe wie man das macht wo das herkommtder Stammfunktionim Hauptsatzwird davon ausgegangen dass sich auf dem ganzen Streckeableiten kanndass meine Funktion auf der ganzen Strecke definiert ist und dass sie auf der ganzen Strecke das integral ableiten kann kann ich natürlich nicht wenn die Polstelle mittendrin liegtalso vorsichtig mit diesen Regeln mit Stammfunktionsanwältenund den oberen unter Grenzen nehmengeht nurwenn ihre Funktionzwischendurchkeine Probleme machtman jetzt mal ganz allgemeinalso Vorsicht insbesondere wenn das rationale Funktion des Männer Polstelle zwischendurchgeht diese Regel mit den Stagnationdas klappt so