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05F.3 Eigenschaften von Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt


CC-BY-NC-SA 3.0

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damit was Sommer klarmachen was Vektorprodukt – und Skalarprodukt – tun muss man an was von den folgenden Aussagen – allgemein – gilt – also für alle Vektoren A – B C – aus dem er drei aus dem er drei damit die gleich auf das Vektorprodukt nutzen kann und für alle reellen Zahlen – was von den vollen Aussagen gilt für alle mit dem umgekehrten Alsymbol – und zwar gilt – das – Vektor A Nullvektor B Skalarprodukt – gleich Vektor B erweckt verreist – Fragezeichen – gilt das für alle Vektoren AB aus dem er drei – was ist mit dem Kreuzprodukt – an der Stelle – gilt das für alle – Vektoren – B aus dem er drei – was ist wenn ich mehrere – Produkte miteinander habe – mal B mal C darf ich dann umklammern – Fragezeichen – um uns an bevor das vor das nicht in normalen Zahlen – wenn sie modifizieren dürfen dessen Tun sie dürfen umklammern dreimal vier mal fünf Sätze wie drei mal vier mal fünf was ist mit dem Skalarprodukt – geht das auch im Skalarprodukt – heißt ?? Produkt aber – sinnvoll schon etwas vorsichtig geworden zurecht – was es mit dem Kreuzprodukt Vektorprodukt – selbe Frage gilt so eine Rechenregel allgemein fürs Kreuzprodukt – einen – Vielfaches – eines vektorsarm – mal das Land der Fahrer vom Vektor B ist das dasselbe – wie das Lamm der fache von A mal B bezahlen es auch wieder klar drei mal vier mal fünf ist es irgendwie vier mal drei mal fünf aber was ist mit Vektoren – Skalarprodukt – Vektoren – mit Kreuzprodukt – Kreuzlander – mal B ist das dasselbe immer dasselbe wie Lander mal paar Kreuzweh – dann ausmultiplizieren – müssen Sie das das beim normalen Zahlen funktioniert – arm A B groß C – das okay im allgemeinen – wenn ich das bei Vektoren mache – Skalarprodukt – ausmultiplizieren – aber den ersten – Blick es mal ihr – Haar mal den ersten aber der zweiten – und dasselbe mit dem Vektorprodukt – ist es da okay ausmultiplizieren – das über den sich mal was davon stimmt und was davon ist falsch für die Sachen die falsche ?? die nicht für alle Vektoren – und alle Zahlen gelten – für die Sachen davon die nicht allgemein gelten könnten Gegenbeispiel angeben – für die Sachen die allgemein gelten – Komma so hoffentlich anschaulich begründen warum sie allgemein gelten und guten Grund zumindest geben warum sie allgemein gehen kann weiß das wird mir zu viel an der Stelle ✂ so die erste gilt natürlich allgemein – für alle Vektoren A B aus dem R drei oder eine AB aus dem Jahr zweiundvierzig – gilt es die Reihenfolge beim Skalarprodukt egal ist wenn sich das Beispiel angucken ist es klar wenn sie rechnen ein zwei drei mal vier fünf sechs dann steht da das ist einmal vier plus zwei mal fünf Schluss – drei mal sechs und das ist natürlich wenn dies andersrum wieder hinschreiben – das gleiche wie vier fünf sechs mal eins zwei drei – das müsste man verallgemeinern – durch ihn und mir jetzt nicht an ingenieurmäßig – reicht uns das sehr offensichtlich ist die Reihenfolge egal beim Skalarprodukt – das ist symmetrisch – werden die Determinante – am Montag lieber antisymmetrisch – wenn sie zwei Spalten austauschen – gibt's negatives Vorzeichen das Skalarprodukt ist symmetrisch – das Vektorprodukt dass es ihn auch aufgefallen das Vektorprodukt das stammt von der Determinante – ab wäre komisch wenn es symmetrisch ist das Geld nicht allgemein – sind zwanzig oder sogar sagen kommutativ wieder Vektor rauskommt das Vektorprodukt ist nicht symmetrisch es ist antikommutativ – Minuszeichen – drin wenn sie die Reihenfolge austauschen wie bei der Determinante – ist ein Minuszeichen – rein einfachstes Beispiel – zu Gegenbeispiel – solch Umfeld auch dazu schreiben zum Beispiel – das – nur ein Beispiel das es geht müsse sich das ja für alle unendliche Möglichkeiten überlegen das es geht aber es reicht ein Gegenbeispiel – um das ja auszuräumen – beim – Vektorprodukt dem sie natürlich nichts – mit dem gleichen Weg Komma wenn sie das Rechnen grinsende Nullvektor raus ein Weg Komma sich selbst ?? lässt sich leicht im negativen ?? selbst das wäre kein Gegenbeispiel was dann rauskommt ?? Gegenbeispiel zu bauen ?? an anderen Vektor – nicht parallel ist eins null null Kreuz null eins null – ist sogar direkt angeben können was kommt raus wenn sie den Rechner also nur Kreuz null eins null ✂ kommt null null eins – raus – wir brauchen einen Vektor der senkrecht auf dem ersten Faktor steht senkrecht auf den zweiten Faktor steht der sind die schon oben muss null null stehen anders geht es gar nicht Beistrich was unten MZ steht wir wissen aber die Länge von dieser ?? muss eins seien diese beiden Vektoren bilden im Raum – räumlich darzustellen bilden im Raum ein Quadratsparallelogramm – das zufällig ein Quadrat es als rechts einfach hinten ?? nach hinten zeigen die Fläche ist eins dieser Wissen Sie dass die Länge der Betrag – von dem Ergebnis einzahlen muss der Betrag von dem Ergebnis ist diese Fläche die von den beiden Vektoren aufgespannt wird Flächeninhalt – des Wahlprogramms – das von beiden Vektoren aufgespannt wird das Programm sie ein Quadrat – könnte darüber stehen null null minus eins hätte auch die Länge eins ?? und die rechte Handregel den Hammer das ohne jetzt die Rechenvorschrift hingeschrieben zu haben so und was andersrum rechnet – wenn sie rechnen null eins null Kreuz – eins null null – kriegen sie null null minus eins raus könnte man jetzt ganz dreist mit der rechten Hand Regel bekunden – null eins null – und die schon längst den Daumen einzelner Individuen den Zeigefinger – und eines mit dem Mittelfinger – falsch rum zeigen oder sie ?? setze dich einmal aus was wäre der offizielle Rechenweg – mit den Unterdeterminanten – entwickle eigentlich einen Determinante richtig unter Determinanten – wo sie das ja aus vier eins – null null null eins null null null – und dann kriege ich null eins null null null eins null ?? und Jürgen König null eins – eins null – null eins – eins – null ?? oben in der Determinante als ein Spalte nur die wird null werden wir uns an Spalte null sieben null werden die Determinanten J nahm sie die Einheitsmatrix – verziert und es kommt minus eins raus und erstatte unter diesem ?? müssen durch die Rechenwege – für die ?? Komponente rechnen Sie einmal null minus null mal null ist null für die ?? Komponente rechnen sie nur von unten angefangen null mal eins minus Roman oder schon wieder null und für die Zeitkomponente rechnen sie null mal null minus einmal einzig minus eins – viele Wege führen nach Rom mir wäre ganz lieb wenn sie so geometrische Anschauung dahinter haben ?? Rechenregeln – können – Ergebnis steht senkrecht beim Vektorprodukt groß Produkt die lässige bis senkrechte Vektor der Auskünfte sämtlicher Wandertouren – die beiden Faktoren spannen im Raum ein Parallelogramm aus auf dessen Flächeninhalt – die länge von den Ergebnissen – Komma noch die Rechte Hand Regel wenn die X Y Z Basisvektor auch in der rechten Hand orientiert sind was sie normalerweise ?? – Publikum sieht man dem Sinne die nächsten ✂ so der nächste sieht so fürchterlich plausibel aus aber – auch nicht gesehen stimmt's nicht links steht ein Vielfaches – paarmal B ist eine Zahl ein Vielfaches vom Rektor C rechts steht B mal zehn Skalarprodukt eine Zahl ein Vielfaches Kollektor A ein Vielfaches von Vektor C – ein Vielfaches ?? Vektor A sein A und C sind beliebig – es gab allenfalls inneres null fache steht das Neuware von sie das überwachen von Arbeit für dich das null fache typischerweise sein sowie die gleichen darüber Zufälligkeit – des gleich Leerzeichen stimmen aber im allgemeinen wird dieses gleich Leerzeichen nicht stimmen sondern lieber auch nicht ungleich und stimmte auch nicht zufällig könnte es gleich sein es gilt allgemein nicht die Gleichheit – könnte zufällig – nicht ?? könnte sie wird zufällig hin und wieder stimmen sie gilt aber nicht allgemein aber genauso geht auch nicht allgemein die Ungleichheit – insgesamt streichen – diese Regeln gibt es nicht wieder steht sein sie vorsichtig – und es ist auch nicht klar ?? man Gegenbeispiel bilden kann gebrauchen – ein Vektor C der nicht parallel zum Vektor A ist – dafür sorgen dass diese Produkte – Amal Baby malt sie nicht nullsten – überlegen was sie als fauler Mensch rechnen kann eins null null wäre ja simpel für Art – Ahmadi darf nicht null sein aber niemals sie darf auch nicht null sein ich nehme mal für B eins eins null – und präzise mit C – null null – eins – oder ?? ?? null eins null so zwei typische – dann kriege ich raus eins null null mal eins eins null eins hiervon steht eins – einmal – null eins null kommt auch aus null eins null aber umgekehrt – jetzt umgekehrt Komma einmal – wem ACA – war eins null null war – jetzt kommt dem AC eins eins null mal – null eins null in der Klammer steht wieder das Skalarprodukt – gleich eins – einmal null es einmal ein Meinung ist einzig und ?? eins null null – eins es kommt eins null null raus und null eins null ist nicht das gleiche wie eins null null also – diese vermeintliche Rechenregel gilt nicht allgemein ?? sie gilt wenn sie schon nicht fürs Skalarprodukt gilt höchstrichterlich auch es rechtlich fürs Kreuzprodukt für das Kreuzprodukt ja noch ?? bisschen abgehoben – ist – Beistrich nur ein raffiniertes Gegenbeispiel – ausdenken – dass er zufällig nicht Nullvektor ?? Nullvektor was von der Art steht der Vergleich – das ist ?? schwieriger vorzustellen – die linke Seite ist senkrecht zum Vektor C und senkrecht zum Kreuzprodukt – A Kreuz B aber das Kreuzprodukt senkrecht zu A und senkrecht zu B anzusehen ?? ganz komplizierte – Verschachtelung von senkrecht zu senkrecht zu kommen jetzt drei Tage lang Skizzen machen nicht mit einer mal was plausibles einsetzen muss was einsetzen sodass sich der Nullvektor rauskommt sonst steht wahrscheinlich Nullvektor ?? Nullvektor das ein bisschen ungeschickt ?? groß B soll nicht der Nullvektor sein das heißt A und B soll nicht parallel sein – Punkt ob man sowas – eins null null Kreuz – ?? befürchte wenn ich da jetzt null eins null hinschreiben ?? es schreit so dieses zu rechnen aber ?? und die beiden modifizieren also null Kreuz – null eins null haben sie null null eins Rauskreuz – null null eins ist der Nullvektor – das will ich gerade nicht haben ich nehme hier für den zweiten – ein zwei drei – in der Hoffnung dass das den schief geht – aus den sie heraus als null null mal eins zwei drei was kommt aus dem raus – und dann Kreuz – null null eins – was steht da drin ✂ also oben muss eine null stehen – das Ergebnis von diesem Wetterprognose – senkrecht auf eins null null sein wenn im Ergebnis – nicht oben eine Null stehen würde das senkrecht sein da muss eine Null stehen und dass wir gerechnet haben die Gibson Komponente – null mal eins minus einmal drei sind minus drei – die Komponente einmal zwei – minus Nummer eins zwei auf der Bruchrechnen null minus drei zwei muss senkrecht sein zu eins zwei drei dorthin – einmal Null ist Null zweimal minus dreißig minus sechs dreimal zwei Centro sechs zusammengenommen kommt nur raus okay es gibt ja noch ein Kreuzprodukt – und wir müssen jetzt schon nach der Überdehnung von eben der Z Komponente musste Null stehen wir senkrecht zur null null eins sein müssen – die X Komponente – minus – drei Mal eins – minus – zwei Komma null macht oben also eines drei Hilfs ?? Komponente – zweimal null minus hundert null so das ist keine Richtung – an sich ?? auch überzeugen – dass das plausibel ist dieser hier ist senkrecht zur null null eins acht Skalarprodukt bilden offensichtlich nur ?? und das Ergebnis ist senkrecht zu null Minuszeichen zwei – ?? bilden diese null Cent gerade die minus drei bis ?? das Ergebnis stimmt aber es zeigt zumindest in die richtige Richtung oder in die Gegenrichtung der richtigen Richtung – jetzt andersrum gerechnet – ich wollte haben eins null null Royals – und jetzt anders runde Klammer zu – eins zwei drei – Holz null null eins – links bleibt die eins null null erst mal stehen ?? aus die rechte Seite ausrechnen – oben steht Punkt streichen zwei mal eins minus drei mal null ist – bei in der Mitte steht – dreimal null minus einmal eins – ist minus eins – und besteht einmal nur mit zweimal null ist null – Komma gerade – prüfen ob die Richtung sein kann dieser – das Ergebnis – Skalarprodukt mit null eins ist null einverstanden – das Ergebnis Skalarprodukt mit eins zwei drei einmal zwei – plus zwei minus eins plus null – null – zwounddreißig – Tagen – weiter rechts oben die komplette null mal null – Minusnummer ?? bleibt null – null mal zwei – ins einmal bleibt null – und die Z Komponente – einmal minus eins minus Nummer zwei – und das ist nicht der gleiche Wechsel wie eben eben kam raus minus drei null null also das gilt im allgemeinen nicht zufällig gelten – aber im allgemeinen gilt es nicht ✂ die stimmen also alle das ist die Linearität – beide Produkte – Skalarprodukt wie Vektorprodukt – vertragen sich mit vielfachen von Vektoren und mit Summen von Vektoren – sind in jedem Faktor den Jahr – beim Vektorprodukt hat nur dass er über die Determinanten – des Vektor stammt von der Determinante ab Diskriminante ist in jeder Spalte den ja beim Skalarprodukt ist es ja noch viel einfacher gucken sich die Rechenvorschrift – an offensichtlich ist das in Jahren siebten und zweiten Vektor ein Vielfaches haben sie das Vielfache – vor das gesamte Produkt schreiben wenn jemand zweiten eine Summe steht ganz entsprechend zerlegen – dieser hier – dürfen ausmultiplizieren – vielfach herausziehen oder reinziehen – werde wir uns lesen Sie dürfen ausmultiplizieren – oder sie dürfen rückwärts – ausklammern – das geht aber seien Sie vorsichtig – mit vertauschter Reihenfolge – beim Vektorprodukt ändert sich das Vorzeichen und seien Sie vorsichtig mit solchen nicht existenten Rechenregeln die ?? wissen wie Assoziativität – aussehen und darf nicht umklammern – im allgemeinen zumindest aber nicht umklammern – was anderes raus – wollte noch das Bad Produkt – in dieser Reihe bringen – das Sparprodukt ist ja einfach nur ?? Determinanten – ?? dreimal drei Determinante – nichts Neues – ich schreibe Komma so AXA – Y AZ – vom Vektor A nehme ich die Einträge – in die erste Spalte vom Vektor B nämlich die Einträge in die zweite Spalte von Lektor C – nämlich die Einträge in die dritte Spalte sie schreiben drei Vektoren nebeneinander – in ein Determinante nichts Neues eine drei mal drei Determinante – man definiert das Vektorprodukt – rückwärts – wenn Sie so wollen ?? die Determinante weiß man vorher der schöne geometrische Bedeutung sollte dreimal drei Determinante sein Volumen eines parallelen Gebets mit Vorzeichenbits – gehen und sein okay was soll das Vektorprodukt seines Vektorprodukt soll so gemacht sein das diese Gleichung gilt wie Kreuze soll der Vektor sein dass für jeden Vektor A diese Determinante rauskommt mit dem Skalarprodukt – wenn sie – die Determinanten entwickeln nach der ersten Spalte kriegen Sie X mal eine unter Determinante – nämlich um Streichen streichen BY Simpson BZ CC – BY C Y – E Z – C Z dann kommt ?? Y mit einem Minus – Schachbeiträge – plus – Minus – Plus – das einzelnen Minus dabei unter Determinante – Links streichen in der Mitte streichen wir X TX B Z – C Z W X C X – C Z – plus nach der Schachbrettregel – AZ unter Determinante – Ding streichen und Streichensweg – sechs Wilsons Y – X C X – Y C Y – wird sieht man das Mikro Caesar Mausklick OC – groß Index Komponente – diese zweimal zwei Determinante haben muss in der ?? Komponente minus – diese zweimal zwei Determinante haben und in der Z Komponente – oder diese Klammer zu hatte Daimler da mussten sie schon – wissen Komma wo diese Regel herkommt – wie ich das – Vektorprodukt – mit Determinanten ausrechnet – Nix Komponente steht diese Determinante – Komponente steht mit dem Minus die Sedimente – derzeit komplett steht diese dann ?? – es Komma dass auf verschiedene Arten weiterschreiben – A mal B kreuzt sie sie wissen was sie den Spalten einer Determinante antun können und es ändert sich nichts und es ändert sich nur das Vorzeichen was können Sie jetzt also bei dieser Rechnung hier noch ändern ✂ Können zyklisch durch tauschen also das ist dasselbe wie äh mal – zehn Kreuz – war – sich so vorstellen sie haben ABC – in der Determinante – sie waren hinzu – wie CA – in der Determinante das heißt dass er ihr was können Sie tun sie können A und B vertauschen – B A C kriegen ein Minuszeichen – durch diese Vertauschen zweier Spalten und dann vertauschen sie noch A und zehn und das richtige steht eine Krise noch ein Minuszeichen sozusagen ins Quadrat und das Vorzeichen stimmt wieder sie können zyklisch tauschen indem sie zweimal – Spalten vertauschen – Volltastatur – in drei mal drei wenn sie vier mal vier Matrix haben antizyklisch tauschen in einer vier mal vier Matrix was passiert dann ✂ soweit Firma vier hätten sie also eine Vertauschung ihrer Serie noch die die die sie müssen noch ?? vertauschen – minus hoch drei – eine vier mal vier Matrix – sie da zyklisch durch tausend zehn sein Minuszeichen – vor sich das Grab bei drei mal drei mit dem zyklisch durch tauschen und die Determinante – erhält den Wert Zimmer einmal zügig durch getauscht B nach A C nach B das A wieder hintendran gestellt und das konnte ich noch mal machen – dass sie jetzt zum Platz von B – das AG zum Platz von C – und das B kommt hinten dran und es gibt auch diverse Möglichkeiten mit ein Minuszeichen – wenn sich in den Klammern vertauschen – beim Kreuzprodukt – Firma Minuszeichen das ist minus – A mal C Kreuz B andersrum in den Klammern – und das ist minus – B mal – gerne Klammer vertauschen – ?? A Kreuz C und das ist minus jene Klammer vertauschen zehnmal – Wegkreuz – war – das gibt sonst noch an Möglichkeiten für Möglichkeiten gibt es überhaupt ich habe drei Spaltenvektoren – ich auf drei Spalten verteilen kann ?? Möglichkeit zwei ?? ✂ es gibt sechs Möglichkeiten die anzuordnen ?? Fakultät wir haben sechs Möglichkeiten geschrieben dass man alle das zum Sparprodukt – aus der Hand die Kombination – aus Vektorprodukt – und Skalarprodukt – sei sie müssen positiv mit der Reihenfolge – in der Reihenfolge ist die Orientierung falsch