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Vektorprodukt, Kreuzprodukt


CC-BY-NC-SA 3.0

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daszweite was in der Physik sehen werden an Produkten von Vektoren ist das Vektorproduktheißt auch wahlweise Kreuzproduktalso nicht irritieren lassen ist dasselbe Kreuzprodukt nur Vektorproduktkommt nicht ganz so häufig vor in der Physik mit und Drehbewegungengeht wenn's umelektrische Felder gehtdann sind sie dasVektorproduktKreuzproduktdas Skalarproduktist schon Sonderausstattungslängevon Vektoren zur Sonderausstattungeines Vektorraums Skalarprodukt dessen Sonderausstattung die sich über den das Vektorproduktist nun wirklich an eine super Sonderausstattungdas gibt's nur im dreidimensionalenKomma nur in 3Ddas informelleVorsicht bin ich Vektorprodukt in zweiDimensionen oder vier Dimensionman kann es mit List und Tücke bauen aber das sieht dann schon sehr ungewöhnlichaußer man weicht nicht zwei Vektoren miteinander modifiziert sondern drei oder vier Vektor miteinander modifiziertund noch eine Fußnote es gibt ein Vektorprodukt dieser Artnicht im dreidimensionalensondern auch im sieben dimensionalenaber das ist nun wirklich sehr esoterischoder Fußnotensie merken sich Vektorprodukt im dreidimensionalensonst wird es heikelwird es garantiert irgendwas schief gelaufenund zwar hat manfolgendesvorich hätte gerne ein Produktvektormal Vektor ist gleich Vektorkreuzdann geschrieben das Skalarproduktmitten Klecks geschrieben?? Product im englischendasKreuzprodukt Vektorproduktmeisten Kreuz beschrieben sie sehen es manchmal auchmit diesem Zeichenwird etwas mathematischer wird lieber nicht bei uns lass es lieber bei den Kreuzesmit verwirrendVektorkreuzvektorund der soll gefälligst wieder ein Vektor rauskommen bei dem Skalarproduktkommt ein skalar aus eine Zahlbei den Vektorproduktsoll einVektor rauskommenundder Kürze halber führe ich das auch mal nicht so vor wie ich das sonst im zweiten Semester dann ausführlich machesondernsozusagen die Minimalvariantewie könnte man so ein Produkt konstruierenwir konstruieren jetzt mal ganz dreist so ein Produktnämlich folgende Art ich möchte das ist Punkt diese Eigenschaft hatwenn ich den E X Vektorkreuzbesitzen X und das Essenkreuz schwierigY nehmedann soll gefälligstEZ rauskommenso soll dieses Vektorprodukt gebaut seinsie nehmen den Vektor X von mir aus nach linksden Vektor Ynach hinten und wenn sie die beiden miteinander modifizierenmit drei Vektoren sozusagen von dieser Art dann ist doch ganz plausibel das dann der dritte rauskommtEZso soll das gebaut seinwenn sie Fragen was soll der UnsinnamBeispiel bei Drehbewegungenwenden sie eineDrehbewegungentlang der x-Achsehabenund habenetwas montiertan der x-Achsedas sich drehtso herum drehen das hinten und vorne so das ich so herum dreht um die x-Achseundein Vektor in ups Einrichtung zeigt jetzt von der Achse zu einem Ding das sich so herum drehtist da jetzt die Geschwindigkeitwissen wollen von diesem Ding die Geschwindigkeitder Geschwindigkeitsvektorder zeigtsoin ZeitrichtungLeerzeichenin X Richtung der Zeit in ups Einrichtung der Geschwindigkeitsvektorhier zeichnen Z Richtungdasdies zu diesem Zeitpunktbewegt sich mein Objekt exakt aufwärtsso kommt das danach hervor bei der Drehbewegungdie am eine Achsesie haben einen Ortsvektor und wollen die Geschwindigkeit wissenauf diese Weise kommt nachher das Kreuzprodukt vor in Drehbewegungenbei den elektrischen Feldern wird noch bisschen wirklicher magnetischer Felder besonders in ekligeraber die derzeit schon meine Idee?? Drehachsenals Vektoren und Geschwindigkeitsvektorendie hängen dann übers Kreuzprodukt zusammenwie dem auch sei für das kann ich in die Physik dann an dieser Stelle gehen sondern wir nehmen das aber weiterhinich hätte gerne ein Produkt das so funktioniertX modifiziert mit Gibson soll EZ werdenvon diesen Standardbasisvektorenund das ganze soll gefälligstunabhängig davon sein wie ich jetzt diese Basisvektorenlege dem ich meine Basisvektorenso oderZiffer irgendwie verdrehtHauptsache sie haben die Länge einsund stehen alle senkrecht aufeinanderund bildennormalerweise ein Richter an Systemen Komma rechte Hand hoch X Y ZFoliemuss es hier sein X Y ZX Y Z stellen sich vor der rechten Hand das ist der DaumenO und das ist der Zeigefingerund das ist der Mittelfingeran als er den Daumen dann strecken sie den Zeigefingernach hinten ausder Mittelfingerzeigt soschlimm auswirkeso hat sie die rechte Handein recht ständiges SystemX Y Z soll ein rechtzeitiges System bilden was in der Physik üblicherweise macht eine Länge eins alle senkrecht aufeinanderdas hätte ich gerne und es soll nichtwichtig sein wie rum die nun liegen im Raum Hauptsacherechts endlich senkrecht zueinander alle die Länge einsdann können Sie auch noch ein paar andereProdukte angebenwas muss rauskommen wenn sie in Y multiplizierenmit EZsinnvollerweisedurch die rechte Hand angucken unbesehen hin und her drehensowie Xmüsste sinnvollerweiserauskommen sieht vertauschenbezüglichsie haben die Hand einmal so gehaltenallenDaumen und Zeigefingerund Mittelfingerder geht nach hinten weg der ZeigefingersoX Y Zund wenn sie jetzteinmal drehen oder Gruppen in welche Richtung ich drehen musssie einmal so rumdrehendie Handnahm sich nach hinten das X nach oben das Ynach rechts festsetztauch wieder ein rechtzeitigesSystem ist immer noch die Rechte an ?? gedrehtà la die Länge eins alle stehen senkrecht aufeinander und natürlich sollen sinnvollerweisedas Produkt wieder genauso funktionierenund dann sehen Sie okay also muss selbst einmal EZ gleich X seinArmist falsch rumgedreht ?? hoffentlich falsch umgedreht verwiesen der sofortEZEZ mal Xsoll gefälligst auch Y sein einfach in dem wir das hin und her drehensoll nicht von der Lage des Koordinatensystemsabhängen dieses Produktes ein bisschen komischdamit Kinder diese drei Produkte ihr Geschenkin der Tag war ja bei dem Skalarproduktsich zu überlegenwas die Produkte von diesen Basisvektorenwarengenau dasselbe veranstalte ich hier gerade nicht ?? selber das entsprechende wahrscheinliche gerade bei dem Vektorprodukt was müssen die Produkte der Basisvektorenseinwenn ich's umgekehrtprobieredie YKreuz Xdann hätte ich ja eigentlichgerne EZ darauswenn das ein vernünftiges Produkt wäre aber leider bricht es jetzt zusammen so vernünftig ist dieses Produkt nicht oder so freundlich ist dieses Produkt nicht neines wird leider nicht funktionierenI X YEZ drei Vektoren mit der Länge einsrechte Winkel dazwischenrechtshängigwenn sie sich das anguckenin YE Xso ein Zeichen wie ebenYE Xund EZin dieser Reihenfolge sind nicht rechts endlichdie wer nicht rechts endlichin dieser Reihenfolge erstenszweitensdrittens das ist nicht die rechte Handlinke Hand aber ich könnte der rechte Hand draus machenwenn ich nicht EZ hättest sondern minus EZ hättenicht den sondern den als dritten hättedann wird funktionierenmit der rechten Handum sie den Finger Nummer eins den Daumenin die Y Richtung den Fehler Nummer zwei den Zeigefinger in die X Richtungdann haut es hinein zeigte Mittelfinger in die minus EZ Richtungdiese drei die würden funktionierenein zwei dreidas heißtwenn ich dieses Vektorprodukt zu bauen will dass es von der Lage der Vektorenim Raum unabhängig ist da muss hier minus rauskommen das ist ziemlich blödalso I X Male Y mit dem Vektorprodukt ist plus EZ aber Y mal Xist minus EZ das ist nicht das Essen haben wir eigentlich dieses Minus dann nervtKomma wenn ich sagen willdas Vektorprodukt vonzwei Vektorendie die Länge eins haben und senkrecht aufeinander stehensollen Vektor sein der senkrecht auf den beiden steht mit den zusammen rechte Hand bildetPunkt da muss dann minus EZ rauskommenleideralso geht das natürlich weiter wenn ich die beidenanderen hier auch noch in die andere Reihenfolge setzte dann kommt immer das negativeauf der anderen Seite alsoI E Ymal nach der YEZ nach vornegibt minusE Xund die unten die beiden vertauschen?? XVektorproduktEZgibtminusYda sieht man schon dieses Vektorprodukt wird jetzt nicht ganz so angenehm sein es hat eine etwas komische Eigenschaft hiermit diesensechs Ergebnissenund in dem ich fordere das sich wieder ausklammernkannund Faktoren aussehen kann ich jetzt jedes Vektorprodukt ausgerechnetCharme das mal hin wenn ich habe aber Xmal TXGlossarY mal E BE Yplus AZ mal EZVektorproduktB XXplusB Y E Y plus BZEZich verlange das Vektorproduktwieder Skalarprodukterlaubt das ich Faktoren raus ziehe und dass ich Summen Verlegersoll sich halbwegs vernünftig in Produkt verhalten sie sehen nicht wirklich so vernünftigKörnchen Salz aber wenn ich das fordere das sich halbwegs ordentlichen Produktfeldernkann sie das wieder ausmultiplizierenmachen Sie das malwas passiert wenn sie das hier ausmultiplizierenSonderopfer bevor sie das tunsie Wikinger noch paar Produkte dazudie nicht hinhauen hierWikinger zum Beispiel TXmal Ximsollte das sein ?? auch normale Grade müssen Extraspalte habe mir gerade klar X mal Xsollte das sinnvollerweisesein dannimmer ?? normal über die physikalische Anschauung wahrscheinlich frei vermeiden machen es trotzdem Komma der sich vor eine Achsein Richtung Xjetzt haben sie einPunktmit Ortsvektorauch in X Richtung ein Punkt auf dieser Achseund dieses Vektorproduktsagt den etwas zum Geschwindigkeitsvektordieser Punktauf diese Achsedrehen und so herumsitzt vornewas wenn Geschwindigkeitsvektordieser Punkt auf der Achseso dieser Punkt bleibt liegen ein Punkt auf der Achsealles dreht sich wie wild aber der Punkt auf der Achse bleibt der Ligen das heißtder den Geschicklichkeitssektornull da sollte gefälligst null rauskommenversucht das physikalisch zu motivieren wie gesagt inX Richtung die Achseund dann hier einen Ortsvektorin X Richtung ?? Punkt auf der Achsedie Gefälligkeit null Cent muss hier ein auch überlegen kann dass Verfassung eine hübsche Idee gewesen Tschuldigungsie haben eine Achse in Y Richtungeine Bewegung um diese Achsedie macht man damit Rechte Hand Regel der Daumen zeigt in die Achsenrichtungso der Daumen und jetzt zeigen die Finger der rechten Hand soso rum drehen wir uns dann um die AchseTXeinen Ortsvektorin X Richtung umgezogen sich an okay was ist der Geschwindigkeitsvektormit gedrehte Geschwindigkeitsvektorist exakt nach untenin Richtung minusEZ also so hätte man sich das auch überlegen könnenwird für das aufwarten Trick denken Siean einen Drehbewegungmit dieser Achsedas sein Ortsvektor in welche Richtung bewegt sich der Punkt mit dem Ortsvektorsogar das nach in der Physik vorhatte dieses Produkt TX dreißig sollte nur Sack und natürlich sollte auch Y Kreuz Yaus dem entsprechenden Grund Null sein und EZKreuz EZ sollte aus dem entsprechenden ?? und null seine Sage null sein der Nullvektor seinjetzt aber wirklich alle Produkte jedes Eser und surft es mit jedem anderen eh soundsomodifiziertneun verschiedene Produktedanken Sie das jetzt allgemein ausrechnendann am Swiss allgemeine Vektorprodukt das hier ist ein beliebiger Vektor zerlegtin X Y Z ein anderer beliebiger Vektor zerlegt in X Y Z was ist das Vektorprodukt das Rechen selbst auswas kriegen wir aber Xmal B X mal TXmal TXaber X mal TX soll gefälligst der Nullvektor sah das aus den Groschen mal wegschmeißenamOhr macht man es mal mit Organisationalso werdas bringt also nichtsdann nehme mal den erstenMal den zweiten Agentenden erstenvorne meinen zweiten hintenA X BYTXKreuzYErikskreuzY soll aber sein EZalso hier kommt EZHofund der ersteMal den letzten?? X BZdann später TX mal EZTX mal EZ ist minus YminusYauch Wireless habe ich alle mit dem erstenjetzt der zweite vorneA YW Xgroß AYW X Y Mali XY mal X minus EZminus EZder zweite Mal den zweitenAY BYA Y BYE Y Male Y Feldweg Naturwas soll der Nullvektor sein liebster Male Y Komma vergessenworden dritten hier noch?? Y mal B ZE Y E ZE Y EZdenhübschen EZ so ledig seinXund der dritte vorneAZB XAZB X E Z E X also EZ Kreuz Xüber denselbstEZ Kreuz X sowie Y seinYden hier AZBYAZBYmal EZBYEZ selbst unser minus X seinXund der allerletzte hier ist wieder mit EZ EZEZ Kreuz EZ S nullofalso wenn dieses Produkt wirklich sich verhält wie ein Produktwas jetzt nicht wirklich erklärt habe seinen Gras ganz dreist eine ?? gefordert habe muss das da rauskommenKomma ?? zusammenfassenEZ kommt zweimal vor das X kommt zweimal vor des Y kommt zweimal vor ihr steht alsowie vier mal TXnämlichOber A Y B Z A YPLZes ist dereinzigeohne TX X dar minus AZ BYminus AZBYso viel mal Xes kommt soundsoviel Mark BYtanken sollBYAZ BXwarZB X das ist der hierselbst sonder oben minus A X BZ minusXBZbleibt noch EZzu vier mal EZ leichterset hier plussoundsoviel mal EZ A X BYO und schierminusA Y B Xdas ist das Vektorprodukt Komma den Zahlen ausrechnen will sie sehen das ist jetzt bisschen ekliger als der Skalarprodukthin und her undmit minus auch malwill es nicht so lustigwir können auf die Stelle maldas als Rezept hinschreiben wenn sie die Vektoren so als Triebe gegeben habenkönnenKomma zum Beispieleins zwei dreiVektorproduktvier fünf sechsdas illegalgibt wieder ein Vektornetzkann ich in meiner Regel nachguckenwas ich dazu rechnen habewas muss hier oben reingeschrieben werden wo sich das in meiner Regel was sie obenreingeschrieben werden muss in den obersten Eintrag?? Punkt der Sinn dieser Klammer nach oben steht ja wie viel vom Vektor X dabei ist ?? besser gebaut??da kann ich nachgucken AY BZ minusAZ BY?? Weihervon dem erstender in der Mitte AYmalEZ das es hier der untereminusAZ das da die dreimal BY in die Mitte mal fünfda steht der obenin der Mitte steht AZ BX minus A X BZ AZ ist der unteredrei mal BX ist eine obereminus A X der obereBZ der untere mal sechsuntenwie vier mal EZ A X BY?? XBY einmal fünfminus AY BXzwei mal vieralso das Vektorprodukt aus diesen beiden Vektoren ist das ähnlich mir sofort das ausreichendselber hinso kriegen sie das rausunnatürlichPunktman kann sich dieses hier hübsch mathematisch einmal überlegen was denn passieren müsste ich fordere von dem Vektorprodukt bestimmte Sacheoffiziell weiß eigentlich andersden sie nie wieder zum zweiten Semester gewann in das er sich das spart Produktaber und das ist die ganz Ultra Kurzvarianteverlange bestimmte Sachen von dem Vektorproduktund stelle fest so muss es ausgerechnet sein sonst wäre irgendwas ganz komischwenn was schief gehen irgendwelche rechten Regeln werden sehr komisch wenn es nicht so kriegen würde wie sie ausgerechnet ??und natürlich macht das jetzt keiner zu Fuß über sie hatten sondern man weiß zum Schluss wie man es ausgerechnet an der Stelle muss ich gestehen bin ich auch jemand der mit Rezept arbeitetesie können jetzt ablesen was sie eigentlich machen müsstenwenn sie überhaupt nicht wissen was da oben passiertkeine Ahnung von Mathematik habenoder kein Bock haben das jetzt jeweils immer wieder nachzuvollziehenkann sich überlegen okay wie kriegen wir den hier obenzweimal sechs minus drei mal fünfzweimal sechs minus drei mal fünfzweimal sechstens einmal fünf das heißt was sie eilig machen ist sie später streichen wir die eins und die vierum die oberste Zeile ausrechnen streichen Sie da die oberste Zeile und rechneneinmallinks und einmal quer sozusagen zweimal sechs minus drei mal fünf bei Determinanten schon gesehen hat weiß dass sich der Determinanten verstecken ansonstenaber kreuz und quer zwei sechs minus drei mal fünfumden untersten auszurechnengeht auch noch ordentlich um den untersten auszurechnenletztes logische um sich das an die streichen da unten und rechnen kreuz und quereinmal fünf minus zwei mal vier ?? das kann ich mir aber merkenin der Mitte muss man vorsichtig seinbei Determinanten schon kennt weiß was von der schachbrettregelndeMitte müssen etwas vorsichtig sein bestreichen in der Mitte Jahraber von unten an drei mal vier minus einmal sechshatte daseine mit umgekehrtkönnte man sich auch so merken alsRechenregel wird das fünfmal gemacht habenmüssen es auswendig irgendeine Regel Wissen wieder auswendig als es wird an der Stelle jetzt keinerüber dieserArzt und jenes auszurechnenman weiß einfach aus dem Bauch heraus was man zu tun hatPunktdas wäre das Vektorprodukt in ZahlenPunkt wenn Sie die Vektoren in Zahlen habenauch das könnte man wieder geometrisch machen dafür fehlt uns jetzt der Sinusvergleicht dasim Laufe der Woche bei meinen Sinus haben ich sage zumindest schon mal an was das Vektorprodukt geometrisch wäre ?? das ist die AG breite Definition an ein Beispielwas heißt eine breite eines ausrechnen die Definition von einer Gewalttat des ausrechnenwie man es geometrisch kriegen kann derselbe Vektor aber geometrischwäre folgendesich will das Produkt berechnen von zwei VektorenA und Bist ein weiterer VektorA Kreuz Bdas ist keine Herleitung sondern ich sage Nummer ganz dreist an wie sie daswie Sie diesen Vektor kriegen würden A Kreuz Bdafür noch paarSachen fehlenund zwar kriegen sie den so AB und das VektorproduktwarD und dieses Vektorproduktbildenein rechtzeitiges Systemich schreibe RH System weil ich faul bin bin ein sechzehn ?? Systemwenn die Basisvektorenan seinem System bilden aber wird es sich übertreiben in der Physik bilden ähm ein rechtzeitiges SystemA der Daum Bäder Zeigefingerdann ist das Kreuzproduktder Mittelfingerdas VektorproduktA Kreuz Bist senkrecht schreibe ich mal kurz senkrecht zum Vektor Aundsenkrecht zum Vektor Bdies ist ein rechter Winkel unddies ist ein rechter Winkel?? könnte manjetzt auch auf die Stelle nachrechnen mit dem vom Skalarproduktimmer noch bisschen mehr wissen über Skalarproduktund so weiter Komma sie direkt nachrechnen will ich ihn gerade nicht antunzu viel auf einmalwas jetzt noch nicht gesagt habe ist Wieland in dieser Vektor istmit den ersten beiden Regeln können Sie sagen okay hier zeigt er nach obenund eben senkrecht zu den beiden Sie wissen die Richtungmuss irgendwie diese Richtung liegen aber sie wissen noch nicht wie lang ist diedritte geometrisch Regel sagt wie lang denn dieser Vektor istwas ich mir seine Astronomie teiledie Länge von dem Vektor A Kreuz BistweitKomma gerade mal zurück wo Sun angesagt hatte beim SkalarproduktKomma gerade zurück zum Skalarproduktder Skalarproduktwar Produkt der Längen mal den Kosinus der Skalarproduktals komplette Zahl als komplettes Ergebnisfür die etwas ähnliches werden beim Vektorproduktmit dem SinusPunkt hier steht dann auf der anderen ?? auf der linken Seite steht derdie länger von dem Vektorproduktbesteht da der Sinusnur als Mitteilung erst maldas Produkt der Längenmal den Sinus vom Winkeldass jeder Winkelvieleswobei ich ein bisschen vorsichtig bin im Buch wenn sie das hier Sinusfiichbin vorsichtigund schreibe den ähm Betragstrichewenn man den Winkel ungeschickt nimmtdann haben sie hinten negative Zahl ist aber keine negative Zahl seiner die Länge nicht Negatives deshalb habe ichsicherheitshalbereinenBetrag strich und den Sinusdas ist die geometrischeArt das Vektorprodukt zu bauen ist es dasselbe Ergebniswas sie kriegenwenn sie das sie rechnenaber rein geometrisch mit Längen und Winkelnum des Ion kann man auch noch anders auffassender Sinuses geht schlicht und ergreifend um diese Fläche hier die Fläche von dem Parallelogramm stellen sich zwei Vektoren im Raum vor die bilden hier so ein Parallelogrammdas ist die Länge von dem Produktich schreibe MalflächeFdiese Fläche hierdas ist die Länge von dem Vektorprodukthat also dann zum Schluss doch eine relativanschauliche Bedeutungbisschen ekliger damit umzugehen als mit den anderen Sachenaber glücklicherweisegesagt das er sie erst nur bei den Drehbewegungenvorher beziehenerspart bleiben bis zum Elektrik geht dann auch Lorentzkraftund solche Geschichten magnetische Felderdann auch gerne Sachen die senkrecht zu anderen wirkensie werde sich ganz ?? sind wir Skalarprodukteindeutig noch abschließend sagenwie hat man das schon gesehendass er vierzig minus EZ rauskommtdas Vektorproduktistnicht vertauscht wares gilt A Kreuz Bist gleichminusB Kreuzarist an die Kommutativgesetzdas Vektorproduktwenn die beiden vertauschenkommt minusdas Original raus was etwas ungewöhnlich für ein Produktansonsten verhält es sich doch weitgehend ein Produkt