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25.02 Bogenlänge


CC-BY-NC-SA 3.0

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bis – dahin waren ja Längenflächenvolumina – wie im Fokus nichts Besonderes – jetzt letzten bisschen komplizierter – die Bogenlänge – wie lang ist eigentlich – eine Kurve – Gedanke ist der folgende – erst mal später Carbon länger ?? bisschen – allgemeiner machen aber erst mal die Länge eines Grafen – gegeben – eine Funktion – ?? der Graph einer Funktion – von einer Stelle Art bis zu einer Stelle B – und nun frage ich mich – weil ich ein super geschmeidiges – Maßband habe – und dass da dran lege an die Kurve – eines müssen geworden soll's auch schon mal das es korrekt aussieht – so so Schneider Maßband Gesunden – gewisse Vermittlungen wie sieht das aus – flexibles – Maßband ja so als wenn – sie wissen was ich meine – ähm – so ein Maßband – in Schneiders hat – das an die Kurve legen – und die Frage ist okay wie viel Zentimeter sind das – also eine krumme Länge wenn Sie so wollen – Prinzip Menschen beim Kreis haben das Phänomen ja schon einmal rundrum – ?? – komme ich mit meinem – Geodreieck ist auch nicht richtig weiter wenn ich den Umfang des Kreises bestimmen will – ?? am – ?? brauche ich auch etwas flexibles Lineal – ?? überhaupt im englischen der relevanten englischen Tonbänder Wohls – Bente wohl – denen – die Dateien – nach ?? wurde das das Lineal kommen könnte wohl – in ihrer Krawatte des irgendwoher kennen – Punkt damit kann man ?? plötzlich dann auch – runde Sachen messen okay kriegen wir das in das wäre die Aufgabe die Länge dieser Kurve hier zu bestimmen – etwas ziemlich schräg ist es muss offensichtlich was mit dem integral zu tun haben – aber ich bestimme nicht die Fläche unter der Kurve das hatten schon das muss – in andere Sorte von integral sein jetzt ausgerechnet wird – man – siebzehn ist sich an den Fahrtenschreiber – zu erinnern – ähm – laste oder was auch immer wenn sie – eine Geschwindigkeitskurve – haben zu jedem Zeitpunkt – wird mitgeschrieben – was die Geschwindigkeit – ist als ich rede jetzt nicht von X und Y – sondern ich rede – in der Physik von – Bewegungen – zu einer bestimmten Zeit bin ich einer bestimmten Art – aber ich schreib nicht den Ort hin sondern die Geschwindigkeit – Visum beim wie beim Vater Richard Schreiber – stellen sich Laster vor – RA drei Stunden fährt – eine Stunde zwei Stunden drei Stunden – werden laste mich immer von zwanzig Stunden egal – ähm – eine Stunde zwei Stunden drei Stunden – und auf diese Achse habe ich meine Geschwindigkeiten – sagen wir – Beistrich was auch nicht darauf fünfzig Stundenkilometers – bei Glatteis – nicht so schnell ruft die Stundenkilometer – und sage hier fünfundzwanzig – Stundenkilometer – Kilometer pro Stunde – an – und dann soll folgendes aus dem Fahrtenschreiber rauskommen – das soll die Kurve sein – ich mal hier mal ganz unmathematischen – senkrechte Stück – so gelb seine irgendwie raus – auf Andy – dieses Ding hier mathematisch jetzt etwas fragwürdig ist die Stammstrecke – so angenommen das käme aus dem Fahrtenschreiber raus – kann ich mich jetzt fragen – welche das welche Entfernung – das insgesamt – war die gesamte zurückgelegte – Entfernung – also nicht Luft liebe ich meine – vermisst sie die A eins irgendwie gefahren – er – ich frage nicht nach der Luftlinie – das kann ich aus dem Fahrtenschreiber nicht erkennen – ?? genauso fahren – dann da man sonst ?? wie das ?? sowie fache der Strecke zurückgelegt und es geht nicht um die Luftlinie es geht um die gefahrene – Strecke – entlang der Straße die interessiert mich – wie kriege ich das hin wie komme ich von der Geschwindigkeitskurve – Geschwindigkeit – abhängig – von V sein – kleines V – abhängig von der Zeit wie komme ich von da auf die gesamte gefahrene – Strecke – fahre – eine – Strecke ✂ also – hier die erste Stunde lege ich zurück eine Stunde mit fünf zwanzig Stundenkilometern – fünfundzwanzig – Kilometer eine Stunde mit von zwanzig Stundenkilometer fünf zwanzig Kilometer – und dass es netterweise sich das angucken ist es einfach diese Fläche hier – die von zwanzig Kilometer die ich fahre – ist diese Fläche eine Stunde – mal von zwanzig Stundenkilometers – ist die Fläche unter der Kurve – ist was ich zurückgelegt habe Fläche unter der Geschwindigkeit Komma dasselbe hier hier fahrig zwei Stunden lang – fünfzig Stundenkilometer – zwei Stunden lang fünfzig Stundenkilometer – zu fahren sind hundert Kilometer jede Stunde fünfzig Kilometer zwei Stunden – hundert – Kilometer – die Fläche hier drunter – zwei Stunden – ein Rechteck – zwei Stunden bereits – fünfzig Stunden Kilometer hoch – zwei Stunden mal fünfzig – Kilometer – pro Stunde sie können kürzen es bleiben hundert Kilometer – die gesamte zurückgelegte – Strecke – ist absurderweise – die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve – als ?? insgesamt hundert und zwanzig Kilometer – und das ist einfach die Fläche unter dieser Geschwindigkeitskurven – sie integrieren – die Geschwindigkeit – weit über dem Betrag der Geschwindigkeit – das nicht plötzlich weniger wird er nicht mehr fahr – als wesentliche – Erkenntnis die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve – ist die gesamte gefahrene Strecke sowas ähnliches möchte ich auch hier bauen – eine Geschwindigkeit – bestimmen – und dann einfach die Geschwindigkeit integrieren dann bin ich fertig dann habe ich die gesamte gefahrene Strecke – aus soll die Geschwindigkeit – sein – da muss man einmal kurz – ein Zwischenschritt einlegen – ?? ich möchte am einfachsten so fahren über meine Kurve – wieder meine Kurve der länglich wissen will von A bis B – Y aus das Kreis – ?? – Funktion F – ich möchte so fahren – X ist jetzt eigentlich eine Zeit – ich möchte so fahren dass ich hier gleichmäßigen – Zeitabschnitten durchgehen – eigentlich um die Länge der Kurve zu bestimmen sein egal in welchem Tempo ich durchfahren – wenn ich hier die schleppende Schnecke lang schicke über die Kurve – in denen kleine Schnecken der lang feiner – für die ist die Kurve ja genauso lang wie für einen Rennwagen – nur dass der Rennwagen ihr da es etwas eher da es als die Schnecke – amtlich Kameras überlegen Freibäder mit welcher Geschwindigkeit ich jetzt durchlaufen ?? Hauptsache ich laufe von links nach rechts komplett durch – und wenn ich dann die Geschwindigkeit – integrieren – über die Zeit habe ich die Länge der Kurve – bei der Schnecke wäre die Geschwindigkeit klein dafür die Zeit insgesamt sehr lang – am Rennwagen wäre die Geschicklichkeit groß dafür die Zeit insgesamt kurz – wenn ich integrieren kriege ich die Gesamtlänge – am – ich muss irgendwie ausdenken wie ich denn die Geschwindigkeit – wählen wie fahrig über die Kurve am besten so das diese x-Achse praktisch was ist die Zeit – am einfachsten das ich in gleichen Zeitabständen – immer – das gleiche Stückchen – Deltaex zurücklege – dann kann ich überlegen was meine Geschwindigkeit – sein müsste – in welchem Verhältnis das steht – gucken – lieber da ein Zeichen als da hier noch mal Delta XTC-Stückchen – hier – nicht das in einem bestimmten Zeitintervall – zurücklege hier das Delta ?? X – in welchem Verhältnis steht meine – Geschwindigkeit – dann dazu – wovon hängt die Geschwindigkeit – ab mit der ich durch dieses – Kurvenstück hier gehen ✂ an dieser Stelle muss ich schneller – sein als an dieser Stelle hier gehe ich mit der – Grundgeschwindigkeit – ich sozusagen habe – Delta Extraseite – pro Zeiteinheit – geht ein Stückchen werde Extraseite – aber hier gehe ich nicht richtig in der der Extraseite – ich gehe auch noch ein Stückchen Y der Y nach oben – ahnen – das ist älter X – wie groß – ist das Stückchen hier das Delta Y – ich mal bei der Y – wie großes Modell der Y ✂ also dieses Delta – Y – wird – sein – das ist die Steigung – an dieser Stelle X wenn das sie die Stelle X ist – mal das Delta X – in linearer Näherung üblich – Punkt – damit kann ich sagen welche Geschwindigkeit – ich denn eigentlich hätte an dieser Stelle – was ist ein Lichterfaktor – mit dem ich meine Geschwindigkeit geändert habe im Verhältnis hierzu bin ich horizontal – fahren ✂ die spannende Frage ist welche Strecke ich denn hier gefahren bin was ist meine Geschwindigkeit – hier im Verhältnis zu meiner grundsätzlichen Geschwindigkeit mit der ?? über die x-Achse gehe – diese Seite hier im Verhältnis zu über die News im Verhältnis zu Delta X – die über den User – im Verhältnis zu Deltaex interessiert mich umso dem Faktor müsste schneller Fahrt – ?? über die Muse mit Pythagoras – Wurzel – die eine Seite Quadrieren die andere Seite Quadrieren – Delta X – Quadrieren – plus – Ableitung – plus – die Ableitung meiner Funktion mal Delta X – Quadrieren – X – schon – ?? und – Armen – in die oben aus der Wurzel – kann nicht älter X aussehender – Decksquadrat – der Dax Quadrat – wenn ich den Sagedelta zur positiv sein – darf ich den aus der Wurzel raus sind in der Wurzel steht dann eins Plus die Ableitung meiner Funktion ins Quadrat – durch Delta X Teil – der Pflicht aus – das wäre das Verhältnis der Geschwindigkeiten – wenn ich hier gerade fahre – lediglich in einer Zeit enthält der der Ex zurück – wenn ich hier – schräg fahre meine Kurvenableitung – ungleich null hat wenn ich erschreckt fahre kriege ich diesen – Faktor dazu – das wird nachher die Geschwindigkeit sei mit der ich fahren dann habe ich die Bogenlänge insgesamt – ist ausrechnen kann ich integrierte die Geschwindigkeit – dieses hier sagt mit welcher Geschwindigkeit – ich entlang der Kurve fahren – also ?? L die Bogenlänge – über die gesamte Kurve integriert – diese Geschwindigkeit – eins Plus – Beistrich von X – Klammern ins Quadrat – TX – das für die Bogenlänge – als es wird nicht die Funktion integriert es interessiert mich nicht die Fläche unter der Funktionsfläche – unter dem Grafen nicht die Fläche unter der ?? unter dem Grafen interessiert mich der ?? die einfach nur integral über F – Sense sind es ziemlich schräge Geschichte dich integrieren – ?? – angenommen – hier auf der x-Achse in gleichmäßigen – Schritten durch frage ich mich – was habe ich denn dann für eine Geschwindigkeit – entlang der Kurve – die Geschwindigkeit entlang der Kurve ist der nicht einzelnen wird ein bisschen größer je steiler die Kurve ist – desto größer wird diese Geschwindigkeit – erweitert Pythagoras – in ein bis über die News in dem Steigungsdreieck – des ?? das – Geschwindigkeitsverhältnis – das integriert – also die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve – des ?? eben die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve – gibt die Gesamtlänge – das ist die Bogenlänge einer Kurve – alternativ – können Sie folgendes machen – wenn man das integral als – Summe auffasst – ?? auch immer wieder vorgeführt mit den Streifen nicht allgemeine Pensionen streifen in Sydney gerade ungefähr die – Summe über alle diese Flächen von Streifen – mit das integral so auffassen als unendlich – feine Summe – könnte das ganze auch – nicht so vorstellen – meine Funktionskurve – mein Graph von A bis B – F – in Streifen – geschnitten jetzt zu niedrig aber nicht die Flächen der Streifen – sonderlich summieren – die Längen von diesen kleinen nach diesen kleinen Polygonstückchen – das Stückchen das Stückchen – der Stückchen – dass – diese müssen aus ?? Trapezregel – beim numerischen integrieren – Billetts auch nichtige Flächen von diesen Trapez – sondern ich sortiere – das ja auf das sie sind – zwei Komma sieben Zentimeter plus – zwei Komma eins Zentimeter plus zwei Komma zwei Zentimeter plus zwei Komma zwei fünf Zentimeter plus zwei Komma neun Zentimeter und so weiter die ganzen Rotenstückchen – summieren sich auf – die schmale Streifen sind desto besser wird das wohl passen – und gegen die Bogenlänge gehen und sich zu ein Stückchen angucken sehen sie – können ?? die auch mit Pythagoras – die Länge eines solchen Stückes berechnet haben älter X Delta Y – mit stark was kriegen Sie die Länge dieses Dings – was dann einfach Wurzel – eins Plus die Ableitung an dieser Stelle – ins Quadrat mal – älter X wäre in linearer Näherung nicht ganz aber zumindest in den Jahren näher mit das auf summieren – steht das wieder dazu Komma sich das auch vorstellen – das wäre die Bogenlänge – erst mal nur für Funktionskurven – ähm – später – guckt man sich die Bogenlänge beliebiger Kurven an was ist wenn sie – so eine Kurve haben wie viel Zentimeter sind das das gilt natürlich nicht ?? Funktion – geregelt – das geht praktisch genauso man integrierte Geschwindigkeit – man überlegt sich welche Bewegung der durchläuft – und integriert deren Geschwindigkeit – später gesammelt ?? – Funktion