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03A.2 Rotation um beliebigen Punkt, affine Abbildung, Verschiebungsvektor, Rotationsmatrix


CC-BY-NC-SA 3.0

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Skript – kann ja Drehungen – vor – insbesondere um neunzig Grad und den Ursprung ganz billiges möchte ich gerne mal eine Drehung ein Punkt denn nicht der Ursprung ist wie kann ich das mit Vektoren hinschreiben – Beistrich – da – zwei dimensionale – Angelegenheit – und jetzt möchte ich eine Drehung haben nicht um den Ursprung sondern eine Drehung und ?? Punkt drei vier – Punkt möchte ich drehen – das mit Vektoren hinschreiben – ?? – ich hab Matrix – für Drehung um den Ursprung – möchte ich aber um den Punkt dritten als das wäre der Job um diesen Punkt drehen und zwar um – neunzig Grad – plus neunzig Grad plus neunzig Grad meine ich neunzig Grad gegen den Uhrzeigersinn – probieren – das mit Vektoren – und Matrizen hinzuschreiben – Beistrich da – müssen selber denken – als ich brauche irgendwie eine technisch rechnerische Operation – die sich – jeden beliebigen Ortsvektor – vorgeknöpft – und dann ausrechnen – was passiert wenn ich diesen aus diesem Punkt der zu den Ortsvektor gehört um den Punkt um neunzig Grad werde das jetzt neunzig Grad drehen oben ist das Ergebnis sei – eine Rechenoperation – für Ortsvektoren – die diesen Ortsvektor – zu dem Ortsvektor macht oder die – nicht oder ?? und – diesen Ortsvektor – verdrehen – zudem Ortsvektor macht – und so weiter – kann ich das ausrechnen – Matrizen und Vektoren – erkennen das bisher nur – für Drehungen um den Ursprung ✂ hier mein Häuschen drehen will um den Punkt – wenn das Häuschen unten wäre und ich wollte es um den Ursprung drehen – dann könnte ich meine Matrix anwende ich kenne die Rotation Matrix – das wird funktionieren – jetzt die das Häuschen aber blöderweise – nicht downloaden und die mit sich und den Ursprung drehen sondern ich möchte es um den Punkt oben drehen wenn Sie irgendeine Möglichkeit wie man sich helfen kann ✂ dann aber alles beisammen also im ersten Schritt wird man die – die ganze Ebene um drei vier nach links unten schieben also minus drei minus vier – als Verschiebungsvektor – alles nach unten schieben so das jetzt das Häuschen zum Beispiel irgendwo zu liegen kommt – dann drehe ich es um den Ursprung dann nicht gleich da – und dann schiebe ich es wieder zurück um – drei nach rechts vier nach oben und dann wird es – hier liegen lassen drei Schritte nötig – ?? aber alle drei keine – große Kunst mehr sind somit das Aussehen nicht dran als erster Schritt – diese Verschiebung – Verschiebung – um – den Vektor minus drei minus vier – zweitens – ist – eine Drehung um den Ursprung – mal – Drehung um Pro – und dann geht's wieder zurück – dritter Schritt – eine Verschiebung um drei nach rechts vier nach oben – Leerschritt – Punkt – um den Vektor drei vier – wenn sie das tatsächlich mal hinzu schreiben – wenn ich mein Originalvektor – habe bei X Y – der Ortsvektor dieses Punktes so quer durch den Garten wenn der Ortsvektor des Punkt da X Y ist was muss ich diesen X Y antun – damit ich das neue – Member Schrägstrich Ybbs Trennstrich Haus kriege – im Richtergesetz mit Matrizen und Vektoren – arbeiten um das hinzukriegen – diese drei Schritte – erst verschieben ?? minus drei minus vier dann drehen und den Ursprung – können nur in der Matrix – und dann wieder zurückschieben – das man als – Rechenvorschrift – hören – also – gegeben – ein Ortsvektor eines Punktes – X Y – ?? – eine staatlich – möchte ich den verschieben – diesen Punkt – ein Punkt verschieben das heißt dass ich den Ortsvektor – um den Verschiebungsvektor – ändere – neben den Ortsvektor – und addieren den Verschiebungsvektor – drauf – dass die Verschiebung – mein Verschiebungsvektor – ist minus – der Vektor drei vier – vier weiter vorzuschreiben – soll es schöner minus drei Viertel ?? ist eines vier minus der Vektor – drei vier – Aldi werden addiert Vektoren – zum verschieben minus den Vektor drei vier – das ist die Verschiebung – und nun habe ich einen Vektor den ich um neunzig Grad um den Ursprung drehen ?? ich bin hier unten mit meinem Ortsvektor – diesen Vektor möchte ich um neunzig Grad um den Ursprung drehen – das besonders das mit einer Matrix geht zuletzt vor sich das ?? in – einigen Stellen falsch gesehen das ist ein Spaltenvektor – ein Spaltenvektor – muss auf der rechten Seite einer Matrix stehen endlich einer zweimal zwei Matrix – so muss das auswendig auf der linken Seite aus kann es nicht rechnen eine zwei mal zwei Matrix – mal einen Vektor mit zwei Zeilen und – einer Spalte so funktioniert das andersrum funktioniert nicht andersrum praktizierte linken Seite ein Zeilenvektor – Komma die Matrix – eine Drehungsmatrix – neunzig Grad gegen den Uhrzeigersinn – um den Ursprung sie können die Formelsammlung – aufschlagen Sinne was mit Sinus und Kosinus – das ist aber – echt nicht nötig war als überlegen sich erstens was wird aus dem – X – Einheitsvektor – was passiert mit dem Ende der neunzig Grad drehen ✂ der X Einheitsvektor – wird durch die Drehung – durch die Drehung wieder zum Y Einheitsvektor – untersagten die Matrix bis man muss mit null eins losgehen – ?? ich diese Matrix mit eins null multipliziere – kriege ich die erste Spalte raus – und ich weiß jetzt ?? erste Spalte muss null eins sein selbst Einheitsvektor – genau dasselbe – Spiel – mit Y – was passiert wenn die Matrix mit null eins dem einer Seite multipliziere – dann muss das auskommen – ähm was passiert wenn ich den um neunzig Grad Drehung was ist das was kriegen Sie wenn Sie den Y einer Sekte um neunzig Grad drehen ✂ Beistrich eins nach links – und null nach oben und minus eins null – das hier muss alles stehen – minus eins null und sie haben sich – nicht drum zu kümmern was jetziges Kursen von neunzig Grad sind – das geht auch so – das ist die Drehung um neunzig Grad – in den Ursprung ✂ dieser Art Matrix zu baumesleichten bisschen – komisch denn der Gedanke ist folgender wenn sie nicht wissen über ihre Matrix A B C D – aber sie wissen was diese Matrix – mit dem Einheitsvektor X Richtung macht – eins aus A mal eins – groß B mal null oben steht A zehn mal eins Plus Thema null unten steht sie – wenn sie wissen was ihre Matrix – mit dem einer zweiten X Richtung macht wisse sie die erste Spalte des G natürlich geht ?? nur mit dem einen Zweck spricht nicht irgendeinen x-beliebigen Vektor – analog geht das Fenster in einer Sekte in Y Richtung haben sie wissen was die Matrix mit dem Machtarm – mal null groß B mal eins oben stehen B – zehn mal null groß D mal eins und steht D – wenn sie wissen was die Matrix mit dem Liebsten einer Sektormacht – haben sie sofort die zweite Spalte das gilt aber nur für diese Einheitsvektoren – in X Richtung hübscher Richtung und dem dreidimensionalen – EZ Richtung – ?? weiter nicht für irgendwelche anderen – Vektoren – muss ?? doch bisschen rechnen Komma wenn sie diese Ergebnisse gegeben haben ist die Matrix geschenkt – so – ähm – das der erste Schritt und der zweite Schritt ?? erster Schritt war – besonders – der erste Schritt war das Verschieben hin zum Ursprung – der zweite Schritt war das drehen um den Ursprung und es kommt der dritte Schritt – es wieder zurück zu schieben – um drei vier also einfach drei Feeder vier wieder drauf zu addieren wenn ich den Vektor hier bei der Drehung rausgekriegt habe addiere ich jetzt drei vier drauf – und kriege den Ortsvektor des – endgültigen Ergebnisses – auf jeden Vektor wieder drei vier – addieren Wassers wieder auf jeden Bäckerei Fiat ihr – dieses Matrixprodukt bitte zuerst ausgeführt wirken etwa vier plus drei viertel hinterfragen – gemeint ist erstes Produktmatrix – Nullvektor und danach – wird der Weg der hintenartiger – als auch jetzt Punkt ähm vor Strichrechnung – wie gehabt – dritte Schritt – was da rauskommt – ist der Ortsvektor – für meinen – Punkt der um drei vier um neunzig Grad gedreht ist – das – jetzt noch bisschen hübscher Schreiben – kürzer schreiben – Komma selber Schramm dieses Mal – nicht ganz so aufwendig versuchen Senat zu finden das mit matten Männermatrix – Unwetter zu schreiben die nicht ganz so aufwendig aussieht – das bisschen hübscher zu machen – wenn Sie diesen Ausdruck hier sehen – den ersten Jahr Matrix mal Differenz zweier Vektoren – rein um Form technisch Matrix mal Differenz zwei Faktoren was können Sie da machen ✂ also den ersten ?? stehen lassen diese Matrix nun minus eins eins null – mal X Y in diesem Fall könnte man es ausrechnen – ähm das jetzt mal stehender Thema durch das allgemeine Prinzip besser – im – Minus – immer vorsichtig geschossenen einzelnen Schritten hin null minus eins eins null – drei – vier als Vektor dahinter – das hier wird null mal drei – minus einmal vier oben steht also minus – vier – einmal drei – plus null mal vier unten steht drei – und dann habe ich insgesamt – ist das null minus eins eins – null mal – X Y – minus – minus – vier drei – plus – drei – vier – sind die beiden hinten noch zusammenfassen – ist also diese Matrix – null – eins – eins null – X Y – plus – direkte wird das – oben steht – minus minus vier – vier plus drei sieben und unten steht minus drei plus vier – eins ✂ was man daraus lernt ist folgendes – offensichtlich geht das mit jedem Punkt schon wenig drehen will – habe ich nun in drei vier drehen will oder um die Wurzel zwei drehen will oder um minus tausend plus fünf hundert drehen wird egal um welchen Punkt ich drehen will dass sie wird funktionieren – sie können das Ergebnis – schreiben den Ortsvektor des Ergebnisse schreiben als die Drehungsmatrix – dir schon kennen – Drehungsmatrix um den Ursprung – mal den Original – Ortsvektor – plus – einen Versatz – dieser Versatz entsteht ziemlich komisch – aus der Lage des Lebensmittelpunkts – aber auf jeden Fall lässt sich das hinschreiben – das heißt das hier wäre die allgemeine Art wie man Drehungen hinschreiben kann eine Drehungsmatrix – plus eine Verschiebung – ist die allgemeine Drehung – und mit etwas List und Tücke – können Sie ausrechnen was diese Verschiebung ist – vorgeführt – wo sie herkommt erst zum Ursprung hin schieben dann zum dann wieder zurückschieben – Komma rächen bisschen hin und her und sieht das das ganze verschiebe sich in einen einzigen Vektor hier – kondensiert es – diese Form hier – Fußnote – nichts zu merken diese Form hier – eine Matrix – mal einen Vektor plus einen Verschiebungsvektor – nennt sich Erfindeabbildung – in sie nur das haben Matrix mal begonnen sich das lineare Abbildung und dieses mit der Verschiebung der zusammen – Erfindeabbildungen – die – Drehungen – um beliebige Mittelpunkte – sind von diesem Typ genauso kriegt man dann auch an – Spiegelungen – um beliebige Achsen und – ähnliche – Geschichten in – Skalierung – aus beliebigen Punkten heraus nicht aus dem Mittelpunkt heraus – all das können Sie als Erfinder Bildung schreiben in dieser Formmatrix – mal Vektor – plus ein – Verschiebungsvektor – gesagt nur eine Fußnote – spannend finde ich wie man hier – mehrere – geometrische – Summation miteinander – verheiratet – erst verschieben dann drehen und dann verschieden