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27A.4 Erwartungswert und Median einer stetigen Zufallsgröße


CC-BY-NC-SA 3.0

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sobis dahin was die Verteilungeiner stetigen Zufallsgrößemit dieser Wahrscheinlichkeitsdichtejetzt will ich wissenwas passiertwenn ich dieses Experimentnicht mehr für den Fall auf die Dartscheibe und messeden Abstand vom Ursprungwas passiert wenn ich dieses ExperimentMillionen Mal ausführeund den Mittelwertbilderaller meiner Messungen was ist der Erwartungswertdieser Zufallsgrößebei den diskreten Zufallsgrößenhatten wir gesehendas istdie Wahrscheinlichkeitfür einen Wertmal den Wert plus die Wahrscheinlichkeitfür den nächsten Wert mal den Wert plus plus plus wenn Sie mehr Werte habendas eine Person nicht mehr funktionierenweil ich ein Kontinuuman Werten habehoffe es ist nicht ganz unlogisch was passieren werde Erwartungswertdieser Zufallsgrößewenn sie denn stetig ist wird seinich setze alle Werte einund rechne jetzt XmalP von XTXich richtedie Werte die möglich sind mit der Wahrscheinlichkeitsdichtediehäufigen Werte haben eine hohe Wahrscheinlichkeitsdichtedieselben Werte haben einen Wahrscheinlichkeitsdichtesowie das dann werdendie können sich das auch so vorstellen dass sie sagen okay das hier hinten ist die Wahrscheinlichkeitin diesem IntervallX zu landendas ist wahrscheinlich wieder baldigst zu landen mal den Werten haben sie dasselbe Muster vorher hatten bei den diskreten Städterichsum ihre über alle möglichen Werte X ihm mal die Wahrscheinlichkeitfür diesen Wertdas hier ist die Wahrscheinlichkeitfür den Wert Xoderalles im Intervall von X bis X plus TXdie Wahrscheinlichkeit dafürmal den Wert aufssummiertdas ist Erwartungswertfürstetige Zufallsgrößenrechtlich die Frage warum integriere jetzt hier von minus unendlich bis plus unendlich der Radius kann noch nicht negativ werden es ehrlich ebenso bisschen sie am Rande erzähltder Trick istfür meineFunktionP von X zwischen null und zehnund der Trick ist einfach zu sagenfür die verbotenen Werte setzen die einfach nulldann ist die Fläche auch null die dazu kommtund dann kann ich jetzt in der allgemeinen Formel ganz dreist sagen von minus unendlich bis plus unendlichweil das integral ja nur Liste da habe ich keine Fläche aus dem integral da habe ich kein Flächen sindsie können auch sagen sie gehen vom kleinstmöglichenbis zum größtmöglichen?? schön ist dass diese Formen jetzt allgemein giltes ?? der sich nur für meine Dartscheibe sondern für alles Möglichewenn ich von minus unendlich bis plus unendlich gehenähmdas können wir ausrechnenfür unsere Dartscheibesinnvollerweiseund der nächste Schritt ist natürlich zu sagen genau was ich jetzt gesagt habe der nächste Schritt ist zu sagen okay dieses integral??Werte jenseitsvom Intervall null bis zehn Tagen nicht bei ?? wahrscheinlich als Dichte null ist also lediglich nur von nullbis zehndenn sonst wahrscheinlich hässlichste nullX mal wahrscheinlicher sich da haben wir X fünfzigste war dasdie Xund das geht dann auch wiedermit einfachen Mitteln null bis zehn X Quadratfünfzigste die Xwas eine StammfunktionTag X hoch drei durch hundert fünfzigwäre eine Stammfunktiondann kriege ich zehn hoch dreidurch hundert fünfzigminus null hoch dreidurch hundert fünfzigsindtausenddurchhundert und fünfzigirgendwie noch nettertausend fünfzehn ?? fünfzehn ich kann durch fünf noch gekürzt sondern wir die tausend zwoundzwanzigund die fünfzehn wird zu dreizwanzig Drittelachtzehn Drittel wärensechs?? einundzwanzig Drittel werden siebenalso irgendwas zwischen sechs und sieben ist derErwartungswertfür diese Scheibewas jetzt nicht ?? was jetzt auch wieder hoffentlich nicht so unlogisch ist wenn sie Scheibe haben mit einem Radius von zehnund sie interessiert nurwas der Abstand istdie schmeißen eine Million Pfeile drauf messen jeweils den Abstand zum Mittelpunktdie Feilemit dem großen Abstandsind ja viel häufigerinsofern hoffentlich ganz unlogisch das was zwischen sechs und sieben rauskriegen nicht fünf raus kriegen bei der mit ihr viel weniger treffenmuss über fünf liegen weit außen viel mehr treffenoder schonknapp an sieben liegen das wäre der Erwartungswertich macheMilliarden an Messungen und bildet den Mittelwertneben dem Erwartungswertgibt's nochetwas das auch sowas ist wie ein Mittelwertaber etwas anderes ist wie ein Mittelwert das wir gerade noch bringenden Media ander kommtbei den Physikern und den Ingenieuren eher selten vor Punkt bei denäh Psychologenund den Soziologen sehr häufig vor der Media an der Median ist etwas anderesals derErwartungswertmüsse sogar einmalmeinen was stetigesstetiges ??eine stetige wahrscheinlich hässlichste sowasan das meine Wahrscheinlichkeitsdichteistdannsagt derErwartungswertauf welche X Koordinate der Schwerpunkt ist also ständig das wirklichphysikalisch ihr vordie schneiden diese Kurveaus Kartonund fragen sich wo kann ich die balancierenauf welcher LinieSemikolon gerade von sowasausauf welcher Linie kann ich diese Kurve balancierendas ist derErwartungswertdie glaube ich falsch nicht die muss ja wegen dieseslangen Schwanzes hier musste er weitere bei der Erwartungswert somüssen den hier ausbalancierenhier sollte der Erwartungswertliegen das ist die X Koordinate vom Schwerpunktwenn sich die Schwerpunktberechnungenangucken von letzter WocheS eins zu eins dieselbe GeschichteX maldie Größe des Flächenstücksdas ist die X Koordinate vom Schwerpunkt nichts anderes die schneidende Kurve aus Karton und fragen sich wohl nicht auf ?? Exponate nicht erschwert Punkt das ist Erwartungswertder Medianden die Soziologen die Psychologen so gerne habenseine andere Geschichte der Median sagtwo teilt sich die Wahrscheinlichkeitfifty-fiftyfünfzig Prozent linksfünfzig Prozent rechtsdas ist der Mediaund dessen Zweifelsfall etwas anderes als der Erwartungswertnunkann ich das ganze mal ein Beispiel zeigen ähmoder berechnen ?? auf die Uhr gucken ?? verwickeln den Medien alle Mal ausreichend für uns ?? zwanzig Drittelbei der Erwartungswertberechnen mal den Median auf der Median ist die Größe so das fünfzig Prozent der Messwerte drunter liegen und fünfzig Prozent der Messwerte drüber liegenlustigerweisenicht dasselbe als wenn sie Millionen Mal messen und den Mittelwert bilden sind ?? ist gleichwo finde ich den hier wie kann ichbei dieserWahrscheinlichkeitsdichterausfindenwo der Median ist die Größein der Mitte aller Messungen fünfzig Prozent aller Messungen sind größer fünfzig Prozent aller Messungen kleinerwollen die Flächen halbierenFlächen halbieren das ist der Mediankann ich den mit der wahrscheinlich als Dichte findendas Ende dieses ein halb muss rauskommen wenn ich die Fläche berechne von minus unendlichbis zum Mediamarkt?? auchwenn ich diese Fläche hier berechnedann muss ich ein halb rauskriegen und das ist der Trick jetzt um den Media zu berechnenamnull ist der kleinstmögliche werde ich wirklich damit müssen endlich rum ?? der kleinstmögliche Wert wenn ich jetzt integriere bis zum Medianüber X fünfzigstedie X dann muss ich ein halb rauskriegen das ist der Trickdann ist in der Hälfte der Fälleder Wertunter dem Mediadas Gehäuse der StammfunktionX Quadratshundertstelvon null bis zum Mediannunfür hierdas macht alsorichtig das macht also den Medianins Quadratshundertsteldaraus finde ichwürde Medien ins QuadratistfünfzigEminenz Quadrat ist fünfzigdie neunundvierzigwäre siebenbändigen neuen Viertelstunde wäre der Median sieben der Median ist größer als siebenMedian ist größer als siebenaber wir findendas der Erwartungswertzwischen sechs und sieben liegt das andere Geschichte der Median ist weiteraußen lustigerweisewenn sie zählen wie viel Prozent der Trefferüber sieben über ?? Median sind sieben Komma noch was anderes fünfzig Prozent und fünfzig Prozent sind ihnendie beiden Konzepte nicht durcheinanderbringender Median und der Erwartungswertsind im Zweifelsfallzwei paar Schuhebei Media gucken Sie dasBeispiel die Soziologen und Soziologen gucken dann das fünfzig Prozent der Leute die sie befragt habeneinen kleineren Wert haben und fünfzig Prozent der Leute gefragt haben einen größeren Wert ?? das ist nichtder Mittelwertim üblichen Sinne nicht der Erwartungswert