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05H.2 Die allgemeine Drehung im R³
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gucken ob die allgemeine Drehung im R3 an die allgemeine Drehung im R2 – Ja relativ einfach Cosinus – minus Sinus Sinus – Kosinus, – die matrix – im R3 wird es ein bisschen ekliger, wir – haben eine Achse in – dreidimensional – ein Drehwinkel um diese Achse, – muss alles irgendwie berücksichtigt werden, – sei – Einheitsvektor – im – R3 Einheitsvektor – Länge 1, war das heißen ein Einheitsvektor? – soll die Achse bestimmen, – jetzt – ich einen. – Schmidt aus Vektor er – dem Meer 3 – um die Achse – plus Landa mal diesen – das – ist ja eine gerade um diese gerade möchte ich den Punkt mit dem Aus Weg zu erbringen, um – einen bestimmten Winkel muss um den Winkel FI – mathematisch positiven Sinne rechte Hand Regel – der Daumen so einen Daumen und dann haben wir die – so – herum hat übers Land geworden die Finger. – ist mein Weg duenn – die rechte Hand. – zu – heißt die Drehung ist – herum. – ist die rechte Hand Regel zur um will ich meinen Vektor drehen eigentlich den Punkt – mit dem Ortsvektor er – möchte ich drehen um diese Achse – zwar das ganze mit dem Winkel – zu viel Grad diese Achse, – wollte ich parallel zeigen mit Geo Gebra, dass man die Idee hat, was da eigentlich passiert. Nehme – mal irgendeinen. – die nicht mal N1, – du an meiner Achse werden meine Achse in diese Richtung – - – 1 – - – damit möchte ich anfangen – Achse in die Richtung. – eine Tektur dazu sagen, also einfach in eins durch – Länge – von M1, – es gibt auch eine Funktion eines Vektor drin, aber so sehen sie noch mal klar, was passiert, wie machen sie einen Einheitsvektor – aus einem Vektor – durch dessen Länge, – will jetzt – in die Richtung – dem arbeite ich weiterhin ersten mache ich aus. – das ganze Jahr zu. – versetzen um – den Vektor möchte ich drehen, – ist jetzt so gewählt, dass man ihn halbwegs hübsch angucken kann, ich – das Ganze gleich allgemein – schreiben, aber ich muss natürlich an den welchen konkreten Vektoren zeigen, deshalb wir dass ich jetzt ja konkrete weckte, an dem ich das zeigen will und wir – nehmen auch noch irgendwie ein Beispiel – für ein – der gedreht werden soll durch ihn 203 – gut zu funktionieren von der Anschauung her – der soll – werden dieser – Weg zu – der Ortsvektor, er soll um den Vektor – gedreht werden. – Jetzt überlegen wir uns als erstes, dass – es mir eben schon – drehungsmatrix im R3 hat. – es in Einrichtung den Eigenwert 1 längs – der Achse das – ist spannend, wenn Sie jetzt von dem vector R gedreht werden soll den blauen wenn Sie davon den – längs der Achse bestimmen müssen – Sie schon mal etwas was gleich bleibt. Das überlegen wir uns als erstes der – Anteil längs der Achse. – ist der Anteil – ortsvektors er – das mal eher. – ausdrücklichen – geschrieben, kann ich auch bringt Geo Gebra – hinschreiben, wie kriegen sie das raus – Anteil von Herr parallel – hier, wie das aussehen würde hier stoppe – dem – vector er – Anteil besitzt senkrecht – zum – Vektor n, den hätte ich gerne den Anteil die Komponente von dem blauen Vektor parallel – zur Achse. Andy. Rechnen Sie die aus ✂ der erste Gedanke ist also der parallel muss Vielfaches von innen sein. Ich hoffe mal Lambda ist jetzt kein Eigenwert, sondern ein Vielfaches von dem. – Sonst wird ja nicht in dieselbe Richtung zeigen oder wenn dann dann negativ ist in die Gegenrichtung zeigen, das wird er nicht parallel oder antiparallel – zu dem sein, – Lampe ist, also derzeit noch derzeit – unbekannt, das müssen wir gleich bestimmen. – ich den Anteil senkrecht – auch noch ein Führer der Anzahl von Herr – Ortsvektor zu dem Punkt der gedreht werden soll und – ich die Anteil senkrecht auch noch ein Führer Anteil senkrecht zur Drehachse. – Erhardt senkrecht – können Sie über diese beiden Anteile etwas aussagen. – über diese senkrechten Anteil selbst auch noch etwas aussagen, – was fehlt denn alles auf ✂ heißt senkrecht senkrecht – heißt das Skalarprodukt mit in – Null – sein, – ist das eine was wir sagen können, wir – noch was ich habe zwei Anteile einen Anteil parallel einen Anteil senkrecht drei Komponenten hätte ich gleich schreiben soll Komponente – parallelkomponente – senkrecht, was müssen sie jetzt noch über r. Parallel und er senkrecht ✂ ist auch ein Komponenten sein, das heißt der gesamte vector – er ist sein paralleler Anteil + sein senkrecht – Handteil – Wie versucht man drei Gleichungen irgendwie miteinander – verheiraten? – fahre mir schon mal um da oben steht er parallel = Lambda mal – sector längs der Achse, das können wir hinschreiben = – Lambda – mal der Einheitsvektor – längste Achse, + – senkrecht. – auf wie sich ihr das – Lamm – destillieren können aus dieser Gleichung das Lamm daraus destillieren können. ✂ Seiten Skalarprodukt – mit n – Ja mal in das steht auf der – Seite er mal n Skalarprodukt mit N = – Seite Skalarprodukt mit anasheed blanda mal n Skalarprodukt – mit n – senkrecht. – mit n ich – habe ausgeglichen. Für – das ist Skalarprodukt – Möglichkeit. – senkrecht mal in senkrechte Komponente – der senkrecht auf der Achse stehen hier stets ja schon – senkrechte Komponente soll senkrecht auf der Achse stehen wie der Name sagt hier, – heißt dieser Anteil ist Nudel. – ist total lustig. Hast du durch das Skalarprodukt ich plötzlich hier, was ich raus – der Gleichung und – hier vorne der – Skalarprodukt – mit sich selbst – das Quadrat der Länge. – Skalarprodukt mit sich selbst ist Quadrat der Länge, aber – n hat die Länge 1 besteht – 1 Quadrat, – wenn Sie so wollen eins – habe ich dann da bestimmt, – weiß ich jetzt leider – er mal in – kann ich da oben einsetzen. – weiß ich die parallele – Trixis hier ist, also – dem von der Hunden – Malente – Ortsvektor der gedreht worden soll mal Einheitsvektor längste Achse – schaue ich jetzt ausdrücklich mal in Klammern, weil sonst wird es – also lieber mit Klammern und Punkt – foto mit dem. Und ansonsten möglichst keinen. – Ja mal n darf man das Skalarprodukt gibt – eine Zahl und das Sohn zu Vielfache von den Weg tuen, – ist der parallele Anteil, das können wir uns – in Geo Gebra angucken. – Sieht – doch das Buch – den Sinn ergibt. – Parallel – soll sein – eher – diese Skalarprodukt meine mal in das war meine Frage von eben – ich lieber mit Klammern und ein Punkt zwischen N und er um auseinanderzuhalten. Was denn da jetzt bitte wie multipliziert wird hier bis jetzt egal was von vorne wie hinten der Seele weh ist, aber diese – Schreibweise ist sehr gefährlich. Bitte nicht so schreiben n mal eher mit dem Punkt dazwischen bei – sogar mit Klammern drum. – sieht er jetzt aus. Genussmagazin – Drehung, also gut sie sehen das Ergebnis ist parallel zu n, dass wir ja auch komisch gewesen wären – Vielfaches von N – der sollte der senkrechte Anteil gar nicht mal so drehen, dass man irgendwie – krieg ich drauf gucken kann. – So ungefähr – die Ebene als diese Verbindung hier. – das angucken. Na, das ist ja so ungefähr senkrecht hat wir projizieren den blauen vector, das ist er wir projizieren dem blauen vector rüber auf die Achse. – den Namen noch anschalten – früherzieherin den – auf die Achse. – kommen sofort hinschreiben, was der senkrechte Antalis dir dann bei gerade auch schon – senkrechte. Anteil – nämlich. – die Differenz sie ziehen von dem vector R. – den parallelen Anteil ab – haben wir den senkrechten Antalya, es ist senkrecht. – der Vektor her – den parallelen Anteil die parallele Komponente r parallel, – den haben wir gerade ausgerechnet, – war nämlich – ja malen kann auch gut mal hin – mal hin – Vierfache von in – ich jetzt auch eintragen? – senkrecht – der Vektor R - R parallel. – man hoffentlich diese Zerlegung mit – etwas glücklich muss irgendwie – was richtigen Richtung gucken, damit ich sehe, dass das – senkrechte Zerlegung ist – ist selig, den anderthalb parallel zu Achse und an Anteil – zur Achse, wir müssen schon der andere parallel zu Achse, der bleibt liegen, – Anteil senkrecht zur Achse, der musste jetzt gedreht – werden – der wird leben in der Ebene senkrecht zur Achse gedreht, da muss man jetzt weiter arbeiten – der Ebene senkrecht zur Achse, wie kriege ich jetzt eine Ebene senkrecht zu dieser Achse im ✂ Kreuzprodukt dieser – Vektoren Kreuzprodukt er senkrecht wäre die Möglichkeit. Sie könnten auch eher parallel nehmen er parallel mal eher senkrecht – parallel mal er sein kriegt dann ist der Ärger. Wenn Sie eher verlängern sind, – beide Anteile – den Faktor länger und herzlichen Quadrat drin ist nicht so lustig n mal eher senkrecht nehme ich im Kreuzprodukt – dieser Reihenfolge, dass wir – Vektor nach rechts kriegen. – wir eben Gerät würde mit der rechten Hand Regel – Kreuztal – senkrecht – es wird mich ja als nächster – den nicht mal er 90 um 90° weitergedreht, was – soll das sein, um 90° weiter gedreht soll – sein das aus – kann man netterweise vereinfachen, – dass man aufrecht sofort das kann man vereinfachen. Hier steht da nämlich das ist das Kreuzprodukt aus N und er – senkrecht kennen wir ja schon eher senkrecht ist er - – Skalarprodukt – in Mallin. – sie wie sie das vereinfachen können. ✂ dürfen sie ausmultiplizieren, – hier kriegen sie auf euch Hochzeit runter, das ist übersichtlicher, das ist also M Kreuz – her - – Kreuz – große – Klammer – hin in der kleinen Klammer mal in – gucken sich jetzt scharf an. ✂ dieses Kreuzprodukt Kirchenwirt Noll ein Vektor n Kreuz – ein Vielfaches – von sich selbst das – Kreuzprodukt zweier paralleler Vektoren ist – und dass wir weiter rechnen, wenn sie steht einfach das ist der Vektor n Kreuz – der vector – das ist ja um 90 Grad gedrehte, – ich nicht jetzt aus ja 90 = – Kreuz – Kreuzprodukt – N und – Zeichen ist das falsche Zeichen, das sollte – sein und jetzt sein, dass sie essen Tensorprodukt – Anteil – von – Vektor Ortsvektor Geld, der gedreht werden soll, dafür – wird der Anteil der Sonne liegen bleiben, der senkrechte – Anteil an, der senkrecht zur Achse, – soll – werden in dieser Ebene, wenn ich es genau platt – auf die Ebene drauf, gucke so platt – auf die Ebene drauf. Gucke entdeckt meeresauge die Achse fliegt mir ins Auge. – Anteil der ist mir verborgen unter dem blauen Anteil der senkrechte Anteil liegt in der Ebene, der soll gedreht werden, – Hand Regel, ich ist also links – herum in Richtung R90 – sie setzen das Resultat zusammen – er – senkrecht und – R90, das ist mein Gedanke. – Probieren Sie, dass er senkrecht soll um die WIFI gedreht werden – der senkrecht – gedreht, – das Hirn ist. Zusammengesetzt das Resultat aus – senkrecht – er 90 wie setzen sich zusammen, es ist so und so viel mal eher senkrecht. – Bedingter weiterhin in der Ebene, also sonst viel mal eher senkrecht plus sonst – so viel mal her. – überlegen – sich die Anteile. ✂ muss es gehen gar nicht großartig anschalten, – wenn der Winkel 0° ist – er senkrecht wieder rauskommen habe bleibt einfach liegen, wenn – der Winkel 90° ist. – dieser gedrehte Vektor um 90 Grad gedrehte vector auskommen und nicht der senkrechte Anteil, das schreit schon danach hier muss der kosenlos stehen – hier hinten musste Sinus stehen – die es noch mal auf oder guckt sich die drehungsmatrix an, dann ist das völlig klar, dass das so sein musstest du – sie was wegen der drehungsmatrix in 2 x 2 nur – jetzt habe ich nicht nach XY – sondern – löse – zwei andere Vektoren! – Ich sie tatsächlich noch mal, also, wenn ich sage, das ist in der Ebene. – in der Ebene. – zu der Person – hier senkrecht zu gehen. Liegst – mir ins Auge ja – eher 90. – Jetzt möchte ich drehen, – drehe ich. – einen Winkel FI – werde – ich drehen – sich den Anteil an welchen Anteil kriegen sie von er senkrecht die – Kosinus welchen Anteil kriegen sie von der 90° DIN Sinus. – das kann ich jetzt hin schreiben. Er ist gedreht – Weg zu der der Ebene liegt, den habe ich jetzt – Winkel – soll natürlich 42 Grad sein – RSG – dreht. – Ist der Cosinus – von diesem – Winkel? – senkrecht – der Sinus – von Winkel. – R90 – wird es am ehrlich konfus, – ich gucke noch mal Platz – die Ebene drauf. So Drehachse sticht mir ins Auge. – gucke platt auf die Ebene drauf soll – also der – Farbe Cyan farbige Vektor – soll und 42 Grad gedreht Zahl mathematisch positiv rechte Hand der Daumen zeigt – in mein Auge – Finger – der rechten Hand zeigen gegen den Uhrzeigersinn – grüne vector soll also sein 42 – Grad gedreht, – Tür einfarbige Vektor, – können wir spielen, um zu gucken, ob das hinhaut sie sehen, das sieht nicht schlecht aus. 90° – geht jetzt unter die Ebenen unter 79° – 360° – das – aus ich – das ganze noch mal für das jetzt im Raum aussieht. Es ist haarsträubend – Grad drehen. Der Vektor bleibt da wo er war, jetzt – drehe ich bis 90°. – Elektro ist der gelbe die wir mit dem Kreuzprodukt gebaut hatten und so weiter, – Sebastian das mit Sinus und Cosinus zusammen, – ist was dem senkrechten Anteil passiert, wenn ich den senkrechten Anteil drehe, aber – noch mal vorsichtig jetzt – nicht weiß nicht, ob es dann ganz schlimm wird. – drehe praktisch gar nicht. – Dir die senkrechte Komponente von dem blauen vector praktisch gar nicht gedreht 12°. Ich drehe weiter – um 90° und so weiter und so – weiter. Sie sehen wieder durch. Diese Ebene. Da läuft – Ebene senkrecht – dem – der Drehachse. – Wird – es passen wir alles zusammen? Ich – möchte eigentlich wissen, was aus dem blauen vector wird. – kriegen sie das was wird jetzt aus dem blauen Vektor Gesamtergebnis der Drehung, ✂ das Ergebnis ist, also entsprechend – jetzt, wenn ich die also bis dann übernehme, die – kastrieren. – bei Viktor RSC Licht der blaue Vektor er ist zerlegt in den – violettfarbene – parallelen – Anteil und diesen – und auch wie immer farbigen – senkrechten Anteil, die senkrechten anzeigen kann ich drehen, dann kriege ich diesen Gründen, – ich den parallelen Einzahl drehe, bleibt er liegen der ist ja denkst du und – damit kenne ich die beiden Komponenten – Ergebnisses – senkrechte – gedrehte Anteil + der alte parallele Anteil, das ist das Ergebnis der parallelen Tumblr. Tja, wir war die beinahe dir ich einfach – ist das Gesamtergebnis. – er gedreht er gedreht – = – jetzt ganz banal – parallele Antalya war er parallel – der gedrehte – Schatten auf der – Ebene senkrecht – gedreht – jetzt wird es am Meer nicht etwas konfus, ich sollte ein paar abschalten, – dann versteht man die Position vielleicht nicht mehr. – ich um null Grad drehe, oder fast nur gerade so kann man besser erkennen, wenn ich um fast nur gerade drehe – Rot ist, mein Ergebnis – nominiere den – aus der senkrechten Ebene zu – den parallel Rheintal den violetten kriege – den roten okay, so ein bisschen gedreht und – das geht jetzt so weiter, wenn – ich ihr das durchlaufen lassen. – Wieder rote jetzt durchläuft, – der rote ist das Ergebnis – das eklig eine Drehung im dreidimensionalen. – normali – der Absicht – Du bist noch mal. – Aus der ganze sehen so drehe ich fast gar nicht. So drehe ich um 90 Grad ungefähr – 90° wirklich 90 Grad. – Und so geht das weiter. – Kippen sie quasi dann um – die Achse – herum, das können wir gerade noch mal das Ergebnis hinschreiben, – jetzt rauskommt. – Der gesamt gedrehte Vektor, – schreibe mal der gedreht – das Gesamtergebnis ja – gedreht ist, also – parallele Antalya – parallel. – gedrehte senkrechte Anteil er – ist gedreht – das kann man aus buchstabieren, – parallele Anteil – Leer. – Marlin das war der parallele Anteil plus der gedrehte Anteil, das ist der Cosinus von Winkel mal – den senkrechten Anteil plus der Sinus von Winkel mal – den – senkrechten Anteil, wenn man so will, – senkrechte Anteil – original Vektor minus in – Skalarprodukt – der original vector – in – senkrechten Anteil und den 90° Anteil, – hatten wir über das Kreuzprodukt, das war n Kreuz – man wenn man wollte noch zusammenfassen sehen – Sie was man noch minimal zusammenfassen kann. ✂ hin mal er mal in der kommt dann zwei Stellen vor, den kann ich ausklammern, also dieser hier in Marl er mal in der kommt einmal minus – Cosinus x 1 minus Cosinus – Drehwinkel – in mal eher – jetzt habe ich meinen großen Osten noch, dass er – Vektor R Cosinus – mal den Vektor ja – beim Sinus, ob das da hinten stehen Sinus von PI mal in Kreuz, er muss – sagen, wenn Sie das auf Wikipedia nachgucken steht da aktuell ein doppeltes Kreuzprodukt ist – unnötig. Man kann es einfach als schreiben nämlich auf diese Art braucht kein doppeltes Kreuzprodukt, – ist die allgemeine Drehung – dreidimensionalen – die ist schon eine Nummer ekliger als das was wir in 2 dimensional hatten. – müssen ja die Achse angeben. Es kommen Gruß und Sinus vor kein großes Wunder, aber sie brauchen die Achse prominenter – drin einen Vektor längs der Achse. – Schritt. Das ganze muss ich ja einer drehungsmatrix schreiben lassen, das ganze muss sein drehungsmatrix – den Vektor R. – dreimal drei Einträge. Okay? – sind mehr oder minder fürchterlich diese drei mal drei Einträge, das ist nicht einfach nur Kursus und sinus24 – weiß und dann ist muss ja immer xny – eingerührt werden. – Übung Überlingen was ein noch mal das noch mal schön Übungen zu Matrizen überlegen sich den linken oberen Eintrag – muss in der drehungsmatrix der dreimal drei drehungsmatrix der – allgemeinen – für Drehung im dreidimensionalen was muss links oben stehen, das können Sie jetzt ablesen – sich das mal alle anderen gehen dann entsprechend sind, aber nervig hin zu schreiben. ✂ dieser Eintrag wird ja mir sagen er XY – erzählt – Eintrag wird mit RX multipliziert. – Es kann nur – Zahlen gehen, die mit Helix modifiziert werden. – Und es kann nur um Zahlen geben, – miscompare – aus XYZ, die – x-Koordinate – wieder rauskommen, – fragt man sich jetzt, was wird mit x-Koordinate – modifiziert – landet wieder in – der – das guckt sich mal scharf an, – wissen Sie was da oben steht. Gucke noch mal, – wird mit X x landet wieder Minix. ✂ Sonntag doch in kleineren Schritten haben II Anteil hier, sich den angucken, das ist der einfachste hier – steht Cosinus – von PI eine Zahl mal – Y – Koordinate Z Koordinate, dann – sehen Sie okay, was wird hiermit die x-Koordinate x der Kosinus und es landet in der x-Koordinate – haben – sie etwas aus der xbody Nase das in der x-Koordinate landet – Cosinus von PI muss in der Matrix drin stehen, auf jeden Fall schreibt man hier + Cosinus von PI, der kommt vor – dem letzten weiter an – Anteil von – bilden ein Kreuzprodukt Steaks – Anteil von Herr wie wird der nee Wixxer Teil Lampen aus – dem Bauch heraus und das wär's nachrechnen. – Was passiert, mit dem wix Anteil wie viel von dem X. Anteil landet in X bei diesem Kreuzprodukt? ✂ der letzte Anteil liefert gar keinen Beitrag für X nach X – ist ja immer senkrecht auf beiden Faktoren, wenn Sie hier – X Anteil rausnehmen muss ich fragen, wie viel landet im wix Anteil wieder nichts – war. Das Ergebnis senkrecht sein wird zudem nix Anteil der letzte Dreck nicht bei – auch nicht so richtig schwierig, also mich interessiert, was – dem – dem Vektor er angetan wird, wie viel landet davon wieder in X gucken Sie sich den noch mal an, wie viel landet von dem X Anteil von – ein Teil von diesem Ergebnis? ✂ Inhalte hier im Skalarprodukt, – was wird er modifiziert, sie haben rxy – zu weiter sie – modifizieren den oberen von N mit dem oberen von rnx – x er-x, wenn ich das so schreibe wenigstens – schon mal ein Kandidat 41 – - Kursus kommt als Faktor davor ist auch geschenkt – n jetzt muss ich mich ja fragen, was landet wieder nix, – will in der oberen Zeile London, – was landet wieder in x-mal – nxnxn, – yrz – mal. – NX hier steht noch mal x NX Martin Cosinus, das macht er nix Quadrat. – 1 minus Cosinus – minus Cosinus von – Winkel – die X – diesem – der längste Achse Einheitsvektor längste Achse ins Quadrat. – ist das Ergebnis für links oben, die anderen Ergebnisse sind ekliger, weil dann oder bis auf die Diagonale die anderen Ergebnisse jeden setzte diagonal sieht ekliger, weil dann der das – Kreuzprodukt zuschlägt, – wenn die das verstanden haben kriegen sie andere noch hin. Da schreibt niemand zu Fuß hin, was jetzt die anderen sind, guckt man im Zweifelsfall nach aber Sie sollten Idee haben wieder so eine Matrix funktioniert. Die können sich jetzt aus dieser Gleichung hier – Matrix ablesen. So würde das funktionieren, – dass man jetzt Tier zu klein hinschreibt. – mit langen langen ausdrücken, sie können sich jeweils angucken. Okay, was kommt aus? Y – was geht nach X. Dann haben sie den daneben – kommt aus z. Was geht den nix anhaben sie dich töten und – so weiter. So können Sie diese – aufbauen und sie sehen daran schon, – sieht deutlich komplizierter aus, als die in 2 dimensional mit Cosinus minus Sinus Sinus Kosinus.