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06.1 Cramer-Verfahren


CC-BY-NC-SA 3.0

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daserste Lösungsverfahrenwas ich in sein wird ist das schulmäßigedas sogenannte Kramer Verfahrendamit sie nach dem Erfinderdes Kramer Verfahrendas kann man für gleiche Systemezweimal zwei dreimal drei nehmenund danach ist dannSchichtjetzt sehr gleich warumPunkt aber wenn man eben auf die Schnelle was rechnen will auf dem Papier zwei gleichen zwei Karte drei gleichen ?? bekannteseines ?? dem Kammer Verfahren keine schlechte Idee Komma das einfach so aus dem Kopf unterschreibtwaren im Skript steht schon folgendes ich möchte folgendes lösen folgendes Gleichungssystemkompetenten Matrix eins drei vier zwei null minus zweidrei zweieins?? unbekannt X Y Zund das soll bitte sein zwei fünf minus drei das sind also drei Gleichungen mit drei Unbekanntendas ist wichtig bei den Kamerafahrtengenauso viele Gleichungen die unbekannte?? Determinantenauch quadratische Matrizendrei gleichen Raum begann sie es gleich wäre ?? X Pluszeichen Y plus vier Z ist gleich zwei die zweite Gleichung wäre zwei Xplus null Y minus zwei Zist gleichfünfund die dritte Gleichung wäre drei X plus zwei Y groß Z ist gleich minus drei drei GleichungenunbekannteBienen der Form Koeffizientenmatrixmal unbekannte Rektor ist gleichin Homogenitätwenn ich das hier vorne in Vektoren schreibeist das X mal die erste SpalteX mal eins zwei drei das schon mal gesehen plus Y mal die zweite Spalte Y hat ein zweigroß Z mal die dritte Spaltevier minus zwei einskann einfach sich rückwärts überzeugen was passiert bei X stehtals X ist es mir deutlich in der ersten Komponente stehtX plus drei Y plus vier Z wenn sie hier rechnen was ist die erste KomponenteX Pluszeichen Y plus vier Z genaues weiter unten haben entsprechend für die zweite und dritte Komponente der Patient also nichts Neuesund nun mal wiederüber den Vektorprodukt am Ende ein mathematischesExperimentich nehme die Determinanteder Koeffizientenmatrixaber nicht ganzich schreibe die Koeffizientenmatrixsehendas vorrücken ganz abschreibenaber nicht ganz ich streiche nämlichdie erste Spalteaus dieser Matrix jede Koeffizientenmatrixstreichen die erste Spalte und stattdessen setzt sich die in Homogenitätein?? nimmt es wie gesagt das mathematischesExperimentman sie gleichdas Essen interessantes Ritusresultatgibtalso Dinge entnehmenKommapropagieren ich nehme die in Homogenitätin die erste Spaltezwei Spalte bleibt dritte Spalte bleibtwerde die Determinanteund gucke was passiertlassen uns überraschenjetzt kommt der Trickmein lineares Gleichungssystemsagt mirdas ich zwei fünf minus drei die in Homogenitätso schreiben kann das gesuchte X mal eins zwei dreiplus das gesuchte Y null zwei null drei plus das gesuchte Z mal vier minus zwei einszwei fünf minus drei kann ich das sagt man originalgleichen System den hier kann ich so schreibenX mal erste Spalte im Sommer zwei Spalte Z mal dritte Spalte das ist gerade das Gleichungssystem das heißt hier stehtin der ersten Spalte X maleins zwei dreiplus Y mal drei null zweischönerY mal drei null zwei plus sechs malvier minus zwei eins das istalles in der ersten Spalte drinund dann kommt drei null zweiund vier minus zweieinsamenClubsplatzierensowiedas ist immer noch dieselbe Determinantehabe die Koeffizienten Matrix genommen DeterminantegemaltenStriche statt derrunden Klammerndie erste Spalte ausgetauschtgegen die in Homogenitätdass es mein Experiment und ich gucken was passiertjetzt kann ich die Mobilität aber umschreiben mithilfe der ?? gleich und ich habe diese Matrix Vektorgleichung kann nicht in Homogenität umschreiben mit meinen dreiUnbekanntendas wird sich ein immer noch die erste Spalte hierbisschenaufwendiger geschriebenund jetzt kommen die Rechenregeln für Determinantenwas kann ich mit dieser Determinantetun um die zu vereinfachendie Regel für Determinanten die man nun braucht war die folgendedass ich ein Vielfacheseiner Spalte auf eine andereaddieren kannsieben acht neun ?? Komma sie können hier die erste Spalte zum Beispiel mal zwei nehmenund auf die zweite Spalte addieren und es ändert sich der Wert nicht eins zwei drei bleibt da sieben acht neun bleibt ?? mit Stich in der zweiten Spalte vier plus zwei mal eins sind sechs fünf plus zwei mal zwei sind neun sechs plus zwei mal dreisind zwölfhat den Wert nicht geändert ich kann ein Vielfaches einer Spalte auf eine andere agierenohne dass ich die Determinante indas konnte man mitsich und Volumen begründen so und hier nehme ich sinnvollerweisevon dieser Spalte das minus Y facheund Adidas auf die erste Spaltewas passiert danndie von der Sparte das fünffache nehme minus sechs ?? seine Zweifel siebzehn eine zweite er ist weges immer ?? mit der letzten Spalte die nämlich mal minusZein jeder die auf die erste Spaltedann ist er wegund es bleibt X maleins zwei drei ganz vorn stehendie beiden anderen sind weg das ist jetzt also X mal eins zwei dreiin der ersten Spaltegeht es weiter mit drei null zweivier minus zweieinsund nun weiß ich noch ein Faktor in einer Spalte kein Problem der Vorziehen ist also X maleins zwei drei dreinull zweivier minus zwei einswelche Matrix steht da hinten jetztdas ist derErfolg dieses Experiments hier steht nichts anderes als die Determinanteder Koeffizientenmatrixschonmalhier steht die Determinanteder Kurve sind und das X die Determinantealsowas kann ich tun ich kann in der Koeffizientenmatrixdie erste Spalte durch die in Homogenitätersetzen das was auf der rechten Seite stehtDeterminante bilden finde was rauskommt X maldie Determinante der Koeffizientenmatrixeinfach nur weil sie diese anderen Spalten raus fliegen und erst unbekannte davon übrig bleibt nur mit den Rechenregeln der Determinantedamit habe ich also gelerntich kann nach X auflösenunter bestimmten Bedingungenkann auflösenbringen Siediese machen diese Determinante auf die andere Seiteich teile also durch die Determinante der Koeffizientenmatrixeinsdrei vier zwei dreizwei minus einsNummerzwei überhaupt dannnicht ganz nochmalsfür??man hatArmund oben standdieselbe Matrix bis auf die erste Spalte die erste Spalte habe ich die in Homogenität geschriebenPunktzwei fünf minus dreider Rest warwie bei den Koeffizienten drei null zweizweieinsich kann dann auflösenwenndas da unten ungleich null istdort steht dir natürlich diese Matrix ist eher die Determinante ist gleich X mal nullund ich kann nicht durch null teilen aber wenn ich mirdiese dem Lande nicht alles wenn die Determinanten der Koeffizientenmatrixnicht nur riskanter durch Teil ?? Schweizer Sieg sein mussohne wenn und aber keine andere Möglichkeit es gibt ein X dann und es gibt nur dieses Xdas passt gut zu dem Wasser schonhatten bei der inversen Matrixwenn dieses Gleichungssystemproblemlos lösbar ist wenn diese starken Systeme problemlos lösbar es genauso viele Gleichungen wie unbekanntedann ist die Determinante hier ungleich null es gibt eine inverse Matrix genau dann wenn alles in Ordnung ist kann ich netterweise das Kammerverfahrenanwendendiese die Männer die es ungleich null und ich finde genau dieses eine Xwas ich dafür habeerste Spalte der Koeffizientenmatrixersetzen Determinante durch Determinante derKoeffizientenmatrixwenn ich das jetzt endgültig Nummer zwei ?? wenn ich das nicht mit der ersten Spalte gemacht hätte sondern das mit der zweiten Spalte gemacht hättewenn ich die erste Spalte löschen könnenund so weiter das geht genauso als wenn ich daszwei fünf minus drei die rechte Seitenicht die rechte Seite nach die rechte Seite nicht die erste Spalte einsetze sondern die mittlere bleibt wirksam übrig wenn ich die rechte Seite direktdritte Spalteeinsätzebei Z übrigselbe Argumentationfür mich jetzt nicht im einzelnen vorals wenn sie dasselbe machenersetzen aber diezweiteSpaltezwei fünf minus dreikriegen sie zwangsläufig zum Haustier steht dann die Originale erste Spalteund nicht dasselbe wie obendie Determinante der Koeffizientenmatrixzwei drei null zweizweieins natürlichwenndasselbe natürlich Geld mit Kunden keine null steht ??dann gibt es nur dieses eine ?? kein anderes?? gibt es ein Ydasselbe passiert mit Z unauffälligen Text zweidasselbe passiert mit sechsdritte Spalte ersetzt hättenPunkt die dritte Spalte ersetzt hätten ständig hieralso zu Philips versus WZ mal so zufällig für die ersten beiden Spalten benutzen X und Y zu verfangen in die BZ mal vier minus zwei eins stehenZ ausklammernalles keine Überraschung und steht dann weiterhin die Determinante der Koeffizientenmatrixdrei zwei einsund hier muss ich jetzt die dritte Spaltedritte Spalte ersetzen eins dreizwei ?? die dritte Spalteschonzweifünf minus dreiunter Bedingungendas ich nicht durch null teilenwir unterdas ist die grammatische Regelich kanndirekt auflösenwenn ich so viele Gleichungen die unbekannte habe quadratischeMatrixRegelundobendrein muss die Determinanteder Koeffizientenmatrixungleich null seines muss eine inverse Matrix dazu gebengenau dann gibt es ja immer eine Lösungfür alle rechten Seitendas ist genau der Fall ?? grammatische Regelbeackertähmdas es relativ leicht zu merken dessen Schema F dass man sie einfach hinschreiben kann ?? für zwei mal zweibisher richtig billig für zwei mal zwei haben sie jeden ohnezwei Determinante jeweils stehen die Handelnde zwei Determinante stehen Uppsaladar und nahm sind zwei Determinante stehendas Komma locker ein Schreibender Firma vier ?? Viererdeterminantenverstehen das macht keinen Spaß das mir soetwas ?? zu schreiben aber dreimal drei zwei mal zwei Komma das mitaus dem Stehgreif lösenohne sich jetzt überlegen was ich was man wo rein einsetzt was man wo nach auflöst abziehtdas geht einfach rasch immer öfterzudreiProbleme die die grammatische Regel hätte man ?? hat man denn wir sagen okay Feinwanderwegewie man in Anreizsystemelöstleider ist das hier nicht die Regel die ?? Leute glücklich machtdas klappt soaus dem Stehgreif aus Faustregel für quadratische Gleichungssystemein den meisten Fällen aber ansonsten hat man ein Problemmit den Texten hingeschriebenalso das geht nurnur wenn ich so viele Gleichungen habe wie unbekanntenurwennZahlnur wenndie Zahl der Gleichungenähmgleich der Zahl der Unbekanntenistdas ist zwar der typische Fallabermuss nicht so seinund es geht nurwenn es genau eine Lösung gibtdas Kammerverfahrenkann nicht sagenob dieses oder jenes ist die Lösungsgradeeine Lösungsebenesie kriegen ein X ein Y ein Z rausund das Kammerverfahren geht auch nur dann wenn sie nicht durch null teilendas es immer der Fall wenn es genauwenn genaueine Lösungalsein Spezialfalleines Spezialfallsund das was ein in der Praxis am meisten beißt istder Rechenaufwandund die Rundungsfehlerbei zwei mal zwei drei mal drei ist das nicht die Aktionin die zehn Gleichungen mit zehn Unbekannten habenist das hier nicht zehnmal zehn Determinantefür jede der zehn Unbekanntensteht oben eine andere zehn mal zehn Determinantedas heißt insgesamt elf zehn mal zehn DeterminantenauszurechnenF zehn Martin Determinanten Sendung gesehen jede zehn mal zehn der dominante verlangt zehn Fakultät Produkteaus jeweils zehn Faktorener so viel Multiplikationwären das elf mal zehn Fakultät meiner Modifikationes liegt an um die Ohrenwas die Rechenlast angehtund deshalb wird es ein automatischer um die Ohren was die Rechengenauigkeitangeht man sammelt Rundungsfehlerlinks und rechts ein Ersatz dieses Verfahren ist keines was man ernsthaftfür große Probleme benutzen kannwenn es in den ?? Simulationsrechnungund umgeht zehn tausend mal zehn tausendbei gleichen Systeme des Formats sind tausend mal zehn tausend zu lösen ist das hierkeine Art das geht so einfach nichttausend mal tausend wird schon extrem ungemütlich damitan macht man einfach zum ?? kommt ganz auf den Gedanken dazu zu machen alsoeinmal drei zweimal zwei hiermit alles andere bitte nicht damitergibt nicht viel Sinndaserste Verfahren das dennalles kannwas es können soll es das deutsche Eliminationsverfahren