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09A.3 vertikaler Wurf (senkrechter Wurf), inhomogene lineare Differentialgleichung


CC-BY-NC-SA 3.0

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letzteWoche eine einfache DifferentialgleichungfürWiderstand und Kondensatorund wollte ich meinesuper billige Differenzialgleichungenmachen für densenkrechtenWurfausgehend vom Erdboden?? das hier so das soll der Erdboden seinin einer bestimmten Höhe H nullwirdirgend einen Ball oder was ähnliches in die Luft geworfenmit einer AnfangsgeschwindigkeitV nulldie Frage ist wie sie der weitere Bewegungsverlaufaus die Höhe in Abhängigkeitvon der Zeitan jüdische Mechanikgeht sich um Elementarteilchenund die geht auch nicht um Lichtgeschwindigkeitganz normalen Wunschmechaniknatürlich vernachlässigt manden Luftwiderstandum sich kompetent zu machenschreiben Sie mal Differenzialgleichungenhin für die Höhe in Abhängigkeitvon der Zeit??okay auf den Körper hier wirkt erst mal eine Kraftich Hausmannskalahin aber die Kraft wird nach unten habe ich etwa Minusmassemal dieSchirme schon in derbesagten neun Komma acht einsminuswarenMeter pro Sekunde Quadrataber Vorsicht das ist etwas ähm für die Masse und dass das M fürMeterschwierigdas ist das eine was weiß ich nochHerr Newton sagt war das Komma woanders haben die Kraftistdie Änderung des Impulsesalles natürlich so geschickt die Meldung des Impulses was haben wir noch der Impuls ist Masse mal Geschwindigkeitin der klassischen Mechanik als die Änderung von Masse mal GeschwindigkeitsmasseskonstanteÄnderung von Masse mal Geschwindigkeitwas ist die Änderungder Geschwindigkeither also die Ableitungder Geschwindigkeitwäre die Beschleunigungso könnte man es haben ?? Beschleunigungunterschiedliche auch nicht so wirklich mal was andersrum die Geschwindigkeitistdie Ableitung des Orts nach der Zeitvielleicht noch mal ab also hier Höhedie zweite Ableitung der Höhenach der Zeitist die abwartende Geschwindigkeit nach der Zeitist die Beschleunigungnun habe ich eine DifferentialgleichungMasse mal die zweite Ableitung der Höheist MinusmassemalErdbeschleunigungund in allen diese Situation ist ganz typisch das die Masse rausfliegtes ist egal welche Masse der unterwegs ist können sie rausstreichenaus der endgültigen Differentialgleichungähmkann man sich so vorstellennimm sie noch im zweiten Steinoder Ball dazuselberanfangs für dieselbe Startgeschwindigkeitder wird dieselbe Bahn habendieselben Bewegungsverlaufkönnen Sie diese beiden Stein ihr zusammen bindenund bisschen Kleber in die Mitteundin als ein Körper der doppelten Masseimmer noch derselbe Bewegungsverlaufinnige Idee so ähnlich wie ich letzte Woche was erzählteihm einfach mal den zweiten Kondensator dran und gucken was passiert da verdoppelt sich der Strombleibt leidKomma sie auch links darf nicht mit der Masse zu tun haben links und rechts muss die Masse auftauchengroßesThema in der Physik träge Masse gleich schwerer Masse aber nicht verzettelnokay damit habe also eine Differentialgleichungdie zweite Ableitung der Höhe nach der Zeit wird minusdie Erdbeschleunigungsein das ist die DifferenzialgleichungenkriegenversuchenSie diese Versager zu lösenokaydie drei Wege gesehen schon daranglaube der natürlichste Weg ist folgenderdie zweite Ableitung einer Funktion soll eine Konstante seinen das führt nicht automatischzu dem Ansatzdass meine Funktionwas sein muss wasparabelartigist am IT Quadrat groß B mal T plus Csowas muss man Fusion zwangsläufig sein wenn die zweite Ableitung konstant istdas Ziel dieser Seite hin schlichtweg nicht zweimal ableitet Beistrich einmal ableitet das Bee Malteser schlichtweg nicht Firma pleite wenn ich hier vor den quadratischen Term ableitet zweimal war eine Konstanteist schon das ein halb jeher kommt den ?? ableiten zweimal steht er zweimal an das muss was mit dir zu tun habendas wäre dergeradlinige AnsatzähmNummer eins das zweite was ich gesehen habeKomma zwei man integriert einfach beide Seitenwenn sie links zweimal integrierendie beiden Punkte weg und recht zweimal integrieren ist keine Kunst das Licht man ausgerechnet ich kann tatsächlich beide Seiten zwar mit Integrieren ohne Problemeund der dritte Weg istimmer durch exerzieren weil dasverspannt ist der dritte Weg ist das übliche Lösungsverfahrenes ist bisschen aufwendig aber sie sehen das das übliche Lösungsverfahren tatsächlich selbst für so komische Differentialgleichungauch funktionierteder dritte Weg wird sein zu erkennen dass dieses hierein Lineal Differenzialgleichungenist H zwei Punktnicht H Quadratoder was auch immer nicht Sinus von H und wasähmund dieses Minus gehe sogar netterweise ?? Konstante das dürfte so von der zeitabhängigenKonstantean eine lineare Versagergleichungsiehst ?? in homogenenVergleichmit konstanten Koeffizientenvor dem Haar zwei Punkt steht eine einsdas heißt dafür habe ein Verfahren nach Schema F das bisschen aufwendigan dieser Stelleaber wie gesagt ich finde es interessant das einmal damit durch zertifizierte sie sehen was für komische Geschichten passieren können und trotzdem müssen Schirmer Verfahren behandelt werden können?? probieren dasman mit dem Verfahrenvon heute Morgenalsoerste Schritt beim Schema F warich gucke mir diein eine homogeneDifferenzialgleichungenumgewandelteGleichung anund suche davon die allgemeineLösungdass es erste SchrittsucheallgemeineLösungvonHaar zwei Punkt ist gleich nullzwei Punkt ist gleichnull ich schmeiße das rauswas ohne meine gesuchte Funktion steht hier minus G steht und meine gesuchte Funktiondie InhomogenitätenumeinelineareDifferenzialgleichungenhomogen mit konstanten Koeffizientenund dann geht grundsätzlich als Ansatz ein ExponentialfunktionAnsatzH von Tnicht Y von X wie bisher sondern Hafenteeist dannein Vielfaches dieses Vielfachevon ihm ?? irgendwas Komma vergessenes an sie auch schon gesehen ?? SA Komma nach ?? ständig ausstreichen?? man schreibt einfach gar nicht mehr hin ich schreibe hin eh hochund auch gar nicht Besen sowie HeißenlanderEhebruchlandermaltedas Weibchen als Ansatzsetze einund finde manche zweimal ableite kommt das Lander zweimal nach VornelanderQuadratmal eben Hochland am IT ist gleich nullvorgemerkt für alle Zeiten das gemein bei dieser Differenzialgleichungenfür alle Themenfür alle Zeiten soll das gleich null sein Punktsie teilenbeide Seiten durch ihr langsam mal T denn das ist null also wenn sie Lander Quadrat S null benannter Quadrat Rechnungswesensind andere ist gleich nullist eher komischaber gut allgemeine Lösungwas ist also die allgemeine Lösungfür diesehomogene Formdas Feuer bisher sowas wie ein Vielfachesvon ihm hochdas einealsowohl malzehnplusein Vielfaches vondem anderen was ist ?? derselbe istzweimal EU nun weitewas passierte eigentlich ?? das ist aber nicht fertig da muss was dranbasteln das ist noch nicht die allgemeine Lösung sind sie Problemeerste Beobachtung in hoch null eingesteht ?? ja A einsplus A zweinächste Beobachtungdie beiden ?? sind ja nicht unabhängig richtig ist Punkt hier noch mal sehe dass es Wiese die letzte Woche dieser Spezialfallwenn sie nur einander raus kriegen aus dieser quadratischen Gleichungfehlt Ihnen hier noch ?? zweite Lösung die sie noch dazu nehmen können und ?? durcheinander zu mischen aber ich kann einfach mal dieunabhängige Variable noch dazu nehmen das wird eine Lösung sein also hier eine Lösung A eins plus A zwei meintedas hätte man auch viel einfacher haben könnenein anschaulichessuche eine Funktionanders und ich suche die allgemeine Funktionderen zweite Ableitung gleich null ist was wird das seineine geradesehr schön sind noch anders wissen können aber hier sind sie nach Schema F führt zum Erfolgist überraschend aber für zum Erfolgso das ist der erste Teilüber den sich wie's weitergeht was der zweite Teilzweiten Schritt suche ich eine spezielle Lösungsuche ich hatten ausdrücklich einees gibt unendlich viele suche eine spezielle Lösunggesungenvon derinhomogenenForm also Haar zwei Punkt ist gleichGich suche irgendeine Funktion deren zweite Ableitungeine Konstanteistund dann habe ich sinnvollerweiseden Ansatz okay wir probieren diese FunktionisteineKonstante Zeit zehnmalT Quadratnicht das Ding zweimal ableiteist das die Quadrat weg und es steht Konstanteund nun bestimmt man die Konstantedasselbe wie eben eigentlich ich habe den Ansatz setze ihn in die Differentialgleichungein und gucken was passiert ob ich etwas über meine Konstanten raus finde mein Ansatz ich setz ihnen Vergleichung eindie zweite ableiten soll minus G seine zweite Ableitung hiervonim ersten ableiten kommt das zweirunterund dann beim zweiten Mal ist das Teeweg die zweite Ableitung wird sein zwei Cund das soll sein minus Ghübsch also weiß sichdiese Konstante ist gleich minus G halber daskennen sie alle schon ?? wurde zwei ?? kommtvon den ableitenvon die Quadratsound davon will ich jetzt die Summehabe ich die allgemeineLösungvonHaar zweiPunktgleich minusGdie allgemeine Lösung wird die Summe sein also Haar von T ist gleichA einsplus A zwei mal TA eins plus zweimal Tminus G halbeMond ?? vergessenwo sich sein konstantes ?? alles die Quadratsfeiermeinein meiner Lösung noch dabei die Haare die Quadrat mit minusda kommt dieser Term hersodas Komitee AnfangsbedingungeneinsetzenFrankensdienenkönnenPunktich möchtezur Zeit null zum Zeitpunkt null die Höhe H null haben und die GeschwindigkeitV nullan sie die Anfangsbedingungenmal hin was heißt das jetztzum Zeitpunktnullsoll die Höhe gleich H null sein Resümee doch immer das sindin der allgemeinen Lösung sehen Sie das nicht raus dass sich Kraus A eins habe ich damit bestimmt A eins muss sie anfangs für seindie Anfangsgeschwindigkeitdurch die Ableitungnach der Zeit zum Zeitpunkt nullwenn sie ableiten fliegt A eins raus?? sowieso egalwenn sie den ableitensich das Teehausdes Bad A zwei stehenwenn sie den ableitenwird aus dem die Quadrat zwei T ersetzen sie nur ein das auch weg ist bleibt nur das A zwei stehen das heißtdiese Einzel A zwei in der allgemeinen Lösung haben sofort simple BedeutungenA eins ist die Starthöheund A zwei ist die Startgeschwindigkeitdas ist die formalisierteFormelsammlung kennen und eigentlich sehen siewenn sie wissen wie sie Differenzialgleichungenlösen Beistrich unbedingt auf diese komplizierte Art das Essen bis Interesse so zu machenwofür das es wirklich auch hier funktioniert soals wenn sie wissen wie sie Differenzialgleichungenlösen und wenn sie sich an Juden erinnernist das eine Formel die man nicht in der Formelsammlung braucht