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27A.1 diskrete Zufallsgröße, Histogramm, Binomialverteilung, Poisson-Verteilung, Erwartungswert

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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man – fängt – in der Stochastik an mit Sachen die – stattfinden – oder nicht stattfindende Ereignisse – es tritt ein und es tritt nicht ein – Wort das ohne Ja Nein Entscheidung – was aber einen meist eher interessiert – ist eine Zufallsgröße – so etwas wie ein Messwert – für ein Experiment – durch – und kriege dabei – verschiedene Werte raus nicht nur Ja oder Nein – sondern die Zahlen auf einem Würfel eins bis sechs – mit Temperaturangabe – soundsoviel Kelvin – praktisch alle Messungen die Sie machen – sind – dann im Endeffekt sowas hier wie Zufallsgröße – das ist das ?? als nächstes an Punkt nach den Ereignissen – im englischen – zur Editierung – Zufallsgröße männlichen Wänden Berry jeweils Zufallsvariablen – verändern – variabel wenn sie – Kugeln – am – ?? eine super zwei Jahren keine Zufallsgröße – gucken uns mal ein Beispiel an für eine Zufallsgröße – in der Geschichte zwei Würfel – heute ausnahmsweise mal zwei ideale Würfel – und – die Zufallsgröße – die ich mir angucke – zu Fall – Größe – die soll folgendes sein – ?? – Zufallsgrößen heißen gerne Großbuchstaben – insbesondere Großbuchstabe X – ich hatte es zu monströs Großbuchstabe X – soll sein Summe der beiden Augenzahlensumme – der beiden Augenzahlen für zwei Würfel die ich werfe – und eine ganz übliche – Art sich klarzumachen – was so eine Zufallsgröße – den veranstaltet – ist das man ein Testprogramm – baut – man zeichnet ein welche Werte die Zufallsgröße – hat – haben kann soll ich sagen welche Werte kommen vor – Summe der beiden Augenzahlen – das geht offensichtlich von zwei – ?? sind eins – bis zwölf – beide Würfel sind sechs – und dann trägt man auf – was man jeweils an Wahrscheinlichkeiten – hat – wie wahrscheinlich – ist es – dass der Wert zwei kommt zwei Würfel werfen – die Augenzahlen addieren wie wahrscheinlich ist es dass der Wert zwei kommt wahrscheinlich es ist das der Wirt drei und so weiter weiterkommt ?? zwölf kommt alles auf mal – als Balkendiagramm – ist dann ein ist Programm ein Häufigkeitsdiagrammstogramm – jetzt für die Wahrscheinlichkeit – man kann auf das man damit anfangen sagen wir nehmen die Würfel werfen tausend mal zählen – die anzahlen – das wäre dann auch eine sogar mit anzahlen haben statt – Wahrscheinlichkeiten – habe ich mir jetzt um – Wahrscheinlichkeiten – wie wahrscheinlich ist das die Summe der beiden Umsatz weist man hier dann auf – Preis zweiter zwölf ist – eine sogar das beschreibt – was diese Zufallsgröße – denn so tut welchen Wert – zuweist Größe mit welcher Wahrscheinlichkeit – annehmen – und – denke damit vermisst man an bauen Sie dieses Programm muss das aussehen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – dass die Summe zwei ist es ?? – wie es die Technik wird sehr schnell das Prinzip dahinter und kann so – leicht zu Ende malen ✂ so ?? Lektion Nummer eins wenn die beiden Würfel ideales heißt das noch lange nicht dass die Summe auch in gewisser Weise – ideal ist – das eine andere – Geschichte will man die summiert – ?? das man hier die Wahrscheinlichkeit für die zwei zu bestimmen wie wahrscheinlich ist es – das meine Zufallsgröße – gleich zwei ist also aufschreibe – bin jetzt habe ich wieder so Ja Nein Entscheidung – die Wahrscheinlichkeit – dass die Zufallsgröße – gleich zwei ist das ist ein Ereignis – zu Verdruss – zwei des Ereignissen – die Summe der Augenzahl ist zwei – an – das geht nur auf eine Weise in dem der erste Würfel auf eins fällt – wahrscheinlich eine Mandantin – und in dem der zweite Würfel auf Einsfeldes ist die einzige Chance beide Würfel fallen auf – eins – in einem Sechstel der Fälle – fällt der erste Würfel auf die eins – und in diesem einen Sechstel – davon noch mal ein Sechstel – fällt der zweite Würfel auf die eins – der sich modifizieren – kann das war Unabhängigkeit – diese beiden Würfel haben nichts miteinander zu tun – in Bezug auf Stochastik – gefallen unabhängig voneinander deshalb darf die Beschaulichkeit multiplizieren – einem Sechstel der Fälle werde erst auf die eins – und davon in einem Sechstel der Fälle fällt der zweite auf die eins – dann – nebenbei hat das nicht nur mit Unabhängigkeit – zu tun sondern mit – Glas zu tun das Geschäftsjahr – Leertaste Vorstellung von Wahrscheinlichkeit – bei medialen Würfe – ein günstiger Fall von sechs möglichen Fällen – geht das sie wahrscheinlicher dass wir zwei rauskriegen also ein sechs und dreißigstes – und die Wahrscheinlichkeit – dass wir – drei rauskriegen – die habe ich natürlich dann zwei Möglichkeiten – ich kann haben das der erste Würfel auf die eins fällt und dass der zweite Würfel auf die zwei fällt – oder umgedreht – das erste Würfel auf die eins Feld dafür ist die Wahrscheinlichkeit – ein sechsten und entfällt – davon – in einem Sechstel aller Fälle der zweite Würfel auf die zwei – aber es kann ja andersrum sein das erste Würfel auf die zwei fällt das Präsidium ein Sechstel aller Fälle – muss ich gucken dass der zweite Würfel auf die eins fällt – und die beiden addieren sich – darunter die addieren was war das Handling ✂ genau verlieren dadurch wenn die Ereignisse – unvereinbar – sind wenn die Mengen des Jungen sind keine gemeinsamen Ereignisse haben – Komma worauf dritte Aktion die Ereignisse – unvereinbar – sind dann darf ich addieren – dass der erste Würfel auf eins fällt und der zweite auf zwei passiert niemals gleichzeitig damit das erst auf zwei fällt und der zweite auf eins fällt deshalb darf ich addieren und dann bin ich hierbei – zwei sechsunddreißigste – kann man kürzen und sich nicht wirklich – an und so geht das natürlich weiter – das heißt am Anfang werden Wahrscheinlichkeiten – erst größer werden und wenn ich dann hier ?? Ende Komma die Wahrscheinlichkeit – dass – die Summe der Augenzahlen zwölf ist – in habe ich dir nur eine einzige Möglichkeit – beide müssen auf sechs Wahlen – nur eine einzige Möglichkeit – ist das Wahrscheinlichkeit ist wieder ein sechsunddreißigste – sie nicht das jetzt im ?? des komplett anzuzeigen – aber sie sehen was es im Prinzip sein muss ich starte hier mit einem sechsten dreißigste dann kommt zwei sechs was ist denn endlich mit ein sechsten dreißigsten zweiunddreißigste – drei sechsunddreißigste – an – sowas wie das werden – gebraucht runde Klammer zu – schon viel zu viel – und die Höhe hier ist ein Wechsel dreißigste – das ?? seines Programm – und weil wir hier mit Wahrscheinlichkeiten – arbeiten – und irgendwas – passieren muss – Punkt es gibt keine andere Möglichkeit als das was von zwei bis zwölf rauskommt deshalb muss die Summe von diesen ganzen Balken gleich eins sein – ein sechsten dreißigste zwei Klammer zu seitigen plus Produkt plus dreißigster Rassismus zwanzig ?? einsetzen was – muss am Schluss eins ergeben bei irgendwas war davon zum Schluss passiert – das nennt sich ist Programm und es beschreibt – die Verteilung – dieser Zufallsgröße – Punkt sie sehen ich habe zwei ideale Würfel aber was hieraus kommt sie jetzt nicht mehr so ideal aus – das es auch – unübliche denke die man dann hat man fängt mit möglichst einfachen Sachen an meine Atome befinden sich in diesem Kubikmeter oder in jedem Kubikmeter und so weiter zweiter schlussendlich – weiter publizierte Verteilungen raus – Herrn aus den einfachen – Größen die man da reingesteckt hat Punkt sie fangen – mit sehr simplen Sachen an typischerweise – kriegen dann kompliziertere – Verteilungen raus – ?? schon gesagt ?? Verteilung das nennt sich Verteilung – der Zufallsgröße – ich gebe – an welche Werte – mit welcher Wahrscheinlichkeit Vorkommnisse – die Verteilung – nicht ?? eines Programm – muss dazu sagen dass die Verteilung einer – diskreten – Zufallsgröße – diese Zufallsgröße nennt sich diskret – weil sie so einzeln liegende Werte hat endlich viele Werte – als diskret – sind gleich auch noch was mit unendlich vielen werden – was eher untypisch ist das man das auch als geht aber auch – und sobald hier kontinuierliche – Werte erlauben wenn zum Beispiel – jeder Wert von zwei bis zwölf auf – in den aktuellen Zahlen vorkamen kann – ?? Peter vielleicht vorkommen – und die Wurzel fünfter Folk und so weiter wenn die alle vorkommen können – dann ist es definitiv nicht mehr diskret sondern stetig – soll sagen ist wahrscheinlich stetig aber – typischerweise – Stern stetig – als diese beiden großen Gruppen an Zufallsgrößen – die diskreten – Kasse wäre diskret – endlich viele Möglichkeiten – und die andere groß Gruppe die man sich anguckt kommt gleich die stetigen – und im Prinzip gibt's noch welche die weder noch sind Komma aber eher selten vor – Komma – wir gucken uns noch mal eine andere Verteilung an – nämlich – war – ich nehme jetzt mal nicht Idealobjekte – als Grundlage vier gezielte Münzen – und zwar somit sind alle auf dieselbe Weise dass die mit der Wahrscheinlichkeit – null Komma sieben – auf Kopf fallen – und mit der Wahrscheinlichkeit – null Komma drei – malige ZK rein es mit der wahrscheinlich seit null Komma drei auf Zahl fallen – die Zufallsgröße – X – soll jetzt sein – ich werfe diese vier Münzen – und gucke wie viele von ihren – Kopf zeigen – ?? das immer sehr knappe Zahl der Münzen – mit Kopf – als ?? werfen diese vier Münzen – dann ist keine eine zwei drei oder alle vier auf Kopf und der Rest auf Zahl – und das soll man Zufallsgröße – sein – Selein sowie auf die Kopf sie mit dem sie vier Münzen geworfen habe – wie sie das ist Programm aus – diese Verteilung aus auch das ist natürlich wieder eine diskrete Zufallsgröße – es gibt nur – endlich viele Zustände – endlich viele Möglichkeiten – dann ist es auf jeden Fall diskret – kann man schnell was über sehen – die Wahrscheinlichkeit – dass die Zahl der Münzen mit ✂ Kopf – gleich null ist dies glaube ich relativ leicht – das heißt – jede – schaffte man gemacht Komma – jede dieser Münzen – muss auf Zahl fallen – die erste Münze fällt in dreißig Prozent aller Fälle auf Zahl – in diesem dreißig Prozent fällt die zweite Münze auf Zahl – in diesen dreißig Prozent von dreißig Prozent fällt die dritte Münze und so weiter sind wie das Prinzip ist also nur Komma drei hoch vier was da rauskommt – an – der allerletzte Fall geht ähnlich einfach – wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – dass die Zahl der Münzen – die auf Kopf fallen – gleich – vier ist das alle auf Kopf fallen dann muss die erste auf Kopf ein – und – die zweite muss auf Kopf fallen und die dritte und die – Tipps – und die dritte und vierte das heißt ich habe null Komma sieben hoch vier die Fälle zwischendrin sind bisschen ekliger – spart auf Anhieb nicht klar die Wahrscheinlichkeit – dass eine Münze auf Kopf fällt und die anderen nicht – dann können sie ja haben – die erste fällt auf das – zweite nicht die dritte nicht – die vierte nicht die können aber auch haben die erste fällt – nicht auf Kopf die zweite fällt auf Kopf die dritte fällt nicht auf Kopf die vierte fällt nicht auf Kopf das sind – unvereinbare – Ereignisse wenn die erst auf Kopf weltweit auf Kopf und so weiter und dieses hier das kann niemals gleichzeitig passieren ich werde diese Wahrscheinlichkeiten – addieren müssen und dazu kommt noch Kopf einer dritten Position Kopf an der vierten Position – vier Möglichkeiten – vier mal die Wahrscheinlichkeit – dass sie erst auf Kopf die zweit auf Zahl und so weiter fällt also vier mal – null Komma sieben – mal null Komma drei – Ziffer des Gewissens gab es passiert nicht nur Komma drei hoch drei vier mal null Komma sieben mal null Komma drei drei – vier Möglichkeiten – das einmal Kopf kommt der Restzahl ist – und jeder der Möglichkeiten – habe ich dann null Komma sieben mal null Komma drei mal nur Komma einmal nur Komma dass Wahrscheinlichkeiten – all das muss ich addieren – wieder der – dritte Komma worauf – unvereinbare – Ereignisse – analog passiert es – ?? soll erst mal drei machen sich leichter – analog passiert es – wenn ich wissen will – wie groß die Wahrscheinlichkeit – ist das drei von den vieren auf Kopf fallen das heißt der eine fällt auf Zahl – eine fällt auf Zahl die Anfang auf Kopf – sind wieder vier Möglichkeiten – das – anzuordnen – also vier mal wird sie Wahrscheinlichkeit von eine – Beschaulichkeit – von Zahl ist nur Komma drei mögliche null Komma sieben hoch drei – vier mal null Komma sieben hoch drei – mal null Komma drei – wurde in der Mitte ist der – schwierigste – X ist gleich – zwei – wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – dass meine Zufallsgröße – gleich zwei ist – wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – das zwei – nicht drei – von diesen Münzenkopf – zeigen – ähm das kann so sein Kopfkopfzahl – Zahl Kopfzahl – Kopfzahl – Kopfzahl – Zahlkopf – und so weiter – das ist ein bisschen Rechnerei sehen Sie die Chance – das anders rauszukriegen – möchte wissen wie viele Möglichkeiten hier berücksichtigen – muss – in Lineal genau vier über zwei – kommt hier und das war eigentlich viel über eins und die einst ihr steht sein ?? vierter null vier über zwei – wie für Möglichkeiten – gibt es zwei von vieren auszuwählen – darf zwei ausgewählte – habe ich zwar ausgewählt dadurch zu ausgewählten – diese Möglichkeit gibt es zwei aus vieren auszuwählen – so viele – muss ich berücksichtigen – müssen jetzt habe ich dann nur Komma Siemens Quadrat und null Komma drei ins Quadrat – so sieht das aus – das nennt sich – Binominalverteilung – Genesis Profiles – das ist die Binominalverteilung – die hatten irgendwann schon mal gesehen – am – Ideal – der – Beteiligung – die sieht dann so aus – die Wahrscheinlichkeit – dass meine Zufallsgröße – gleich einer Zahl K ist – ist folgendes – wie viel habe ich insgesamt – nimm was groß N – über K – dann sind Sie hier eine Wahrscheinlichkeit – hoch K – Komma sieben hoch eins Komma sieben hoch zwei null Komma sieben hoch drei null Komma sieben hoch vier – die eine Wahrscheinlichkeit – hoch K – und die andere Wahrscheinlichkeit – ist das Gegenteil davon die andere Wahrscheinlichkeit – eins minus P – hoch wie viel in dieser allgemeinen Formel – in – Oscar – sowie das in der allgemeinen Formel aus – Windes muss immer ergänzen – viermal den Faktor null Komma drei null Malfaktor – nur null Komma sieben drei ?? den Faktor null Komma drei einmal den Faktor null Komma sieben sind wieder vier zusammen – zweimal den Sommer den insgesamt vier einmal den dreimal den zusammen vier viermal den anderen – Komma vier Wahrscheinlichkeiten – die modifiziert werden ?? – groß N Wahrscheinlichkeiten – die modifiziert werden – also nicht von den ersten K habe sie von zweiten groß in Minsk haben – das finden Sie in der Formelsammlung – als Formel für die Binominalverteilungsinnes – keine Hexerei des einzig klar was da passiert – das billigste Beispiel ist hier – mit gezielten Münzen – als sollte man tatsächlich mal ansatzweise – die ausrechnen – gerade in mich gehen – Leerschritt und eigentlich – die können damit jetzt in der Tabellenkalkulation – gehen und das – Programm Platten muss es weist keine gute Idee war das so krumme Werte sind das jetzt zu Fuß zu machen – wenn es mal selber aus – was wir aber vielleicht mal angucken sollten – ist der Erwartungswert – wenn ich diese – vier Münzen – tausend ?? miteinander werfe immer vier Münzen werfen noch mal die vier Münzen werfen und so weiter – wir müssen tausendmal miteinander werfe und dann den Mittelwert bestimme – der Zeile müssen die Kopf zeigen den Mittelwert – über diese tausend Experimente – dann nähert sich das mehr und mehr dem was man in der Stochastik den Erwartungswert – nennt – Erwartungswert – ist das was der Mittelwert wird wenn ich in alle Ewigkeit mein Experiment wiederholen – oder – wie der Name sagt der erwartete – Wert – was erwarten Sie als Wert wenn sie das Experiment – machen – im Mittel ist gemeint das kann ziemlich krumm sein – Wert – wenn wir das hier – für unsere – Münzen machen – heißt das ich muss das jetzt gewichtet – addieren – der Wert null – kommt mit dieser Häufigkeit – in diesem – Anteil – aller Fälle kommt der Wert null raus – okay – null mal – null Komma drei hoch vier plus – der Wert eins – kommt in diesem Anteil aller Fälle Rausfirma – null Komma sieben mal null Komma drei hoch drei – einmal – gewährt eins vier mal null Komma sieben – mal null Komma drei hoch drei – und dann kommt der Wert – zwei – in diesem – Teil aller Fälle raus – wie über zwei – zwei mal vier über zwei mal null Komma sieben Quadratmeter – Komma ein Quadrat – zu geht es natürlich weiter – Klosterwert – drei kommt – vier mal – null Komma sieben hoch drei – mal null Komma drei – eins und der Wert vier – kommt – mit null Komma sieben – hoch vier – der Gedanke hinter den Erwartungswert – ist – diesem – Anteil aller Fälle kommt die null raus in diesem Anteil aller Fälle kommt die eins raus in diesem Anteil alle Fälle kommt zwei raus – und so weiter – und so weiter über alle möglichen Werte – wenn sie das ausrechnen – haben sie das was – er über lange Dauer im Mittel rauskommen wird als Mittelwert rauskommen wird – der nennt sich überhaupt – groß die eckigen Klammern historischerseits – groß E in eckigen Klammern dann die Zufallsgröße – X – ein Geräuschschreiben auch in runden Klammern – wie auch immer – dann – dieses groß I dass man sich relativ einig das vorstehen – können mal – vorsichtig versuchen – festzustellen in welche Ecke dieser Erwartungswert – liegen muss wenn sie – einfach nur diese Aufgabenstellung – sehen – die Münzen fallen eher auf Kopf und zwar deutlich eher auf Kopf als auf Zahl – was würden Sie aus dem Bauch heraus erwarten – wird passieren wenn sie überlange Dauer den Mittelwert bilden – der Erwartungswert – hat was mit der Zufallsgröße – zu tun nicht mit einer Wahrscheinlichkeit – ?? wenn das mit Einheiten machen ✂ ?? sich vor sie hätten ihr Längenmessung – null Meter ein Meter zwei Meter drei Meter vier Meter der Erwartungswert hat dieselbe Einheit – wie die Zufallsgröße – das ist keine Wahrscheinlichkeit – nicht irritieren lassen Erwartungswert muss nicht zufällig irgendwie zwischen null eins sieben oder so Erwartungswert – hat dieselbe Einheit für ihre Zufallsgröße – das kann sonst was sein drei tausend Kelvin – oder – vier Zentimeter – ?? – insofern – kann man – mit man nicht annehmen dass der Erwartungswert – jetzt was mit null Komma sieben direkt zu tun haben wird sondern es muss er so sein – das ein Schritt weiter denken – diese Münzen – lieben es auf Kopf zu fallen – was heißt das für diesen Erwartungswert – wenn die Münzen es lieben auf Kopf zu fallen – wenn überhaupt irgendwas würde ich den in der Größenordnung von drei vermuten – in der Tat wenn die Münzen ideal wären – wenn die Münzen ✂ ideal wären null Komma fünf null Komma fünf – Interesse die ganze Zeit passiert nur Komma fünfmal nur Käufe von Käufen von null Komma fünf ihr steht locker fünf hoch vier ihr steht null Komma fünf ?? Doppelpunkt drei schon wieder null Komma fünf O vier besteht schon wieder null Komma fünf O vier Nummer fünf hofiert – das ist alles symmetrisch um die Mitte – und natürlich wäre der Erwartungswert – zwei – in die vier Münzen ideal sind – erwarte ich das im Mittel zwei – Kopf zeigen das kriegen sie dann auch in der Tat raus – hier stünde – null mal null Komma fünf hoch vier einmal vier mal null Komma fünf vier hielte dreimal – Firmen-und Philosophie und so weiter das würde sich ausbalanciert – in der Tat kämen zwei rausmüssen ?? ausgerechnet – klar – jetzt Sammlermünzen – die ihr auf Kopf fallen – das heißt das Ganze wird in Richtung drei vier gezogen werden auf jeden Fall – was wäre ?? Komma mein zenidicheck wenn sie den Erwartungswert ausrechnen ?? sie finden der Erwartungswert – ist unter zwei dann wissen Sie halt etwas ganz schiefgelaufen – dieser Erwartungswert – muss definitiv – über zwei liegen – aber – unter was – muss zwangsläufig kleiner sein als vier – ähm – wenn ich immer Zahlen habe zwischen null und vier und ich bin das Mittel aus Zahlen zwischen ✂ null und vier – null plus eins plus vier plus drei plus zwei plus und so weiter nicht teile durch die Anzahl – dann kann das ja niemals – gleich vier werden das muss immer kleiner sein als hier – also weiß ich in diesem Fall Erwartungswert – muss auf jeden Fall kleiner sein als wir – uns – wegen dieser Überlegung mit der Balance – muss er größer sein als zwei – alles andere – wäre schlechtes Zeichen – also das wäre die Idee vom Erwartungswert – man kann den jetzt hier für die Binominalverteilung – auch noch als Formel angeben relativ billig – das wäre – Vinum Jahr Verteilung – und an meine Idee vom Erwartungswert – jetzt gucken ?? andere Verteilung ✂ angemessen komplizierter ist – die haben wir auch schon mal an anderer Stelle – stellen sich vor sie fischen in einem sehr großen See – und in diesem See – sind in der Mathematik – der davon einfach Anna machen – in diesem See sind – im Schnitt – fünf Fische pro Kubikmeter – fünf Fische pro Kubikmeter – und jeder Fisch für sich – sucht sich seinen eigenen Platz – die Schwämme nicht – dicht beieinander oder weit voneinander weg jeder Fisch sucht sich seinen eigenen Platz – beeinflussen einander nicht um es möglichst einfach zu machen – an – mein Zufallsexperiment – ist ich Fische ein Kubikmeter raus – vernetzt das ich da einmal mit dem Jammer abschöpfe – das Set enthält ein Kubikmeter – ich Fische ein Kubikmeter – einen Kubikmeter – und meine Frage ist wie viele Fische sind dann – im Netz das ist die Zufallsgröße – X soll jetzt seien die Zahl der Fische im Netz – wie viele Fische – sind in diesem ein Kubikmeter – gerade – ?? kann sein dass da kein Fisch drin ist weil sich alle gerade anders – entschieden haben – kann sein dass der tausend Fische drin sind – weil da unbedingt jetzt – Versammlung machen wollen kleiner sein kann sogar sein das eine Million Fische drin sind – in der Mathematik Jahr – waren im letzten bisschen eng vielleicht aber in Mathematik würde man das auch noch zulassen und Milliarden – was auch immer – Komma ansatzweise – den Trick wie man das behandeln kann – der Trick ist das erst mal endlich zu machen – man nimmt erst mal nur – tausend Kubikmeter und fünf tausend Fische kann man sich das ?? leichter veranschaulichen – keinen ganzen See kein Universum voll mit Wassers ist man nur tausend Kubikmeter – und – fünf tausend Fische – das sind dann ja im Schnitt fünf pro – Kubikmeter – und der Rechner nur einen aus wie groß ist die Wahrscheinlichkeit – dass diese Zufallsgröße – die Zahl der Fische in diesem Quadratmeter – gleich drei ist – wahrscheinlich – Komma – wenn sie zählen – wie ✂ viele Möglichkeiten – jeder Fisch hat jeder Fisch sucht sich einen von den tausend Kubikmeter – unabhängig von allen anderen – das – wieder ganz brutal mit der Glasmacher – einfach die Zeile Möglichkeiten zählen – der erste – hat tausend Möglichkeiten – der erste Fisch – sich ein Kubikmeter zu suchen ?? der zweite – hat auch tausend Möglichkeiten sich ein Kubikmeter zu tun zu suchende darf ruhig dieselben Kubikmeter nehmen der dritte hat schon wieder tausend Möglichkeiten – der darf auch normal denselben Kubikmeter in die stören sich gegenseitig – nicht – dreißig Wikirunden für jeden Fisch – den Faktor tausend was die Zahl der Möglichkeiten – angeht ?? unten habe ich also tausend O fünf tausend ?? ich gerade bin – das wäre die Zahl der Möglichkeiten tausend ?? erstmals tausend ?? zweiten Mahnmal mal ohne dass sie sich gegenseitig – in die Quere kommen – Punkt oben zähle ich jetzt die günstigen Möglichkeiten – bei seinem erst mal folgendes – der erste Fisch unter zweite Fisch unter dritte Fisch die entscheiden sich – in diesen ein Kubikmeter zu schwimmen – damit in das Netz zu schwimmen und die übrigen vier tausend neun hundert siebenundneunzig – entscheiden sich anders – der erste Fisch – hat deshalb nur eine einzige Möglichkeit – er muss diesen ein Kubikmeter – nehmen der zweite hat auch nur eine Möglichkeit ?? muss diesen ein Kubikmetern – in der dritte – ein Kubikmeter nimmt der vierte Fisch soll jetzt nicht diesen ein Kubikmeter – nehmen – das heißt diese Möglichkeiten für den vierten Fisch – nimmt einen von den neun hundert neunundneunzig – anderen Kubikmeter – der fünfte Fisch muss ein von den hundert neunundneunzig anderen nehmen und so weiter – und der fünf Tausendstel Fisch muss einen von den hundert neunundneunzig – anderen nehmen – wie viele Faktoren hundert neunundneunzig habe ich da – an sie haben fünf tausend minus drei – Fische da also neun hundert neunundneunzig hoch fünf tausend minus drei haben wir hinten – oder schreibt es wirklich – ich habe wirklich vier tausend neun hundert – sieben neunzig in so – manche einmal eins mal eins davon ist natürlichen bisschen – so – das ist aber erst die Anzahl der möglichen – kalten – ?? dass die ersten drei Fische – in diesem Kubikmeter sind es müssen aber doch nicht die ersten drei nur sein – es könnte auch der erste sein der hundertste unter fünf hundertste – wurde der drei hundert und ?? drei hundert vier zwanzigste und der hundert neunzigste – es müssen nicht die ersten drei Fische sein das hier wäre jetzt die Anzahl – in den ersten drei Fische im Netz sind und die übrigen nicht – wie kann ich jetzt berücksichtigen – das auch noch – andere drei Fische im Netz sein können – ?? fünf tausend über drei wie viele Möglichkeiten – gibt es drei – von den fünf tausend Fischen auszuwählen – die in den ersten Kubikmeter gehen – suchen drei von den fünf tausend Fischen den ersten Kubikmeter gehen – die Hand über so eine Möglichkeit – und für die anderen vier tausend hundert siebenundneunzig – achtzehn hundert neunundneunzig Möglichkeiten jeweils pro Fisch deshalb diese Potenz das kommt daraus man streng gerechnet – und nun hofft man das man das irgendwie zusammenfassen kann man entweder Weisen zusammenfassen – und sieht dann jemand einfacher schreiben kann dass wir jetzt hier – in Und-Zeichen exakt gerechnet – für tausend Kubikmeter und fünf tausend Fische – ich möchte nachher natürlich einen Grenzwert bilden was passiert mit fünf Millionen Fischen und einer Million Kubikmeter Wasser mit fünf Milliarden Fischen und einer Milliarde Kubikmeter – diese Formel wird netterweise – einfacher im Grenzwert – ?? das man exaktes Resultat für – diese fünf tausend Fische – ich schreib das mal – was um – da steht also fünf tausend über drei dass es fünf tausend mal vier tausend hundert neunundneunzig – mal vier tausend neun hundert – achtundneunzig – durch drei Fakultät – das ist der Binomialkoeffizient – da vorne – und entsteht hier mal – auch anscheinend eins durch tausend – hoch – drei – und dann steht da noch neun hundert neunundneunzig – durch tausend – hoch – vier tausend – neun hundert siebenundneunzig – dasselbe einfach normal hingeschrieben – in Binomialkoeffizient – schon mal aus buchstabiert – und diese fünf tausend hier tausend O fünf tausend die fünfte Ausgabe schon auseinandergenommen – tausend hoch drei – tausend O vier tausend hundert siebenundneunzig – desselben Mannes hingeschrieben – wenn sie ganz ganz genau hingucken – stellt sogar fest dass diese Kiste hier – nichts anderes als eine Vinum Jahr Verteilung ist – das angucken – einen – Binomialkoeffizient – eine Wahrscheinlichkeit – Hochkamal – die gegen Wahrscheinlichkeit – hoch ?? minus kam – das ist absurderweise – das Ergebnis einer Vinum Jahr Verteilung auch das – die können sich das auch so vorstellen – dass sie fünf tausend Münzen haben – die aber extrem – gezielt sind diese fünf tausend Münzen fallen nur in jeweils ein Tausendstel der Fälle – auf Kopf – dasselbe – fünf tausend Münzen – jede Feldmann ein tausend ?? der Fälle auf Kopf und sie zählen – wie groß die Wahrscheinlichkeit – ist – das drei von den Münzen – auf Kopf ein – und dasselbe Resultat eines mal drüber nachdenken – ist die Zunge zum ?? dieselben Formen – dann was mich jetzt aber interessiert es einen Grenzwert – dieses immer weiter zu treiben als Vergleich rauskriegen ist ein Grenzfall der Vinum Jahr Verteilung das ist noch Vinum Jahr verteilt und ?? jetzt weiter arbeitet ?? tausend nimmt sondern zehn tausend hundert tausend so weiter – wie das ganze – von der Form her einfacher – Punkt ich hoffe ich biete sie auf die Schnelle hin diskutiert – wie man sich das – vereinfachen – kann hier hinten der – nach – der hier hinten der schreit nach eins minus ein Tausendstel – hoch vier tausend neun hundert siebenundneunzig – hier die neun hundert neunzig ein ein Tausendstel – und – alle gucken – hoffe das ändert sich ?? bisschen an B – wenn ich diesen hier hätte eins minus ein Tausendstel – hoch tausend – ?? es ist ja nicht ganz – Komma müssen das dazu – was wäre dieses hier – in guter Näherung ✂ wenn das hier stünde dann Wärme aus dem Schneider dann steht er nämlich eh hoch minus eins in guter Näherung – ?? eins Plus X durch N – hoch N – endet immer größer dass wir zum Schluss eh hoch ?? Quelle ist gleich minus eins – das sie wird also der Kehrwert von ihr werden mit hoch tausend wäre das ärgerlich es ist hoch tausend – ?? wie kann ich das retten – auch wie viel nehme ich das damit tatsächlich hin kommt – ungefähr ✂ sie nehmen den hoch etwa fünf dann haut es hin – eins minus ein Tausendstel – hoch fünf tausend – vier tausend neun hundert ?? ?? eins minus – ein – tausend so hoch fünf tausend das Haus hin – und jetzt kann ich mit meinem Wissen über die Ehefunktion – hantieren – innen drinnen hier das ist der Kehrwert von EE – das heißt was ist das gesamte hier ungefähr – mit dem hoch fünf ✂ ?? das muss insgesamt – hoch minus – fünf werden – noch mal der Trick hier von vorne neun hundert Tausendstelmark – zu eins minus ein Tausendstel – ?? hat man im Hinterkopf – dieses hier hoch tausend was hat das mit der Ehefunktion zu tun ?? steht aber blöderweise nicht hoch tausend sondern hoch – knapp fünf tausend – ?? hoch tausend und ?? noch mal die fünfte Potenz – damit ich am Ziel das hier hinten wird auf lange Frist jedoch minus fünf werden – wenn sie hier nicht – tausend Kubikmeter haben seine Millionen Milliarden Billionen Kubikmeter haben wird sich das hinten allmählich – auf ihre minus fünf einschießen – und dass ihr vorne vereinfacht sich auch – die Seite drei Fakultät – die ändert sich nicht wenn ich weiterhin sage ich möchte drei Fische da haben das bleibt bei einzig drei Fakultät – aber wenn sich das angucken fünf tausend – durch tausend – mal vier tausend neun hundert neunundneunzig – durch tausend – mal vier tausend neun hundert achtundneunzig – durch tausend – was wird das auf lange Sicht werden wenn es sich jetzt tausendste werden sondern Millionstelmilliardstel – werden ✂ das sie wird – fünf hoch drei werden – nach ?? habe ich hier fünf Millionen mal fünf Million minus eins und minus zwei durch eine Million eine Million einen – und so weiter und so weiter dass sie wird fünf mal fünf – mal fünf werden – dann dem Fernziel – wenn sie das Becken den Segen unendlich groß machen – und sich dann im Grenzwert angucken – wird das folgendes werden einst durch drei Fakultät – mal – fünf hoch drei – mal E hoch minus fünf oder anders geschrieben einst durch – ?? also – fünf hoch drei durch drei Fakultät – mal die hoch – fünf – das wird auf lange Dauer werden – fünf – hoch drei – als Ultrafakultät – minus fünf – das ist – dann was man als Post zur Verteilung bezeichnet – die Zahl der Fische im Netz wenn sie wollen Punkt zur Verteilung – zur – PU ISS UN was lustiges Weihwasser im Fisch heißt – der gute ?? – das erfunden hat heißt auf Deutsch Fisch – am – ?? das merken – die formelsammlungsmäßige – Formel kann man jetzt auch erraten – ist dann nahe liegend wie sie sein muss die Wahrscheinlichkeit – dass – diese Zahlenfischen – im Netz gleich einer bestimmten Zahl K ist – ist also Sie sehen das die drei war unser K – eins durch Ka Fakultät – jetzt brauche ich – Hochkamal – E hoch – minus – irgendwas – diese Zahl fünf heißt wie eine Lamm dar – wenn's um die Wasserverteilung – geht – Lander Hochkamal – eine solche Lösung geschrieben ?? mal E hoch Minuslander – oder mit einer Schreibweise – Lander Hochka durch Ka Fakultät war – Lander das nennt sich die Person verteilt sie können jetzt sagen okay für drei Fische es ist die Wahrscheinlichkeit – für zwei Fische – mit der zwei für einen Fisch mit ?? keinen Fisch die wahrscheinlich kein Skype keinen Fisch zu fangen – einst durch null Fakultät ist eins mal fünf hoch null ist eins mal E hoch minus fünf ihre minus fünfzehn Wahrscheinlichkeit keinen Fisch zu fangen – und so weiter Komma vorgehen – will – und das Widget gesehen haben ?? ein Grenzfall der Bildungsjahr Verteilung – ein – echtes ?? Komma was zu diskreten Zufallsgrößen – sagen – nun – wie viele Möglichkeiten – habe ich jetzt für diesen Wert von X – was können Sie als Ka alles einsetzen – welche Zahl K kann ich betrachten ✂ X ist gleich eins X ist gleich zwei Ziffer X ist gleich null – was kann ich als Einsetzen für das Karplus – nicht unbedingt aber beliebig große Zahlensysteme – können hier auch Fragen wie groß die Wahrscheinlichkeit – dass ich dreißig fand das Milliarden – Fische im Netz habe – beliebig große Zahlen kann ich einsetzen das ist anders als das was wir irgendwelche – beim Aufladen der ?? ist zwölf – oder was ich hier einundvierzig – Münzen hatte – allerdings bis vier – hier kann ich – beliebig große – natürliche Zahlen einsetzen und ein zwei drei vier – beliebig groß das heißt die Zahl der Fälle die ich hier habe ist ?? endlich groß – ein fest Zweifel dreißig null Fisch natürlich auch drei Millionen Fischer – den Pandas Jan Fischer – die Zahl der Fälle ist unendlich groß auch das ist noch diskret – auch diese Verteilung nennt man noch diskret sie hatten abzählbar – unendlich viele – Möglichkeiten – abzählbar – besagen endlich viele oder so viele wie es natürliche Zahlen – kann die Zahl an Möglichkeiten abzählen – das gilt noch als – diskrete Verteilung – warnen – und auch da kann ich dann den Erwartungswerten – sind wir den Erwartungswert – klassisch berechnen – der Wert mal seine Wahrscheinlichkeit – bloß der nächste wird man seine Wahrscheinlichkeit – ist der Messwert mal seine wahrscheinlich auf zu mir nur wenn ich hier unendlich viele Summen haben Wasserverteilung – sie trotzdem durchgehendes – Komma an – was passiert wenn ich davon jetzt in Erwartungswert – berechnen – also ich habe die gegeben die Wahrscheinlichkeit – das K rauskommt – ist Lander Hochka durch Kafakultät – ihr Plan dabei und zweites Lander eben fünf – und nun rechne mal den Erwartungswert – Erwartungswert – von dieser – Zufallsgröße – das ist – eine Möglichkeit ?? rauskommt ist die Zahl null – mal die Wahrscheinlichkeit – mit der die Zahl null kommt – Lander hoch null durch null Fakultät – wie Hochlanderlander – hoch null durch null Fakultät – Ebenlander – in Essenzahl herauskommen kann ist eins ein Fisch im Netz Mallander hoch eins durch eins Fakultätslander – das ist dessen Wahrscheinlichkeit – überstanden des eins rauskommt – plus – zwei kann raus kommen mal – dessen Wahrscheinlichkeit – Warlander hoch zwei durch zwei Fakultät I Hochlander – plus und so weiter – schreiben Sie malen – noch zwei drei so manchen dazu – und versuchen Sie sich zu überlegen was das zum Schluss wird – wie man das dann zusammenfassen – kann Lustigerweise – kann man diese – unendlich lange Summe Reihe – diese Reihe kann man zusammenfassend – ganz billig zusammenfassen – annehmbar dazu und versuchen sie zu erkennen zusammenfassen kann ✂ also weiter mal einen Term mehr hier – dreimal – Lander hoch drei – durch drei Fakultät – flammender plus und so weiter – im ersten steht Mal null den Körper schon vergessen – so jetzt habe ich überall mindestens ein Lander – und überall das E Hochlander – unten stehen das ganze schon mal ausklammern Lander durch – die Hochlander Klammer zu aus – ?? entsteht hier eins – durch eins Fakultät – plus – hier steht zweimal – landen dadurch zwei Fakultät – zweimal Lander durch zwei Fakultät – hier steht dreimal Landerquadrat – durch drei Fakultät – geht es natürlich weiter – chinesische mit dem Summenzeichen hinschreiben aber ich bin es an dieser Stelle – passenderweise mit dem Summenzeichen unübersichtlicher – als wenn man es somit ?? Bändchen schreibt – und ?? Komma netterweise kürzen zwei Fakultät ist zwei mal eins Fakultät den Kürzen bei John steht nur noch eins Fakultät – drei Fakultät ist drei mal zwei Fakultät – wickeln die drei Kürzen entsteht hier und nur noch zwei Fakultäten – das geht natürlich hier weiter – mit den weiteren Kern – soll doch noch einen dazuschreiben – als wenn hier viermal Lander hoch drei – durch vier Fakultät habe als nächsten – die vier Kürzeln entsteht und nur noch drei Fakultät – denkt man zwei Monate zurück – eins plus Lamm dar plus Bischofs hat man in Einsplus – Lander – Loslanderquadrat – halbe Plus Lander hoch drei – durch sechs plus und so weiter ✂ das hier ist nichts anderes als die altbekannte Exponent der Funktionen sich jemand erinnert E Hochlander wird das werden – werden einmal die – Produktformel – für die Exponentialfunktion – eins Plus Lander hoch in hoch in die Kanne ähm schon mal vor das für N gegen unendlich – und das hier ist die Summenformel – für die Exponentialfunktion – Lander Hochka – durch Ka Fakultät – über alle Karten summiert Lander hoch null durch null Fakultätslander – hoch eins durch eins Fakultätslander – hoch zwei durch zwei verbindlich – ?? drei Fakultät – das kam – mal als Ergebnis für die Exponentialfunktion – das heißt hier steht das ist Lander – durch die Exponentialfunktion – mal die Exponentialfunktion – wunderschöne können kürzen das ist Lander – Erwartungswert – der – Post zur Verteilung – ist – nach horrende Rechnung – mit unendlich langen Summen schlicht und ergreifend Lander – nun – endlich das hier angucken – warum ist das jetzt nicht – völlig überraschend das Erwartungswert – von dieser Kistelander – ist was war die Rolle von dem Lander ✂ ja das ist ist der schöne Mittelwert über das Lander gebaut eben Bass fünf – eben war die Zahl fünf die Zahl der Fische die im Schnitt pro Kubikmeter – sind die mittlere Zahl an Fischen pro Kubikmeter – denn wär's doch höchst dramatisch wenn mir das jetzt nicht als Erwartungswert aus – fünfte mit der Zahl an – Fischen im Netz ist – ja mal etwas ausreichend Wasser schon längst wussten – dieses hier – das Lander was hier in der Formel steht ist Erwartungswert – apostroph s – ?? bei mir war's eben die mittlere Zahl an Fischen – im Netz – das heißt diese Rechnung hier funktioniert sogar noch ganz nett – für – abzählbar – viele Fälle – für diskrete – Zufallsgrößen – können Sie so rechnen – dann gucken uns morgen – mal die andere große Klasse an stetige – Zufallsgrößen – der Hau das nicht mehr hin mit der Summe muss anders rechnen