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27A.1 diskrete Zufallsgröße, Histogramm, Binomialverteilung, Poisson-Verteilung, Erwartungswert


CC-BY-NC-SA 3.0

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manfängtin der Stochastik an mit Sachen diestattfindenoder nicht stattfindende Ereignissees tritt ein und es tritt nicht einWort das ohne Ja Nein Entscheidungwas aber einen meist eher interessiertist eine Zufallsgrößeso etwas wie ein Messwertfür ein Experimentdurchund kriege dabeiverschiedene Werte raus nicht nur Ja oder Neinsondern die Zahlen auf einem Würfel eins bis sechsmit Temperaturangabesoundsoviel Kelvinpraktisch alle Messungen die Sie machensinddann im Endeffekt sowas hier wie Zufallsgrößedas ist das ?? als nächstes an Punkt nach den Ereignissenim englischenzur EditierungZufallsgröße männlichen Wänden Berry jeweils Zufallsvariablenverändernvariabel wenn sieKugelnam?? eine super zwei Jahren keine Zufallsgrößegucken uns mal ein Beispiel an für eine Zufallsgrößein der Geschichte zwei Würfelheute ausnahmsweise mal zwei ideale Würfelunddie Zufallsgrößedie ich mir anguckezu FallGrößedie soll folgendes sein??Zufallsgrößen heißen gerne Großbuchstabeninsbesondere Großbuchstabe Xich hatte es zu monströs Großbuchstabe Xsoll sein Summe der beiden Augenzahlensummeder beiden Augenzahlen für zwei Würfel die ich werfeund eine ganz üblicheArt sich klarzumachenwas so eine Zufallsgrößeden veranstaltetist das man ein Testprogrammbautman zeichnet ein welche Werte die Zufallsgrößehathaben kann soll ich sagen welche Werte kommen vorSumme der beiden Augenzahlendas geht offensichtlich von zwei?? sind einsbis zwölfbeide Würfel sind sechsund dann trägt man aufwas man jeweils an Wahrscheinlichkeitenhatwie wahrscheinlichist esdass der Wert zwei kommt zwei Würfel werfendie Augenzahlen addieren wie wahrscheinlich ist es dass der Wert zwei kommt wahrscheinlich es ist das der Wirt drei und so weiter weiterkommt ?? zwölf kommt alles auf malals Balkendiagrammist dann ein ist Programm ein Häufigkeitsdiagrammstogrammjetzt für die Wahrscheinlichkeitman kann auf das man damit anfangen sagen wir nehmen die Würfel werfen tausend mal zählendie anzahlendas wäre dann auch eine sogar mit anzahlen haben stattWahrscheinlichkeitenhabe ich mir jetzt umWahrscheinlichkeitenwie wahrscheinlich ist das die Summe der beiden Umsatz weist man hier dann aufPreis zweiter zwölf isteine sogar das beschreibtwas diese Zufallsgrößedenn so tut welchen Wertzuweist Größe mit welcher Wahrscheinlichkeitannehmenunddenke damit vermisst man an bauen Sie dieses Programm muss das aussehen wie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass die Summe zwei ist es ??wie es die Technik wird sehr schnell das Prinzip dahinter und kann soleicht zu Ende malenso ?? Lektion Nummer eins wenn die beiden Würfel ideales heißt das noch lange nicht dass die Summe auch in gewisser Weiseideal istdas eine andereGeschichte will man die summiert?? das man hier die Wahrscheinlichkeit für die zwei zu bestimmen wie wahrscheinlich ist esdas meine Zufallsgrößegleich zwei ist also aufschreibebin jetzt habe ich wieder so Ja Nein Entscheidungdie Wahrscheinlichkeitdass die Zufallsgrößegleich zwei ist das ist ein Ereigniszu Verdrusszwei des Ereignissendie Summe der Augenzahl ist zweiandas geht nur auf eine Weise in dem der erste Würfel auf eins fälltwahrscheinlich eine Mandantinund in dem der zweite Würfel auf Einsfeldes ist die einzige Chance beide Würfel fallen aufeinsin einem Sechstel der Fällefällt der erste Würfel auf die einsund in diesem einen Sechsteldavon noch mal ein Sechstelfällt der zweite Würfel auf die einsder sich modifizierenkann das war Unabhängigkeitdiese beiden Würfel haben nichts miteinander zu tunin Bezug auf Stochastikgefallen unabhängig voneinander deshalb darf die Beschaulichkeit multipliziereneinem Sechstel der Fälle werde erst auf die einsund davon in einem Sechstel der Fälle fällt der zweite auf die einsdannnebenbei hat das nicht nur mit Unabhängigkeitzu tun sondern mitGlas zu tun das GeschäftsjahrLeertaste Vorstellung von Wahrscheinlichkeitbei medialen Würfeein günstiger Fall von sechs möglichen Fällengeht das sie wahrscheinlicher dass wir zwei rauskriegen also ein sechs und dreißigstesund die Wahrscheinlichkeitdass wirdrei rauskriegendie habe ich natürlich dann zwei Möglichkeitenich kann haben das der erste Würfel auf die eins fällt und dass der zweite Würfel auf die zwei fälltoder umgedrehtdas erste Würfel auf die eins Feld dafür ist die Wahrscheinlichkeitein sechsten und entfälltdavonin einem Sechstel aller Fälle der zweite Würfel auf die zweiaber es kann ja andersrum sein das erste Würfel auf die zwei fällt das Präsidium ein Sechstel aller Fällemuss ich gucken dass der zweite Würfel auf die eins fälltund die beiden addieren sichdarunter die addieren was war das Handlinggenau verlieren dadurch wenn die Ereignisseunvereinbarsind wenn die Mengen des Jungen sind keine gemeinsamen Ereignisse habenKomma worauf dritte Aktion die Ereignisseunvereinbarsind dann darf ich addierendass der erste Würfel auf eins fällt und der zweite auf zwei passiert niemals gleichzeitig damit das erst auf zwei fällt und der zweite auf eins fällt deshalb darf ich addieren und dann bin ich hierbeizwei sechsunddreißigstekann man kürzen und sich nicht wirklichan und so geht das natürlich weiterdas heißt am Anfang werden Wahrscheinlichkeitenerst größer werden und wenn ich dann hier ?? Ende Komma die Wahrscheinlichkeitdassdie Summe der Augenzahlen zwölf istin habe ich dir nur eine einzige Möglichkeitbeide müssen auf sechs Wahlennur eine einzige Möglichkeitist das Wahrscheinlichkeit ist wieder ein sechsunddreißigstesie nicht das jetzt im ?? des komplett anzuzeigenaber sie sehen was es im Prinzip sein muss ich starte hier mit einem sechsten dreißigste dann kommt zwei sechs was ist denn endlich mit ein sechsten dreißigsten zweiunddreißigstedrei sechsunddreißigsteansowas wie das werdengebraucht runde Klammer zuschon viel zu vielund die Höhe hier ist ein Wechsel dreißigstedas ?? seines Programmund weil wir hier mit Wahrscheinlichkeitenarbeitenund irgendwaspassieren mussPunkt es gibt keine andere Möglichkeit als das was von zwei bis zwölf rauskommt deshalb muss die Summe von diesen ganzen Balken gleich eins seinein sechsten dreißigste zwei Klammer zu seitigen plus Produkt plus dreißigster Rassismus zwanzig ?? einsetzen wasmuss am Schluss eins ergeben bei irgendwas war davon zum Schluss passiertdas nennt sich ist Programm und es beschreibtdie Verteilungdieser ZufallsgrößePunkt sie sehen ich habe zwei ideale Würfel aber was hieraus kommt sie jetzt nicht mehr so ideal ausdas es auchunübliche denke die man dann hat man fängt mit möglichst einfachen Sachen an meine Atome befinden sich in diesem Kubikmeter oder in jedem Kubikmeter und so weiter zweiter schlussendlichweiter publizierte Verteilungen rausHerrn aus den einfachenGrößen die man da reingesteckt hat Punkt sie fangenmit sehr simplen Sachen an typischerweisekriegen dann kompliziertereVerteilungen raus?? schon gesagt ?? Verteilung das nennt sich Verteilungder Zufallsgrößeich gebean welche Wertemit welcher Wahrscheinlichkeit Vorkommnissedie Verteilungnicht ?? eines Programmmuss dazu sagen dass die Verteilung einerdiskretenZufallsgrößediese Zufallsgröße nennt sich diskretweil sie so einzeln liegende Werte hat endlich viele Werteals diskretsind gleich auch noch was mit unendlich vielen werdenwas eher untypisch ist das man das auch als geht aber auchund sobald hier kontinuierlicheWerte erlauben wenn zum Beispieljeder Wert von zwei bis zwölf aufin den aktuellen Zahlen vorkamen kann?? Peter vielleicht vorkommenund die Wurzel fünfter Folk und so weiter wenn die alle vorkommen könnendann ist es definitiv nicht mehr diskret sondern stetigsoll sagen ist wahrscheinlich stetig abertypischerweiseStern stetigals diese beiden großen Gruppen an Zufallsgrößendie diskretenKasse wäre diskretendlich viele Möglichkeitenund die andere groß Gruppe die man sich anguckt kommt gleich die stetigenund im Prinzip gibt's noch welche die weder noch sind Komma aber eher selten vorKommawir gucken uns noch mal eine andere Verteilung annämlichwarich nehme jetzt mal nicht Idealobjekteals Grundlage vier gezielte Münzenund zwar somit sind alle auf dieselbe Weise dass die mit der Wahrscheinlichkeitnull Komma siebenauf Kopf fallenund mit der Wahrscheinlichkeitnull Komma dreimalige ZK rein es mit der wahrscheinlich seit null Komma drei auf Zahl fallendie ZufallsgrößeXsoll jetzt seinich werfe diese vier Münzenund gucke wie viele von ihrenKopf zeigen?? das immer sehr knappe Zahl der Münzenmit Kopfals ?? werfen diese vier Münzendann ist keine eine zwei drei oder alle vier auf Kopf und der Rest auf Zahlund das soll man ZufallsgrößeseinSelein sowie auf die Kopf sie mit dem sie vier Münzen geworfen habewie sie das ist Programm ausdiese Verteilung aus auch das ist natürlich wieder eine diskrete Zufallsgrößees gibt nurendlich viele Zuständeendlich viele Möglichkeitendann ist es auf jeden Fall diskretkann man schnell was über sehendie Wahrscheinlichkeitdass die Zahl der Münzen mitKopfgleich null ist dies glaube ich relativ leichtdas heißtjedeschaffte man gemacht Kommajede dieser Münzenmuss auf Zahl fallendie erste Münze fällt in dreißig Prozent aller Fälle auf Zahlin diesem dreißig Prozent fällt die zweite Münze auf Zahlin diesen dreißig Prozent von dreißig Prozent fällt die dritte Münze und so weiter sind wie das Prinzip ist also nur Komma drei hoch vier was da rauskommtander allerletzte Fall geht ähnlich einfachwie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass die Zahl der Münzendie auf Kopf fallengleichvier ist das alle auf Kopf fallen dann muss die erste auf Kopf einunddie zweite muss auf Kopf fallen und die dritte und dieTippsund die dritte und vierte das heißt ich habe null Komma sieben hoch vier die Fälle zwischendrin sind bisschen ekligerspart auf Anhieb nicht klar die Wahrscheinlichkeitdass eine Münze auf Kopf fällt und die anderen nichtdann können sie ja habendie erste fällt auf daszweite nicht die dritte nichtdie vierte nicht die können aber auch haben die erste fälltnicht auf Kopf die zweite fällt auf Kopf die dritte fällt nicht auf Kopf die vierte fällt nicht auf Kopf das sindunvereinbareEreignisse wenn die erst auf Kopf weltweit auf Kopf und so weiter und dieses hier das kann niemals gleichzeitig passieren ich werde diese Wahrscheinlichkeitenaddieren müssen und dazu kommt noch Kopf einer dritten Position Kopf an der vierten Positionvier Möglichkeitenvier mal die Wahrscheinlichkeitdass sie erst auf Kopf die zweit auf Zahl und so weiter fällt also vier malnull Komma siebenmal null Komma dreiZiffer des Gewissens gab es passiert nicht nur Komma drei hoch drei vier mal null Komma sieben mal null Komma drei dreivier Möglichkeitendas einmal Kopf kommt der Restzahl istund jeder der Möglichkeitenhabe ich dann null Komma sieben mal null Komma drei mal nur Komma einmal nur Komma dass Wahrscheinlichkeitenall das muss ich addierenwieder derdritte Komma woraufunvereinbareEreignisseanalog passiert es?? soll erst mal drei machen sich leichteranalog passiert eswenn ich wissen willwie groß die Wahrscheinlichkeitist das drei von den vieren auf Kopf fallen das heißt der eine fällt auf Zahleine fällt auf Zahl die Anfang auf Kopfsind wieder vier Möglichkeitendasanzuordnenalso vier mal wird sie Wahrscheinlichkeit von eineBeschaulichkeitvon Zahl ist nur Komma drei mögliche null Komma sieben hoch dreivier mal null Komma sieben hoch dreimal null Komma dreiwurde in der Mitte ist derschwierigsteX ist gleichzweiwie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass meine Zufallsgrößegleich zwei istwie groß ist die Wahrscheinlichkeitdas zweinicht dreivon diesen Münzenkopfzeigenähm das kann so sein KopfkopfzahlZahl KopfzahlKopfzahlKopfzahlZahlkopfund so weiterdas ist ein bisschen Rechnerei sehen Sie die Chancedas anders rauszukriegenmöchte wissen wie viele Möglichkeiten hier berücksichtigenmussin Lineal genau vier über zweikommt hier und das war eigentlich viel über eins und die einst ihr steht sein ?? vierter null vier über zweiwie für Möglichkeitengibt es zwei von vieren auszuwählendarf zwei ausgewähltehabe ich zwar ausgewählt dadurch zu ausgewähltendiese Möglichkeit gibt es zwei aus vieren auszuwählenso vielemuss ich berücksichtigenmüssen jetzt habe ich dann nur Komma Siemens Quadrat und null Komma drei ins Quadratso sieht das ausdas nennt sichBinominalverteilungGenesis Profilesdas ist die Binominalverteilungdie hatten irgendwann schon mal gesehenamIdealderBeteiligungdie sieht dann so ausdie Wahrscheinlichkeitdass meine Zufallsgrößegleich einer Zahl K istist folgendeswie viel habe ich insgesamtnimm was groß Nüber Kdann sind Sie hier eine Wahrscheinlichkeithoch KKomma sieben hoch eins Komma sieben hoch zwei null Komma sieben hoch drei null Komma sieben hoch vierdie eine Wahrscheinlichkeithoch Kund die andere Wahrscheinlichkeitist das Gegenteil davon die andere Wahrscheinlichkeiteins minus Phoch wie viel in dieser allgemeinen FormelinOscarsowie das in der allgemeinen Formel ausWindes muss immer ergänzenviermal den Faktor null Komma drei null Malfaktornur null Komma sieben drei ?? den Faktor null Komma drei einmal den Faktor null Komma sieben sind wieder vier zusammenzweimal den Sommer den insgesamt vier einmal den dreimal den zusammen vier viermal den anderenKomma vier Wahrscheinlichkeitendie modifiziert werden ??groß N Wahrscheinlichkeitendie modifiziert werdenalso nicht von den ersten K habe sie von zweiten groß in Minsk habendas finden Sie in der Formelsammlungals Formel für die Binominalverteilungsinneskeine Hexerei des einzig klar was da passiertdas billigste Beispiel ist hiermit gezielten Münzenals sollte man tatsächlich mal ansatzweisedie ausrechnengerade in mich gehenLeerschritt und eigentlichdie können damit jetzt in der Tabellenkalkulationgehen und dasProgramm Platten muss es weist keine gute Idee war das so krumme Werte sind das jetzt zu Fuß zu machenwenn es mal selber auswas wir aber vielleicht mal angucken solltenist der Erwartungswertwenn ich diesevier Münzentausend ?? miteinander werfe immer vier Münzen werfen noch mal die vier Münzen werfen und so weiterwir müssen tausendmal miteinander werfe und dann den Mittelwert bestimmeder Zeile müssen die Kopf zeigen den Mittelwertüber diese tausend Experimentedann nähert sich das mehr und mehr dem was man in der Stochastik den ErwartungswertnenntErwartungswertist das was der Mittelwert wird wenn ich in alle Ewigkeit mein Experiment wiederholenoderwie der Name sagt der erwarteteWertwas erwarten Sie als Wert wenn sie das Experimentmachenim Mittel ist gemeint das kann ziemlich krumm seinWertwenn wir das hierfür unsereMünzen machenheißt das ich muss das jetzt gewichtetaddierender Wert nullkommt mit dieser Häufigkeitin diesemAnteilaller Fälle kommt der Wert null rausokaynull malnull Komma drei hoch vier plusder Wert einskommt in diesem Anteil aller Fälle Rausfirmanull Komma sieben mal null Komma drei hoch dreieinmalgewährt eins vier mal null Komma siebenmal null Komma drei hoch dreiund dann kommt der Wertzweiin diesemTeil aller Fälle rauswie über zweizwei mal vier über zwei mal null Komma sieben QuadratmeterKomma ein Quadratzu geht es natürlich weiterKlosterwertdrei kommtvier malnull Komma sieben hoch dreimal null Komma dreieins und der Wert vierkommtmit null Komma siebenhoch vierder Gedanke hinter den ErwartungswertistdiesemAnteil aller Fälle kommt die null raus in diesem Anteil aller Fälle kommt die eins raus in diesem Anteil alle Fälle kommt zwei rausund so weiterund so weiter über alle möglichen Wertewenn sie das ausrechnenhaben sie das waser über lange Dauer im Mittel rauskommen wird als Mittelwert rauskommen wirdder nennt sich überhauptgroß die eckigen Klammern historischerseitsgroß E in eckigen Klammern dann die ZufallsgrößeXein Geräuschschreiben auch in runden Klammernwie auch immerdanndieses groß I dass man sich relativ einig das vorstehenkönnen malvorsichtig versuchenfestzustellen in welche Ecke dieser Erwartungswertliegen muss wenn sieeinfach nur diese Aufgabenstellungsehendie Münzen fallen eher auf Kopf und zwar deutlich eher auf Kopf als auf Zahlwas würden Sie aus dem Bauch heraus erwartenwird passieren wenn sie überlange Dauer den Mittelwert bildender Erwartungswerthat was mit der Zufallsgrößezu tun nicht mit einer Wahrscheinlichkeit?? wenn das mit Einheiten machen?? sich vor sie hätten ihr Längenmessungnull Meter ein Meter zwei Meter drei Meter vier Meter der Erwartungswert hat dieselbe Einheitwie die Zufallsgrößedas ist keine Wahrscheinlichkeitnicht irritieren lassen Erwartungswert muss nicht zufällig irgendwie zwischen null eins sieben oder so Erwartungswerthat dieselbe Einheit für ihre Zufallsgrößedas kann sonst was sein drei tausend Kelvinodervier Zentimeter??insofernkann manmit man nicht annehmen dass der Erwartungswertjetzt was mit null Komma sieben direkt zu tun haben wird sondern es muss er so seindas ein Schritt weiter denkendiese Münzenlieben es auf Kopf zu fallenwas heißt das für diesen Erwartungswertwenn die Münzen es lieben auf Kopf zu fallenwenn überhaupt irgendwas würde ich den in der Größenordnung von drei vermutenin der Tat wenn die Münzen ideal wärenwenn die Münzenideal wären null Komma fünf null Komma fünfInteresse die ganze Zeit passiert nur Komma fünfmal nur Käufe von Käufen von null Komma fünf ihr steht locker fünf hoch vier ihr steht null Komma fünf ?? Doppelpunkt drei schon wieder null Komma fünf O vier besteht schon wieder null Komma fünf O vier Nummer fünf hofiertdas ist alles symmetrisch um die Mitteund natürlich wäre der Erwartungswertzweiin die vier Münzen ideal sinderwarte ich das im Mittel zweiKopf zeigen das kriegen sie dann auch in der Tat raushier stündenull mal null Komma fünf hoch vier einmal vier mal null Komma fünf vier hielte dreimalFirmen-und Philosophie und so weiter das würde sich ausbalanciertin der Tat kämen zwei rausmüssen ?? ausgerechnetklarjetzt Sammlermünzendie ihr auf Kopf fallendas heißt das Ganze wird in Richtung drei vier gezogen werden auf jeden Fallwas wäre ?? Komma mein zenidicheck wenn sie den Erwartungswert ausrechnen ?? sie finden der Erwartungswertist unter zwei dann wissen Sie halt etwas ganz schiefgelaufendieser Erwartungswertmuss definitivüber zwei liegenaberunter wasmuss zwangsläufig kleiner sein als vierähmwenn ich immer Zahlen habe zwischen null und vier und ich bin das Mittel aus Zahlen zwischennull und viernull plus eins plus vier plus drei plus zwei plus und so weiter nicht teile durch die Anzahldann kann das ja niemalsgleich vier werden das muss immer kleiner sein als hieralso weiß ich in diesem Fall Erwartungswertmuss auf jeden Fall kleiner sein als wirunswegen dieser Überlegung mit der Balancemuss er größer sein als zweialles anderewäre schlechtes Zeichenalso das wäre die Idee vom Erwartungswertman kann den jetzt hier für die Binominalverteilungauch noch als Formel angeben relativ billigdas wäreVinum Jahr Verteilungund an meine Idee vom Erwartungswertjetzt gucken ?? andere Verteilungangemessen komplizierter istdie haben wir auch schon mal an anderer Stellestellen sich vor sie fischen in einem sehr großen Seeund in diesem Seesind in der Mathematikder davon einfach Anna machenin diesem See sindim Schnittfünf Fische pro Kubikmeterfünf Fische pro Kubikmeterund jeder Fisch für sichsucht sich seinen eigenen Platzdie Schwämme nichtdicht beieinander oder weit voneinander weg jeder Fisch sucht sich seinen eigenen Platzbeeinflussen einander nicht um es möglichst einfach zu machenanmein Zufallsexperimentist ich Fische ein Kubikmeter rausvernetzt das ich da einmal mit dem Jammer abschöpfedas Set enthält ein Kubikmeterich Fische ein Kubikmetereinen Kubikmeterund meine Frage ist wie viele Fische sind dannim Netz das ist die ZufallsgrößeX soll jetzt seien die Zahl der Fische im Netzwie viele Fischesind in diesem ein Kubikmetergerade?? kann sein dass da kein Fisch drin ist weil sich alle gerade andersentschieden habenkann sein dass der tausend Fische drin sindweil da unbedingt jetztVersammlung machen wollen kleiner sein kann sogar sein das eine Million Fische drin sindin der Mathematik Jahrwaren im letzten bisschen eng vielleicht aber in Mathematik würde man das auch noch zulassen und Milliardenwas auch immerKomma ansatzweiseden Trick wie man das behandeln kannder Trick ist das erst mal endlich zu machenman nimmt erst mal nurtausend Kubikmeter und fünf tausend Fische kann man sich das ?? leichter veranschaulichenkeinen ganzen See kein Universum voll mit Wassers ist man nur tausend Kubikmeterundfünf tausend Fischedas sind dann ja im Schnitt fünf proKubikmeterund der Rechner nur einen aus wie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass diese Zufallsgrößedie Zahl der Fische in diesem Quadratmetergleich drei istwahrscheinlichKommawenn sie zählenwieviele Möglichkeitenjeder Fisch hat jeder Fisch sucht sich einen von den tausend Kubikmeterunabhängig von allen anderendaswieder ganz brutal mit der Glasmachereinfach die Zeile Möglichkeiten zählender erstehat tausend Möglichkeitender erste Fischsich ein Kubikmeter zu suchen ?? der zweitehat auch tausend Möglichkeiten sich ein Kubikmeter zu tun zu suchende darf ruhig dieselben Kubikmeter nehmen der dritte hat schon wieder tausend Möglichkeitender darf auch normal denselben Kubikmeter in die stören sich gegenseitignichtdreißig Wikirunden für jeden Fischden Faktor tausend was die Zahl der Möglichkeitenangeht ?? unten habe ich also tausend O fünf tausend ?? ich gerade bindas wäre die Zahl der Möglichkeiten tausend ?? erstmals tausend ?? zweiten Mahnmal mal ohne dass sie sich gegenseitigin die Quere kommenPunkt oben zähle ich jetzt die günstigen Möglichkeitenbei seinem erst mal folgendesder erste Fisch unter zweite Fisch unter dritte Fisch die entscheiden sichin diesen ein Kubikmeter zu schwimmendamit in das Netz zu schwimmen und die übrigen vier tausend neun hundert siebenundneunzigentscheiden sich andersder erste Fischhat deshalb nur eine einzige Möglichkeiter muss diesen ein Kubikmeternehmen der zweite hat auch nur eine Möglichkeit ?? muss diesen ein Kubikmeternin der dritteein Kubikmeter nimmt der vierte Fisch soll jetzt nicht diesen ein Kubikmeternehmendas heißt diese Möglichkeiten für den vierten Fischnimmt einen von den neun hundert neunundneunziganderen Kubikmeterder fünfte Fisch muss ein von den hundert neunundneunzig anderen nehmen und so weiterund der fünf Tausendstel Fisch muss einen von den hundert neunundneunziganderen nehmenwie viele Faktoren hundert neunundneunzig habe ich daan sie haben fünf tausend minus dreiFische da also neun hundert neunundneunzig hoch fünf tausend minus drei haben wir hintenoder schreibt es wirklichich habe wirklich vier tausend neun hundertsieben neunzig in somanche einmal eins mal eins davon ist natürlichen bisschensodas ist aber erst die Anzahl der möglichenkalten?? dass die ersten drei Fischein diesem Kubikmeter sind es müssen aber doch nicht die ersten drei nur seines könnte auch der erste sein der hundertste unter fünf hundertstewurde der drei hundert und ?? drei hundert vier zwanzigste und der hundert neunzigstees müssen nicht die ersten drei Fische sein das hier wäre jetzt die Anzahlin den ersten drei Fische im Netz sind und die übrigen nichtwie kann ich jetzt berücksichtigendas auch nochandere drei Fische im Netz sein können?? fünf tausend über drei wie viele Möglichkeitengibt es dreivon den fünf tausend Fischen auszuwählendie in den ersten Kubikmeter gehensuchen drei von den fünf tausend Fischen den ersten Kubikmeter gehendie Hand über so eine Möglichkeitund für die anderen vier tausend hundert siebenundneunzigachtzehn hundert neunundneunzig Möglichkeiten jeweils pro Fisch deshalb diese Potenz das kommt daraus man streng gerechnetund nun hofft man das man das irgendwie zusammenfassen kann man entweder Weisen zusammenfassenund sieht dann jemand einfacher schreiben kann dass wir jetzt hierin Und-Zeichen exakt gerechnetfür tausend Kubikmeter und fünf tausend Fischeich möchte nachher natürlich einen Grenzwert bilden was passiert mit fünf Millionen Fischen und einer Million Kubikmeter Wasser mit fünf Milliarden Fischen und einer Milliarde Kubikmeterdiese Formel wird netterweiseeinfacher im Grenzwert?? das man exaktes Resultat fürdiese fünf tausend Fischeich schreib das malwas umda steht also fünf tausend über drei dass es fünf tausend mal vier tausend hundert neunundneunzigmal vier tausend neun hundertachtundneunzigdurch drei Fakultätdas ist der Binomialkoeffizientda vorneund entsteht hier malauch anscheinend eins durch tausendhochdreiund dann steht da noch neun hundert neunundneunzigdurch tausendhochvier tausendneun hundert siebenundneunzigdasselbe einfach normal hingeschriebenin Binomialkoeffizientschon mal aus buchstabiertund diese fünf tausend hier tausend O fünf tausend die fünfte Ausgabe schon auseinandergenommentausend hoch dreitausend O vier tausend hundert siebenundneunzigdesselben Mannes hingeschriebenwenn sie ganz ganz genau hinguckenstellt sogar fest dass diese Kiste hiernichts anderes als eine Vinum Jahr Verteilung istdas anguckeneinenBinomialkoeffizienteine WahrscheinlichkeitHochkamaldie gegen Wahrscheinlichkeithoch ?? minus kamdas ist absurderweisedas Ergebnis einer Vinum Jahr Verteilung auch dasdie können sich das auch so vorstellendass sie fünf tausend Münzen habendie aber extremgezielt sind diese fünf tausend Münzen fallen nur in jeweils ein Tausendstel der Fälleauf Kopfdasselbefünf tausend Münzenjede Feldmann ein tausend ?? der Fälle auf Kopf und sie zählenwie groß die Wahrscheinlichkeitistdas drei von den Münzenauf Kopf einund dasselbe Resultat eines mal drüber nachdenkenist die Zunge zum ?? dieselben Formendann was mich jetzt aber interessiert es einen Grenzwertdieses immer weiter zu treiben als Vergleich rauskriegen ist ein Grenzfall der Vinum Jahr Verteilung das ist noch Vinum Jahr verteilt und ?? jetzt weiter arbeitet ?? tausend nimmt sondern zehn tausend hundert tausend so weiterwie das ganzevon der Form her einfacherPunkt ich hoffe ich biete sie auf die Schnelle hin diskutiertwie man sich dasvereinfachenkann hier hinten dernachder hier hinten der schreit nach eins minus ein Tausendstelhoch vier tausend neun hundert siebenundneunzighier die neun hundert neunzig ein ein Tausendstelundalle guckenhoffe das ändert sich ?? bisschen an Bwenn ich diesen hier hätte eins minus ein Tausendstelhoch tausend?? es ist ja nicht ganzKomma müssen das dazuwas wäre dieses hierin guter Näherungwenn das hier stünde dann Wärme aus dem Schneider dann steht er nämlich eh hoch minus eins in guter Näherung?? eins Plus X durch Nhoch Nendet immer größer dass wir zum Schluss eh hoch ?? Quelle ist gleich minus einsdas sie wird also der Kehrwert von ihr werden mit hoch tausend wäre das ärgerlich es ist hoch tausend?? wie kann ich das rettenauch wie viel nehme ich das damit tatsächlich hin kommtungefährsie nehmen den hoch etwa fünf dann haut es hineins minus ein Tausendstelhoch fünf tausendvier tausend neun hundert ?? ?? eins minuseintausend so hoch fünf tausend das Haus hinund jetzt kann ich mit meinem Wissen über die Ehefunktionhantiereninnen drinnen hier das ist der Kehrwert von EEdas heißt was ist das gesamte hier ungefährmit dem hoch fünf?? das muss insgesamthoch minusfünf werdennoch mal der Trick hier von vorne neun hundert Tausendstelmarkzu eins minus ein Tausendstel?? hat man im Hinterkopfdieses hier hoch tausend was hat das mit der Ehefunktion zu tun ?? steht aber blöderweise nicht hoch tausend sondern hochknapp fünf tausend?? hoch tausend und ?? noch mal die fünfte Potenzdamit ich am Ziel das hier hinten wird auf lange Frist jedoch minus fünf werdenwenn sie hier nichttausend Kubikmeter haben seine Millionen Milliarden Billionen Kubikmeter haben wird sich das hinten allmählichauf ihre minus fünf einschießenund dass ihr vorne vereinfacht sich auchdie Seite drei Fakultätdie ändert sich nicht wenn ich weiterhin sage ich möchte drei Fische da haben das bleibt bei einzig drei Fakultätaber wenn sich das angucken fünf tausenddurch tausendmal vier tausend neun hundert neunundneunzigdurch tausendmal vier tausend neun hundert achtundneunzigdurch tausendwas wird das auf lange Sicht werden wenn es sich jetzt tausendste werden sondern Millionstelmilliardstelwerdendas sie wirdfünf hoch drei werdennach ?? habe ich hier fünf Millionen mal fünf Million minus eins und minus zwei durch eine Million eine Million einenund so weiter und so weiter dass sie wird fünf mal fünfmal fünf werdendann dem Fernzielwenn sie das Becken den Segen unendlich groß machenund sich dann im Grenzwert anguckenwird das folgendes werden einst durch drei Fakultätmalfünf hoch dreimal E hoch minus fünf oder anders geschrieben einst durch?? alsofünf hoch drei durch drei Fakultätmal die hochfünfdas wird auf lange Dauer werdenfünfhoch dreials Ultrafakultätminus fünfdas istdann was man als Post zur Verteilung bezeichnetdie Zahl der Fische im Netz wenn sie wollen Punkt zur VerteilungzurPU ISS UN was lustiges Weihwasser im Fisch heißtder gute ??das erfunden hat heißt auf Deutsch Fischam?? das merkendie formelsammlungsmäßigeFormel kann man jetzt auch erratenist dann nahe liegend wie sie sein muss die Wahrscheinlichkeitdassdiese Zahlenfischenim Netz gleich einer bestimmten Zahl K istist also Sie sehen das die drei war unser Keins durch Ka Fakultätjetzt brauche ichHochkamalE hochminusirgendwasdiese Zahl fünf heißt wie eine Lamm darwenn's um die WasserverteilunggehtLander Hochkamaleine solche Lösung geschrieben ?? mal E hoch Minuslanderoder mit einer SchreibweiseLander Hochka durch Ka Fakultät warLander das nennt sich die Person verteilt sie können jetzt sagen okay für drei Fische es ist die Wahrscheinlichkeitfür zwei Fischemit der zwei für einen Fisch mit ?? keinen Fisch die wahrscheinlich kein Skype keinen Fisch zu fangeneinst durch null Fakultät ist eins mal fünf hoch null ist eins mal E hoch minus fünf ihre minus fünfzehn Wahrscheinlichkeit keinen Fisch zu fangenund so weiter Komma vorgehenwillund das Widget gesehen haben ?? ein Grenzfall der Bildungsjahr Verteilungeinechtes ?? Komma was zu diskreten Zufallsgrößensagennunwie viele Möglichkeitenhabe ich jetzt für diesen Wert von Xwas können Sie als Ka alles einsetzenwelche Zahl K kann ich betrachtenX ist gleich eins X ist gleich zwei Ziffer X ist gleich nullwas kann ich als Einsetzen für das Karplusnicht unbedingt aber beliebig große Zahlensystemekönnen hier auch Fragen wie groß die Wahrscheinlichkeitdass ich dreißig fand das MilliardenFische im Netz habebeliebig große Zahlen kann ich einsetzen das ist anders als das was wir irgendwelchebeim Aufladen der ?? ist zwölfoder was ich hier einundvierzigMünzen hatteallerdings bis vierhier kann ichbeliebig großenatürliche Zahlen einsetzen und ein zwei drei vierbeliebig groß das heißt die Zahl der Fälle die ich hier habe ist ?? endlich großein fest Zweifel dreißig null Fisch natürlich auch drei Millionen Fischerden Pandas Jan Fischerdie Zahl der Fälle ist unendlich groß auch das ist noch diskretauch diese Verteilung nennt man noch diskret sie hatten abzählbarunendlich vieleMöglichkeitenabzählbarbesagen endlich viele oder so viele wie es natürliche Zahlenkann die Zahl an Möglichkeiten abzählendas gilt noch alsdiskrete Verteilungwarnenund auch da kann ich dann den Erwartungswertensind wir den Erwartungswertklassisch berechnender Wert mal seine Wahrscheinlichkeitbloß der nächste wird man seine Wahrscheinlichkeitist der Messwert mal seine wahrscheinlich auf zu mir nur wenn ich hier unendlich viele Summen haben Wasserverteilungsie trotzdem durchgehendesKomma anwas passiert wenn ich davon jetzt in Erwartungswertberechnenalso ich habe die gegeben die Wahrscheinlichkeitdas K rauskommtist Lander Hochka durch Kafakultätihr Plan dabei und zweites Lander eben fünfund nun rechne mal den ErwartungswertErwartungswertvon dieserZufallsgrößedas isteine Möglichkeit ?? rauskommt ist die Zahl nullmal die Wahrscheinlichkeitmit der die Zahl null kommtLander hoch null durch null Fakultätwie Hochlanderlanderhoch null durch null FakultätEbenlanderin Essenzahl herauskommen kann ist eins ein Fisch im Netz Mallander hoch eins durch eins Fakultätslanderdas ist dessen Wahrscheinlichkeitüberstanden des eins rauskommtpluszwei kann raus kommen maldessen WahrscheinlichkeitWarlander hoch zwei durch zwei Fakultät I Hochlanderplus und so weiterschreiben Sie malennoch zwei drei so manchen dazuund versuchen Sie sich zu überlegen was das zum Schluss wirdwie man das dann zusammenfassenkann Lustigerweisekann man dieseunendlich lange Summe Reihediese Reihe kann man zusammenfassendganz billig zusammenfassenannehmbar dazu und versuchen sie zu erkennen zusammenfassen kannalso weiter mal einen Term mehr hierdreimalLander hoch dreidurch drei Fakultätflammender plus und so weiterim ersten steht Mal null den Körper schon vergessenso jetzt habe ich überall mindestens ein Landerund überall das E Hochlanderunten stehen das ganze schon mal ausklammern Lander durchdie Hochlander Klammer zu aus?? entsteht hier einsdurch eins Fakultätplushier steht zweimallanden dadurch zwei Fakultätzweimal Lander durch zwei Fakultäthier steht dreimal Landerquadratdurch drei Fakultätgeht es natürlich weiterchinesische mit dem Summenzeichen hinschreiben aber ich bin es an dieser Stellepassenderweise mit dem Summenzeichen unübersichtlicherals wenn man es somit ?? Bändchen schreibtund ?? Komma netterweise kürzen zwei Fakultät ist zwei mal eins Fakultät den Kürzen bei John steht nur noch eins Fakultätdrei Fakultät ist drei mal zwei Fakultätwickeln die drei Kürzen entsteht hier und nur noch zwei Fakultätendas geht natürlich hier weitermit den weiteren Kernsoll doch noch einen dazuschreibenals wenn hier viermal Lander hoch dreidurch vier Fakultät habe als nächstendie vier Kürzeln entsteht und nur noch drei Fakultätdenkt man zwei Monate zurückeins plus Lamm dar plus Bischofs hat man in EinsplusLanderLoslanderquadrathalbe Plus Lander hoch dreidurch sechs plus und so weiterdas hier ist nichts anderes als die altbekannte Exponent der Funktionen sich jemand erinnert E Hochlander wird das werdenwerden einmal dieProduktformelfür die Exponentialfunktioneins Plus Lander hoch in hoch in die Kanne ähm schon mal vor das für N gegen unendlichund das hier ist die Summenformelfür die ExponentialfunktionLander Hochkadurch Ka Fakultätüber alle Karten summiert Lander hoch null durch null Fakultätslanderhoch eins durch eins Fakultätslanderhoch zwei durch zwei verbindlich?? drei Fakultätdas kammal als Ergebnis für die Exponentialfunktiondas heißt hier steht das ist Landerdurch die Exponentialfunktionmal die Exponentialfunktionwunderschöne können kürzen das ist LanderErwartungswertderPost zur Verteilungistnach horrende Rechnungmit unendlich langen Summen schlicht und ergreifend Landernunendlich das hier anguckenwarum ist das jetzt nichtvöllig überraschend das Erwartungswertvon dieser Kistelanderist was war die Rolle von dem Landerja das ist ist der schöne Mittelwert über das Lander gebaut eben Bass fünfeben war die Zahl fünf die Zahl der Fische die im Schnitt pro Kubikmetersind die mittlere Zahl an Fischen pro Kubikmeterdenn wär's doch höchst dramatisch wenn mir das jetzt nicht als Erwartungswert ausfünfte mit der Zahl anFischen im Netz istja mal etwas ausreichend Wasser schon längst wusstendieses hierdas Lander was hier in der Formel steht ist Erwartungswertapostroph s?? bei mir war's eben die mittlere Zahl an Fischenim Netzdas heißt diese Rechnung hier funktioniert sogar noch ganz nettfürabzählbarviele Fällefür diskreteZufallsgrößenkönnen Sie so rechnendann gucken uns morgenmal die andere große Klasse an stetigeZufallsgrößender Hau das nicht mehr hin mit der Summe muss anders rechnen