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08.3 Typen von Differentialgleichungen


CC-BY-NC-SA 3.0

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letzte – Woche war ich bei – den – dynamischen Systemen – und bei den dynamischen Systeme wie RZ gab's zwei Zutaten – gibt es kein Lückentext – einmal – den Zustandsraum – oder im Deutschen auch gerne Phasenraum – die Menge aller Zustände – die das System annehmen kann zu jedem Zeitpunkt alles genau einen Zustand – und dann gab es ein Entwicklungsgesetz – wie denn – die Zeitentwicklung – ist – wie kann das System von einem Zustand zum nächsten Zustand – groß jetzt – diese Woche und nächste Woche geht ist – um Entwicklungsgesetze – die Entwicklungsgesetze – geschrieben – als – Differenzialgleichungen – die GL enden Differenzialgleichungen – es gibt auch andere die Entwicklungsgesetze – ?? schon angedeutet – ähm – eine Ampel wird man sinnvollerweise nicht mit einer Differenzialgleichung – beschreiben – weil weder der Zustand – kontinuierlich ist noch die Zeit der kontinuierlich abläuft – an – die Gesetze der Physik – sollte sagen – die menschengemachten – Naturgesetze – der klassischen Physik sind als Differenzialgleichungen – hingeschrieben – und Elektrotechnik – sind die Differenzialgleichungen – des Klima geht wenn's um Wirtschaft geht sieht man Differenzialgleichungen – Downloads und gehen erst meine Klassifizierung – der Differenzialgleichungen – was gibt's überhaupt für welche – vierbeinigen zwei beinige – schwimmende und fliegende – ein bisschen Zoologie die Zoologie der Differenzialgleichungen – Typen von Differenzialgleichungen – was soll das überhaupt heißen – Differenzialgleichungen – verwendet die ganze Zeit diesen Begriff – der äh Potenzial – Gleichung – an Differenzialgleichungen – ist eine Gleichung – in der die – Ableitung – einer Funktion – vorkommt – wurde die zweite Ableitung oder die dritte oder so weiter – in der Ableitung – einer Funktion vorkommt – ?? die ich suche – zum Beispiel sowas wäre – eine Differenzialgleichung – die Ableitung – meiner gesuchten Funktion soll sein – dreimal – meine Originalfunktion – plus X Quadrat – das wäre ein Differenzialgleichung – gesucht es nicht ein einzelner Wert nicht sowas wie X Quadrat plus zwei X – äh ist gleich sieben – dabei ein einzelner Wert gesucht – und suche eine Funktion gebe mir eine Funktion sodass – die Ableitung dieser Funktion dreimal die Funktion selbst ist – ich habe also eine – unabhängige – Variable – Dias zum Beispiel X oder T – und ich habe hier eine abhängige Variable – F – nachher nennt man sie – eher Y als F – also stattdessen – schreibt man gerne nach Herr – Y Strich ist gleich dreimal Y plus X Quadrat sowie das der – Literatur typischerweise aus das man nicht eher von X schreibt sondern schreibt Y als abhängige Variable – und schreibt weiterhin von X äh Y von X Y Strich von X – und nicht F von X – das wäre eine ganz billige Differenzialgleichungen – und jetzt aber noch mal – besucht ist nicht eine einzige Zahl – über den üblichen Gleichungen gesucht ist eine Funktion – ich möchte einen Zusammenhang – haben – wie hängen X und Y oder hier X und er von X zusammen – ich möchte eine Kurve haben – eine Lösungskurve – nicht ein einzelnes X – daraus – oder bei den genialen Gleichungssystem – ?? X Y Z W – zum Beispiel – vier Zahlen – ist hier nicht gefragt – ich möchte eine Pension raus finden – am einfachsten – stellt man sich ?? wie vor das die Kurve gesucht ist eine Lösungskurve – gesucht – so zurück zur Zoologie sowas sollen Differenzialgleichungen – sein – waren Soziologie gefangen ?? mit der Ordnung an die Ordnung einer Differenzialgleichung – heißt – wie oft denn – abgeleitet – wird für die Nummer – vierzehn – wenn ich – sowas habe Y zwei Strich – zweimal ableiten minus – Sinus von X Y – soll sein Y – Strichquadrat – Differenzialgleichungen – es kommt eine – unabhängige Variable X vor es kommt eine abhängige Variable schon vor in Ableitungen – das wird an Differenzialgleichungen – mathematischen sich immer wieder schreiben für alle X aus irgend einem mehr oder minder netten – Zahlenintervall – ingenieurmäßig versteht sich das von selbst – für alle X – X soll – ein Bereich durchlaufen Suche Y passend dazu abhängig von X – eine Basargleichung – und sie hat die Ordnung – zwei – Mann sagt alles ?? mit der Ordnung einfach wie oft denn maximal abgeleitet wird – in die vorne – dritte Ableitung stünde wäre die Ordnung drei – diese Differentialgleichung – hier hat die Ordnung eins – ein ganz billige – Klassifikation – man zählt einfach die Ableitungen – nur – dann gibt's den Begriff explizite – Differenzialgleichung – explizit – heißt – das die höchste Ableitung – ausdrücklich – auf einer Seite steht der explizite – die GL – ganz dreist Differenzialgleichungen – nun – diese hier oben kann ich zu einer expliziten machen – ich schreibe einfach die zweite Ableitung – ist – der Sinus von X – mal die Funktion selbst – los – die erste Ableitung ins Quadrat – das ist dieselbe Differenzialgleichungen – im Endeffekt ist das dieselbe Differenz ?? gleich wieder oben – aber jetzt – explizit – hingeschrieben – explizit soll heißen die höchste Ableitung – der – gesuchten Funktion – die höchste Ableitung – der – abhängigen Variable steht auf einer Seite und nicht mehr auf der anderen Seite sie dürften jetzt hier auch nicht noch sowas haben die – plus zwei Y – ?? abgeleitet dass er verboten ?? – die höchste Ableitung muss auf einer Seite eins entstehen das heißt explizit – alles andere ist – implizit – wenn die Höchstableitung – nicht für sich steht – also bei Nummer sechzehn – implizit – im – Sitte – Differentialgleichung – streng genommen ist die sicher schon implizit – das wird wahrscheinlich keiner implizit nennen weil jeder sofort sieht wie ich den Y Beistrich da rausholen kann ?? trotzdem ist das hier streng genommen implizit war nicht – die höchste Ableitung auf einer Seite eins entsteht – aber nicht ganz Billigumfang warum kann – die typischen impliziten Differenzialgleichungen – sind aber fieser sowas zum Beispiel – ich weiß das der Sinus von – der zweiten Ableitung – plus X Quadrat – ?? Y Strich sein soll – das wäre mir ganz übel – implizite – Differenzialgleichungen – ich müsste erst auf beiden Seiten den Akku Sinus bilden – Wasser wieder Probleme mit der Mehrdeutigkeit – gibt – an möchte man möglichst vermeiden – und die Ziele Differenzialgleichungen – tendieren dazu bisschen eklig zu sein – Werdens erster bei den expliziten – belassen – so das schon mal ganz grobe – Unterscheidung – quasi im – ?? Komma erscheinen Säugetiere – und alle anderen es gar nicht so logisch was aneinanderleisten – ?? wirklich sehr breit – unterteilt explizite – Defizite Differenzialgleichungen – über die Trennlinie zum bisschen gruselig ist – ?? – ich wäre streng und würde das hier implizit nennen – weil sonst Beistrich auf einer Seite steht andererseits ist sofort klar wie man das hier zu expliziten – Gleichung macht – wenn andere Leute das jede noch expliziten – war – dann Lineal nichtlinearer – märkischer linearer Gleichungssysteme – analog – im Jahre Differenzialgleichungen – im Jahre – ein in den Jahren die GL schreibe ich ein Jahr Differenzialgleichungen – da darf ich mir alles passieren – sie dürfen – beliebige Ableitungen – haben – das ist okay – diese Ableitungen dürfen nicht – in fiesen Funktionen vorkommen hier darf nicht die Ableitung ins Quadrat stehen – und hier darf nicht – der Sinus von – Y stehen – oder – die hoch Y zweimal abgeleitet all das wäre verboten – dürfen nur vielfache – von – den Ableitungen und der Funktion selbst stehen – wenn sehr lineare Gleichungssysteme – denken – dann standen davor – konstante Zahlen – sechs und siebenmal X – sechsmal Y fünfmal Z – hier sind wir etwas großzügiger geht hier dürfen Funktionen davor stehen – aber nur Funktionen von X Funktionen der – unabhängigen – sowas – Lines von X war die zweite Ableitung von Y minus je meine Konstante zwei ?? – Plus über ihre Funktion X Quadrat ?? Y – und als in Homogenität – denken Sie an in der gleichen Systeme am AB ?? – Amal X – ist gleich B – das hier war die in Homogenität – was ein Vielfaches der Unbekannten war als in Homogenität sind auch wieder Funktionen zulässig zum Beispiel groß X von X – das wäre eine – lineare Differenzialgleichungen – also die gesuchte Funktion – nur in vielfachen – ?? nicht als Quadrat nicht in der Wurzel nicht im Sinus – oder ähnlichen Schweine rein – er diese vielfachen – dürfen Funktionen – der – unabhängigen – Variable sein das ist okay wenn ihr Sinus von X steht ist das okay wenn ihr von Sinus und Y stände – wäre das verboten – das wäre nicht einen Jahr – und die in Homogenität – der Dachaufwand – X abhängen – das Komma noch einen Schritt weiter treiben – und dann hat man ihn Jahre Differenzialgleichungen – mit konstanten Koeffizienten – lineare – Differenzialgleichungen – zusammen ich denke ich mit konstanten – Koeffizienten – nutzen – dann sieht's allmählich aus wie – man von den genialen Gleichungssystem – kennt – Koeffizienten – ändert sich Alia gleichen Systeme – drei X plus vier Y plus sieben – ist gleich acht – die drei die vier und die sieben hundert ?? Koeffizienten – die Zahlen – die mit der – gesuchten Lösung multipliziert werden wir dasselbe – Punkt Konstante Koeffizienten heißt es – diese Zahlen hier Konstante sein müssen – also ein zeitgleich mit konstanten kompetenten wäre zum Beispiel – drei Y – zweimal abgeleitet minus zweiundvierzig – Y einmal abgeleitet zu siebenmal Y – es ist weiterhin aber erlaubt dass die in Homogenität – von X abhängt – also nur die Kunst – die nur die Koeffizienten sollen konstant sein – bei der Lineal ?? ein zeitgleich mit konstanten Koeffizienten – die in Homogenität – darf gerne und wird typischerweise – gerne – von der unabhängigen Variable – sind speziell das dann werden kann das ist also ein Lineal ?? versah gleich mit konstanten Koeffizienten – oder noch genauer – allen Jahre versah Gleichung zweiter – Ordnung – mit konstanten Koeffizienten – implizit oder explizit ✂ also die hier ist implizit hier stets nicht Y zwei Strich ist gleich und auf einer Seite kann Y zwei Strich mehr das lässt sich leicht umformen aber streng genommen ist dies hier – nicht explizit sondern – implizites – zweiter Ordnung – als was habe ich dann eigentlich eine – implizit – in den Jahre versah Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten – hat sich ganz grausam an aber ich hoffe dass diese Begriffe – im einzelnen nicht so dramatisch sind – die letzte groß Unterscheidung – ist die – zwischen den – partiellen Differenzialgleichungen – und den gewöhnlichen Differenzialgleichungen – ordinäre – Applications – im englischen sagt die ordinären Differenzialgleichungen – die gewöhnlichen Rinnsalen – sind die mit denen wir zu tun haben werden – es gibt nur – eine – unabhängige Variable bei den bei den gewöhnlichen Differenzialgleichungen – es wird nur nach der einen unabhängigen Variablen abgeleitet – das – Gegenstück – dazu sind die partiellen Differenzialgleichungen – die gucken uns nicht an – partielle Differenzialgleichungen – das sind eigentlich – ehrlich gesagt die spannen daran aber – bisschen heftig – dieses Semester – in den partiellen Differenzialgleichungen – gibt es mehrere unabhängige nicht nur ein X oder nur ein Tee nach dem abgeleitet wird – wie gewöhnliche – Differenzialgleichungen – es gibt mehrere da steht dann sowas zum Beispiel leite – partiell ab partielle Ableitung haben wir hoffentlich schon in der Physik gesehen – Beistrich auch was dazu erzählt – nach einer Variablen ableiten – zweimal nach der einen sogar ableiten zweimal nach der anderen ableiten – sind also nicht nur von X von Y ab – und das Ergebnis soll zum Beispiel sein Sinus von – X bis Y dass wir eine partielle Differenzialgleichungen – ganz – zwanglos – daran zu erkennen dass partielle Ableitung auftauchen sobald partielle Ableitungen auftauchen in mehreren Variablen – haben eine partielle Differenzialgleichungen – eine gesuchte – funktionsabhängige – Variable hängt von mehreren – unabhängigen Variablen ab das wird ziemlich finster das ist sehr spannend – für – alle möglichen Wellenphänomene – Wärmeausbreitung – an – die komplette Quantenmechanik – am – ?? wird aber ziemlich übel – in der Theorie – also es soll erst mal nur – um gewöhnliche Differenzialgleichungen – gehen – größtenteils – geht tatsächlich um den Jahre versah gleich mit konstanten Koeffizienten – Differenzialgleichungen – von dieser Sorte – Mandy verstanden hat hat man schon extrem – viel von den praktisch wichtigen Fällen verstanden – kann er sich gerade Quantenfeldtheorie – betreiben zu müssen und dass sie wissen aber – für das ingenieurmäßig – ist man hiermit in den Jahren Differenzialgleichungen – schon auf dem besten Wege – das zur – Klassifikationsklassifizierung – ich sollte gerade noch was zur Schreibweise – sagen – an – ich finde es ganz nett – hier Ausrufezeichen – drüber zu setzen und zu sagen ich möchte das – die Ableitung – das dreifache der Funktion plus X Quadrat ist – an – sowie bei Gleichungssystem – ja auch manchmal schreibe drei X plus sieben Y soll bitte zwei sein – zum bisschen Privatrotation – ich bin ich der einzige der das so hin schreibt aber – etwas – ungewöhnlicher Notation also nicht wundern wenn ich mich dazu – verleiten lasse ich immer Ausrufezeichen – Klammer zu schreiben damit meine ich dann ?? es soll so sein statt es ist so – das ich kann sagen Pi – ist drei Komma eins vier und so weiter mit dem Definitionszeichen – dass es keine Gleichung die Lösung will – mit dem Ausrufezeichen – möchte ich sagen – mach es so sich das Hin – nun – manchmal den ?? über mir noch ?? Fragezeichen – womit ich meine ich möchte diese Aussage überprüfen ob sie denn stimmt – ob sie wahr ist oder falsch ist – Punkt dazu machen wir was klarzumachen welche Funktion dieses – Gleichheitszeichen – hat das wird nachher beim – Programmieren spannend – ist A – gleich B sowas sieht man danach in C und C plus plus – das hier ist mein – ?? Leerzeichen Fragezeichen in der Mathematik – stimmt diese Gleichung ist A gleich B – und wenn sie in den C Sprachen einfach nur das Schreiben meinen Sie setzte A gleich B – das wäre – das was man an den andern Sprachen definiert gleich schreibt – also vielleicht keine – dumme Idee wenn sie sich sofort – bei solchen solchen überlegen was denn ein das bedeutet was manchen eigentlich recht Ausrufezeichen drüber schreiben hier meine ich diese Gleichung soll erfüllt sein – und dann möchte ich gucken was passiert