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12G.1 Differentialgleichung für eine Achterbahn

CC-BY-NC-SA 3.0

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wir stellen heute eine Differentialgleichung – auf für eine Achterbahn – lösen die dann auch nur mäßig so – wie man sie üblicherweise lösen würde mit Hilfe – Rechenprogramm Süße Verlobte – Idee die ich habe hinter der Achterbahn ist folgende ich – habe eine Funktionsgleichung – gegeben – Y – Koordinate – jetzt stelle ich mir vor ich – hier oben mit der Geschwindigkeit 0 – zum Zeitpunkt 0 bei – X gleich 0 mit meinem Wägelchen – dann wird dieses Wägelchen – mehr unter Windows schnell hier unten offensichtlich sehr – schnell – die Gegend – möchte ich jetzt als Differentialgleichung – ausgedrückt haben also die Anfangsbedingung – ist – gleich null – X = 0 – die Geschwindigkeit gleich noch – ist mein Anfangsbedingung – und – jetzt möchte ich eine Differentialgleichung – aufstellen um zu sagen wie sich das jetzt weiter – entwickeln wird – Zeitpunkt wo ist dann das Wägelchen bei welche x-Koordinate – Geschwindigkeit hat das hätte ich gerne eine – Differentialgleichung – mit – der ich das herausfinden – kann – würden Sie anfangen ✂ der Weg den sie vorschlagen – man dazu I – Weg es – gibt gleich einen einfacheren Weg die man üblicherweise auch benutzen würde der erste Weg ist der mit Ursache und Wirkung was ist die Ursache – die Schwerkraft ist die Ursache für die Bewegung hieß gleich geben wird die Wirkung ist die Beschleunigung aus – Schwerkraft – die Beschleunigung das ist sozusagen der erste Weg und – mit der Beschleunigung müssen Sie was für die Ableitung der Geschwindigkeit das – ist ja die – Zeit – Ableitung des Geschwindigkeitsvektor – die haben eine Differentialgleichung – soweit so gut das – wäre die Strategie – mit der Schwerkraft und komme damit zu Beschleunigung es – wird eklig – zeige dir jetzt was ein was ich gleich wieder wegradieren – Schwerkraft zum Erdmittelpunkt hin – jetzt machen Sie eine Zerlegung die – zerlegen – einer Komponente – zur Bahn wenn wir das mal gelingt eine Komponente senkrecht zur Bahn die soll senkrecht zur Bahn stehen und – eine Komponente parallel – zur Bahn – so – zerlegen wir die Schwerkraft – diese – Komponente parallel zur Bahn und diese Komponente senkrecht – zur Bahn und die Komponente senkrecht zur Bahn die – ist egal was sie ziehen das Wägelchen nur noch stärker auf die Bahn wenn Sie die Reibungskraft ignorieren was man in der immer tut – sie Reibungskraft ignorieren ist das egal – mit wie viel Newton zieht das – Wägelchen auf die Bahn drauf ziehen das heißt diese Komponente hier ist egal – würde nur die Komponente parallel zur Bahn nehmen und – dann bekommt man eine Beschleunigung und so weiter aber sie sehen daran schon das wird – eklig mit den ganzen Richtungen – habe das erst – gestern und dass man sich fünfmal verrechnen kann das machen wir lieber nicht so also das ist erste die aus der Physik die Ursache ist die Schwerkraft die Wirkung ist die Beschleunigung das – geht aber es wird schlimm – gibt einen zweiten Weg sehen – Sie einen zweiten Weg – der Physik so ✂ die Energieerhaltung die – macht das Ganze einfacher – Anfang haben wir ausschließlich – potentielle Energie ich möchte einen Geschwindigkeit von 0 am Anfang haben – Energie am Anfang ist also die Masse mal die Schwerebeschleunigung mal – die Höhe am Anfang das sy von – 0 bis dann ist die Höhe – Energie bei t = 0 – das muss konstant – sein also die Energie bei irgendeinem anderen t – allgemein schreibe ich mal – Masse mal Schwäbisch noch nicht mal für – Felix – gleich Null sein und – dann habe ich eben da einmal die potentielle Energie Masse Materialbestellung – zur Zeit t – und die kinetische Energie Einheit mal Masse mal – die – Zeit t ins Quadrat – ist schon deutlich freundlicher – Gleichung können wir vereinfachen das Y – können wir loswerden mit dem v können wir noch was machen sehen Sie was man jetzt machen kann ich will auf die Differentialgleichung hin möglichst – eine in der jetzt nur die x-Koordinate – von Y Koordinate kann ich ja ausrechnen aus der X Koordinate mit Hilfe der Funktion ich möchte Differentialgleichung – haben in der nur die x-Koordinate vorkommt – und Ableitung – natürlich Anna Differentialgleichung – was könnte man jetzt tun so ✂ sie streichelt mir über die Masse raus das – ist schon – ob – sie da jetzt ein Wagen mit der Masse von einer Tonne haben oder ein Wagen mit der Masse von 100g haben – wenn sie die Reibungskraft und so weiter ignorieren – egal sein und die können sich ja notfalls diesen ganzen zugansagen – vorstellen fünf Fragen hintereinander Fünffache – Masse das musste sein Bewegungsverlauf – seid die Masse muss egal sein – jetzt möchte ich alles auf X zurückführen – y von T – X von Tiere habe kann ich YT ausrechnen dieses sondern Funktionskurve – sein wie komme ich von XY mit der Funktionskurve – das heißt hier steht das – Y von T dann einfach die Funktion – von – X von CD geben XVT wenn ich die Funktion hat und habe y raus hier ist und von Null ist insofern dann einfach die Funktion an – der Stelle 0 hat – meine Funktion an der Stelle 0 für einen Wert soweit – so gut die – Geschwindigkeit – die ist jetzt ekliger – so zeigte Geschwindigkeitsvektor – zur Zeit t – Zeitschrift – jetzt möchte ich aber alles mit X ausdrücken insbesondere auch mit X. – Ausdrücken – wie kriegen – sie was mit – dem Geschwindigkeitsvektor – und – X. – Von T wie – sich die x-Koordinate ändert – allein – die x-Koordinate – und – wenn sie das wüssten wie können sie dann sagen was der Geschwindigkeitsvektor – ist wenn sie wissen wie schnell sich die x-Koordinate ändert – wie viel alles in X ausdrücken wir kriegen sie – Geschwindigkeitsvektor – und X. ✂ der Geschwindigkeitsvektor – ist also – X. – Wie schnell bewege ich mich in X Richtung Y. – Wie – schnell bewege ich mich in – oder wenn sie es hier ein zeichnen – horizontale – vertikale – Komponente – Von y. – Von T – will jetzt das Quadrat haben V von T Quadrat das Quadrat von diesem Vektor – heißt ich brauche das Quadrat für dich. Ich brauche aber auch das Quadrat von Y. – Wenn – Sie sich dieses – angucken was – können sie dann über X. Und Y. Aussagen – wir gleich y. Loswerden quadrieren – will was – können Sie mithilfe der Steigung über Xbox und Y. Aussagen ✂ Durchwegs. – Sag – mir die Steigung jetzt müsst man sich noch angucken was ist wenn X. = 0 ist – ich gleich noch was zu sagen – das muss gleich der Steigung sein y. / X. Was ist die Steigung die Steigung ist jetzt bitte nicht Frau – Vektor Vektor kann ich die Steigung sein der Betrag von VKS auch nicht sein der Betrag von Frau ist die Länge von einem Vektor könnte auch so zeigen – Steigung der Funktion f – die Steigung der Funktion f – Strich an der Stille XVT – das ist unsere Steigung – ist gefährlich durch Ex. Zu teilen das – müssen wir nämlich auch gar nicht ich bringe das X. Lieber auf die andere Seite – steht es nämlich auch wenn ich's. Gleich Null ist in nehme ich auf die andere Seite – = f Strich von X von DMAX. – in X Richtung aktuell – Null ist – irgendwas mal 00 heraus klar auch ihre Geschwindigkeit in y-Richtung ist dann aktuell neu – passen wir jetzt zusammen – nehmen Sie dieses und sie nehmen dieses und – was denn daraus mal V von T ins Quadrat das – Quadrat der Länge von diesem Vektor – wie kriegen sie das hin – Quadrat von der Länge vom Geschwindigkeitsvektor – gerade mal aus ✂ Quadrat die Länge eines Vektors Physik verdiren x95 qualitätskomponente – addieren Pythagoras – also habe ich von – dem Quadrat = das – Quadrat von X. – + – das Quadrat von Y. – Aber y. – Ist f Strich Maliks. – Das – heißt die Hinterlüftung. – ZF – Strich Quadrat mal B Quadrat – das nix. Fahrrad können wir ausklammern kriegen – an zu eine größere Klammer mal nix. Von T in – Quadrat – 1 – + 1 – für das eine X Quadrat und das Y. – F / von X Quadrat expodata – Natascha ich brauche hier noch F-105 jetzt – Remix – von T in Klammern ins Quadrat Quadrat – und – jetzt habe ich erzählt ich alles mit X ausgedrückt und jetzt. – Ausgedrückt – ich – kann eine Differentialgleichung – die Differentialgleichung – hinschreiben – ist also – GEMA F90 – F90 – = hier – steht geh mal f von X von TMA – f von X – von T – einhalb plus – einhalb – ins Quadrat und hier steht die Geschwindigkeit ins Quadrat das ist also EinsPlus – FFs – unsere Funktion die die Achterbahn schreib die – Ableitung davon an der Stelle X von TTS – Ableitung quadrieren – Klammer – zu nix. – T ins Quadrat – ist unsere Differentialgleichung – ich kann Ihnen sagen die sieht – aus aber sie sieht nicht so schlimm aus als wenn sie den ersten Weg beschritten hätten und – sich dann überlegen was sie jetzt wie projizieren – müssen – sieht auch schon schlimm aus hier zugegebenermaßen – diese – Differentialgleichung – was für eine Art an Differentialgleichung – ist das was für ein Typ ✂ diese Differentialgleichung – ist also nicht linear – sind insbesondere in den Blickpunkt von T ins Quadrat dieses – Quadrat ruiniert ist das Estrich von X von Tee ins Quadrat ist auch ein schwieriger Fall aber wenn f Strich gerade was besonders – simple es wäre dann könnte es – zufällig noch hinhauen aber Xbox one t Quadrat geht auf keinen Fall für – eine lineare – Differentialgleichung – fürs Auto nicht in der gibt – es keinen Sinn zu sagen ob sie homogen oder inhomogen oder – erst oder konstante Koeffizienten hat das – gibt's nur bei dem Jahr sind sie ist – von – erster Ordnung – die höchste Ableitung der erste ist was lustig ist nicht eigentlich der Mechanik immer zweiter Ordnung durch – die Energieerhaltung die eingebaut haben ist – die Differentialgleichung 1. – Ordnung – und sie ist nicht explizit – es ist nicht nach der höchsten Ableitung – ist Dieter nicht Fixpunkt von T und – Quadrat gleich irgendwas das X. Von Tedi höchst Ableitung ist irgendwo vergraben ist nicht – man sie dann implizit die – meisten Leute singen und – sagen implizites wenn da steht 0 = irgendwas – wir müssten optimale von Null auf die rechte Seite bringen dann wäre sie implizit – das versteht 0 = 1 – ausdrucken so – und sie sehen ja das ist jetzt Ihr ungeschickt wir konnten solche Differentialgleichung – hin und wieder lösen weil sie trennbare Variablen hatten – hier nicht das heißt man ist ziemlich aufgeschmissen mit dieser Differentialgleichung – deshalb – ist es ein schöner Anlass mal zu zeigen wie man den numerisch vorgeht – hatte das euler-verfahren mal gezeigt in den alten Videos – möchte jetzt mal zeigen mal ist mit dem eingebauten Löser von aktiv markt – nicht zu Fuß mit – dem z.b. aller Verfahren der – erste Schritt wird sein sie machen diese Gleichung explizit – möchte nach der – Ableitung – wird passieren sind – sie schon den Ärger den man dann hat ✂ bringen also hier den ersten – Summanden rechts nach links rüber – bei ausklammern dann steht da geh mal f von 0 - f von X von CD – links rübergebracht wir – musizieren mit zwei – durch diese Klammer hier und in – der Klammer steht netterweise – nie Norderstedt EinsPlus das Quadrat einer reellen Zahl das – ist immer 1 oder mehr wenn ich durch diese Körperteile habe ich kein Problem ich – sag mal wissen soll 1 + F – X von Tee ins Quadrat die – ich gedacht jetzt fitx. Von dquadrat alleine ärgerlich – ist jetzt wir wissen nicht welches Vorzeichen davor gehört plus oder minus bewegt – sich – Wägelchen gerade – nach rechts oder bewegt sich unser Wägelchen gerade nach links wir müssen – welches Vorzeichen sie brauchen – müsste ich mir noch eine Logik überlegen – Vorzeichen ich gerade wähle – was ich jetzt machen werde in Beispiel ist – meine Funktion so ist dass das Wägelchen nicht hin und her fahren kann sein es kann immer nur in eine Richtung fahren immer – nur Berg runter Berg rauf aber nicht ganz so hoch den Berg rauf und dann wieder Berg runter es – wird immer nur in eine Richtung die auf der echten Achterbahn das Schaukeln sie ja auch nicht hin und her sollen sie kommen vom – Start zum Ziel – sofern werde ich jetzt gleich mit einem plus rechnen das heißt aber meine Funktion muss passend sein – sie so – eine Funktion haben – starten dann hier mit ihrem bergelchen dann werden sie hin und her fahren müssen und dann geht's hier Stress wenn sie nur das Plus nehme ich nehme gleich das Plus nur – das Plus – ich so eine Funktion Einsätze – es geht immer nur nach rechts das Wägelchen fährt – nie nach links – haben wir ein explizite Differentialgleichung – 1. Ordnung – das ist was die üblichen differentialgleichungslöser – können eine explizite – Differentialgleichung – 1. Ordnung gegeben diese – rechte Seite auf der rechten Seite steht ja eine Funktion – meiner Lösung Funktionen leicht von der Zeit kommst hier nicht vor die Zeit – eine Funktion – von meiner Lösung Funktion und derzeit diese Funktion gibt man dem differentialgleichungslöser – an wann gibt's die Anfangsbedingung – an – vielleicht auch noch an und – welchen zeiten man das Resultat haben will und ist – dann schon fertig das jetzt, – vor – brauchen erstmal diese Funktion selbst – war dann weiter verarzten können mit Günter dass sie eine große Formel schreiben aber das ist so schlimm – ich lieber nicht tun sie – definiert eine Funktion – von geschirmte – das – sieht inactive – bisschen komisch aus schreib – sowas y – = F von X – meint damit die – Funktion dich definiere heißt f – Variable die ankommt heißt jetzt – Definition X und die Variante die zurückgeht heißt y – ist die Variable in der ich mein Ergebnis ablege das sieht in Zielsparen – das anders aus dann haben sie nur ein F von X durch Vitamin y = in – 10 Sprachen zweiten Hansen der Tyrann ich schreibe gleich – der Funktion y – = irgendwas und das ist mein return etwas – ungewohnt für mein C – Programm – die – Funktion selbst was möchte ich haben – haben der langsam – nach unten läuft morgens – habe ich mir überlegt gibt es dann bis gleich – - – X 20 – lineare – Funktion die schräg – nach unten läuft rechts – runter läuft und – die über lagere ich mit zweimal – Cosinus – zitiert sie dabei – ist meine Funktion selbst und dann sage ich and – function – sieht das aus sie können nur fast schon mal aufrufen Adventitia genervt von 0 – 23 – ich sehe dass ich auch noch was vergessen habe jetzt gib mir das Y auf – Sie kein Semikolon dahinter schreiben wird – sich das Ergebnis der Zeil immer ausgegeben das war keine gute Idee dass ich kein Semikolon dahinter geschrieben habe ich mache das ja noch mal – und dann ist Schluss Elon gleich und dann gehörten dahinter – Ausgabe steht und den Schwanz und jetzt kann ich dann sage ich von 0 kriege ich nur noch eine Zeile nehme ich die mit der so das – ist meine Funktion ich brauche noch die – der Abstrich – mir nicht die den endlich mal F1 von X eine – Funktion – wieder mit dem Cursor wieder raus hier – Einwohner bevor ich vergesse so – jetzt finde ich ableiten 15. – ist die Ableitung 0 – kommt - 120 für die Ableitung von – X20 und dann habe ich bei der Ableitung dich zweimal den Cosinus und dann - 2 mal den Sinus – das wäre die Ableitung – Frank schon – habe ich die beiden Funktionen die ich hier brauche also ich kann jetzt direkt App von irgendwas F1 von irgendwas aufrufen in meiner Formel und jetzt brauche ich eben das – was sie auf der rechten Seite steht als Funktion auch noch und das wäre ich den differentialgleichungslöser – zum Fraß vor das ist dann eine Funktion jetzt muss ich ja den Funktionsnamen Nachricht schreiben vorne steht die Variable dich zurück liefere die Variante zurück liefere ist X. – Funktionsname – sage – ich mal H – und was diese Funktion kriegt ist gleich die – aktuelle – x-Koordinate – und die aktuelle Zeit – können sich ja auch noch die Zeit enthalten bei – uns jetzt nicht aber sie – könnte die Zeit enthalten und – jetzt schreibe ich was X. Ist – sie – sagte ich nehme + die Wurzel square – root – Zähler durch Nenner zweimal – AG – habe – ich wirklich 9,81 – mal Klammer – durch das – was da im Nenner steht – Zähler steht unser F90 – ach da muss ich noch mehr kümmern haben ne so im Zähler steht unser f von 0 - – unser f von – der aktuelle Exposition – da – im Nenner steht 1 – + das Quadrat – der Ableitung die Ableitung bf1 – von – X – dann das ist was ich hier ist was ich bekomme F1 – von X und das ins Quadrat – sind die Sprache nicht so schreiben können mit dem hoch 2 in – der Tabellenkalkulation und – bei Wolfram Alpha dürfen sie hoch 2 mit Sikaflex – schreiben – gucken auf YouTube cantique ist noch die Klammer zu – muss hier mit einer blauen Klammer bei das müsste diese Formel gewesen sein 2 x 9,81 – x 40 – - f von X durch 1 – + F von – X ins Quadrat – Semikolon – kriege ich das gleich – ausgegeben das würde Nerven – function – sage also was hier auf der rechten Seite meiner expliziten – Differentialgleichung – 1. Ordnung steht das ist der wesentliche mathematische Schritt vorher sie müssen die Differentialgleichung zu – einer expliziten Differentialgleichung – 1. Ordnung für – die meisten – haben wir gemacht und was ich daneben angebe ist passiert auf der rechten Seite steht schon einer – und jetzt sind – wir am Ziel ich sage nur meine Zeit soll laufen – ab – 0 in 0,05 – schritten – 5 Uhr das würde man professioneller Weise nicht ganz so schreiben aber so ist es leichter zu verstehen – 0 bis 50, 053 Susanne Zeit laufen – und damit kriege ich – x-Werte aus der Differentialgleichung – heißt die Funktion – dafür von optive – ordinary differential equations lsod – dem geben sich jetzt den – Namen der Funktion auf der rechten Seite die heißt nämlich H eine – Funktion mehr auf der rechten Seite – geben einen Startwert für Text das muss gleich noch mal sagen über den wer in den Staat wird höchst etwas überraschend – sie geben – Zeit Liste von 0 bis 5 in 0,05 – schritten – Stadtwirt für X ist etwas überraschend wie gesagt das – Problem ist wenn sie mit 0 starten – sich ja nur reinschreiben – sich das Ärgernis ✂ wenn wir mit Null anfangen können – wir zumindest bei diesem Löser nicht vom Fleck weg – nur - f von 0 im – Zähler steht 0 – und so weiter sie kriegen nur was war das wollte ich auch gerade das ist ja gemein Anfangsbedingung – wie ich sie haben wollte ich wollte starten mit der Anfangsgeschwindigkeit nur die kriege ich auch raus die Anfangsgeschwindigkeit nur das blöde ist differentialgleichungslöser – dann nicht – zu starten der bleibt immer nur die Geschwindigkeit ist null oder schön dann bleibt er bei Null setzen und es passiert gar nichts – differentialgleichungslöser – Attentäter – Differentialgleichung – hat – man so Ärger oder auch nicht das ist eher selten ich werde das jetzt auf die rote Haare hat lösen ich schreib einfach hier jetzt rein wir starten nicht mit X gleich 0 wir starten mit X = 1000 ist – ein bisschen gelogen aber dann – geht auch was – das geben sie dem differentialgleichungslöser – jetzt – differentialgleichungslöser – kriegt die Funktion auf der rechten Seite sein die Funktion h da – steht sie da steht sie was – ist der Startwert für XO – mit geht's los und – für welche zeiten möchte ich gerne die Lösung haben das ist hier vor dieser – gewesen von 0 bis 5 Minuten 0 5 Schritten und dann hat er das durch – sie sehen im Jahr wie war das jetzt schon alles das war schon alles – der Warwick steht drin was ist die G20 was ist nichts von 0,05 und so weiter und so weiter und das – wollte ich mal mit einem Scatterplot – ausnahmsweise dass man die einzelnen Punkte wirklich sieht die verschiedenen – x-Werte – und – zu den X werden kann ich ja mit der Funktion auch noch die – ausrechnen – also X ist Vektor an X werden zu – jedem Zeitpunkt einen x-Wert und F – die Funktion jetzt auf jeden davon angewendet das heißt das hier – na so sieht das dann aus aber – ich hätte mal vor was machen sie heute noch – machen soll Ecstasy – eingeteilt Achsen – so – dann – sehen sich ja auch den langsam – langsam fallenden Kursen und hast du gesehen XY die auf der Bahn ein – Kursus aber langsam abfällt und die Zeit Punkte jetzt den – Texte die Texte sind jetzt im Abstand von 0,05 – sekunden – gesetzt und – okay es fängt langsam an nach – unten hin wird es schneller die Punkte sind weiter auseinander sind – schneller nach oben hin willst wieder langsam an der unten hin geht's wieder schneller und sie – sehen hier beim Bogen – rechts sind – wir oben schon – schneller als beim Bogen davor wir sind ja auch ein bisschen tiefer die Geschwindigkeit hängt davon ab wie weit sie jetzt schon insgesamt gefallen sind – sehe das im Prinzip aus ein – numerischer Löser ob sie das nur mit Active machen anderen wenn – Wolfram Alpha nicht weiter weiß – geht auch Wolfram Alpha zur numerischen Löser und – die kriegen dann entsprechende – Ergebnisse vielleicht – etwas freundlicher einzugeben und müssen sich nicht so viel Gedanken über Auflösung rechte Seite machen aber wenn sie die üblichen Programme verwenden dann – sie wirklich die rechte Seite als Funktion hinzuschreiben