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25A.1 Kreisfläche, Kugelvolumen, Kugeloberfläche


CC-BY-NC-SA 3.0

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ganzvorn anfangen mit den Längen und den Flächen und den VoluminaKomma vielleicht beim Kreis anKreis mit Radius R und Umfang Udie Definitionder Zahl Pi wäre der Umfang des zwei Pi mal der Radius??oder Pi mal den Durchmesserimmer das habenKomma netterweise schon die Kreisflächebestimmenauf relativbanale Arteine von tausend Möglichkeitenin den alten Videos hatte ich andere Möglichkeitengezeigt?? eine Möglichkeitdie Kreisfläche auszurechnenist folgendeSie legen in den Kreisein Vieleck was soll ich erstdieWeichen artigso ein Vieleck soll nunso also einvier ein Fünfeck ein sechs eckigen sieben Eck einhundert zwei neunzig Kommaein Vieleck und zwar einregelmäßigesVieleck sich dareinalle Winkel sollen gleich groß sein der fast regelmäßigsagen wir ein regelmäßigesregelmäßigesähm Eckin eine große Zahl ein tausend Eck ein Millionenund die Größe N wird umso mehr wird sich natürlich dieses EnergieimKreis anpassenwird Komma versuchen die Fläche zu berechnendie Fläche dieses en ExFläche von dem Ding das ist ähm mal die Fläche eines Teilsin maldie Fläche so eines Teilskann man sich überlegen wie groß denn die Fläche seines Teils sein mussammithilfevon dem was man übers Dreieck weißdas muss sein ein halb mal Grundlinie mal höreich das maldem ich arbeite gerade an der Formel dran müssen nicht abschreiben hier ein halb mal Grundlinie mal Höheund überlegen uns was denn das werden kanndieHöheeines solchen Teilswie groß ist die in sehr guter Näherungje größer das Ende wird umso besser wird diese Höhe gleich dem Radius sein??ich immer ganz dreist also das ist ungefähr der Radiuskann ich nicht Doppelpunkt Schreiben sondern ungefähr immer bis Ernährungund die Grundliniennaja das weiß ich bisher noch nichtaberich kann was anderes probieren ein halb mal in mal die Grundliniemalten Radiuswas halten Sie von ?? in mal die GrundlinieN maldie Grundlinieist ja der Umfangvon meinem Vieleck einmaldie Grundlinie des der Umfang von meinem Vieleckund je mehr Ecken dieses Vieleck Rechtdesto genauer wird dessen Umfanggleich dem Kreisumfang sein das es also ungefährund immer besser der Kreisumfangzwei Pierreund dann sind sie die Fläche ist also wenn es insgesamt hier nehmen ein halbmal zwei Pierremal den RadiusO Wunder das Inhalt kürzlich prima ?? Quadratund das Resultat wird exaktwenndieses en über alle Grenzengingen endlich gehtdas ist die tausend erste Art sich die Kreisfläche zu überlegen ?? Meyer Quadratmithilfe der Fläche von dreiunsinnig wie ich lüge mich hier total raus ich rechne niemals Fläche wirklich aus von beiden ich fasse nur geschickt zusammenin den alten wieder völlig andere Sachen vorgestellt Beistrich das über Ableitungwenn ich dieses hier Pi mal R Quadrat nach eher ableiteich den Umfang zwei PR das ist eine Artähm man kann den Kreis auseinander faltenkreuz und querdas manso ?? Figur kriechtdas es eine klassische Art die Kreisfläche zu bestimmenJansen noch die tausend erste Kennenlernennunweshalb ich das erzähle man kann einen ähnlichen Trick auf die Kugel anwendendas für die sehr spannenden Komma nämlich Komma Pyramiden wiederholenden Funktion des Pyramidenvolumenmannesehrlich mit der Kugel machtdannbei der Kugel ist am einfachstenmit klassischen Methoden dieses Volumen zu bestimmen wenn sie eine Kugel habendas jetzt Kugelohne den Schatten und die Spiegelung wär's kein Kugel oder Westsonne und Schatten drunter so sitze Kugel so wessen Kreisan der Kugelauch wieder mit dem Radius Rdas nette istund sie die alten Videos das nette ist diese Kugel hat dasselbe Volumen wie folgendesGerät man nimmt einengeraden Kreiszylindermit derundschneidetKegel rausum mein Kegel raus unten ein Kegel rauswiedicke Bohrungen darein sie bohren hier von oben ein Kegel rausund von unten bohren sie ein Kegel raus und betrachten das was übrig bleibt als diesenäußeren Teil hierdas betrachten Sie dasBienein Sand vollständigen Sanduhr vor dieser Riesenriese wird der Sand erstellen sich die Sanduhr vor das Glas dieser Sanduhrnicht das Innere wurde sein brennendes ?? das Glas dieser Sanduhr gucken sich anman kann leicht nachrechnensie letztes JahrFocus erzähltaber man kann leicht nachrechnendass das Volumen von diesem Körpergleicht dem Kundenvolumender Kugel istRadius Rund zwei erhobdann kriegt man raus dass das Volumengleich vier DrittelPiR hoch drei istam?? das Volumen der Kugel gab es relativ einfache Netz können uns überlegen was denn dann die Oberfläche sein muss mit einem ähnlichen Trickwiediesen Trick hier nur brauche ich jetzt bei der Kugel natürlich keine Dreiecke sondern Pyramidenwerde die Kugel aus Pyramidenund überlege mir was passiert wenn diese Pyramiden immer kleiner immer kleinerimmer kleiner werdendas es meine Kugelwieder mit dem Radius Rgemeinhin mit dem Radius Rstellen sich hier Pyramiden vorzum Mittelpunkt hinist eine noch im bisschen überlegen wie können diese Pyramiden es schaffenKomma dass diese Grundfläche eben Mist besser wäre immer Pyramiden zu nehmen deren Grundfläche ein Dreieck ist quasi dasvermieden deren Grundfläche Dreieckesindunddiese Grundflächensind jetzt Teilder Oberfläche der Kugel nicht ganz aber fast je kleiner diese Pyramiden werden desto genauer wird das hinkommendass die Oberfläche der Kugel dann aus diesen Grundflächen der Pyramiden zusammengesetztesich kann jetzt nicht alle ein Pyramiden einmal sieht man nichts mehr wenn ich alle Pyramiden einmalin den Wieso rauskamund man sich überhaupt ?? was innen drin passiert sie nur noch dieUnterseitender Pyramiden deshalb weil ich Normalpapierdas mein Gedankedie Vollkugel zerlegenin Pyramidenbauenwenn ich sage das ist die PyramideNummer InachPunkt erwarnieund sage das hierist die Fläche I die Grundfläche dieser Pyramideund innen drin habe ich das Volumen hiedann ist ja sowas wie die Summe über alle diese Grundflächenungefährgleich aber in ziemlich guter Ernährungund bis Ernährung ?? mir Pyramiden die kleine Minnich habedie Summe dieser Flächen wird sowas seinOberflächeund die Summe der Voluminader Pyramiden wird was sein wie das Kugelvolumenprososollen sie aber schon grob wissen wie Pyramidengehenan was das Pyramidenvolumenist dann müssten sie eigentlich in der Lage sein herzuleitenwie Kugeloberflächeund Volumen zusammenhängenmüssen Punkt nun weiß man und damit kann man die KugeloberflächebestimmenBeistrich hatte aber noch maldie Pyramiden gehendas Volumen einer Pyramidesie haben einewie auch immer geartete Grundflächeeben eine Ebene GrundflächeGröße Ameine Grundflächevon dieser Grundflächezieht sich die Pyramide zu einer Spitze zusammenMainspitzeganz doll daneben das es wirklichschräg aussieht sodas wäre eine Pyramideglichen sie die Grundflächemich interessiert die Höhe der Pyramidewie weit ist dieser Punktzu den sich alles zusammenziehtsenkrecht entfernt von der Grundebene das ist die Höhe der Pyramidestellt sich heraussie alte Videosdass das Volumen der Pyramidenicht Grundfläche mal Höhe istdas wäre sowas wird Zylinderzylinderhaben dann ist das VolumenGrundfläche mal Höhe die Pyramide ?? ein Drittel davonlustigerweiseein Drittel von entsprechenden Zylindervolumenwas man herleiten kann indem man sich in Würfel anguckt soll ich das vorgeführt die gewöhnlichen Würfel an und der Spalten den Indexpyramidenbilden von jeder Seite Pyramidezum Mittelpunkt hinein an die sechs Pyramiden kleine Rechnung und Silvester zu sein mussamdas wäre die Volumenformelfür die Pyramide ein Drittel Grundfläche mal Höheberühren sie das mal miteinanderwir wissen was das Kugelvolumenistwie können die Kugelbeliebig genau in Pyramiden zerlegen muss man nur hinreichend viele hinreichend kleine nehmen und für jede Pyramide wissen wir was der Zusammenhangist zwischen Volumenund Grundfläche und Höhegesucht ist die Kugeloberflächedie wissen ?? versuchen die ausdiese Gleichung hier ist natürlich eine Gleichung für eine Pyramidedieses ?? die nummeriert meine ganzen Pyramiden durch von eins biszwanzig Millionenalso das Volumen der Elitenpyramideist dieGrundflächeder Pyramide mal die Höhe der Elitenpyramidedieses leicht soPunkt das muss hiermit verführt werden und das Geld erst mal nur für Pyramidenabendhabe ich etwa nichts für die ganze Kugel hätten sich irgendwie über diese Summen auf die ganze Kugel kommengesucht ist die Kugeloberflächealso suche ich im Endeffekt die Grundflächenvon meinen Pyramidenwas heißt dass die Grundfläche meiner Pyramideeiner einzigen von denendie Grundfläche der Pyramide ist dreimal deren Volumen durch die Höhe dreimaldas Volumendurch die Höhevon dieser Pyramideaber das doch mal hin die Kugeloberflächeist also ungefährdie Summeüberdie Grundflächen meiner Pyramidenund die Summe über die Grundflächenmeiner Pyramidenist dreimaldas jeweilige Volumen durch die jeweiligeHöhe summiert über alle Pyramidenmuss man sich das Ding hier noch malscharf angucken diesen Ausdruckdie Höhe dieser Pyramidenwenn ich die immer so hübsch Bildervon der Oberfläche der Kugel bis zum Mittelpunkt was wird die Höhe dieser Pyramiden sein?? zwangsläufig in guter Näherung wird die Höhe er seinimmer bessere Ernährung je mehr Pyramiden ich habedas hier wirdHerr werden ziemlich genauund dann steht da ich summieren?? jetzt noch ungefährich summierenüber alle Pyramidennummerjetztüber drei mal das jeweilige Volumen durch den Radiuswenn siedasachtundneunzigfache von irgendwas auf summierendann haben sie das achtundneunzig fache der Summeist drei durch den Radius sich nach vorne raus aus der Summeanalog zum Integral wenn sie dasachtundneunzigfach eine Punkt zu integrieren an der Sache neunzig fach Integral das ?? hinten ist alsodurch das bei Leerzeichenauf den beziehe mich auf die Kugeloberflächedass sie hinten ist also drei durch den Radiusmaldie Summe über die Volumina?? ist aber lustig die Summe über die Voluminadie kenne ich aber das ist ziemlich genau das Kugelvolumendas Volumen über alle diesePyramiden auch summieren habe ich ziemlich genau das Kugelvolumensteht da ja auch schon und das Kugelvolumenhat man aber klassischer seit als vier Drittel Pi R hoch dreidas heißtdieses hierist vier Drittel PR auch drei in guter Näherung das ist also eher nicht einmalvierDrittel Pi R hoch dreisie sehen ?? ich kann kürzen drei kürzen ich kann dieses eher ein gegen ein er da kürzenund was kriege ich rausinsgesamt vier Pierre Quadratdas war mit vielen Ehrungen zwischendurchaber klar ist wenn ich diese Pyramiden immer kleiner kleiner werden lasse immer mehr Pyramiden nehmedann wird es exaktalso muss viel PR Quadrat auch das exakte Resultat sein das ist die Kugeloberflächeviel PR Quadratder einfachen Herleitungim netterweise auch schon gesehen der einfache Weg das herzuleitenist von dem sich das Volumenund leitet das ab nachherwird sie hintenaus dem er auch drei drei er Quadrate drei kürzlich und ich habe vier Pia Quadratdashier ist der klassische Weg ?? man keine Ableitung hat Komma sich so die Kugeloberflächeerleiden vier Pierre Quadratähmist relativ einfach zu merkenwenn sie die Kugel habennehmen Sie sich einen groß Kreis zum Beispiel den Äquator hier endlich den Äquator von der Kugeldiese Flächeistdie maleher Quadratdennder Kreis hatte den Radius Rund damit hat er die Fläche Pi mal eher Quadratdie Kugel hat die vierfache Fläche davonsie nehmen diesen Kreis den sie kriegen wenn sie die Google einmal aufschneidenFläche von diesem Kreis mal vier das ist die Fläche der gesamten Kugelrelativ einfach