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Integral; Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung


CC-BY-NC-SA 3.0

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Wagensmal auf die Schnelle als integraldas integraldafür gibt's auch wieder verschiedene Vorstellungenwie bei der Ableitung bei der Ableitung konnte ich ein TagentensteigungDenkenund lineare Näherung denken an Änderungsratendenkenbeim integraldenkt man erst mal an Flächeninhalteauf eine etwas komische Artund stellt dann fest an das integral ist ein die Umkehrungder Ableitungdas istviel wesentlicher so wird es dann eingesetztGleichung über die Emirate hattenin diesen Gleichungen will ich Ableitungen umkehren die Ableitung ist gegeben und durch die Fusion ausrechnen die abgeleitet worden istdas der Job bei der Versagergleichungenich weiß was über die Ableitung möchte die Funktion habenAbleitung ?? rückwärtsdes Integral ist für uns spannend nicht war man damit Flächen bestimmen kann das auchnicht so wirkliches stand bei man damit Ableitungenumkehrtaber das stellt sich gleich erst herausfange mit den Flächen anwas soll der Job von Integral sein?? gegeben eine Funktionzur Mailfunktion sein denen ich mal ganz kreativ FX Ysoll das integral eine Fläche bestimmenzwischenzwei Expertendenen ich A denen ich B oder wie auch immer es wenn ich die mal A und Bdes Integral soll diese Fläche hier bestimmenunter der Kurveoder hier dem Fall über der Kurveund zwardas Vickersetwas komischdiese Fläche positiv genommendiese Fläche negativ genau gleich sieht man warum das klug istwenn ich sage einfach das integral bestimmt Flächendann möchte man meinenman jede Fläche als Person sowie Quadratzentimeterwarum soll ich die Fläche unter der x-Achsenegativ nimm gleich sieht man das es sehr bequem die Fläche unter der x-Achse negativ zu habendas ist die deformierte Gral wir könnendas mit einem Formelausdruck hinschreiben diese Fläche hiervon der sagt man dann einfach das sei das integralvon X gleich A bis X gleichen B des Integral in den Grenzen von A bis B das ist eine Summe lang gezogen bis es so etwas auch ein ganz ganz langgezogenes LSV Summeund dann schreibe ich da meine Funktion hin ?? von X und ein Pixelnformiert dürfen sie das rein formal nehmen wie bei der AbleitungD nach TX nehmen Sie die Nacht X erst mal einfach als Aufforderungeine Funktionnamens Ki hier abzuleitendas sie sagt einfach Leid abgenauso können Sie dieses hier nehmen alsBild die Fläche mit Vorzeichen zwischen A und B und erst darüber nachzudenken ?? das historisch hergekommen ist es ist eigentlich gar nicht so wichtig wo das historische gekommen ist sehen Sie gleichvom es sehr einfachbestimmen kanndiese Fläche nicht das integral schönaus erster Kommerzflächen unter Kurven ausrechnenwenn wir wüssten wie man dieses integral ausrechnenjetzt Komma mit der lineare Näherungwenn ich nicht bis B integrieresoweit sich das dann eine Funktion integrierensondern ein Stückchenweiter integriereden ihr das manchmal integriere bis B plus H ein Stückchen Haarweiter integrierenDifferenz hiersodiese Differenz hiersoll wieder Haar sein ein Stückchen weiter so kennen Sie das ja schon von den im Jahr Näherungjetzt will ich wissen ?? okay was ist denn das jetzt das integral von A bis B und ein Stückchen weiter ich nehme nicht B als Obergrenzenichtsechzehn als Obergrenze sondern sechzehn Komma null null eins als Obergrenzenun was wird dann mit der Fläche passierenDenkmal gerade nachwas wird mit der Fläche passieren wenn sie bis zu der rotenKante hier integrieren statt bis zu der grünen??alsodas blaue Integral hier vondemgrünen Strich runter bis zu dem roten Strich rauf die Gesamtflächemit dem Vorzeichen hier beachtetin dem sie erst war die grün markierte Fläche das ist das integral wies bisher war A bis B von X TX Orten war dasPlusdie hinten entdecke ich ein Rechteck ist es nicht ganz ein Rechteckjahrein Rechteck plus Kleingeld dieses Rechteck hat die breite Haarund eine bestimmte Höhe dass er die Tanzfläche dazu dass es die Fläche die hier grün markiert es mit Vorzeichen und hier kommt noch dazuspreche von demRechteck bereit ist SHund hochdas ist die Fusion Fhier haben Sie den Fusionswert an der Stelle Adies ist der Funktionswertan dieser Stelle hierder Funktionswert an der Stelle B das es was ich brauche das ist die Höhe von ein Rechteck hier an der Stelle weder FunktionswertF von Bmal Hplus weil das hier kein Rechteck ist ?? genau hin gucktKleingelddie bei der Ableitung hier klein O von H so sieht das ausdas integral bis zu einergestörten oberen Grenze?? besuchen hier mal reinwendemal meine grandiose Gruppe an hier so wenn sie nach der umdie oben zu mich Marainteressesgeschickt wenn ich da oben Reinsumme dann ist die Kurve ja allgemein krummhier sich das Ende von der grünen Linie und hier sich das Ende von der roten Linie und dann sehen sieihre das ist jetzt endlich wirklich ein Rechteck im allgemeinen es gibt ja einbisschen ärgern ist ein Körnchen Salz darauf dashügelig hier und da da Kirch das unter den Teppich mit dem klein O von H müsste man sich alles exakt überlegen wie geht es nur um die Grundidee dahinter stecktund jetzt sehen Sie schon warum es raffiniert war die Flächemit Vorzeichen zu nehmen dann kann ich nämlich jetzt hier einfach F von B schreiben stellen sich vor die Funktion wäre negativwenn sie die Fläche in positiven Quadratzentimeterhaben wollen würden dann müssen Bezieher von Fden Betrag nehmendas sehr nervigdas will ich nicht machendeshalb nämlich die Funktion wie sie istund deshalbhabe ich gleich leider nicht die Fläche sondern die Fläche mit Vorzeichendamit ich hier nicht den Betrag von elf nehmen mussman sehr negativ werden könntedamit lebe ich das F negativ wird oder soll ich einfach okay dann ist die Fläche negativmuss irgendwo Kompromisse schließenist es also hier angekommenund jetzt kommt die lineare Näherungso steht jetzt hierein Lineal ?? Ernährungwo steht jetzt die eine Ableitungwas lerne ich aus dieser Gleichungbeschreibt doch nochmals lineare Näherung der darunter oder die Bedeutung der Ableitungausgedrückt mit der linearen Ehrung sie der gleichen Gleichheitszeichenkeine Näherungdie Funktioneine Funktion an einer gestörten Stelle ist die Funktion an der Originalstelleplusdie Ableitung an der OriginalstellemalStörungplus Kleingeld sozusagender vordere Teil ist in den Jahren Ehrung und ich schreib noch wovon H dazu um das gleiche Zeichen schreiben zu dürfen sowas lerne ich jetzt eigentlichund das ist zur Erinnerung??Erinnerungwas lerne ich daraus jetzt aus der Blauorangengleichungso ?? F von B hat die Rolle eine Ableitungwas wurde ein nicht abgeleitetesintegral hier sehen Sie die von X ist das integraleher von B ist die Ableitung von Integraldass es spannend ich krieg als Ableitungmeine Originalfunktionzurückdas ist der Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnungim Regal stehen habenund zwar wenn sie dieses integral nehmenund sie leiten es ab nach der oberen Grenzean Integral von soundsoviel bis soundsovieleiner Funktionund das leiten sie ab nach der Obergrenze sieht jetzt komisch Ausnahmedes als Vorschrift leitet das Abwasser drin steht leitet das Abwasser drin steht und zwar nach Bsodieses Monstrum ihr nach B ableitenaber gerade ausgeben Ober ist die Ableitungder von Bwenn sie das integral nach der Obergrenze ableitenklingt die Funktiondie da drin stehtan der oberen Grenzedas heißt tatsächlichdass die Ableitungdes Integralauflöstdenken Sie andie Hochlogarithmusvon irgendwasist wieder dieses irgendwasoderdie Sauce für die Potenz der zu finden Wurzel ist das was in der Wurzel steht oder der Akku Sinus vom Sinus Air Operator nachdenken ob es wirklich Sinn hat es wieder das was drin stehthier auf jeden Falldie Ableitunggibt das integral wieder auf des Integral nach seiner Obergrenze ableiten ?? Originalfunktionwieder raus das nennt sich Hauptsatz der Differenzial und integraldie nebeneinander auf in diesem Sinnesowie der Logarithmus die Funktion der natürlichen Rhythmus die Funktion aufhebtauf etwas einfache Art als die jetzige Suchfunktionsflächewerdenkeine Zahlen verarztet die Wärmefunktionveraltet zickigen Funktion wieder ausleitendeFunktion ab zu integrieren eine Funktionbeste Schlüssel zu den Anwendung des Integral als das mit der Flächenberechnung interessiert kaum einMann braucht das integralum Ableitungen rückgängig zu machendas ist der spannendeX ableiten ja ?? Beistrich nach X abwenn sich diese Ausdrücke anguckeneine Ableitung nach Xist nicht so wirklich sinnvoll das integral nach X ableiten warum ist das nicht wirklich sinnvollkönnen Sie das schon sehenwarum kann ich das integral nach A oderB ableiten aber nicht wirklich nach X?? okay das integral ist keine Funktion von X das integral ist jetzt eine Funktion von Hund von BSie können sagen ?? bestimme die Fläche von eins bis irgendwas bestimme die Fläche von zwei bis irgendwasdes Integral hängt von Artdes Integral hängt von B ab bestimme die Fläche an der rechten Kantebis dreizehn bestimmen die Fläche einer rechten Kante bis drei zwanzig B gleich dreizehn Begleitern zwanzig des Integral hängt von B ababer sind nicht von X ab der sechstes innen drin verborgenalle Leute die schon bisschen programmiert haben Kenners von NEC undden Nachfolgesprachenvon der Fahrschleife vor in die gleichNull niekleinerdreiundzwanzigI plus plus dieses wie es in der Forscher verborgen ?? sowie in C programmiert haben oder einer der Nachfolgesprachenaußer Javascript basiert seindieses wie es in der Schleife verborgen wird genauso dieses Xdas ist in dem integral verborgendas kommt nicht raus dieses X istloser Platzhalternehme alle X zwischen A und Bdas meine Echse nehme alle X zwischen A und B und Berechneichsquadratoder den Sinus aus X daraus die Wurzel oder was auch immerdas ist ?? Platzhalter sie könnten hier aufschreiben F von U die EUdas ist einfach nur um zu sagendiese Variable in drin so laufen von A bis BA und die Funktion wird gebildet von dieser Variablewas sie steht hängt nicht von X ?? Rechner eine Flächevon A bis Bist nicht die Rede von XA ist leicht variabelkönnten ?? kleines A nehmen oder größeres annehmen Beesvariablenkleines B großes B Jahraber das X ist eingebautes X läuft immer von A bis B das hat gar keine Wahl sie können nicht sagen leitet das nach X auf das ergibt keinen Sinn?? noch meine ähnliche Geschichte das kam imBrückenkurs vor ich weiter nicht so drauf rum diese SummenzeichenI gleichdrei bisfünfvon Quadrat das heißt ja drei Quadratfußvier Quadratfuß fünf Quadratkonnte sie auch nicht mehr vor dessen Zweckkann ich nach wie ableiten sozusagen das ergibt keinen Sinn das ist verborgen in der Summegenauso ist es X verborgen in dem integral nach X ableiten ergibt da keinen Sinnkönnen dann nur noch nach den Grenzen ableitengenau das richtige Tal nach der Obergrenze wird abgeleitetwas passiertwenn ich ein Stückchen weiter integrieremit welcher Änderungsrateändert sich die Flächeundnetterweise die Funktion innen drinist gleich dieser Änderungsrateetwas konkreterwarich möchte mal folgendes bestimmenzum Beispielich möchte mal bestimmenwas ist die Flächeunter der kubischen Parabelvon eins bisBkennen die komische Parabelkennen und lieben die kubische Parabel zwischen Uppsalasowas ich möchte voneins bis B eins bis Bdie Fläche unter der kurdischen Parabel bestimmen das es erst monochrome Geschichtewie soll das gehen?? das geht gleich total billigdieses integral interessiert mich Fläche unter der großen Parabelzwischen ist gleich eins und X gleich Bund jetzt kommt der Hauptsatz der Differenzialund Integralrechnungder sagt mir nämlich wenn ich dieses integral ableitennach Bso schreiben wenn ich dieses integral ableiten nach Beins bis B X hoch dreiXdann kriege ichwahrscheinlich auf die rechteSeiteso meine Funktion ist die dritte Potenz da steht also B hoch dreidie Fläche unter der kurdischen Parabel bestimme von eins bis Bgucke nach der Änderungsratewie schnell ändert sich diese Flächewenn ich nicht bis B integrierenbisschen weniger oder Visionärmuss ich rauskriegen B hoch drei den aktuellen Wert von Bhoch dreidas sagte Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnungdas integral nach der Obergrenze ableiten ist das was in drin ist an Funktionund darin eingesetzt die Obergrenzekam eben schon super Differentialgleichunggelöst müssen sieht es Differenzialgleichungendann wissen Sie wie sie X hoch drei integrierendie Ableitung einer Funktionist B hoch dreibestimmen Sie die Funktionwieder drin steht nämlich das integral überlegt sich das malwelche Funktion steht hier drinalso hin und ich wüsste zu gerne welche Funktion hierabgeleitet worden ist und dass die dritte Potenz von B rauskommtdieAbleitungmeines integralsoll die dritte Potenz sein au okay dann weiß ich das integraleins bis B X hoch drei TXdes Integral muss was mit der vierten Potenz zu tun haben wenn ich bi hoch vier ableitet ?? ich vier B hoch dreiObst das Wasser nicht ganz also ein viertel B hoch vierwenn ich ein viertel BO vier ableitedann kriege ich B hoch dreidie vier kommt nach vorne wird um eins verringert der oben schöndas aber nicht die einzige Person die das kann ich keine sich aber schreiben oder das integral ist ein viertel Bio Firnis steht ja nicht hier könnte noch eine Konstante gestanden haben wir die typischerweise auch stehenwenn ichein viertel Bio vier plus drei zwanzig ableitedringliche vorneentweder mal vier B hoch dreiund die drei zwanzig nicht raus Aldi Konstantekönnte noch eine Konstante gestanden haben jetzt bestimme diese Konstantedennich weißwenn ich von eins bis eins integriereX hoch drei TXsie bilden das integralvon eins bis einsda bleibt nicht viel dass die Fläche nullsoll ich ?? und unterschreiben das integral von eins bis eins X hoch drei X ist null Dons ergibt das keinen Sinnda es keine Fläche drunter oder dazwischen soll ich sagen zwischen eins und eins ist keine Flächeahaalso das ist gleich nullwenn ich hier eins einsetzeund ob es andersrum das es raffinierterTodesangst um null ist leicht das integral von eins bis eins X hoch drei D Xweil da keineFläche außer null zwischen passt ich weiß aber was es integral von eins bis B allgemeinesfür jedes B vorgemerkt das Gitter für alle B?? dahinter überhaupt für alle Bmit dem Bus dieser mit Definitionsbereichenabererst mal für alle B A das gilt auch für B gleich eins diese Gleichung gilt auch für B gleich eins null muss also sein wenn ich rechneein viertel mal Einzug vier plus die Konstantesetzen B gleich eins ein ?? des Integral wird nun mal kein Platz mehr drin ist damit was sie was sie Konstante ist die konstant ist nämlich minus sieben rüberminusein viertel einzufrierenund damit kann ich das integral jetzt tatsächlich ausrechnen endgültig ausrechnen also weiß ich das integral von eins bis B X hoch dreiX ist gleichein viertel B hoch vier hundert und ?? Konstanteund Konstanteminus ein viertel Einzug vierdas haben sie alles in der Schule ist wahrscheinlich schon gesehen ich hoffe es hat die noch jemand erzählt warum das so ist sie sind jetzt am Beispiel warum das so istwas ich also rechne das allgemeine Rezept istich suche eine Funktionderen Ableitungman in die Grandsund dann rechne ich diese Funktion an der oberen Grenze minus die Funktionan der Untergrenzezog nicht normalerweiseschulmäßig das integral aus dem wahren Leben kann man die Kralle nicht mehr so ausrechnen Komma keine freundlichen Formen findet aber erst mal ?? so das integral ausdas Rezept ist alsozu F Suche groß FmitF Strich ist gleich Fich suche eine Funktionderen Ableitungmeine ursprüngliche Funktion ist ein viertel B hoch vier wenn ich das ableiten nach B kriege ich B hoch drei ausdiesesgroß Fheißt Stammfunktionvon Feine Stammfunktion von F können auch groß F plusdreizehn nehmen an sie noch eineeine Stammfunktion von F oder heißt auch unbestimmtes Integralschreibenintegral ohne Grenzen unbestimmtes integralsoeinem Sitz eine ?? schreibt lieber so ist gleich unbestimmtes integral an Integral ohne Grenzen?? ich suche eine Stammfunktionzu meiner gegebenen Funktion eine Funktion mit der richtigen Ableitung des heiß ich nehme meine AbleitungstabelleX Quadrat wird zwei XEriks wird ihre Exodusmit einzige natürlich Rhythmus also ?? ich nehme meine Ableitungstabelleund ließ die rückwärts welche Funktion wurde denn abgeleitetsound dann ist das integraldas bestimmte integral dieses Dingen sich dann das bestimmte integral von A bis B bei der ganzen Land stehen deshalb das bestimmte integraldas bestimmt die gerade Fläche mit Vorzeichender Ex ?? schreibendie Fläche ist dann die Funktionwieder gefunden habe groß F die Stammfunktionan der oberen Grenze minus die Stammfusion an der unteren Grenze wird auch gerne so geschrieben F von XinAHBin den ganzen AB genommen oder wird auch gerne so geschrieben er von Xmit einem Strich habeals die Flächedas integralder Kernbegriff des integral diese Fläche heißt dann in diesem Spiel gerne auch das bestimmte integral bei Grenzen dann stehenso bestimmt man erst mal Integralemithilfe von Stammfunktionendas ärgerliche ist das die Stammfunktionenziemlich konvex werden könnenund dass es im Zweifelsfall gar keine Status und gibt die man in den üblichen Fusion hinschreiben kann gibt einenur Blöderweise kann ich sie nicht hinschreiben mit den üblichen Funktionendas ist der reguläre Fall und da muss der Rechner dannaber bei den Aufgaben im ersten Semestergibt Stammfunktion die man hinschreiben kann mit den üblichen Fusion Komma kann integral zu bilden über StammfunktionalsoKlammer zu suchen eine Obergrenze minus an der Untergrenze das ist dann das Rezept erst mal um Integrale auszurechnenund das Volk direkt hier aus dem Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnungdass das bestimmte integraluns so bezeichnet das bestimmte integral die Ableitungumkehrtrechnen sie zwei Schritte weiter und stellen fest also kann ich also bestimmtes integral ausrechnen ?? suchen Stammfunktioneine Funktion deren Ableitung meine gegebene Funktion istwird sich ab oben bis untenund Samsung gesehen die Stammfunktionbei der können Sie drei zwanzig drauf addieren oder sieben abziehendas da machen und da machenist es wieder wegfür das integral muss das egal sein welche Konstante sie darauf addierendie Konstantegibt sicher heraus durch das minus die Fläche darf nicht von der konstanten abhängige Fläche ist die Fläche unter der Kurvedies eindeutigzu überregional ?? Fläche ausdie Fläche unter einer Sinus Halbwelleist mein Sinusgleichzwei PiPi deines hier einsY Gescomte SinusPunktein sehr schwungvoller Sinusund ich wüsste gernediese Fläche sie sehenwowdas geht mit den üblichenDreiecksberechnungennicht so wirklich gut wie groß ist diese Fläche das könntet ausrechnendiese Fläche hier geometrisch genommen ist plus das Integralgewitternicht abgezogen integral Select das integral von null bis PiSinus von X D Xund jetzt mit dem Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnungich suche eine Funktion deren Ableitung der Sinus istminus Kosinus tut esich könnte auch minus Kosinus plus dreizehn nehmen aber wozu sollte ich das mir nochdie Kugel ans Bein bindenminus Kosinus ist eine Stammfunktion ich brauche irgend einesie brauchen hier nicht in der zu schreiben plus eine Konstante weist eine Fläche ausrechnen Fläche kann nur einen Wert habenin den Grenzen von null bis Pi das macht alsoPi einsetzenerste Obergrenze einsetzen minus Kosinus von PiminusminusKosinus von null dass es jetzt weit etwas irritierendMinuskursusvon ?? muss ich abziehender Wert an der oberen Grenze minus groß X von Piminus der Wert einer Untergrenze Minuskursus von null abziehenund das scheint eine ?? bis zu den Kurses von null ist eins Kosinus von Pi ist minus einsunter Siemens ist minus minus eins minusminus einsalsoplus eins plus eins mach zweides finnischen überraschendes Resultatdie Fläche unter einer Sinus Halbwelle im Bogenmaßim Bogen ?? vorgemerktist zweieine ganze ZahlKomma versuchen das einzuzeichnen sie und nahm sie quasi drei Einheiten so einszweidreiPikommt Pieins hochdas heißt diese blaue Fläche muss dasselbe sein wie diese Fläche das ist nicht total unplausibelist überraschend das zu glattbasierende Rechteck mit dem Flächeninhalt zwei zwei breit eins hoch die blaue Flächehat denselben exakt den selben Flächeninhalt wie die rote Flächewird man auf Anhieb wahrscheinlich nicht vermuten dass das so genau hin kommtder ?? immer Komma ausgerechnet