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24B.1 Beispiel Doppelintegral


CC-BY-NC-SA 3.0

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die – Funktion mehrerer veränderlicher – besonderer zwei veränderlicher – an – ich hatte ihn gezeigt wie man sich die vorstellen – kann mit Höhenlinien – oder – als fliegende Teppiche – die zum Ableitung – der Gradient – mit dem Berg ist – der Patient sei senkrecht zu den Höhenlinien – das war die Verallgemeinerung – der Ableitung und etwas integral gehen ?? – was – billiges zum Anfang – folgende Funktionen – soll sein – X mal Y Quadrat – folgende Menge in Definitionsbereich – sein – eins folgende Mengen Definitionsbereich – Dreieck – Strike – im – ?? – Punkt mich interessiert dieses integral – das integral – über – diese Teilmenge des Definitionsbereiches – von X Y Quadrat D – X – Y – was ist dieses integral – ?? ich mal an – einem vielleicht über die sich zuerst auch mal was heißt das überhaupt dieses integral was rechnet ?? integral tatsächlich aus – ein Volumen aber welches Volumen wie sie dieses Volumen aus ✂ daher immer in drei D ist das ich als anschaulich – diesem Fall – würde ich trotzdem mal – angucken – zeichnen Sie mal wie diese Funktion im Prinzip aussieht ich habe – die XXL Grundfläche – aus wenn sie das wirklich versuchen so als fliegenden Teppich – zu malen und nicht das Dreieck – das man Integrationsbereich – Strike hier – nicht den X Y Ebene – wie sieht jetzt die Funktion als fliegender Teppich über diesen drei aus der ?? zumindest meine Idee was von der Größenordnung – aus dem integral rauskommen – soll – ?? die ganz ✂ brutale Art der Funktionswert – an der Stelle null null – vier ?? X Gleichzeichen Y gleichen – sie nur – in seine Stelle gucken X gleich eins – überweisen – ?? doch wenn sie an der Stelle X gleich eins gucken – Y gleich null ist gleich eins an dieser Stelle – eklatant – ?? kommt wieder nur aus – was passiert bei dem Punkt da hinten diese obere Spitze von dem Ereignis klingt an dem Punkt raus ✂ kriegen sie ein Straußjahr X gleich eins Y gleich eins X gleich eins Y gleich eins – mal eins Quadrat ?? kriegen sie eins raus – wirken sie sozusagen Stecknadel reinstecken – mit der Höhe eins – und – diese Funktion als Fläche muss durch diese drei Punkte durchgehen – will – man das mal ihn sicherheitshalber mal das man geht jetzt eine Funktion als Fläche durch die drei Punkte durch – so – oder – so werde ich mir das vorzustellen ✂ und kann sich diese kantige unten angucken das Y gleich null zum gleich Null es kommt die ganze Zeit nur aus – Komma einmal – hier muss die Funktion komplett durch die x-Achse durch – hier ist X gleich eins Y läuft von null bis kleines X – ist gleich eins Y von null bis eins X ist gleich eins – Y von null bis eins das heißt die Funktion nach dem Parabelbogenbüchsen – von null bis eins der Anfang einer Parabel – Normalparabel – so muss das hier lieben es geht – horizontal – los – so – lang wie hoch – reparabel – wenn man sie weiter malen wird einem Parabel um eine Parabel dir so quer im Raum nicht nach hinten Weg – entlang der y-Achse eine Parabel – wie sie nur dieses Stückchen hier nur das ausgeschnitten – diese Verbindung hier – schreit auch danach – das Idioten horizontal startet – und da dann so hoch geht – einem – das heißt – dass ich den Schluss kriege sieht etwa so aus – Objekt – fürs dreidimensionale – Objekt was herauskommt – sieht etwa so aus Vergrößerung – diese – über die Muse hier von den drei Kindergrundfläche – verborgen – so sieht das Ding aus – und das was ich ausrechne mit dem integral wird das Volumen dieses eigenwilligen Körpers sein – gerade sicherheitshalber noch mal das mit einer ein – ähm – wie können Sie – einfach begründen dass hier die Funktion – tatsächlich ✂ horizontal – unten aus dem ?? rausgeht – er sich für zunehmende Gradienten überlegen – mit den Gradienten bilden – ?? ganz kurz nach ?? – wenn sie den Patienten bilden Lebensjahr nach X abgeleitet – zum Quadrat – nach rülpsen abgeleitet wird zwei X Y – wenn sie dann nur einsetzen – was der Patient an der Stelle null null – kriegen sie den Nullvektor aus – der Gradient eine Stelle null null ist der Nullvektor will sagen die Funktion muss eine horizontale – Initiative – haben an der Stelle – und das heißt dass auch diese kantige Wunder hübsch Horizontalstaaten – schmiegt sich hier an die – horizontale Ebene – kann an der Stelle für den Patienten anfangen sich zu überlegen wie die Funktion aussieht – Komma alles wieder weg – ist eigentlich – Teil der Aufgabe nur zur – Veranschaulichung – das Volumen von diesem Ding soll ausgerechnet werden eins nach rechts eins nach ✂ hinten eins nach oben – aber schon sehr Niedrigcheck Vergleich was wissen Sie über das Volumen auf Anhieb – geführt an die Pyramide denken – Pyramide aber sollte sie auf einen Punkt zu – ich würd an was pyramidenartiges – Denken und dann kam immer der Faktor ein Drittel – sicher – gerade Verbindungen haben es garantiert mehr Volumen – ähm – können sagen okay wir machen mal folgendes – bilden mal folgende Figur – dass wir die Grundfläche – senkrecht nach oben ziehen – von dem Volumen von dem Volumen dieses blauen Körpers – ein Drittel – das wäre das Volumen dieses ✂ roten Körpers und das wäre immer noch zu vier – das Volumen von dem blauen Michel ist das – Blau hat ein halb Grundfläche mal Höhe das ist die Grundfläche – ein halb – das wäre Einzelheft – ein halb die Höhe ist ein – der blaue hat – die ?? des Volumen ein halb – das heißt der Bote hat das Volumen – ein Drittel von ein halb ein sechstel und unser grüner Körper hier ist garantiert noch kleiner als ich weiß auf jeden Fall – dass dieses Ding was da rauskommt – kleiner sein muss als ein Sechstel – einzelne Schecks sicherheitshalber – das ✂ alles als Vorbemerkung company die was rauskommt jetzt an sie wirklich mal anzurechnen – nach Schema F wie kann ich dieses integral ausrechnen – der Grundgedanke ist ja Integrationsbereich – die Mandats – in Scheiben zu schneiden – ich würd am liebsten so schneiden – in der Form – endlich das integral wird folgendes sein ?? des X geht von null bis eins ✂ des müssen sie beim Y aufpassen – das mal so – als ich ihr sagen ?? X läuft von null bis eins in jedem Fall – jedoch wissen zu sagen was passierte nun mit Y – in X hier ist was passiert mit Y von wo bis wo – in X hier ist was passiert mit Y von wo bis wo – Y – was sie nicht reinschreiben können ist nur bis eins dann läuft – X immer von null bis eins Y läuft immer von null bis eins – das ist nicht im Sinne des Erfinders was auch nicht geht ist dass sie ein halb reinschreiben – X soll von null bis eins Y – läuft immer von null bis ein halb ✂ das wär's auch nicht – was schreiben Sie an die Grenzen von dem inneren integral – im ersten Semester gab sie kunstvoll Sachen im Fokus gab sie zwei Sachen oder Schneiden durch und hab das über – das geht hier nicht ?? das geht hier nicht Vorsicht – ich will ja – das Volumen von diesem Objekt bestimmen da können Sie jetzt nicht hier hinten abschneiden – und dann irgendwie rüber klappen – das heute nicht hingehen ist sehr viel höher als der vorne – wenn es darum geht diese Fläche zu bestimmen hier die Fläche von den drei dann können Sie sagen schneidet das ab und gab es darüber eine richtige für ein halb toll – aber es geht ja nicht um die Fläche von diesen drei zu bestimmen ?? es geht darum – dieses Volumen zu bestimmen und den können sie nicht im hinteren Teil Abschneiden der Folgekrankheiten – das Passwort – zusammen Punkt – ähm – oder steht immer noch ein halb – richtig eben – sondern sie gehen von null bis – X – stellt sich das vorbei X gleich null Komma zwei vier Beistrich null Komma zwei – entgehen sie mit Y – von null – Komma eins null Komma eins fünf bis null Komma zwei – derselbe Wert – Beistrich null Komma acht G von null – Komma sieben bis null Komma – acht mit ihrem Y – gehen immer von null bis X – mit dem – so sieht das aus von null bis X – Mutti natürlich die Funktion ?? sie hatten – die Clips zum Quadrat der Y – XL und so weiter mit Diversifikationskram – so sehr das aus – auf diese Weise habe ich dieses Indikationsbereich – in Streifen geschnitten – und nun kann man also mal rechnen – kann integral – über Y – X wird als Konstante betrachtet das Ende schon von partiellen Ableitungen – das ist über Y X als Konstante betrachtet – ich integriere in diese Richtung – X ist die Konstante – wie gehabt eine Stammfunktion des sowieso bei den meisten gesehen davon schreiben Stammfunktion – hin X Y hoch drei – Drittel – in den Grenzen von null bis X zweites mit dem bisschen vorsichtig sein und schreiben den ganzen – Y gleich null bis Y gleich X – wenn sie hier nur null bis X dran schreiben – kann das gerne schief geliefert reinschreiben Y gleich null ?? Y gleich X – Integration – ?? über Y – und die sogenannten Stammfunktion – bezüglich Y wenn sie dieses hier partiell nach rülpsen ableiten – X als Konstante betrachten – dreizehn Quadrat durch drei – uns wieder hin – das macht die Inderin also – X mal – X hoch drei – in Einsätzen Drittel – minus unter null Einsätzen minus null – und dann sind wir insgesamt jetzt beim integral von null bis eins – null bis eins die innere Klammer auf ich ausgerechnet – X hoch vier – Drittel – der X – Diener Klammer zu ?? drei Drittel zu vier Drittel der X – das integral in diese Richtung ausgerechnet für beliebiges X – und hier zu mir sich sozusagen über alle diese Hitze – ganz normales integral – Potenzregel – die zur fünf – fünfzehntel – werden das werden – null bis eins in den Grenzen – und das wird sinnvollerweise – ein fünfzehntel – sind doch deutlich weniger noch als was aus meinem Sinne den Scheck rausgekommen – ist weniger als die Hälfte – was ich mir jetzt so erkläre – rausgeht – was ich mir so erkläre – dass das Volumen was hier verloren geht – das Volumen was da verloren geht doch extrem groß sein muss – sagen diese Kurven hier sind ✂ vier platter – auf der x-Achse als ich wieder gemalt habe – ?? noch viel mehr Volumen verloren als es auf Anhieb scheint – auf jeden Fall kleiner als ein Sechstel – das Volumen so weitergehen – Übung ?? gibt's das normal umgekehrt – wenn sie die Grundfläche nicht so in Streifen schneiden sondern – längs in Streifen schneiden – muss ja dasselbe rauskommen – überzeugen und dreimal – das ist meine Grundfläche aber ?? möchte ich jetzt so in Streifen schneiden – scheint sie das mal hin – empfing sie hoffentlich wieder ein fünfzehntel raus und so schief gegangen ist wird ein total ✂ angerechnet werden muss aber dasselbe – Resultat ergeben – die aus irgendwas muss ich an der Reihenfolge der Integrale ändern – Y außen – X dienen – aber es können Sie auch so einen Gedanken kommen – Y außen – Y läuft wie eben – von null bis X und innen drin steht ein integral – über X das kann nicht gehen – bitten Sie außen irgendwie diese Variable X über – das kann ich sein außen muss eine feste Zahl rauskommen ein fünfzehntel müssen schon – wenn hier X vorkäme bei dem integral – würde das Ganze in die von X abhängen das kann nicht sein da muss was festes stehen darf ich X stehen – was wiederum an festem und was ✂ die dann hierfür die Grenzen von X – ähm – als ?? gehört gefälligst eins sind Y läuft von null bis eins – ich schneide auf jeder Höhe zwischen null und eins jetzt muss ich nur bisschen aufpassen dass ich nicht alle X mitnehmen – für ein gegebenes Y war das mal ein für ein gegebenes Y soll X – von da bis da laufen – für ein gegebenes Y soll X von da bis da laufen für Y gleich null Komma – soll X von null Komma acht bis eins laufen – und so weiter – also der hier von Y bis eins – so muss das Aussehen – zwangsläufig – bei einem jetzt gesehen von null bis Y aber wenn sie das machen von null bis Y X von null bis Y nennt sie diese – Grundfläche – das ist genau das Gegenstück – Beistrich was ich haben will – und unsere Funktion dahinter – X ✂ zum Quadrat das Rennen sie aus – konnte wirklich ein fünfzehntel jahraus in dem die Mathematik ist – an – solcher Stammfunktion bezüglich X also X Quadrat halbe – ?? zum Quadrat besonders Konstante betrachten – nach X integrieren – zwei halbe Male zum Quadrat von Y – bis eins – macht wenn sie einsetzen – oben einsetzen – schreibt doch wieder dazu X gleich – Y bis X gleich eins des gefährlichen – Diplomeinsätzen – ein halb – Y Quadrat wenn sie unten einsetzen Y vier – halbe – und das geht weiter das integral von null bis eins jetzt dieses Ding TY – Y Quadrat halbe minus – vier halbe – Y – davon eine Stammfunktion – wie letztes Semester – hübschen hoch drei Sechstel – minus Y fünf – Zehntel – von null bis eins – dann kriegen Sie hier ein Sechstel – minus – einem Zehntel – eines Einsätzen mit den Einsätzen alles neuschreib mal minus nur damit alle sind dran gedacht – sechs minus ein Zehntel hochrechnen ?? vi – bring ich nicht bin springe ich Hauptmänner – ihr steht zweimal drei der steht zweimal fünf – ?? zwei mal drei mal fünf wäre der Hauptnenner – dreißig – dreißigster – das sind fünf minus – drei dreißigste – dann bin ich bei zwei dreißigste – und kriege das raus was ich schon wusste ein fünfzehn