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01.2.5 Basis, Dimension


CC-BY-NC-SA 3.0

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das zerlegen von Vektorenführt zu diesen beiden Begriffen BasisundDimensionDimensiondie Dimensioneines Vektorraums?? schon ganz allgemein auf den abstrakten Niveaudie Dimension eines Vektorraums sagtdiegroßDirektor Raum ist aber groß nicht im Sinne der?? im Sinne von so soviel Meter es in jeder Richtung unendlich groß wenn sie gerade Punkt ister es geht rum wie viel Platz da drin istgeht's nach oben geht nach unten geht's zur Seiteviele Richtungen kann ich gehen da kommt der Dimension Begriffe Dimension isteine Kennzahl für einenVektorraumAuto kaufen sich gleich nach Hubraumund ein Vektorraum bestellen Sie nachDimensionamBasisbraucht man zuerstdas Basis ist eine Menge von Vektoren in die ich alle anderen zerlegen ?? auf eindeutige Weiseein Beispielauf Seite zehn unteneine ganz billige Basis wenn sie im R drei sind den hier habenes komplette fünf Komponente Zettelsechs undZ Komponente dreikönnen Sie denin drei billige Vektoren zerlegen das haben Siedenn schon alles sechsmal gesehenfünfmal den EinheitsvektorinX Richtung plus sechsmal den Einheitsvektor in Richtung Plus dreimal den EinheitsvektorinZ Richtungrechnen Sie einfachdiese hier mal fünf ist fünf null null dieser hier mal sechs ist null sechs null dieser Himmel dreist null null drei wenn sie dann addieren haben sie den wiederoder stellen Sie sich vorwarXselbstY stellen sich vorfünfmal sehen also fünf Einheiten nach dasechs Einheiten nach hintender hierund drei Einheiten nach oben stehenundzeichnerisch ungeschicktich war heute Klammer zu andersPunktso?? und der Rektor der rauskommt wenn sie die drei addieren ist dannder hierquer durch den Raum?? ein Vektor in dreiVektorenzerlegtdiese drei hier heißen gern auch die Standardbasisdas sind die dümmsten Vektoren mit denen das funktioniertim R dreiArm manchmal sehen Sie auch hierfür die Xgern auch mit Hutfür einen Wechsel der Länge eins hierfür sind sieY mit UTC mit Hutam wenn sie altes Buch aufschlagenfinden Sie hierfür auchden NamenIund hier für den Namen Yorks und den Namen Kailhört sich so nach komplexen Zahlen an aus guten GrundJ und Ksind weitere von derselben Sorte Kat ähm Ionenwaren malin Mode vor langen Jahrenda kommen die herBeistrich in die mathematische Geschichte dahinter ersparenannahtkomplexer komplexer Zahlenda kommt diese Bezeichnung ?? JKwenn sie die noch irgendwo seheninGroßmuttersGroßvatersMathebuchdort heißen die meistE X Y Zdas nennt sich die Standardbasisdie einfachsteMenge an Vektoren einfachste Satz an Vektoren im R dreiin diesem Fallaus dem sie alle anderen Vektoren bauen könnenso eine Basiswie gesagt ist ein Satz an Vektoren aus den ich alle anderen Vektorenbauen kanndieses Vektorraumszwar eindeutig bauen kanndenen sich hier nicht die Zahl drei stehen haben sondern die Zahl vierist das Ergebnis was anderesauf den Kopf stellen das Ergebnis muss anders werdenähmich kann auch nicht hier statt der sechs mit dem es anders schreiben da statt der drei was anders schreiben und hoffen denselben Weg dazu kriegen es gibt für diesen einen Weg durch in Rot nurfünfmal den ersten sechs meinen zweiten dreimal den dritten keine andere Möglichkeit als die Zahlen davor sind eindeutig diese Zerlegung ist eindeutigund jeder Vektor kannauch so gebaut werden sie können kein Vektor in drei R drei finden der sich nicht aus den Reihen bilden lässt offensichtlichsoundsovielnach rechts so sicher hinten und vornelinks nach oben nach unten sie müssen jeden Vektor bilden können damitsowas nennt sich Basiseines jeden Vektor zerlegen kannin diese Vektoren der Basisund das auf eindeutige Weisediese hier stehen alle senkrecht aufeinander?? ?? die Länge eins das natürlich extrem komfortabeldas muss nicht sein bei einer Basisdas geht auch ohneein paar Sachen im MärzanneunundzwanzigVasendesHerz zweiwas wären andere MengenBeistrich falsch angefangendas noch mal anderszuähmich mache das mal in Rot und Grün oder ?? das mal in Rot und Grün was ist eine Basisdes R zweiund was ist keine BasisdesHerz zwei??wenn ichmal ein paar Möglichkeiten auf soin der Ebene paar Möglichkeiten Vektoren zu findenNullvektorund ein Vektorein Vektorund einenparallelenVektor drei Vektorenverfasst haben ich denke dasso oder noch ein einzelner ?? sodas soll jetzt alles Mengen vonVektorensein?? kurz an welche dieser Mengentatsächlich Basen sindzigmal mal ein Vektor Einwegich den zerlegen willkönnte ich doch hier seine Art?? hat eine Hälfte eines Parallelogrammbauendiese sei die es parallel zu dem Vektor und jene anderen verlängert ?? einfachsie sehen ja das Halter noch wohl inähmdas hier ist das so Ziffer vielfach auf das eins Komma eins fünf fache von dem ?? und dieses hier ist gleich das eins Kommanull fünf fache von dem Visum von beiden ist der rotealso habe ich den roten zerlegt in der Tat das ist eine Basisjeder Vektor MR zweilässt sichdie weibliche auf gemalt habezerlegenalso das ist offensichtlich ebenfalls eine Basisder hier der Nullvektorund ein Vektorwenn das eine Basis wäre müsste ich jeden Vektor aus den beiden bilden könnender Ebenen aus den beiden bilden können und dass eindeutigseien sie von dem Vektorinfonicht gut funktionieren was sie rauskriegen soll zu viel Mathe Nullvektor Person zu Firma den Vektorkann immer nurwas parallel zu dem Vektor seinalso ist das keine Basis weil es nicht jeden Vektorals in jedenVektor ausbilden können das ist keine Basisanzwei parallele Vektorenäußern sie davon undaus demselben Grunde kann das keine Basis seinlassen zwar zwei Vektoren aber sie kriegenden ?? nicht gebildet quer dazuein einzelner Vektor kann auch nicht funktionieren weil sie den nicht bilden könnendiese beiden hierist natürlich im Endeffekt keinen großartigen Unterschied zu denen ja natürlich funktioniert dassolange der Winkel hier nicht komplett aufgeklappt ist noch nicht verloren wenn das hundert achtzig Grad sind ?? dadurch verloren sich kein Vektor gebildete quer dazu zeigtaberin dieser Situation hier dass das hier kein hundert achtzig Grad sindein Problemder letzte ihr drei Vektorenalso hier können Sie sicherlich jeden bilden denn es reicht ja schon zwei wenn die beiden reichenum jeden Vektor der Ebene zu bilden das klapptaber die zweite Bedingung istdas so eine Basis das auch eindeutig könnenmuss es darf keine zweite Möglichkeitgeben die Basis darf nicht zu klein sein es muss alles gebildet werden können die Basis davon auch nicht zu groß sein es muss eindeutiggebildet werden können und hier können Sie jeden Vektorauf mehrere Arten bildenUnd-Zeichen ?? ?? das ist auf jeden Fall keinenBasiseinzuzeichnenRotwir nehmen wirihn mirdiesen Vektorden können Sie einmal geltenals Summe von dem??und dem als die beiden oberen addieren haben sie diesen Vektor eine Möglichkeit den zu bilden einmal den ersten Komma den zweiten ??andere Möglichkeit den zu bilden ist nehmen Sie den erstenund den drittenunten denden ersten Vektormalstatt eins Komma achtdieses den erst mal eins Komma acht und den hier unten mal null Komma siebenund es kommt noch meine selber raus alles gibt zwei Arten denselben Weg dazu bilden das kann mindestens zwei Artensagen mindestens wartenden Vektor zu bilden deshalb darf das keine Basis sein es lässt sich jeder bilden aber nicht eindeutig im?? was sie jetzt schon ansehen istwenn sie zwei Weg nur wenn sie zwei Vektoren nehmen gibt es eine Chance eine Basis zu haben mit einem Vektor kriegen sie keine Basis hinweil sie nicht alle Vektoren bilden können MR zwei mit drei Vektorenkönnen Sie zwar ?? Vektoren bilden aber nicht eindeutigdas ist einer zu viel?? es müssengenau zwei Vektoren seien in der bastel habe ich keine Chanceandererseits reicht das nicht sehr sensible Basis mit zwei Partnermenge mit zwei Vektorenkeine Basis hier sind auch eine Menge mit zwei Vektoren keine Basisalsofür den er zwei istnotwendigdass eine Menge von Vektoren eine Basis ist dafür das eineBasis dafür ist notwendigdass sie zweiVektoren enthält sie darf nicht null oder drei oder achtundneunzig Vektoren enthaltenist nicht hinreichend?? war es reichlich einfach zwei Vektoren zu nehmen sich automatisch eine Basis aber jede Basisdes R zweiter zwei Vektoren und das ist der Dimensionsbegriffin derMathematikanalle Basen eines Vektorraumssteht im Text alle Basen eines Vektorraumshaben dieselbe zur Anzahl an Elementenoder unendlich vieleeines Vektorraumshabendie gleiche Chance Komma die gleiche Zahlan Elementenwenn sie eine Basis für den er zwei suchen geht das nur mit zwei Elementennicht jede Menge an zwei Vektorenistschon eine Basis aber eine Basis kann nur zwei Elemente haben im März zweihaben die gleiche Anzahl an Elementen oder unendlich viele völlig andere dazu schreibenoder unendlich vielealle unendlich viele so das ?? so richtig schreiben oder alle unendlich vieles eine Basis gibt diedrei neunzig Elemente hat ?? alle dreiundneunzig Elemente wenn es eine Basis gibtdie unendlich viele Elemente hatseitsie können nicht alle Vektoren nur mit endlich vielen Vektoren bauenähmwenn es eine Basis gibt über die viele Elemente müssen alle Basen endlich viele Elemente habenam hoffe das das anschaulich klar ist das kann manauch zwei Stunden auf Anwenders zu beweisen will ichIhnen und mir nicht antundiese Zahlheißt die Dimension des Vektorraumsalso nicht wie in der Esoterik das irgendwas in die sonst dritte Dimension verschwindetan dieser Stelle Dimensionansowas wie literadrei neunzig LiterÖlirgendwie stecken in ein Gefäß drei neunzehn Tankstellen drei neunzig Liter drin was es jetzt der drei neunzig Literdas ist jetzt nicht so genau festgelegt Absätze drei neunzig Meter istso einenVolumenbegriffwirklichwas rein passt in den Vektorraum so ist das gemeint es gibt erstmalig die Idee von ersten zweiten dritten vierten fünften Dimensionin der Physik ist dann vielleicht mal das ?? sowie die ersten drei Dimensionen sind der normale Raum und die vierte Dimension ist die Zeit das unsere Zuordnung betrifftaber in der Mathematikist Dimensionerst mal so eine ganz pauschale Zahl für ein Vektorraum wie groß ist ein Vektorraum die Dimensioneines Vektorraumsund offensichtlichist die Dimensiondes R zweigleich zweiKomma dann sogar hinschreibenin dieser Form also zum Beispiel die Dimensiondes Vektorraumsnahm er zweizwei?? und für jedenVektorraum dann einer Zahl die ihnendie seine Größe beschreibtseine Mächtigkeit beschreibt er die Fallzahlendas mal für die Funktionendieser Vektorraum hierdie stetigen Funktionenvon den reellen Zahlen nach den reellen Zahlenfür Nummerdreißigalso ich nehme alle stetigen Funktionen von den Quellen nach den Wellenzahlen die kann ich addieren wenn sieeine stetige Funktion habenund noch eine stetige Funktion haben dann können Sie die natürlich addieren sing wieder eine stetige Funktionwenn sie eine stetige Funktion haben und nehmen die mal eine Konstantenatürlich auch wieder eine stetige Funktiones gelten die üblichen Rechengesetzedieses Ding bildet ein Vektorraum die Menge der stetigen Fusion C für Kundinnen ist die Menge der stetigen Funktionen dieaktuelle Zahlen verarbeiten und reell sein werde Zahlen lieferndieses Ding muss auch eine Dimension habenangenommenich möchtealle stetigen Funktionen zerlegenin ähnliche Grundfunktionenso wie ich hierversuchenkann Vektorenpfeileim März zwei??inbestimmte Feinde zu zerlegen Beistrich überlegen auf wie kann ich denn Funktionenin Grundfunktionenzerlegenwie viele GrundfunktionenBeistrich woraufich mal macheich mal mal ein paar stetigen Funktionen aufin diesem Raumist zum Beispieldrinnenist zum Beispiel wennnundiese Funktion siehst überall überall nullund baut hier ein Spitze das Essen stetige Funktionmöchte Formel dafür lieber nicht hinschreiben aber das ist stetige Funktionähmes ist diese Funktion drinsie baut daneben ein Spitzeauch eine stetige Funktion es ist diese Funktion drinsie weiter hinten irgendwo eine Spitzewenn Sie diese drei Funktionenbilden wollen als Summevon vorgefertigtenFunktionen wie viele Funktionen würden sie brauchenum diese drei Funktionen in Grundfunktionenfällig zu zerlegen bräuchten sie tatsächlich drei Funktionen sind an diesem Mixwert ist die einepositivan diesem X wird es die positiv aber die ersten nulldie siehe unten auch nullund an diesem Mixwert ist die letzte positiv aber die erste nullund die zweite nullum diese Kombination hinzukriegen bräuchte ich drei Grundfunktionenklappt keine andere Chance also um diese drei Funktion zu bildenauch drei Grundfunktionenwie viele Funktionen brauche ich also alle Funktionen dieser Art zu bildenum diese drei Funktionen zu bilden und mindestens dreiGrundfunktionenjetzt nehmen sie einer Nonne vierte dazu die den Hügel dahinten hatdafür bräuchten sie vier Grundfunktionenin ?? fünfte dazu sie bräuchten fünf Grundfunktionenund so weiter und so weiter was musste Dimension seinsehen dass sie ihren dass sie mindestensvier Grundfunktionenbrauchenum alle stetigen Funktionen der Artzu bauenund dann kommt jemand her und sagt ?? aber jetzt möchte ich gerne auch noch obendreindiese Funktion haben die noch ein zweiterden Berg hat an den sie außerordentlichfünf und dann kommt jemand und setzt den Berg noch eines weiteren sind sie brauchen eigentlich sechs Wochen sieben und sie brauchen acht und so weiterdie Dimension von dem Ding muss unendlich sein man kann nicht mit den endlich endlich vielen Funktionen auskommenPunktes kann keine endliche Anzahlgebendenn in der endlichen Anzahl können Sie schon diese hier allenicht bilden wenn sie ?? den Buckel nehmen links noch rechts nur zur diese Funktion können Sie alle nicht bilden mit einer endlichen Anzahl an Grundfunktionenerst recht nicht wenn sie nach Sinus und Kosinusund der Kommentarfunktionund Quadrat und alle Polynom zuals das würde auch nicht gehen wenn ich das betrachtetdie Funktion stetig vom Intervall null eins nach dem Intervall null einsdiese Menge hier wenn ich mir die anguckeauch damit wird schon nicht funktionierendass zum Beispieleins eins da istdie Funktiondrinnenda istdiese Funktion trennt hat jetzt noch die Breite einenvierteda ist diese Funktion drin die hat dann noch die breite einachtelund so weiter ein sechzehn sein dreißigste ?? und ich viele Funktionen und die kriegen die nicht ordentlich gebildet aus Grundfunktionenschon das hier muss unendlich seinalso selbst wenn sie nur die stetigen Funktionen von einem abgeschlossenen Intervall nach ?? abgeschlossen dabei betrachtenist das ein hundert dimensional Rektoratdas macht das ganze dann an einigen Stellen etwas ungemütlichdieses zerlegen wirdetwas länglich werdenaber trotzdemgelten die ganz üblichen Rechengesetzefür Vektorenauch fürdiese Anführungszeichenvektorenetwas reduzierter