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24.3 Integration in Polarkoordinaten, Kreisfläche


CC-BY-NC-SA 3.0

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ich – habe letztes Mal – was erzählt – über Integration – und Funktionen – von mehreren veränderlichen – das ist kein Lückentext sich Masse Klammer auf – dann – aber Integrationsgebiet – zum Beispiel im zweidimensionalen – darüber schwebt – eine Funktionsfläche – oder durchstößt ?? zur Predigt Y Ebene – die Frage mich was das Volumen ist – was unter der Fläche her – und über der Exhibitionsebene – steht – am das wäre ein mehrfaches integral darüber ?? erzählt über irgendein Gebiet TXT Y – eine Funktion – ?? – dann gab es als zweiten Teil – haben Polarkoordinatenzylinderkoordinaten – sphärisch Koordinaten – ich – gehe weg von den atheistischen – Koordinaten – X Y Z – senkrecht aufeinander stehen gradlinig – gleiche einheitengleicher – Einheiten – davon gehe ich weg um zum Beispiel – Kreise – Zylinderkugeln – besser schreiben zu können ?? beschreiben zu können – das einfachste war – waren die Polarkoordinaten – ?? ich gebe an wie weit ist ein Punkt in der Ebene weg vom Ursprung – und ich gebe Anlass ist der Winkel zwischen dem Punkt – der Verbindung – von dem buckligen Ursprung und der – x-Achse – besser über den konvexen Zahlen schon gesehen – die Polar – Darstellung komplexer Zahlen – und jetzt wird beides miteinander verrührt – was ist wenn ich eine Funktion – in diesen Koordinaten – gegeben habe Funktion von Abstand und Winkel – nicht Funktion von X Y – von Abstand und Winkel – typischerweise ?? Funktion die schön – symmetrisch – ist – Punkt was ist Garnisonfunktion – habe und ich will dann integrieren – möchte ich natürlich nicht über X Y integrieren welche Funktionen er viel habe – möchte ich gefälligst – über R und Phi integrieren – die Variablen die in meiner Funktion drin stehen – dann sollte es gehen Integration in Polarkoordinaten – ist das erst die Funktion Polarkoordinaten – gegeben – und ich möchte nun bilden – irgendwas integriert – etwas sauer – irgendwas integriert über irgendein Bereich aber die Erde ?? die – Realität hatte er die viel – über diese – Koordinaten diktierte ich da habe nichts mit X Y das für die störende müsste ich es hin und her Beistrich möchtest Integral auch mit der Fi aus – okay jetzt kommen die zum Index Nummer sieben – ich muss also von meinen – ingenieurmäßig – unendlich kleinen Quadraten – rumrechnen – auf die Stücke die sich ergeben wenn ich er und sie etwas – ändere – was jetzt als erzähl ist nicht die strengste Mathematik – sondern die routinemäßige – Anschauung – die Physiker sind auch sehr locker – nehmen – und das soll eigentlich erreichen – das so locker zu verstehen – sehr – tiefgründige Mathematik betreiben – wenn ich – das integral so Bilder – über irgendein Gebiet das jetzt kann ich Ihnen schreibe F von X Y – ?? das auch lieber gar nicht in eine Funktion wird integriert – irritiert lassen und das alles mache – eine Funktion wird integriert TXT – Y – stellt sicher die Ingenieure und die Physikerform – konsumiert – über ganz viele von diesen Briefmarken – mal der Funktion – der Kranke oben – ich habe hier meine – unendlich kleinen Briefmarken – und für jede Briefmarke – guck ich mir so eine Säule an – als Beitrag zu dem Volumen diese Säule – konsumiere das Volumen – aller der soll diese Säule das Volumen Funktionswert – mal TXT Y – und die Fläche X Y die Höhe – ist – der Funktionswert – kann man sich das vorstellen was hier passiert jetzt möchte ich aber nicht mit meinen Briefmarken – errechnen sondern ich möchte – daher – Komma Briefmarken haben – nämlich die Briefmarken die sich für – ähm – R und Phi ergeben wenn ich dasselbe mit ?? und Fi machen Sinn was hier passiert ich starte mit einem X Y G – delta X oder TX dann zur Seite – nach rechts geht der Y zu Seite nach oben was soll das immerhin schreiben die Mathematiker wieder Schmerzen ist es hier so tue – das nur das an ein kleines männlich kleines Stückchen – anschaulich nach rechts dann endlich kein Stückchen oben jede Fläche TXT Y – was passiert wenn ich das in Polarkoordinaten – mache ich sitze an einem Punkt – Abstand eher Winkelvieh – und nun – ändere ich den Radius etwas – von da nach da – und ich ändere den Winkel etwas Komma von da nach da – dann habe ich so ohne Figur hier das ist nicht ganz der Briefmarke dessen bisschen verzogen in die obere Kante – ist etwas mehr geneigt als die untere Kante – aber das ist jetzt mein Flächenelement – wie so schön heißt – ?? – wenn ich Fi etwas – ändere – geht's hierauf wenn ich eher etwas ändere geht weg – konsumiere zum Schluss – solche Flächenstücke – kann man sich anschaulich überlegen wie groß – diese Fläche ist – Winkelwissen das Museum noch einschmieren – waren – machen – sie diesen Winkel wissen – winkelwissenden – war indem sie ganz dreist – klein geworden – Fi – den Radius kernig um – sich und man ihnen mal das ist der Radius – dann ist dieses Stückchen hier – das was ich den Radius ändere – wie groß – wird das Flächenstück hier ungefähr sein ✂ einmal dieses dingliche oben groß gezeichnet – was ist der Bogenradius – nach Außenradius – nach außen – der Bogen – bisschen übertrieben das heißt der Winkel ist sehr groß – dann – diese Strecke hier sollte er sein ?? durchsuchen – dieses Stück diesen Bogen – wenn sie den Winkel – im Bogenmaß messen sollte dass er die Fi sein – wie es das ist der Radius meines Kreises mal welchen Winkel schneidig raus und Augenmaß denken – welchen Winkel schneidig raus dass wir hier die Vieh der Winkel herausgeschnitten – wird definiert – wie lang ist dieses Stück eher mal – wieder Winkel – in die Wege von zwei Pi rausschneiden – und den gesamten Umfang Benzinwinkel von – mir – die halbe rausschneiden – hätte vom Umfang – das Burgenmaß eher die viel – dass es diese Seite und wenn man alles hinreichend klein werden lässt und dann in linearer Näherung gerechnet – ist die Fläche hiervon – praktisch eher die viel malte er – hier habe ich – eher – die Überlegung sichert – RD Ernte viel – hübscher aus – das kommt als – Fläche raus und dann stimmt mit den Einheiten DR hat die hundert Meter er hatte eine Bitte hier den Quadratmeter – machen Winkel – und im Bogenmaß – Winkel ist – einheitslos – dann kommen je Quadratmeter – je weiter draußen sie sind – offene Proportionalität – ?? Serie weiter draußen sind – umso größer wird jedes Flächenstück vergleichende eher vergleichende Viehdieb – Obszönität steht da drinnen ermahnte er die vielen – und das ist anschaulich alles was man braucht zum Rechnen – um von diesem integral umzurechnen – rechne ich einfach – mit – der er die Fi – aber – ich denke dran dass dieses kleine Flächenstück – nicht DR die Fi hat sondern eher DR die viel hier schreibt man ihn kehrte er an – die vielen – also wenn seine Funktion in Polarkoordinaten – gegeben haben von Herrnfi – und die ist ?? ein bestimmtes Gebiet zu integrieren – dann – können Sie die in Polarkoordinaten – integrieren – aber nicht DR Evi – sowie edx Y sondern eher – DR die Fidi – stellen die außen liegen – kriegen mehr Gewicht weil da die Grundfläche größer ist die stellen die ähnlichen kriegen weniger Gewicht bei der Grundfläche – entsprechend kleiner ist – als ich brauche einen Korrekturfaktor – davon nicht – färben ?? – die nicht vergessen – wenn sie Polarkoordinaten – integrieren – ?? Korrekturfaktor er – das einfachste Sichten zu merken ist die gucken sich das Anfragen sind das Quadratmeter – das hier sind Quadratmeter – ohne dass er jetzt keine Quadratmeter – schon klarer Hinweis – dass es ohne dass er nicht funktionieren – kann – dann – wenn man das hat gibt's zum Beispiel – die – Fläche der Kreisscheibe geschenkt – was sonst mittleres Drama ist das mit integrallösende – Ecken – ich möchte ausrechnen – die Fläche für die Nummer acht – acht möchte ich ausrechnen – die Fläche – das Markensymbol – hier die Fläche der Kreisscheibe – mit Radius R – sehr eigenwillige Schreibweise – an – das Gericht mit einem – doppelten integral – TXT Y – eine passende Funktion integrieren – über – die Kreisscheibe – mit Radius R – um den Ursprung – welches Integral muss sich hier neben wirklich die Fläche der Kreisscheibe welche Funktion ✂ welche Funktion muss ich integrieren – dass das hier wirklich die Fläche der Kreisscheibe – wird – wenn ich das wieder übersetzte – dieses Bild mit einem Volumen – das Bild mit einem Volumen hier ist meine Kreisscheibe – Index Y Ebene – man das nicht alles underscore einiges gar nicht in den Text rein aber – scheint jetzt dringend – einen – und jetzt möchte ich hier einen fliegenden Teppich drüber haben – und dieses Volumen hier – zwischen den klingen Teppich und der Kreisscheibe – von dem – Beistrich dass das das Integralis – die Fläche wird – welche Figur müssen Sie hier integrieren – damit das Volumen – die Fläche der Kreisscheibe – ist das wird sich bisschen absurd an – wie muss ich den fliegenden Teppich legen damit das Volumen was ich hier – studiert ✂ habe damit dieses Volumen die Fläche der Kreisscheibe – an – denkt an ein Zylinder – was ist das Volumen eines Zylinders – das ist die Grundfläche – mal die Höhe – der Trick ist wenn sie die Höhe gleich einsetzen – ohne Einheiten – mit Medikamente – ist die Höhe gleich einsetzen ist das Volumen einmal die Grundfläche ?? ist das Volumen der sich die Grundfläche – ohne Einheit – nicht – zu viel drüber nachdenkt – also der Trick ist hier die Funktion eins einzusetzen – ich integriere die Funktion – die ständig auf der ?? eins ist – das eins ist – dann ist die ist das Volumen – unter dieser Funktionsfläche – einmal die Grundfläche – also ist das die Grundfläche – Komma dass notfalls vorstellen – andere hat sich das vorzustellen ist es mir irgendwie – ?? zu schreiben das man hier auch summiert – ich summieren über die gesamte Kreisscheibe – auf – alle Briefmarken die mir so – in die – Quere kommen das wäre jetzt Beistrich was mit mal an ich so nie – alle Briefmarken auf – alle TXT Y das ist die Fläche dazu Briefmarken alle aufs mir – mal eins – die Funktion einsichtig ?? wird zwar schon vorgeführt wenn jetzt die anfangen das integral auszurechnen – wird das ganze dann schwieriger – wird Beistrich mit dem TX integral anfangen ?? – ich für gar nicht vor wie fürchterlich das wird es wird fürchterlich – glaubt es mir – an weil ?? jeweils berücksichtigen – muss zum Beispiel wenn ich – Seite X mache zuerst – berücksichtigen dass ich auf dieser Höhe Y – ?? wurden – auf dieser Höhe Y – von da bis da gehe aber auf dieser Höhe Y von da bis da und auf dieser Höhe fünf hundertster – diese Grenzen werden etwas fürchterliches mit Wurzeln werden – das möchte man sich nicht antun das kann man hinkriegen aber das macht nicht viel Spaß – beim – mit Polarkoordinaten – ist das dagegen total billig – ich sage okay jetzt die Kirchen – Polarkoordinaten – dieselbe Grundfläche – Kreisscheibe mit Radius groß R – um den Ursprung – aber jetzt schreibe ich nicht TXT Y ein – sondern – eher – DR die Vieh – und dann muss dasselbe rausgemopst – ?? muss dasselbe rauskommen eher DR – Evi – mal eins – Aktion über jeweils integrieren wollen – die Fusion hier völlig Banane sie ist einfach – eins ständig gleich eins – ist integral hier unten – gibt's geschenkt – haben – ?? immer vorsichtig mit den Grenzen hinschreiben – an – das Innere integral so offensichtlich das über R werden also eher DR – er läuft von null bis groß R – das ist der Radius – der Kreisscheibe – ein Punkt haben – läuft dessen Radius von null – bis groß R – wird auf dieser Seite natürlich genauso der Winkel ist eine über hundert achtzig Grad oder unter null Grad aber – der Radius läuft von null bis groß R – einstellen – ?? – das Thema erledigt das ist das Innere integral – das äußere ist das über Fieier – und Vieh läuft – einmal den – ganzen kreisrum von null bis zwei Pi – zwei Pi – das heißt was sie jetzt auf summieren – sind nicht mehr Briefmarken – sondern – eben Komma – ähm – solche Stückchen – das verzogene Stückchen – gegeben – das jetzt jeweils die die Vieh sozusagen – den Winkel durchlaufen – und bei jedem Winkelserien – hoffe Sie wissen was ich mache mal wird ähm – das sind die Elemente die ich – addiere – endlich alle die zusammen addieren – sie die Fläche – der Städte defekt – en hat er DR die Vieh als Fläche – in linearer Näherung – und die alle addieren – Punkt weil man das dann – bis ins unendliche treibt – bitte so exakt – und das integral kann ich jetzt bitte ich ausrechnen hier in mit Stammfunktion – ich suche etwas das nach klein R abgeleitet gleich klein R ist also zum Beispiel R quadratshalb – in den Grenzen von null bis – groß R – dann steht da insgesamt – ausreichend ?? – ausrechnen – groß R einsetzen das macht also groß R Quadrat halbe minus – null – einsetzen – Beistrich dann alles integral von null bis zwei Pi – über groß R Quadrat halbe de – Fi – Wasserbedarf eine Stammfunktion ✂ Bockshorn jagen lassen – Fi ist Integrationsvariable – R Quadrat halbe hängt nicht von vier das ist ?? Konstante – also neben der Stammfunktion – R Quadrat halbe Mal Vieh – nicht das nach Vieh ableitet – ist eine partielle Ableitung – ähm – steht einfacher Quadrat halbe das in den Grenzen von null bis zwei Pi – nehmen sehr Quadrat halbe Mal zwei Pi nehmen – plötzlich das gestochen – haben – R Quadrat halbe Mal zwei – Pi kommt oben rausminus – null einsetzen kommt null raus – und wir haben Kürzen – immer R Quadrat ist jetzt nichts überraschendes – kann es tatsächlich jetzt integral – auf einfache Form ausrichten – nun – also der Gedanke war – hier habe ich einen Integrationsbereich – der – schön symmetrisch ist ein Kreis – um – die Funktion – sowieso schön symmetrisch diese ganze Zeit eins – so symmetrisch wie sie nur sein kann sozusagen – ?? Integrationsbereiches – auch schon symmetrisch – ?? übersetzen sie einfach von X Y auf eher DR die Vieh – und rechnen gradlinig aus und kriegen die übliche – Fläche der – Kreisscheibe – in Zylinderkoordinaten – passiert natürlich dasselbe – nur das Z dazu kommt – in Zylinderkoordinaten – haben wir noch – das jetzt dazu – DZ und die haben sie noch DZ – der Präsident will nichts besonderes – dividiert durch im Sommer wieder Weg erklärt sicher von selbst – DZ wird leider noch hinten drangehängt ?? des Fonds wird wie das übliche – DZ in Zylinderkoordinaten – keine Aktion – da diese natürlichen Volumina – eher DR die Vieh DZ wäre das Volumen hier eher DR die Vieh – ist eine Fläche – ekliger wird's bei den Kugelkoordinaten