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23B.4 Gradient in Polarkoordinaten


CC-BY-NC-SA 3.0

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nocheine Geschichte zu den Polarkoordinatenwenn ich eine Funktiongegeben habe ?? in Polarkoordinatenabstrakt gegebenim Einsatz genau das SR Quadrat mal den Kosmos von Vieh oder was auch immer egal was sie gegeben habeninteressiert mich folgendeswie kann ich aus dieser Funktiondie in er und vier ausgedrückt ist mit R und Phi ausgedrückt ist wie kann ich da jetzt ausrechnen was denn der Gradient ist insbesondere die partiellen Ableitungen nach Xund Y kann ich die jetzt ausrechnenäh ist weit ganz nett hinzu schreiben in R und Phi verziertwas WR Quadratwas ich mehr Kosinus Phizugeschnitten zu schreiben mit R und Phiich möchte aber den Patienten wissen wo geht's den Berg rauf und runter zwei welche Richtungwie kann ich jetzt direkt den Patienten ausrechnenohne jetzt großartigdarum zu bastelnwarmein Ziel ist hier was zu haben was nur partielle AbleitungenR und Phi sinddie kann ich mir einfach ausreichende Funktion kommt er wie vor keine partiellen Ableitungen R und Phi ausrechnenwie bauen Sie mit dem Patient AblassherrenViehdieb?? Ableitungen X YdenPatientensie könnten das sie können hier großes N Sinus einsetzenund dann ausrechnenes gibt schnelle Wege und längere Wege glaubte länger wie diesen Fall doch der bessere setzen sie tatsächlich mal mehr und Phi jetzt ein ?? mit X und Y ausgedrücktund gucken Sie was passiertdie Funktion soll gegeben sein als Funktionenvon Radius und Winkelin einer Funktion an Rades zum fressen Einblicke zum fressen und die ?? irgendwas aufjetzt weiß ich aber wieder Radius abhängt von X und Y das ist nämlich die Wurzelzum Quadratvöllig weiß wie der Winkel abhängig von X und Ybisschen ekliger ist der Akkus Tangensvon Y durch Xplus eine Konstante nämlich ein Vielfaches von hundert achtzig GradErguss damit ist ja nicht ganz so eindeutig definiertganzzahliges Vielfaches von hundert achtzig Gradund diemathematische Schreibweise wäre es ist Element ausganze Zahlen bleibt hier aber das sieht schlimm aus letztlich den??ich hab mich in mein ??und jetzt kann ich partiellen Artikel schon ableiten meine Funktion ist ?? ausgedrückt mit X und Yjetzt keine partielleAbleitungmit sinkendenKonstanten etwas aufpassen da die Konstante konstant welchen Schritt zur Seite gehemeist janicht gerade der falschen Stelle bin an der der Abstand entspringt ?? ignoriere ich gerade mal so konstant ist ?? verweisende Konstantebin ich bei der Akkus dann springtdie Konstante wieder gegenüber ableiten aus das ist der Gedankeähmpassiert müsste ?? in der Lage sein zu sagen was ist die Ableitungdieser Funktionpartiell nach Xdie Funktion ist eigentlich gegeben mit R und Phidass er sich für eine einen der siebzig Phi ein?? sagen können was denn die Ableitung nach X istihr steht eine Funktion von anderen Funktioneine Funktion von der Wurzel der Summe der Quadrate eine Funktionvon Akkus Tangenseines Verhältnissesstellt sich ?? folgendes Vorgehen hier Feierabend wäre und die ständig Y sondern dreizehn in ihr Feierabendund würde einfach ?? Leitender Xwas dann passierendiese Funktioneiner veränderlichenableiten nachdem dreizehntens Quadrat den ganzen zweiten Teil vergessenableiten was würden Sie dann tunIon einer Funktion F Beistrich ist die äußere Ableitungdie äußere Ableitungan der inneren Stelle X Quadratfußdreizehn Quadratmal jetzt kommt die innere Ableitungdie Wurzel ableitenund jetzt kommen siegenau die Wurzel ist schon wieder eine Funktion einer Funktion eines durch zwei Wurzelextraktplus dreizehn Quadratist die äußere Ableitung der Wurzeln jetzt von denen die in Ableitung ?? zwei X das in der Wurzel stehtalso Kettenregel doppelt angewendetZeugnissen heftigandas stünde da wenn es nur eine veränderliche gäbewürde zweimal Kettenregel anwenden und hätte das raus Ausrufungszeichenableiten an den Stelle maldie Funktion ableiten ?? wieder eine Funktion einer Funktion ist Kommasieht jetzt leider nicht ??ist ?? dennoch die zweite Variable aber im Prinzip steht dass das schon mal das ist der Anfang des Ganzenes ist der erste Teil des Ganzennichtwieder löschendrittenZauns WiFiich gucke mir an was macht die Funktionmitvorne ein bisschen gewackelt wird das ist dann nicht Beistrichsondern waswie wirkt dieser erste Term auf diese FunktionBeistrich weiß ebenso einenentrinnen gäbe er von einer Variablen will ich ärztlich schreiben was brauche ich jetzt hier zu sagenwie Änderungenan den ?? durchschlagen auf die Funktionaus sie leiten diese Funktion erst nach der ersten Variablenwie ändert sich diese Funktion wenn sich die erste Variable ändert erdiese Funktion eher ableiten das erstes ?? der RadiusBeistrich der groß Kniffdiese Funktion eilig erst mal ?? er ab dann weiß ich wie sich die Änderung der Wurzel durchschlägtund jetzt kommt die innere Ableitung was jemand in Ableitung habe Chassisnummer in die Ableitung der Wurzelndie Ableitung der WurzelnachXAbleitungder WurzelnachXwie ändert sich das Ding denn das hat aber eben auch buchstabierteinst durch zwei Wurzel wardas kommt hier vorne??jetzt kommt der Akkus Tangens das wird hässlicher ?? angeguckt was passiert mit den ersten ?? der erste ändert schlecht das so aufF durchloswenn sich der zweite ändertwas mich jetzt für den zweiten schreiben lasse sie alle mal schreiben was kommt jetzt intern für den zweiten Ausdruckso dieser Teil sagte sich die Änderungdes Radiushalsauswirktauf die Funktionwie ändert sich der Radius in Abhängigkeit von X Geschlechtes durch auf die Funktionund das jetzt zu berücksichtigen muss ich wissen wie sich die Änderung des Winkels auf die Funktion auswirktpartiell abgeleitet nach dem Winkel malund jetztdie Ableitung des WinkelsnachXwie ändert sich dieser Winkel mit Xkann der Gedanke ist jedoch eigentlichF nach dem Rades ableiten Radius nach X ableitenist das nicht irgendwienutzbarich hab das mal abstrakten sowas hier das ?? im eilig haben als die schnelle Methodeist aber zwischendurch ist Beistrich alsoeher die partielle Ableitung nach X was ist das ich gucke mir an wie ändert sich meine Funktion wenn ich den Radius etwas ändereund wie ändert sich gerade ??Plus wie ändert sich meine Funktion wenn ich den Winkel etwas ändere und wie ändert sich der Winkel denn nundas steht eigentlich das Wort jetzt direkt habenanjetzt können sie nicht einfach kürzen sie sehen mit deiner ?? verkürzendenen den kürzenPunktdas haut nicht hin das knirschtwenn ihre Funktion vermehren veränderlichen abhängt müssen sie alle durch definierenkönnen nicht hiereine raus kürzenFunktion einer veränderlichenBentley eine Funktion einer veränderlichen ist dann geht es lustigerweiseheute wirklich in das ?? zur Substitutionsregelgesehen aber Funktion ihrer veränderlichen Künstler nicht ganz fest kürzenDF nach Take That sich jetzt sozusagen kürzen?? La Palma Experte lag ?? nach X Wasser aus dem werden das haut nicht hin?? können sie nicht kürzenso sieht es dann aus ?? muss alle zwischen Variablen sozusagen durch buchstabierennach derersten Originalvariablenableiten wie ändert sich die Plus nach der zweiten Originalvariablenableiten wie ändert sich dieEffekt vonwas ich noch darüber Effekt von Radius und Winkel abwie ändert ändert sich der Radesabhängigkeitvom Winkel und wie schlecht das durch auf meine Funktion der Sache gratis partielle Ableitung wie das Geschlecht auf den Funktionswertwie ändert sich der Winkel in Abhängigkeit von X wie schlecht das durchwas ist eigentlich die Formel die dahinterstecktdannändert sie die Formel ein irgendwasdie letzten Wochen hatten?? KonstruktioneinenBegriffhier hierzu die lineare Näherung das totale DifferenzialDF wie ändert sich meine Funktionnicht ein bisschen wachseich gucke wie sehr wacklig in er das schlecht so durch und ich gucke wie sehr verkürzenin vielendas schlechtso durch das totale Differenzialnehmen das totale Differenzialund gucken dann okaywie sehr ändert sich denn der RadiusKomma wie sehr sich der Radius hierdurch die allerwenigstenArtguckenwie sehr sich die der Winkeldurch die Änderung von X ändert das ist das totale Differenzialangewendetist unter anderen Zahl des linearen Ehrung aber verstanden habe ist das eigentlichtheoretisch auch klar Klammer zu erstmalsSelbstüberwindungaber eigentlich ist das hier nur das totale Differenzial angewendeteine Änderung von Erbe schlägt die durch Nennung von er bestellt die durch AgitationswertErnennung von Fi Beistrich die durch auf den Funktionswertfür das totale nur in Anführungszeichen aufvital Differenzial zugegebenermaßen?? das erste Mal sieht's haarsträubenddas wohl nicht eilig haben als kurzen Weg okay das Komma wenn irgendwann tatsächlich auf diese kurze Art auf die längere Art gesehenin Rades entwickelt auch buchstabiert eingesetzt sein sollkann ich ja ausrechnenich kriege also das ist die Funktionnach dem Rades partiell abgeleitetmal jetzt ganz ?? war einst durch zwei ?? die Wurzel ist die äußere Ableitung der Wurzelzweimal X ist die innere Ableitunghier untendie Ableitungder Funktion partiell nach vielen malAkkus Tangens abgeleitetBeistrich eins Plusso zu Quadratist die äußere Ableitung von ?? ist ein jetzt einst durch eins Plus Ydurch Zinsquadratist heute noch die innere Ableitungauf Eierähmgibt also mal minusYdurch X Quadratsowaswirksam betrachtet als Konstante wenn ich nach X partiell ableitedreizehn durch X X ableiten gibt minus dreizehn durch XPotenzregeldas kann man es wieder zusammenfassenund auch wieder nett mit Teer und Viehausdrückenwird es deutlich übersichtlichersind das wirdpartielle Ableitung er mal X durch eherFloß partielle Ableitung nach Iwas man selber aus wie kann sie das kurz schreibenwie man auf einen Bruchstrich bringenoben steht minus Yunten steht dann X QuadratplusY durch X Quadrat mal X QuadratYQuadrat durch X Quadrat mal X QuadratX Quadrat Mai zwei ?? gekündigt Quadrat kürzenX QuadratspositionQuadratmeteruntensagen er Quadratschön symmetrischfast fast symmetrisch erste Technics durch eher unter zweite Gericht ein minus Y durch R Quadratgehörenzur Übungdie partiell auf Erinnerungslückenentstandenen Schadenrechnen mit Polarkoordinatenwas die partielle Ableitung nachdie sie natürlich ganz analog ausmit irgendwelchen Änderungen was X Y Vorzeichen angehtwelches einmal nach Ysowie vorne ändert sich nicht viel?? wie schlecht die Änderung des Radius auf meine Funktion durch der hier maljetzt brauche ich die partielle AbleitungnachY von der Wurzelselber rechnen Komma es hat natürlich hinten ist in der Abteilung zwei Yzwei Xansonsten wieder kürzenund dann haben wir hier Y durch den Radiusloswie schlechtder Winkel durch auf die Funktionenanders weilihr muss ich jetztnach Y ableiten sogar einfacher als in der Akkus Tangens wird wieder werden in der Ableitung einst durch einschon durch X Quadratdie äußere Ableitung ?? vom Akkus Tangens aber die innere Ableitung des einfachen Reiches nach Y ableiteDina bleiben wird einfacheins durch X X als Konstante betrachten ?? Patienteneinst durch X steht hinten einfach nur mal einzig Beistrich dass es meininstalliert also hier haben wir einst durch eins Plus Y durch X Quadrat mal eins durch Xes ist erst ein bisschenunübersichtlicheinsdurch und hier steht dann Xplus Y Quadratdurch X Quadrat mal X also Quadrat durch Xsieht bisschen hässlich aus aber wir können es retten in dem in X erweiternunddann gibt das da X durchX Quadrat plusY Quadratalso X durchR Quadratsteht also das ist die partielle Ableitungder Funktion mal Y durch eherfloss die partielle Ableitungnach wie malX durchQuadratzu sicherlich war das schon hinzusammengefasstwenn sie eine Funktion gegeben haben in Polarkoordinatenund wollen den ganz normalen Patienten habenmüssen sie nicht großartig in Formsie leiten die Funktioneher ab nach Fiin Polarkoordinatenund basteln sich daraus was zusammenalsostelle Ableitung nachX ist die partielle Ableitungnach eher malwas falsches produziere X durch R und den Studenten siebzig er QuadratX durch?? und dann die partielle Ableitung nach wie mal minus Y durch R Quadratund wenn ich für meine Funktion die Polarkoordinatengegeben ist die Ableitung nach Y partiell wissen willganz analogBeistrich Y durch Rsteht dann kein Minus mehr sondern ein NussQuadrat in der Formbekommen also Rechner muss sicher sich die Mühe machen die Funktionin X und Y zu schreibenkann sie einfach ein er und Fi ableitenpartiellleiten und dann diese Ableitungen zusammenbauenund dass man mithilfe einer MatrixErweiterung dieser Aufgabe gerade aus dem Handgelenkden Gradientendas ist ja der Patientden Gradienten schreiben Sie malals Matrixmalund jetzt diesen komischen Gradienten sozusagen das ist nicht wirklich in Gallien die partiellen Ableitungennach er undFifihängen jetzt eigentlich zusammen mithilfe einer Matrixokay links oben steht alsoX durch R ruhig muss sichdie partielle Ableitung nach R multiplizierenund den Anteil davonkann der Patient bei X zu kriegenX durch Rund so weiter steht ja schon an der richtigen StellePunkt X durch R Quadratslustigerweisekann man es aber schon wieder Polarkoordinateneinsetzen und zu sagen Beistrich er ist einfach der RosenwinkelX ist gleich mal Kosinusdieses hier wird minusSinusdurch RSinus vom Winkel durch eherdieses hier wird derGenuss von Winkelund dieses hier wird derKosinusvom Winkel durch eher das ist fastfast fast fast eine Drehungsmatrixin das dumme Ärgernis stünde aber das ging auch noch geregelt das mit dem erden Gradienten kriegen sie auchein kleiner Kniffals eine DrehungsmatrixKosinusminusSinussatzohne dass erSinusund Kosinusnicht passte dass er hinten reinwenn ich den unteren verzieren mit dem erdenselben Effekthaben die partielle Ableitung er steht oben und schreibt kein eins durch eher die partielle Ableitung nach Fihabe ich dadenselben Effekt modifiziert er den mit demneunzig Terabyte produziert in dem ?? auch das einzig ?? dabei wunderbar alles in Ordnung?? wirklich eine Drehungsmatrixmal einen Lektoraus Sieg gegen den Gradientenals einen Drehungsmatrixmal diesen Vektordass wir jetzt ist aber noch eingezeichnet haben was neues ein ?? passiertich sitze an einer StelleRadius derWinkelfibestimmediesen Vektor hierund drehe ihn dannum diesen Winkeldessen abstrakter Gedankemal wasim Hinterkopf zu haben ich habe fast den Gradienten hier in diesem Koordinatensystemwas passiert wenn ich den Radius ändere was passiert wenn ich den Linkein anderes KoordinatensystemRadiosender den Winkel ändern das passierte hinten eigentlichda bestimme ich die Änderungen bezüglich Radius und Winkel was ich jetzt mache istich hab die Änderung in den Gradienten quasi in diesem Koordinatensystemgegebenund es möchte den Gradienten aber in diesemKoordinatensystemhaben deshalb muss ich Ihnen quasizurückdrehenseine Koordinaten mir zurückdrehendass ich ihn in diesem Koordinatensystemhabediesen Winkel angucken der muss jetzt ?? größer werden um den Viewingdiesen Vektor ausgedrückt die Änderung hier den sozusagen Gradienten ausgedrückten R und Phizurück in den richtigen habe das passierte eigentlich im Hintergrundist bisschen durchgeknallt typischerweise denkt man nicht so weitan typischerweise hat man hier auchmit demtotalen Differenzialwie ändert sich eine Funktion nach ?? öffentlichPunkt mehrdavon erwiderteer??und werde sicherFi