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12.06.2 weiter Newton-Verfahren


CC-BY-NC-SA 3.0

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ichhatte angefangen mit Algebraischengleichungensolchen Geschichten wie X hoch fünf plus sieben mit so viel ihrvon mir aus minus drei X plus vier gleich nullPunkt die kann man vereinfachenwenn man es schafft das Polynom hierzu fakturierenund favorisierenkann man es besonders einfach vermeiden null Stellen findet das heißt eine Lösung findet das heißt da beißt sich die Katze in den Schwanzähmich brauche eine Lösung davon dann kann ich das Polynom was hier steht vereinfachenindem ich durch X minusjeweilige null stellt jeweilige Lösungsteilewie finde ich null Stellenmit der PQ Formelein quadratischesPolynommit monströsen Formen für Polynomdritten Grades und vierten Grades und danach eben keine allgemeine Formel mehr ich hatte angefangen zu erzählen dass man darüber hinaus dann vielleichtnumerisch vorgehen solltemit demNewtonverfahrenzum Beispieldie Idee hinter dem Newtonverfahrenwar mal ganz grobzum letzten Mal wiederholtgegeben eineFunktionrate ich einen plausiblenStartwertweiter mich auch mit gutem Grund den zu nehmen aus irgendwelchen Erwägungen je nach Funktion??Armnäher dran als Kinder gemalt habe ?? funktioniertgerade nicht bei der ?? funktioniert sogerade einen plausiblen Startwert dann wirklich eine Tangentelässt einen dann endet die Tangentean dieser Stellean dieser Stelle an die Funktiongucke mir wo die Tangente den durch die x-Achse geht wo die Tangente null wird nenne das Au das ist mein nächster Kandidat unter mache ich denselbenTrick noch mal gucke an dieser Stelle wo denn die Tangenteso wurde die Tangente durch die x-Achse gehen würde nenne das X zweiX zweiArmenund so weiter und so fort und so weiter und so fort man sieht sobald die Funktionensich sehr gut Durchgraden beschreiben lässt bin ich natürlich extrem schnell ans Ziel das wird dann X drei werden und so weiterdieentsprechen ihr die die die fundamentaleGleichung war ich?? ersetze meinenWert X diedurch X ihm minusmeine Funktionan der Stelle X I durch meine Ableitung an der Stelle Xdas wird meinneuesie ecks ie genau gesagt kann ich das jetzt mathematisch reibe XE plus eins istder alte Wert X I minus das Verhältnis von Funktionsableitungan dieser Stelledas rechtlichfünf sechs Maldavon hoffentlicheine ziemlich genaue Näherungso weit ?? letztes Malwaren das doch mal am Beispiel gehtweitersechs NummereinundzwanzigEltern sicher?? Klammer zu stecktin den Dax Nummer zwanzigwenn ich X minusdrei minus siebengleich Nulllösen willdanndann können Sie jetzt natürlich sofort aussagenwas denn die Lösung sein müsste was wäre die Lösung automatischzwanzigdie dritte Wurzel aus sieben natürlichähm dritte Wurzel aus siebenda schreibt man mal so locker hin aber was ist das eigentlich kann es aushändigendie dritte Wurzel sieben ausrichtenwie ich drei mal sieben hundert drei plus siebensogar drei hochsiebenausrechnedas für China wirklich einig die dritte Wurzel aus einer Zahl gezogenandas kann man sich ?? kann ich mir zumindest so auf eine ?? nicht vorstellen Beistrich haben wir ein Trick über die dritte Wurzel seiner zeigt sie könnenselber ziehen können ohne jetztdas in den Taschenrechner einzugeben beziehungsweiseerweitern offene VorstellungWasser Taschenrechner machen könnte und der Computer machen könnte jetzt nicht so tun wahrscheinlich etwas anders tunaber das wäre ein Verfahren was man so bauen könntewie man dann die dritte Wurzelleben ziehen kann echt mit Zahlen gerechnetund zwareinfachindem man eine Nullstelle suchtmit diesem Verfahrenmit dem Newton Verfahrenich sucheeine Nullstellefür das Polynom X hoch drei minus sieben eine Lösung dieser Gleichung Ixus drei minus siebenoffensichtlich gibt's dafür nur eine Nullstelle und dieser eine Nullstelle muss sein??die drittenicht nur die dritte Wurzel aus sieben muss das sein das heißt wenn ich das nun Verfahren auf dieses problemlosblasseMusik die dritte Wurzel aus sieben findenSie das an Punkt was ist also dieser Iterationsschrittdie neue??die neue Ernährung ist die alte Nehrungminusjetzt kommt Funktion durch Ableitung hier steht die Funktiondie C null werden sollPunkt ich teile also die FunktionTeil die Funktion an der Stelle X K das wäre X kannnicht das wäre X K hoch dreiminus siebendurch die Ableitung an der Stelledas war der Trickdie alte Nehrung Minusfunktionan der Stelle durch Ableitung an der Stellewas wäre die Ableitung an dieser Stellealso diese Funktion ableiten?? diese Funktion ableiten nach Xdas macht Dreiecksquadratesiebzig tausend sechs Quadratetliches haben an der Stelle kann also drei X Carquadratsmusterstehendas nichts anderes als sie jetzt diedas Newtonverfahrenangewendetauf dieses Problem meine Funktion ist X hoch drei minus sieben ich weiß das schon was sie Nullstelle sein wirdaber netterweise vertritt mir das Newton Verfahren jetzt auf diesem Wege wie ich denn die dritte Wurzel sieben tatsächlich ausrechnen kannFunktion Ixus drei minus sieben durch ihre Ableitungdrei X Quadratan dieser Stelle natürlich jeweilsdeshalb X K X Kdas könnte man noch etwas vereinfachenhier steht das ist X kam minus und jetzt kommt die als erstesminusX K hoch dreidurch drei X gar Quadratder erste thermischer Partner doch einzeln hin X K hoch dreidurch drei X K Quadratdann kommt minus minus macht plussieben Drittelund zwar einst durchX K Quadratdran nochsoein bisschen kürzenX K hoch drei durch X K Quadrat der bleibt hier nur noch oben X K stehen?? habe ich insgesamt die vorne eins minus ein drittel X K das macht also zwei Drittelzwei Drittel X Carund hier hinten kaum inLossieben Dritteloder eher siebenter Streiks gar Quadrat zu sieben durch drei X garQuadratdas Konvois inOpenOffice anguckenich hoffe das gelingtich rate irgendein Startwertähmwas würden Sie traten als Startwert für die dritte Wurzel aus sieben was könnte geschickt seinAlter startet oder bereitszwei denn zwei hoch dreiacht die dritte und das achtens zweiPunkt es starte beizweiund jetzt rechne ich in jedem Schrittden alten NäherungswertAußenpolitikRockmusiker hatteden alten Näherungswert mal zwei Drittelplus sieben durch dreimal den alten Näherungswert ins QuadratplussiebendurchdreiMal denalten NäherungswertStelle nicht dreimalden alten Näherungswertins Quadratschreib einfach mal mal könnte auchzwei Schreiben sowasdurch eine sieht plausibel aus?? passiertbrauchen scheinbar mehr Stellen Komma das Seewasserpassiertdass sie sich wohl sehr schnell zusammen auf die Zahl eins Komma neun eins zwei irgendwas sehen das mache ich eins zwei drei viereins zwei dreivier mal rechnen dass ?? eben geschrieben habe viermal ineinanderalso ich starte mit X null gleich zwei Sätze dass dieseSätze das in diese Formel ein das wird mein X einswas daraus konntet sich wieder diese Formel ein das wird man X zwei und so weiter und sofortdiese Funktion wird viermal miteinander angewendet und sie sehen was dann rauskommtpasst auf alles was ich ablesen kann so viel stellen wie das Teil machtdann bleibt es konstantund immer testweise einfach froh berechnen wenn ich Dinge nehmehoch dreiMaus buchstabiert auf diese Weisesiebendas heißt sie kriegen diedritte Wurzel nur mit plus?? gucken die dritte Wurzel kriegen sie mit bloßmal zwei drittel und hierQuadrat ist auch malehergeteilt brauche ich noch als mit plusMal und geteilt in die dritte Wurzel ausgerechneteinfach indem sie viermalanscheinend genau genug in dem sie viermal diese Fusion dahinten ausrechnenohne irgendwelche komischenunbekannten Funktionen oder was einfach nur mit den Grundrechenartendas könnte tatsächlich zu Fuß ausrechnenwirklich wollen würde könnte man dritte Wurzel aus ihm zu Fuß ausrichten auf diese Weisewenn ?? seit einer Stunde oder so fertigeinenRechner ganz schnelleraus ?? in die das Verfahren dies überhaupt funktioniertoder solle sagen fusionieren könntenehme an dass der typische Taschenrechner das noch etwas anders machen wird Punkt aber dies wäre schon ein geschicktes Verfahrenwenn man sich an Punkt ich hoffe das ist jetzt hier zu sehenwie gut das funktioniertfunktioniert absurderweisehier viel zu gut schonschlechtes Beispiel typischerweiseist das sodas sich die Zahl der gültigen Ziffern verdoppeltwar gucken Komma gucken bei jedem Schritt verdoppelt ?? sogar noch schnellerguckenähm neun eins sechs das heißt hier habe ich zwei Stellen Komma die stimmenoffensichtlich muss es nur ein zwei neun Komma seit neun eins stimmt schon mal sojetzt geht's ihr zwei neun dreihier stimmen schonfünf Stellennach dem Komma die acht stimmt nicht ?? müssen bereit seinund hier stimmen schon eins zwei drei vier fünf sechssieben acht neunAuge der gestern wiederneun stellen Stimme die zehnte stimmliche Stimmen neun Stellenund hier stimmenviel zu viel stellenSie sie zumindest den Trend das passt nie so hundertprozentigaber sie sehen den Trenddie Zahl der gültigen Stellen nach dem Komma verdoppelt sich bei jedem Schritt im Alterzwei gültige Ziffer nach dem Komma seit fünf tausend neundie mal Daumen das Doppelte immer deshalb wieder so schnell die sechzig Stellenbesser keine kann Probleme ständig verdoppelndas heißt der Fehlermuss ungefähr so was tunwenn die Zahl der gültigen Ziffernjeweils verdoppelt wird muss der Fehler ungefähr sowas tunder Fehler muss ungefähr quittiert werden wenn der Fehlerin einem Schritt ein Tausendstelist null Komma null null einsscheint er im nächstenSchrittdamit die doppelte Zahl anZiffernstimmtund im nächsten Schritt fotografiert worden seindas scheine zu Passieren der Fehler wird Quartierungefährnicht genau aber ungefähr muss man diesen Effekt habedas die Abweichung von derechten Nullstelle in jedem Schritt gratuliert wirdin den sing vor die echte Nullstelledieser Schritt diese Entfernung hier zu echten Nullstellescheint ungefähr immer Quartier zu werden im Altervon Schritt zu Schrittund dadurch dann extrem schnell zusammenzubrechendaswahrgenommene Detail vorführen was da passiert?? in Order Ableitungen üben