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24A.3 Fläche unter Gauß-Glocke; Normalverteilung; Doppelintegral in Polarkoordinaten


CC-BY-NC-SA 3.0

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diesehübsche Funktion die kam ja schon malbei der Wahrscheinlichkeitsrechnungvor die Gaußglockesich erinnernNormalverteilungund dadurch schon gesagt davon kriegt man leider keine Stammfunktionmit normalen Funktionen hingeschriebeneine Stammfunktion benennenin dem Udacity eskaliert die ?? auf Wangchenaufähm ist aber nur ein Name für die Stammfunktion davon richtig davon zu nicht mit den üblichen Funktionen hingeschriebendas lustige ist das man aberdas komplette integral dieser Funktion ausrechnen kann oder gibt es einen Krieg mit Polarkoordinaten??ich nehme nämlich dieses Integralmaßvon minus unendlich bis plus unendlichdie komplette Fläche unter der Glockeins Quadratberechnen nicht das integral als solches sonders integralins Quadratund schreibe auch das ist ein Jahr von minusunendlich bis plus unendlicheominusX fordert halbe TXmalminus unendlich bis plus unendlichjetzt nenn ich die Variablen anderswie hochminusY Quadrat Halbe BYdie Fläche unter der Glockenkurvemal die Fläche unter der Glockenkurvenur dass ich das dickste hintengenannt habejetzt kommt der große Kunstgriffsie fassen diese beiden Integrale zu einem integral zusammenTXBYund gehen in Polarkoordinatendann können sich ausrechnenwas es einen Trick siebzehn aus der Mathematik diese beiden Integrale zu einem integral zusammenfassendie X Yin Polarkoordinatengehen und ausrechnensie tatsächlich ein Zahlenwert dafürwas ich kannabsurderweisekeine Stammfunktionmit üblichen Funktion angeben aber es integral von minus unendlich bis plus unendlichlustigerweiseraus mit dem Trickin dem hier in Polarkoordinatengehengleich am Anfang Klammer zu überraschendfolgendes integral ich integriere über den komplettenR zweidie gesamte EbeneE hochminus X Quadrat Halbe mal eben hochminus Y Quadrat HalbeX Yin der FormYpassen sie einfach als Konstante für das integral davon auf und sie dieses gesamte integral davon reingewisse unten habe ?? ließen sich leicht soabsurd andersrumY neu vermietet sich bis plus unendlichwas habe ich jetzt drinstehenich habe ihn noch nie selbst ein halbe Maldiesesintegral drinstehen dieses innere integral kann ich überaus sinnlos eine Konstante dass sie nicht von Y abbesteht kein Y meinte danndieses Integralkonstantewerden gründlich raus ziehenstehen und übrig bleibt der zweitedas wäre die billige Art wie man das zusammenfassenkann in ein einziges integralüblicherweise arbeitet man in die andere Richtungein würde versuchensein Doppel integral in ICD geradezu zu zerlegen es weiß ebenin die falsche Richtung ich nehme zwei eins Integrale ein Doppel integral drausund jetzt bringen Sie dieses Doppel integral mal in PolarkoordinatenZeit schon meinen inneren Teildie beiden Nieren zusammenfassenE hochminusX Quadrat Halbe Y Quadrat Halbeda müsste ihnen auf Dauer dann dochdieses X Quadrat Y Quadrat ins Gesicht springenwie hoch minus er Quadrat Halbezwei ?? Quadrat ist er Quadrat und den jeweils mal minus ein halbdas heißt diese Funktion ist super schön zu schreiben in Polarkoordinatenähmjetzt will ich ?? über die komplette Ebene integrierenmöchte ich jeden Punkt der unendlich ausgedehntenEbene hier erreichen überall hin Punktdas heißtmein Winkel läuftzum Beispiel von null bis zwei Pi oder vonminus Biblis groß B Hauptsache ein Bereich von zwei Pisowas kein Problemund der Abstand vom Ursprungwird immer noch nicht negativauf das etwa einen gesehen habe der Abstand ist immer positivoder nullähm nulleins zwei Kommader Abstand muss also sein null bis unendlichwenn sie das machendann haben siealle Punkte der Ebenehier alle Winkel durch nur bis zwei Pi und ich gehe alle Abstände durch was sind alle Abstände ab null aufwärtslässt er wird nicht negativdamit habe ich die gesamte Ebene um die geht's jaX vermisse dich bis plus unendlich Y von minus ??die gesamte Ebenevon der der Flächen Korrekturfaktoreherweiße Flächenstückchen im Jahr neunzehn ?? kleiner sind als außenin der vergessen den ?? und hier steht die hoch minus er Quadrat HalbeFunktion die zu integrieren ?? insofern ist das nicht wesentlich verschieden von dem was er immer Favorit hatten die Funktion in Polarkoordinatenausdrücken?? Flächenkorrekturfaktorund die richtigen Bereiche für R und Phiangebenkönnte man meinen Jahressitz eines gewonnen nie hochminus er Quadrat Halbe das es ja schon wieder dieser blöde Ausdruck ?? es gibt einen feinen Unterschiedzu dem hier eo X Quadrat Halbe zudem kann man keine Stammfunktionmit üblichen Punktion hinschreibenihr steht jetzt aber nicht wie hoch minus er Quadrat Halbe nackt steht noch ein er hintendran das ist der Trick durch dieses Quadrierenist die plötzlich in er erschienen jetzt geht es Substitutionversuchen sich normal zu erinnerndas ja die neue Variante sollte sein sie U sollte sein er Quadrat Halbedas sicher gerne E hoch minus und das liest sich gut als Ort integrierbar wäreund es muss sie wissen was das hier in meiner neuen Variable zu tun hat die was ist die nundie EU nach DRist demnach eher ableiten zwei er Halbe ist eralso weiß sichdie EU ist RDLschreib das jetzt mal wie die Ingenieure und Physiker das machenähm immer das in der Mathematik dann auchein paar Semester machen darfman die entsprechenden Techniken hat DifferenzialformalsoRTRist nichts anderes alsdie EUfür das hier RTR kann ich die Uhr schreibenwas habe ich das äußere integral die Vieh von null bis zwei Piund ihnen steht jetzt ein integraldieUno RTR wird die EUintegriertFormund integriert wird er hoch minusU er Quadrat Halbe wartenminussteht ?? das ist doch ein sehr freundliches integralalso durch die Polarkoordinatenhabe ich lustiger Weise sind Faktor eher dazu gekriegt und der Faktor er ist genau der Faktor den ich braucheum die Substitution zu machen und diesen Faktor er für diese ?? zu so nicht funktionierendie Grenzen von wo bis wo läuft obenkorrekt auch wieder von null bis unendlichwenn er gleich null ist ist ungleich null wenn er über alle Grenzen wächst Expo über alle Grenzenokay diesesinnere integral hier passiert ja nichts schlimmes das innere integral kriegen wir raus das kennen wir schonwas ist das?? Integrale weiß man das ?? auch mit auswendig einsdieAbklingender Ehe Funktionhat also wasanderes malen wird die Fläche unter der abhängige Funktion eins das hatten wir schon so häufig?? das kommt also raus jetzt das integral von null bis zwei Pi über ein Maldie Vieh besageninsgesamt zwei Pialso habe ich gelernt das Quadratder Flächeunter dieser Gaußglockeist zwei Piund damit habe ich gelerntwas die Fläche unter der Gaußglocke istWurzel zwei Pi die Wurzel rauswarum eigentlich nicht minus Wurzel zwei Pi das andere auch passieren ich weiß das Quadrat des zwei Piwarum istdie Fläche unter der GaußglockeplusWurzel zwei Pi und nicht minus Wurzel zwei Piblöde Frage gewesen diese Funktion ist er immer positivdie Gaußglockedrängt sich zwar fürchterlich auf die x-Achse wenn sie bisschen rausgehen aber sie ist immer positiv das heißt dieses integralmuss ohne wenn und aber einen positiven Wert haben es kann niemals minus die Wurzel zwei Pi seines muss die Wurzel zwei Pi mit positivem Zeichen seinso hat man diesen Klassiker noch