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24.01 Partielle Integration


CC-BY-NC-SA 3.0

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nach – dem integral jetzt noch mal offiziell die Integrationsregeln – alles schon im Focus – Fokus nicht aber zumindest am Anfang des Semesters ?? an – Integrationsregeln – Nummer eins partielle Integration – partielle Integration – heißt eigentlich – die Produktregel rückwärts – partielle Integrationsintegration – in Teilen – als – die Union – waren – ich gucke mir die Produktregel – an der Ableitung – Produkt ableiten – war – den ersten ableiten mal den zweiten Plus den ersten lassen meinen zweiten Ableitung – üblichen – Idee die ich dahinter habe – wenn ich – das Produkt zweier Größen habe diese Größe mal Lobster diese Größe mal diese Größe – nicht die beide etwas ändere beide Größen die ich ?? multipliziere – was passierte mit der Fläche dem Produkt aus den beiden – nie etwas ändern die etwas ändern – an den sie was sie als Änderung haben – die Änderung der Fläche ist die Änderung des einen – mal den Wert des anderen – Plus den Wert des einen – mal die Änderung des anderen Schluss – eine kleine Briefmarke da die nach ?? wegfällt – da kommt eine Produktregel Herr – von der Anschauung her – jetzt richtig Produktregel verwenden um etwas über das Tal zu lernen – das ?? letztes Mal Integration durch Stammfunktionen – wenn ich eine Stammfunktion weiß will sagen eine Funktion – deren Ableitung die Originalfunktion – ist wenn sie eine Stammfunktion haben – rechnen sie bestimmtes integral einfach in dem sie – doppelt so hohen Widerstandes – und unten rechnen – Komma dass man gerade noch als Fußnotiz – keinen Lückentext also – wenn ich diese ?? ausrechnen will – ?? zwar gesehen – kann ich das so tun wenn ich eine Stammfunktion habe gegeben ?? Funktion groß F deren Ableitung klein F ist – der Formel die groß F ableiten ließe klein F gegeben eine Stammfunktion – zu klein F – setzen sie nur – oben unter Wertuntergrenze – ein Sinus voneinander ab okay – waren – jetzt aber soll dazu sagen wenn die Funktion hier zwischen A und B – auch wirklich durchgängig definiert ist und dieses mit der Ableitung auch durchgängig zwischen A und B klappt – ohne irgendwelche Polstellen – Definitionslücke – das war der Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung – der war eigentlich – die Granateobergrenze – ableite – kommt die Funktion aus ihnen drin steht aber das ist die Anwendung dafür – ?? – das möchte ich jetzt hiermit tun – ?? ich kenne nun eine Stammfunktion – für – eine von Abt eine Fusion ableiten mal eine andere Plus an Funktion nicht ableiten mal eine andere ableiten – ?? ich kenne eine Stammfunktion für die rechte Seite steht in den FG – welche Funktion – abgeleitet – gibt das kenne ich FG – Regel will ich jetzt rückwärts lesen das heißt nämlich folgendes – ein bestimmtes integral jetzt über das was auf der rechten Seite steht – ?? ergebnislos – elfmal – von X mal G von X – legt das integrieren Earth auf der rechten Seite steht – Beistrich – natürlich – immer das Unternehmen zufällig komme nicht unter Arbeits ?? – ab da Komma gleich weiteren Matrix – wenn das zufällig im integral stünde eine Funktion ableiten mal eine andere Plus – die erste Fusion und die andere abgeleitet wenn es drin stünde wüsste ich mit der Produktregel aha – ich habe Stammfunktion – ist mit F Komma G schlicht und ergreifend – das muss sein F – von X AG von X in den Grenzen von A bis B – nach demselben Rezept – wenn ich weiß – wenn ich eine Funktion kenne groß L vier wenn ich eine Funktion groß F kenne deren Ableitung die Funktion ?? sich integrieren will – rechne ich – diese – Funktion groß F die Stammfunktion – ?? und Ende minus am unteren Ende – genau das mache ich hier – ?? – ich weiß wenn ich das hier ableite kriegt das was im integral steht also muss es integral dieses seinem oberen Ende minus am unteren Ende – und das ganze noch bisschen ungeschickt weil eine Funktion – über die höchst selten zu integrieren haben dass das gerade hinkommt ?? sie vor sie können jetzt Funktionen integrieren die sehen aus wie – zwei X mal Sinus – X plus – X Quadrat mal – Kosinus X oder Funktion können Sie ?? integrieren – wie häufig wird Sonderfunktion vorkommen eher selten – der Trick ist das jetzt auseinanderzunehmen – ist integral vorne auseinanderzunehmen – damit hat man was – ?? Gazette damit hat man was was hilfreiches – nun – Kontext Nummer drei – nehme das integral vorne auseinander das integral über die Summe zweier Funktion – integral ist in Jahr – verträgt sich mit der Summe des integral über die Summe ist es integral des ersten Klosters integral über den zweiten den stell ich auf die andere Seite und hab dann folgendes – es integral von A bis B über – elf Strich von X G von X TX – den ersten ?? eindringlich auf die Seite – nach rechts – ist was da steht er von X G von X von A bis W – minus – das integral was ich eben da – auf der linken Seite rausgeschmissen habe A bis B von X G Beistrich von X D X wenn es passendet – so – das ist – partielle Integration – was steht da eigentlich anschaut Business kommt eigentlich aus der Produktregel – war – einmal durch die Mangel gedreht was die Produktregel kann und dann finden Sie das hier – Wasser ist ein steht ist folgendes wenn ich ein Produkt integriere – bei dem der erste abgeleitet wird – kann ich stattdessen auch ein Produkt integrieren bei dem der zweite abgeleitet wird – also statt dass ich was hatten wir ähm als Beispiel – statt dass ich zwei X mal den Sinus integriere – Punkt das wäre mit hilfreichen ?? stellte sich zwecks meinen Sinus integriere könne ich auch X Quadrat meinen Kursus integrieren – das wäre kontraproduktiv – es wieder schlimmer werden – zwei X mal Sinus sieht für mich einfacher aus als es hundertmal in Kosinus aber – über die Rollen anders vertauschen – wenn sie den Kosinus – integrieren – mal X Quadrat Kosinus von X mal X Quadrat – das es sich so gut und hier steht auf der Seite dann aber großes R können ?? – großes B eine Sinuskonstante – der Sinus mal zwei X das sieht einfach aus auf diese Weise wird tatsächlich einfach an einer – großen Sphäre eine Ableitung von Sinus – zwei X eine Ableitung von X Quadrat – eine die Ableitung von X Quadrat so bis plötzlich einfach eine Richtung muss jetzt gucken welche muss gucken – welche – Rollenverteilung – er geschickt ist – das Ziel nach ?? ist man zum Ausdruck hat – eine abgeleitet man den anderen die Rollen so verteilt zu verteilen dass diese integraler hinten – bei dem mit Ableitung bei meiner steht das das einfache wird – hier möchte ich – ist X Quadrat ableiten – denn X Quadrat abgeleitet wird einfacher – und – der Sinus hier groß müssen beide ungefähr gleich schlimm – sieht es in der großen Sommersitz voraus würde einfacher werden – also das ist die übliche dann von der – partiellen Integration – was das eine Wieso partielle Integration – der eine elf Strich wird zu F die partielle Integration – elf Strich wird zur Hälfte wird integriert – der andere wird netterweise dann abgeleitet – und wählt die Ableitung über ?? zu verstehen die Physiker das gerne ein dem abgeleitet der andere nicht und hier genau umgedreht die Ableitung wird übergewälzt – allerdings das WICHTIG mit ein Minuszeichen – sie zahlen mit ein Minuszeichen – ?? Minuszeichen kommt daher ?? sich hier den zweiten deren der Produktregel auf die rechte Seite gemacht habe – damit die Minuszeichen und sie zahlen mit diesem Rand der Meister sehr gerne der ?? Penetrantterprodukt – der beiden Funktion am einen Ende minus am anderen Ende – aber das kann man auch mit Stammfunktion – hinschreiben – stattdessen – Stammfunktionen – schreibe das jetzt in bestimmten integral hingeschrieben – vom sammlungsmäßig würde man es mit Stammfunktion – hinschreiben – eine Stammfunktion – zu elf Strich von X G von X TX – finde ich in dem ich nehme das Produkt der beiden – minus – eine Stammfunktion – zu F von X – G Strich von X TX – groß I das aus – das wir die formelsammlungsmäßige – Familie mit dem bestimmten integral diese Fläche ist gleich – Produkt oben das Produkt und minus diese Fläche – und Stammfunktion – eine Funktion – deren Ableitung elf Strichmagie – ist kriege ich in dem ich nehme es mal geht minus eine Funktion deren Ableitung ?? Beistrich ist – das eine Stammfunktion – am – ?? der das Beispiel von eben noch mal ordentlich – die Hoffnung ist das man mit dieser Regel dann Produkte – integrieren kann – nicht alle Produkte – aber einige interessante – Firmen etwas raffiniert vorgeht – also von drei bis fünf möcht ich mal berechnen X mal Kosinus – von X – TX – ein Produkt – und möchte diese Regel partielle Integration so anwenden – dass das integral einfacher wird – welche machen sie zu F Märchen machen sie zu G welcher soll abgeleitet werden welche soll – integriert werden welche von den beiden ✂ also man überlegt sie dass es sinnvoll ist den ersten abzuleiten – im offenen zweiten Stammfunktion – eine Fusion der Kreis der großes S Sinus – plus eine konstanter Bissen bestimmt integral deshalb ?? sich die ganzen rasanten ?? – um das möchte ich gerne – die erste ableiten – und den zweiten integrieren – das ist die Reihenfolge so jetzt muss dann als Randterm – des Weges gerannt und erstes – Tante an – der von soll das schreiben – die beiden nicht abgeleiteten – Funktionen – die beiden nicht abgeleitete Funktionen – Produkt – in den Grenzen zu den nicht abgeleiteten Funktion es ist es X und der Sinus – X und der Sinus X in den Grenzen von drei bis fünf – sind die beiden nicht abgeleiteten minus – und jetzt die – vertauschten Rollen – den ersten ableiten – der zweiten integrieren – einmal Sinus – von X das war das Ziel des sie der ganzen Übung – jedes X weg zu kriegen – welches X ableite – jetzt schön oder sind die Gradienten – des integral über den Sinus das gibt's geschenkt – also – interpretieren – sie diese Regel etwas großzügiger – interpretieren – lesen Sie die große Korrespondenz – bedeutet immer noch dasselbe ?? ist etwas großzügiger – ein Produkt integrieren – können Sie – in dem sie die – von dem ersten eine Stammfunktion – bilden von ?? zweiten die Ableitung bilden – können Sie als Randterm noch – das Produkt der beiden – nicht abgeleiteten – Funktion das heißt dass in normalen Worten – ohne die Namen der Funktion zu verwenden ich möchte ein Produkt integrieren – kann ich das tun – ein ableiten ein integrieren – ?? naja den ersten möchte ich ableiten den zweiten integrieren sonst wird Schlimmeres mäßig ?? ersten integrieren X Quadrat halbe Macht kaputt – ersten möchte ich ableiten den zweiten integrieren – das ist das integral mit dem vertauschten – Rollen – braucht ein Minus und es kommt der Rand der beide Funktionen nicht abgeleitet ?? – die Funktion – und die Funktion – so funktioniert dann die – Regel mit der partiellen Integration – verziert habe aber noch ausreichend gesetzlich fünf ein das hier fünf Einsätzen macht fünf Sinus Uppsala fünf Sinus von fünf – minus drei Sinus von drei – ?? das integral – ?? das Minus sehr sonnig mit das integral dahinten ist ?? eine Stammfunktion – zum Sinus – hier ✂ also ganz – schulmäßigmi – Kosinus – von X in den Grenzen von drei bis fünf – dann habe ich der insgesamt – fünf – Sinus von fünf – minus drei – Sinus von drei – drei so minus – Minusbericht – minus minus also Schluss – Kosinus von fünf – hundert und der untere – mir – drei Einsätzen abziehen – minus – minus drei an dessen Absinken drei minus insgesamt minus Kosinus von drei – das sollte dies integral sein – kann also auch Sohn Ausdruck plötzlich – behandeln – das einmal Partnerin Wolfram Alpha – zu ersehen ist das ganz nett ist – oder wenn sie hier tippen – NT – RAID – Punkt sie rät was haben – X – mal Kosinus – X mal Kosinus von X trenne dich nicht mit X und so weiter schreiben sie weit – X großes X – erfindet aber selbst raus das X die Variable ist – kluges Ding – war und zwar von drei – bis – fünf das wäre Wolfram Alphaschreibweise – dafür – übrigens – auch nicht mein Sternchen dazwischen nicht X großes X – als mathematisch ohne Sternchen – so das erinnert mich doch stark an das was wir eben hat nun eine Reihenfolge geschrieben ?? die fünf immer zuerst – das soeben hatten – an – Ärgerlicherweise – zeigt einen hier nicht die – Schritte wieder drauf kommt – absurderweise – wenn sie aus dem – bestimmten integral ein unbestimmtes machen lassen das vom Turm weg unbestimmtes integral – zeigte die Schritte – um das so gemachtes verstehe ich auch nicht – es an ihren kleinen Knopf schoss selbst – und das ist noch nicht das was ich eben gezeigt habe – in die Welt als – die Regel von eben Stammfunktion – zu Punkt ?? Beistrich ganz heftig ?? Stammfunktion zu FDGB – Stammfunktion zu F Beistrich – er – ist das Produkt der beiden minus vertauschte Reihenfolge – steht die Zuordnung was ewiges gemacht hat – war – und – da das Ergebnis – könne dann tatsächlich mit Wolfram Alpha nach gucken wir das Thema auch organisierten integral wird es dann bis ins Kleinste ausgestellt wird wenn er denn das hatte jetzt mal schon gesagt mit der numerischen Integration wenn er denn es überhaupt schafft – ohne numerische Integration – meist gespannten integral den jährlich erwähnt die meisten – spannenden Integrale klappen so leider nicht zu mäßig – den hatte ich erwähnt weiß – sicher – dass das ja – wenn sie das integrieren – wollen minus natürlich – bisschen groß – warm – wenn sie das zum Beispiel integrieren wollen schreibt die indische RAF – die RA Frank schon wird es aber gar nicht zu ihrer Funktion als einfache Stammfunktion dazu – am – ?? publizierten Sachen ebenso da hilft die natürlich – das Ding auch nicht aber wenn integrale schulmäßig lösen lassen – können die Stammfunktion – anfordern als ohne Front zu keinem Bereich anfordern – kein bestimmtes integral das unbestimmte – ?? von die Stammfunktion an und haben dann ein Schalter – an – einen Button – schoss selbst – das zur partiellen Integration – das überweisen von Ableitungen