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24.01 Partielle Integration


CC-BY-NC-SA 3.0

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nachdem integral jetzt noch mal offiziell die Integrationsregelnalles schon im FocusFokus nicht aber zumindest am Anfang des Semesters ?? anIntegrationsregelnNummer eins partielle Integrationpartielle Integrationheißt eigentlichdie Produktregel rückwärtspartielle Integrationsintegrationin Teilenalsdie Unionwarenich gucke mir die Produktregelan der AbleitungProdukt ableitenwarden ersten ableiten mal den zweiten Plus den ersten lassen meinen zweiten AbleitungüblichenIdee die ich dahinter habewenn ichdas Produkt zweier Größen habe diese Größe mal Lobster diese Größe mal diese Größenicht die beide etwas ändere beide Größen die ich ?? multiplizierewas passierte mit der Fläche dem Produkt aus den beidennie etwas ändern die etwas ändernan den sie was sie als Änderung habendie Änderung der Fläche ist die Änderung des einenmal den Wert des anderenPlus den Wert des einenmal die Änderung des anderen Schlusseine kleine Briefmarke da die nach ?? wegfälltda kommt eine Produktregel Herrvon der Anschauung herjetzt richtig Produktregel verwenden um etwas über das Tal zu lernendas ?? letztes Mal Integration durch Stammfunktionenwenn ich eine Stammfunktion weiß will sagen eine Funktionderen Ableitung die Originalfunktionist wenn sie eine Stammfunktion habenrechnen sie bestimmtes integral einfach in dem siedoppelt so hohen Widerstandesund unten rechnenKomma dass man gerade noch als Fußnotizkeinen Lückentext alsowenn ich diese ?? ausrechnen will?? zwar gesehenkann ich das so tun wenn ich eine Stammfunktion habe gegeben ?? Funktion groß F deren Ableitung klein F istder Formel die groß F ableiten ließe klein F gegeben eine Stammfunktionzu klein Fsetzen sie nuroben unter Wertuntergrenzeein Sinus voneinander ab okaywarenjetzt aber soll dazu sagen wenn die Funktion hier zwischen A und Bauch wirklich durchgängig definiert ist und dieses mit der Ableitung auch durchgängig zwischen A und B klapptohne irgendwelche PolstellenDefinitionslückedas war der Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnungder war eigentlichdie Granateobergrenzeableitekommt die Funktion aus ihnen drin steht aber das ist die Anwendung dafür??das möchte ich jetzt hiermit tun?? ich kenne nun eine Stammfunktionfüreine von Abt eine Fusion ableiten mal eine andere Plus an Funktion nicht ableiten mal eine andere ableiten?? ich kenne eine Stammfunktion für die rechte Seite steht in den FGwelche Funktionabgeleitetgibt das kenne ich FGRegel will ich jetzt rückwärts lesen das heißt nämlich folgendesein bestimmtes integral jetzt über das was auf der rechten Seite steht?? ergebnisloselfmalvon X mal G von Xlegt das integrieren Earth auf der rechten Seite stehtBeistrichnatürlichimmer das Unternehmen zufällig komme nicht unter Arbeits ??ab da Komma gleich weiteren Matrixwenn das zufällig im integral stünde eine Funktion ableiten mal eine andere Plusdie erste Fusion und die andere abgeleitet wenn es drin stünde wüsste ich mit der Produktregel ahaich habe Stammfunktionist mit F Komma G schlicht und ergreifenddas muss sein Fvon X AG von X in den Grenzen von A bis Bnach demselben Rezeptwenn ich weißwenn ich eine Funktion kenne groß L vier wenn ich eine Funktion groß F kenne deren Ableitung die Funktion ?? sich integrieren willrechne ichdieseFunktion groß F die Stammfunktion?? und Ende minus am unteren Endegenau das mache ich hier??ich weiß wenn ich das hier ableite kriegt das was im integral steht also muss es integral dieses seinem oberen Ende minus am unteren Endeund das ganze noch bisschen ungeschickt weil eine Funktionüber die höchst selten zu integrieren haben dass das gerade hinkommt ?? sie vor sie können jetzt Funktionen integrieren die sehen aus wiezwei X mal SinusX plusX Quadrat malKosinus X oder Funktion können Sie ?? integrierenwie häufig wird Sonderfunktion vorkommen eher seltender Trick ist das jetzt auseinanderzunehmenist integral vorne auseinanderzunehmendamit hat man was?? Gazette damit hat man was was hilfreichesnunKontext Nummer dreinehme das integral vorne auseinander das integral über die Summe zweier Funktionintegral ist in Jahrverträgt sich mit der Summe des integral über die Summe ist es integral des ersten Klosters integral über den zweiten den stell ich auf die andere Seite und hab dann folgendeses integral von A bis B überelf Strich von X G von X TXden ersten ?? eindringlich auf die Seitenach rechtsist was da steht er von X G von X von A bis Wminusdas integral was ich eben daauf der linken Seite rausgeschmissen habe A bis B von X G Beistrich von X D X wenn es passendetsodas istpartielle Integrationwas steht da eigentlich anschaut Business kommt eigentlich aus der Produktregelwareinmal durch die Mangel gedreht was die Produktregel kann und dann finden Sie das hierWasser ist ein steht ist folgendes wenn ich ein Produkt integrierebei dem der erste abgeleitet wirdkann ich stattdessen auch ein Produkt integrieren bei dem der zweite abgeleitet wirdalso statt dass ich was hatten wir ähm als Beispielstatt dass ich zwei X mal den Sinus integrierePunkt das wäre mit hilfreichen ?? stellte sich zwecks meinen Sinus integriere könne ich auch X Quadrat meinen Kursus integrierendas wäre kontraproduktives wieder schlimmer werdenzwei X mal Sinus sieht für mich einfacher aus als es hundertmal in Kosinus aberüber die Rollen anders vertauschenwenn sie den Kosinusintegrierenmal X Quadrat Kosinus von X mal X Quadratdas es sich so gut und hier steht auf der Seite dann aber großes R können ??großes B eine Sinuskonstanteder Sinus mal zwei X das sieht einfach aus auf diese Weise wird tatsächlich einfach an einergroßen Sphäre eine Ableitung von Sinuszwei X eine Ableitung von X Quadrateine die Ableitung von X Quadrat so bis plötzlich einfach eine Richtung muss jetzt gucken welche muss guckenwelcheRollenverteilunger geschickt istdas Ziel nach ?? ist man zum Ausdruck hateine abgeleitet man den anderen die Rollen so verteilt zu verteilen dass diese integraler hintenbei dem mit Ableitung bei meiner steht das das einfache wirdhier möchte ichist X Quadrat ableitendenn X Quadrat abgeleitet wird einfacherundder Sinus hier groß müssen beide ungefähr gleich schlimmsieht es in der großen Sommersitz voraus würde einfacher werdenalso das ist die übliche dann von derpartiellen Integrationwas das eine Wieso partielle Integrationder eine elf Strich wird zu F die partielle Integrationelf Strich wird zur Hälfte wird integriertder andere wird netterweise dann abgeleitetund wählt die Ableitung über ?? zu verstehen die Physiker das gerne ein dem abgeleitet der andere nicht und hier genau umgedreht die Ableitung wird übergewälztallerdings das WICHTIG mit ein Minuszeichensie zahlen mit ein Minuszeichen?? Minuszeichen kommt daher ?? sich hier den zweiten deren der Produktregel auf die rechte Seite gemacht habedamit die Minuszeichen und sie zahlen mit diesem Rand der Meister sehr gerne der ?? Penetrantterproduktder beiden Funktion am einen Ende minus am anderen Endeaber das kann man auch mit StammfunktionhinschreibenstattdessenStammfunktionenschreibe das jetzt in bestimmten integral hingeschriebenvom sammlungsmäßig würde man es mit Stammfunktionhinschreibeneine Stammfunktionzu elf Strich von X G von X TXfinde ich in dem ich nehme das Produkt der beidenminuseine Stammfunktionzu F von XG Strich von X TXgroß I das ausdas wir die formelsammlungsmäßigeFamilie mit dem bestimmten integral diese Fläche ist gleichProdukt oben das Produkt und minus diese Flächeund Stammfunktioneine Funktionderen Ableitung elf Strichmagieist kriege ich in dem ich nehme es mal geht minus eine Funktion deren Ableitung ?? Beistrich istdas eine Stammfunktionam?? der das Beispiel von eben noch mal ordentlichdie Hoffnung ist das man mit dieser Regel dann Produkteintegrieren kannnicht alle Produkteaber einige interessanteFirmen etwas raffiniert vorgehtalso von drei bis fünf möcht ich mal berechnen X mal Kosinusvon XTXein Produktund möchte diese Regel partielle Integration so anwendendass das integral einfacher wirdwelche machen sie zu F Märchen machen sie zu G welcher soll abgeleitet werden welche sollintegriert werden welche von den beidenalso man überlegt sie dass es sinnvoll ist den ersten abzuleitenim offenen zweiten Stammfunktioneine Fusion der Kreis der großes S Sinusplus eine konstanter Bissen bestimmt integral deshalb ?? sich die ganzen rasanten ??um das möchte ich gernedie erste ableitenund den zweiten integrierendas ist die Reihenfolge so jetzt muss dann als Randtermdes Weges gerannt und erstesTante ander von soll das schreibendie beiden nicht abgeleitetenFunktionendie beiden nicht abgeleitete FunktionenProduktin den Grenzen zu den nicht abgeleiteten Funktion es ist es X und der SinusX und der Sinus X in den Grenzen von drei bis fünfsind die beiden nicht abgeleiteten minusund jetzt dievertauschten Rollenden ersten ableitender zweiten integriereneinmal Sinusvon X das war das Ziel des sie der ganzen Übungjedes X weg zu kriegenwelches X ableitejetzt schön oder sind die Gradientendes integral über den Sinus das gibt's geschenktalsointerpretierensie diese Regel etwas großzügigerinterpretierenlesen Sie die große Korrespondenzbedeutet immer noch dasselbe ?? ist etwas großzügigerein Produkt integrierenkönnen Siein dem sie dievon dem ersten eine Stammfunktionbilden von ?? zweiten die Ableitung bildenkönnen Sie als Randterm nochdas Produkt der beidennicht abgeleitetenFunktion das heißt dass in normalen Wortenohne die Namen der Funktion zu verwenden ich möchte ein Produkt integrierenkann ich das tunein ableiten ein integrieren?? naja den ersten möchte ich ableiten den zweiten integrieren sonst wird Schlimmeres mäßig ?? ersten integrieren X Quadrat halbe Macht kaputtersten möchte ich ableiten den zweiten integrierendas ist das integral mit dem vertauschtenRollenbraucht ein Minus und es kommt der Rand der beide Funktionen nicht abgeleitet ??die Funktionund die Funktionso funktioniert dann dieRegel mit der partiellen Integrationverziert habe aber noch ausreichend gesetzlich fünf ein das hier fünf Einsätzen macht fünf Sinus Uppsala fünf Sinus von fünfminus drei Sinus von drei?? das integral?? das Minus sehr sonnig mit das integral dahinten ist ?? eine Stammfunktionzum Sinushieralso ganzschulmäßigmiKosinusvon X in den Grenzen von drei bis fünfdann habe ich der insgesamtfünfSinus von fünfminus dreiSinus von dreidrei so minusMinusberichtminus minus also SchlussKosinus von fünfhundert und der unteremirdrei Einsätzen abziehenminusminus drei an dessen Absinken drei minus insgesamt minus Kosinus von dreidas sollte dies integral seinkann also auch Sohn Ausdruck plötzlichbehandelndas einmal Partnerin Wolfram Alphazu ersehen ist das ganz nett istoder wenn sie hier tippenNTRAIDPunkt sie rät was habenXmal KosinusX mal Kosinus von X trenne dich nicht mit X und so weiter schreiben sie weitX großes Xerfindet aber selbst raus das X die Variable istkluges Dingwar und zwar von dreibisfünf das wäre Wolfram Alphaschreibweisedafürübrigensauch nicht mein Sternchen dazwischen nicht X großes Xals mathematisch ohne Sternchenso das erinnert mich doch stark an das was wir eben hat nun eine Reihenfolge geschrieben ?? die fünf immer zuerstdas soeben hattenanÄrgerlicherweisezeigt einen hier nicht dieSchritte wieder drauf kommtabsurderweisewenn sie aus dembestimmten integral ein unbestimmtes machen lassen das vom Turm weg unbestimmtes integralzeigte die Schritteum das so gemachtes verstehe ich auch nichtes an ihren kleinen Knopf schoss selbstund das ist noch nicht das was ich eben gezeigt habein die Welt alsdie Regel von eben Stammfunktionzu Punkt ?? Beistrich ganz heftig ?? Stammfunktion zu FDGBStammfunktion zu F Beistricherist das Produkt der beiden minus vertauschte Reihenfolgesteht die Zuordnung was ewiges gemacht hatwarundda das Ergebniskönne dann tatsächlich mit Wolfram Alpha nach gucken wir das Thema auch organisierten integral wird es dann bis ins Kleinste ausgestellt wird wenn er denn das hatte jetzt mal schon gesagt mit der numerischen Integration wenn er denn es überhaupt schafftohne numerische Integrationmeist gespannten integral den jährlich erwähnt die meistenspannenden Integrale klappen so leider nicht zu mäßigden hatte ich erwähnt weißsicherdass das jawenn sie das integrierenwollen minus natürlichbisschen großwarmwenn sie das zum Beispiel integrieren wollen schreibt die indische RAFdie RA Frank schon wird es aber gar nicht zu ihrer Funktion als einfache Stammfunktion dazuam?? publizierten Sachen ebenso da hilft die natürlichdas Ding auch nicht aber wenn integrale schulmäßig lösen lassenkönnen die Stammfunktionanfordern als ohne Front zu keinem Bereich anfordernkein bestimmtes integral das unbestimmte?? von die Stammfunktion an und haben dann ein Schalteraneinen Buttonschoss selbstdas zur partiellen Integrationdas überweisen von Ableitungen