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16A.2 Vektorraum von Funktionen, Norm, Skalarprodukt, Vorbereitung Fourier-Reihe


CC-BY-NC-SA 3.0

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daserweiterte meine Idee was sie tatsächlich mit Foyer rein ausrechnen kann dass jedevernünftige Funktiondie periodisch ist damit hinkriegen kann ich wollt jetzt einmal bitteneine kleine Übersicht anzufertigenwas abstrakte und anschauliche Vektorräume angeht zum Beispiel in R dreials anschaulichen Vektorraum?? die Pfeile einmal sicher vorstellen ?? Länge Breite Höheundwir haben die Menge der Funktionenmit Periodezwei Pschon eine MengePapierfunktionenmit der Periode zwei Pi als abstrakten Vektorraummit Perioden ander Witterung kommt er massiv vor bei der Foyerreiheder heißt dann in der mathematikoffiziellenbisschen anders verguckt sich nicht alle Funktionenansondern nur in bestimmten Teil als gutartige Funktionwill nicht so weit treibenaber im Prinzip guckt man sich die Funktionen mit Periode zwei Piano ein abstrakter Vektorpacken sie keine Feile mal auf keinen Fall wird versuchen Sie da Pfeile zu malen für diese Funktionendas habe ich gelernt in den vergangenen Jahren das geht schief ?? Anfang zu machenvom Verständnis herder R dreiein anschaulicher Vektorraumda können Sie feine malen wie sie wollen das ist die Idee beim R drei Pfeile mit Länge bei der Höheseiner links und hinten nach vorneanFunktionen mit Periode zwei Pi was wären sotypische Vertreteraus dieser Menge Funktion mit Periode zwei Pimal die ersten Kandidaten in der Sinusist eineFunktionsperiodezwei Pi der Kosinusnicht der Kosinus hyperbolicushyperbolicusnun soder geht hierins männliche update ist nicht periodischgroßes hyperbolicus auch ?? so heißt also ?? wäreamwas aber nochwichtige Funktionen mit Periode zwei Pian die Helligkeit gedacht die Funktion die ständig eins istdies natürlich auch periodisch mit Periode zwei Pferde dachte ich gar nichtfunktioniert nicht ganz so wichtig ist wie die eins aber fast so wichtigwie hoch diesind jetzt wissen Schicke mal das Varieté wird abgewählt auf die JITFunktionSinus bis die Funktion namens Sinus großes Resonanz großes einsklarC wird abgewählt auf die dass er die üblichen Verdächtigenaber etwas ist immer bisschen selber arbeiten was haben wir denn ein Rechenoperationenim R dreiwas können Sie in R drei mit Pfeilenanstellenund was heißt das analog für Funktionenin diesem abstrakten VektorraumKomma so dieses eins zu eins gegeneinander gestellt habenwarum ich diese Funktion als Vektoren bezeichnePunkt irgend einen Sinn ergibt ?? sich irgendwie so verhalten wie fein was können Sie mit fein anstellenwas sind Rechenoperationdies mit fein machen können was sind analogen Rechenoperationdann für meine Funktionkonnte das meindass jeder Vektorraum kann es natürlich Vektoradditionist es so hinschreiben oder mit Pfeilen auf Malezwei Vektoren addierenarme Familie fünfsieben neunFunktion könnte natürlich addieren sie können einfach Sinus von Tplusdie Quadrat bilden das er nicht periodischSinus von T plus E hoch GTund plus eins von mir aus diese Funktion können Sie bilden Tee wird abgebildet aufSinus und und eins das ist eine zwei Pi periodische Funktion könnennur Funktionenderselben Periode addieren haben wieder eine von der Sorte das kann ich tun?? Direktoren kann ich mit Zahlen multiplizierenneun ?? und genauso kann ich natürlichmeine Funktion mit Zahlen multiplizierendreimal den Sinuswieder eine Funktion ?? die Periode zwei Pi hatte ich darf sie sogar mit komplexen Zahlen multiplizierendas es insofern schon was neuesin der steht drei plus dreizehn mal diemal den Sinus auch okaywerden wir die ganze Zeit mit komplexen Zahlensoll ein komplexer Vektorraumvektorraumist nicht nur abstrakt weil ernicht ausfallen besteht sondern ist komplex in den Sendekomplexmit komplexen Zahlen modifizieren darf hier im R dreiWellenvektorraumbeim R drei darf nur mit ideellen Zahlen multiplizierenso das ist Zahl mal Vektorist eines ?? noch einfachan die Sicherheit aber erst mal die Länge gibt die Länge eines Rektorsin R dreiwas ist die Länge eines Rektors im R dreiund was istanalog dazu jetzt wird's heikel die Länge einer Funktionmit der Periode zwei PiAnnette sei nicht mehr länger Sommer typischerweisedie Normeiner Funktionmit Periode zweidas auf der linken Seite ausfüllenkönnen haben sie eine guteIdee was auf der rechten Seite stehendieLänge eines Rektors im R dreimit Pythagoraseins Quadrat zwei Quadrat drei Quadratswurzelndie Längein Anführungszeichendie Norm heißt es dann ja einer zwei Pi periodische Funktion ist lustigerweisenichts anderes als der Effektivwertder Nennwert der NS Wut mies querberuhtWiens Queramin ist die ?? ?? ist das integralder Mittelwerteiner persönlichen Funktion das integralunter das integral über eine Periodequer vom Quadratvon TQuadratund damit der Mitte wird jetzt dem Musik noch durch zwei PeterIntegrierenüber die Strecke von zwei Pi und teilen durch zwei Pi dann ?? verhindern die volle Funktion ?? einsIntegral zwei Pi sie teilen durch zwei Pi besteht wieder einsdas istschwerbei dir steht der Betragdiese Funktion ist eine komplexe Zahl im Zweifelsfall der Fusionsversionals eine komplexe Zahlan damit ich ihr keinen Ärger mit I kriege nämlich den Betrag Quadratdie Länge der komplexen Zahl von T Quadratüber denalsodas was beimanschaulichenVektor die Länge ist die geometrische Länge ist hier bei meinen Funktionender Nennwert EffektivwertwutMinsk wert und daraus leitet sich herwas das Skalarproduktistwenn sie sagen dass Skalarprodukthier ein zwei drei mal vier fünf sechs ist gleicheinmal vier plus zwei mal fünf plus drei mal sechsmuss es irgendwie ähnlich funktionierenVektor mal Vektor Skalarproduktist die Länge ins Quadratdie beiden Hänger zusammen der Verband so ähnlich muss es hier funktionelle Skalarproduktmuss auch was hiermit zu tun haben wir dann anders geschrieben ?? diesen spitzen Klammerhat sich so historisch ergeben eine Funktionmal eine andere Funktiones muss sinnvollerweise das integraljetzt vorkommen von null bis zwei Pi hier einst durch zwei Pi brauchen ?? ja auchFunktionen mal Funktion soll das Quadrat enorm sein wie Vektor mal weg für das Quadrat der Länge ist es auch mit ?? Beistrich zwei Pi integralwissen und dafür sorgen dass das noch irgendwie hinkommt das es Wissen überraschen das ist das konvex korrigierte von dem linken maldie Funktion rechts sieht Skalarproduktfür Funktionen ausdas es schon bisschen weit wegvon dem was man kennt aber es müsste eigentlich sicher schließen wenn sie mit der Länge anfangendie Länge ist relativ einleuchtendvor allem mit demAMSdurch das was sie aus Elektrotechnikkennenund sich jetzt zweimal dieselbe Funktion einsetzen F mit Fmodifizierenwir diesen SkalarproduktETFquerweiterhin eine Funktion mit sich selbst multiplizierenhier stehtwervon T hier steht er von Tein komplexer negierte Zahlmal die Originalzahldas hier gibt den Betrag von ?? von Tins Quadrat genau was ich da oben auch so kommt dieses quer jetzt zustandeeinfach nur ?? mit konvexen Zahlenhantieren deshalb ?? wird sich das komplex korrigiert ?? hier geht's ja wunderbar mit reellen Zahlen hantierensoweitein paar Analogienist es meine Zeit noch paar mehr Analogiendas ist der Grund warum man die Funktionenals Vektoren betrachtetsie verhalten sich wie Vektoren auf es keine Feile sind denke sie möglichst nicht in Feilen wenn sie mit den Funktionen arbeitenaber denken Sie daran das sie sich verhalten die Funktion als ob Sektoren wäre man kann genauso damit rechnenda machen es ?? weiter