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06B.3 Gleichungssystem 2x3; Gaußsches Eliminationsverfahren; Bild, Rang, Kern, Defekt


CC-BY-NC-SA 3.0

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einGleichungssystemmit drei UnbekanntenbeiGleichungenzwei X Pluszeichen Y plus vier Z ist gleicheins und vierX minus drei Yplus zwei Z ist gleich dreiund das bitte ich Sie mal ganz konsequentnach Schema F mit Gauß zu lösen und nicht intelligent anzugehen sonderndumm dran zu Genmais programmieren würde wie der Computer das tuneinigevon ihnen haben sich tatsächlichvon der Aufgabenstellungüberreden lassen alsMensch würde man anders angehen als der dumme Computer als wenn sich hier drei Y minus dreizehn ?? hier die beiden gleich unliebsames rausdas ich schönaber wenn sie vorstelle Computer muss erst einmal tausendGleichungen durchbrochen und sich etwas Weg hebt die Chance dafür ist verdammt klein wenn wir drei Komma eins vier weiterhin um sein ??das macht man nicht der Computer fängt blöd anund das blödedie blöde Variante von Gauß istich sorge dafür das hier diese Koeffizientenmatrixeineobere Dreiecksmatrixder ersten Zeile dastehen was willer eine Null haben und da darf stehen was wirunterhalb der Diagonale das ist die Diagonaledes grüneerste Zeile erste Spalte zweite Zeile zweite Spalte unter der Diagonalen will ich nur Nullen haben sie sie nur das es einfach in diesem Fall auch eine einzige nullda habe ich den ersten Schritt von außen Eliminationsverfahrenerledigtnicht verführen lassen von der plus drei minus dreiwürde man so machen hemdsärmeligals Mensch aber das ist nicht ähmnach ?? programmiert wird es ?? viel zu aufwendig macht es nach Schema Fum deinen ?? zu kriegensubtrahiertsich das Doppeltemal minus zwei ich subtrahierendas Doppelte der ersten Zeile von der zweiten Zeile habe ich davon meinen null die ersteHeidelberg stehen zwei erste Gleichung bleibt stehenalsohiervon subtrahieren ?? Sixpackdrei mal zwei gibt sechs von den minus drei abziehen damit bei minus neun Yvier mal zwei sind acht von den zweien abziehenmit minus sechs sinddiese einmal zwei sind zwei von den dreien abziehen sind einsdas ist der erste Schritt gewesen ist aus Eliminationsverfahrenalserster der zweite Schrittrückwärts auflösenschreiben Sie das mal hin was heißt jetzt rückwärts aufzulöseneinander schon wenn sie so weit sind das ist schon aufgelöst haben denken Sie drüber nach was von dieser Matrix hierder Spaltenraumist was ist der Rang was ist der Kern was ist der Defekt was sie diese üblichen Kenngrößendieser Matrix hier alle anderen über den Sigmabesitz jeden zweiten Schritt machenvon unten nach oben aufzulösenin dieser Situationnicht ?? letzte Gleichung so lesenkann ich frei wählenwenn etwaige selbst habesich damit Ydieses Gleichungssystemenordentliches wäre mit drei Gleichungenbekannte drei Gleichung hätte letzte Gleichung für Z zweiundvierzigZ ist gleich dreizehn von mir ausInteresse normalerweiseaus Wind in Ordnung wäre Beistrich nach Z auflösen dieses Setzer oben einsetzen zum rauskriegenhätte ich ?? hätte ich damit ?? ich X aber nicht diese letzte Gleichungzeitweiligfreidas kann oder will sie Y frei eine angesammelteeigentlich vieleshübscher von rechts anzufangen ?? sage Z ist frei wählbar?? kann ich jetzt selbst alsFunktion von Z schreibenY ist gleich die rüberbringen??eins plus sechs Z durch minus neunwill sagenminuseins plus sechs selbst durch neunminus und vorgeschriebendamit YX auch nochmehr Platz X ist gleich aus der ersten Gleichungdreizehn und vierzehn rüber bringen eins minus drei Y minus vier Z durch zwei teilenso sehr das für mich aus Komma geradeselbergucken?? Y vier Z rüberbringen?? Witze drüber gebracht durch zwei geteilt?? okayist gleich ein halbeins minussiebzehn habe schon mit Z ausgedrücktalso eins minusdrei mal diesenRahmen erschaffen ?? drei malminuseins plus sechsneuntelminus vier Zalso habe jetzt X nur mit sechzehn beschriebenen ?? bisschen kürzendie drei und die neun Betrunkene drei dieses Minus und das Minus wird insgesamt ?? Plusund dann habe ich ein halbeinszur Führung geschmiertplus ein drittel mal eins plus sechs Z minus vier ZOstern wir alle sind romanische Thema zusammen ein halb mal die diealles ohne Z eins plus ein Drittel sind vier Drittel die Hälfte von vier Drittel sind zwei Dritteldes alles was Z hatjetzt alles was set Hattie habe ich sechs selbst durch drei das sind zwei Zminus vier Z sind minus zwei Zdurch zwei ?? minus setztund haben sie auch anscheinendsehr gefährlichandas wäre jetzt die Lösung dass es irgendwie unbefriedigendnatürlich?? ich kann Z frei wählen habe Y mit Setting geschrieben habe X mit Z hingeschrieben das ist nicht so wie man es gerne hätte ?? ist gleich zweiundvierzig X ist gleich dreizehn und Y ist gleich Pi aber besser geht es hier nicht das es ja einunterbestimmteslineares Gleichungssystemich habe mir unbekannterals ich Gleichungen habe ich kann nicht darauf hoffen dass eine eindeutige Lösung gibtsolche Gleichungssystemeandersrum solche gleichen Systeme haben ihn eindeutige Lösung es überhaupt eine habenes kann nicht besser werdenkönne keine konkreten Zahlen Kommaaber man kann es immerhin geometrisch deuten äußerliches bei einigen gesehenwenn sie das übereinander schreiben X Y Z ist gleichbesitzen kleine Kniffe ich hoffe man den einmal gesehen hat ist ziemlich billigich fang vielleicht mal mitmit Y an das es einfacherwas ist ?? minus ein neuntelminus sechs neuntel Z dass meine vereinfachende minus ein neuntelminuszwei Drittel setzt jedoch Charlesdas war Yeines minus ein neuntel ein Versatz und dann kommt noch proportional zu Z minus zwei dazu das Schreiben der Firma ?? minus ein neuntel und dann noch zwei Drittelminus ein neuntelund ein hier noch minus zwei drittel so kann ich mein Y bilden wenn ich Zeit habekann ich Y gelten als minus ein neuntel plus Z neun minus zwei DrittelWeckers wie Zaubertrick?? ?? das für Xwenn ich Zeit habebildlich minus einmal Zminus einmal Zund ein jeder zwei Drittel dazuhabe ich Xablesen X ist gleich zwei Drittel groß Z mal minus eins Peterdas etwas Gehirnsschmalz kostet aber eigentlich völlig blöde ist ?? manchmal weißist was ich verzetteln schreibeund schreibe für Cetindas einzige Schreiben Z allgemein ja null plus ein Zwie schreibe ich Z Versatz von null und ein Zund Z ist beliebigPunktso habe ich jetzt alleLösungsvektorenhingeschriebenselbst wenn beliebigund steht wieder ZY kriege ich so minus ein neuntel sind Z mal minus zwei Dritteldarund XP nicht als zwei Drittel minusselbstund das ist eine Geradengleichungdie Lösungsmengeist also eine gerade alle Punkte entlangOrtsvektorPunkt soll sauber sagen alle Ortssektoren von Punkten entlang dieser warKomma dass interpretierendas es etwas übersichtlicherinterpretiertals wenn sie hier diese gleichen schreiben Y ist gleich minus ein neuntel wardie ganzen bisschen mehr mit anfangen Punkt sie ist ein Gradzu sehen ?? bei Normalbetriebgeometrischen Geschichten mit in den Jahren GleichungssystemHand in Hand geht eine Lösungsmengewar es ist eine geradezu plötzlich eine geometrische Bedeutungund auch die Matrixzur Aufgabe diese Matrix hat jetzt geometrische Bedeutung ich kann mir überdie Spalten Raumdas Bildden Rang ?? den Kern und den defektGedanken machen und wenn ich diese Matrix hier nehmen die Koeffizientendes sonntäglichen schreiben und die Echsezwei drei vierdiese Matrixzwei dreiviervierminus dreizweidahabe ich schon von einigen das Gesims mit dem von allen sehen was ist der Spaltenraumlegendedes Bildbildesein eher abstrakter Begriff was ist der Spaltenraumesist das Bild was ist deshalb der Drang dieser Matrixwas istder Kerndieser Matrixund was ist deshalb der Defektder Matrixdas meine als Hilfsbegriffeum was über die Existenzund die Eindeutigkeitvon Lösungen zu sagenwer mir schon ausgerechnet was die Lösungen sind das sind alle Lösungen diese und keine anderedas sagt Ihnen über diese vier Begriffe schon sehr vielmal für alle dann ist nicht hattenKomma nachdenkendass er ?? seiner ?? only erklärt meine Matrix mal X Y Z soll eins drei sein das ist mein ursprüngliches Gleichungssystemdes Toren dieser Matrix hingeschriebennichts Neues zwei X plus dreizehn plus vierzehn ist gleich einsfür X minus drei Y plus zwei Z ist gleich drei das ist einfach mein ursprüngliches Gleichungssystemmit Matrix und zwei Vektoren hingeschriebendie Lösungsmengeheißt folgendes nicht das die gerade rauskommtwo sich die Lösungsmenge heißt nicht dass sie gerade rauskommt was sagt die Lösungsmengewesentliche Botschaftich kann jede X Y Z aus der Lösungsmenge einsetzenstimmt das dann kommt ein Freihauswieder mal dazuhier die Elementeschon ganzgut also hier die Elemente aus der Lösungsmenge einsetzenPunkt das kommt dann rausdas ist der Sinn von dieser Lösungsmengees kommt keine gerade aus dieser Gleichung raus auf der rechten Seiteist letztlich eine Eisenkettedie gerade ein und es kommt immer eins drei rausdas heißt die Lösungsmengealle Punkte zusammen gesammeltOrtsvektorendieses gleichmit der Vorbemerkungmüssten siediese vier Sachen zügig hinschreiben könnenwir fangen aber mit dem Bild andas Bild sind alle weg und die aus dieser Matrix rauskommen können alle die auf der rechten Seite auftauchen könneneins drei ist zum Beispielinsbesondereim Bild im Spaltenraumsagten das offiziellim Alpenraum enthalten alles was aus der Matrix rauskommen kann das jetzt nichtsdirekt zumindest nicht direkt mit unserer geraden zu tun hier diese gerade lebt woanders diese gerade wird eingesetztSpaltenraumund der Rang dann damit zu tun was raus kommt aus der Matrix nicht was ich einsetzein die Matrixmich für das ?? vor man sich überlegen kann was rauskommt aus der Matrix wenn sie diese rechnen zwei vier drei minus dreivier drei mal X Y Zsagt das Bild eine Menge von Vektoren des Bildes mit anderen Zahlen eine Menge von Vektorenwas denn hier bei diesem Produkt rauskommt ?? wenn ich X Y Z alles durch Nudeln lasse den gesamten drei Bass kommt hier alles rausund der Trick war das jetzt eben eine meines Schreibens ist einmal zwei X plus drei Y plus vierzig oben aber ich schreibe so X mal zwei vier plus Y mal drei ?? dreigroß Z mal vier zweiselber sind sie das ja ausrechnen?? ich kombinierediese drei Spaltenin beliebiger Formso zu viel mal die erste Spalte sonst immer die zweite sonst immer die drittebeliebige vielfache jeweils davon sammle ich alle Möglichkeiten zusammen das ist der Spalten ?? bei sehr weiten Raum der wird aus den Spalten gebildetwird Komma ist das anguckenzwei vierhabe hierzwei nachlinks je nach obenganz pauschal möchte man sichausBeistrich egaldrei minus dreidrei minus dreiähmreiner rechtsdrei nach unten vielleicht sowas nicht ganz gelungen hätte wenn vierzig Grad sein sollenvier zweivier Nachricht zwei nach obenwie nach rechts zwei nach obenso nehmen diese drei Vektoren beliebige Vielfache jeweils unter Tieren zusammen was kriegtwelche Vektorenkönnen Sie rauskriegenalle im ??zum Beispiel den hierbesser hervor zum Beispiel den können sie rauskriegen sie nehmenvon mir aus den violettenmaleins Komma fünfPunkt von demblauen nehmen siegleich null Komma sieben oder sowasals Käufer bei den violettennull Komma sieben mal die blauenda sind sie das Gesichtfür alle Vektoren immer zwei überlegendas das fusionieren sie können jeden bilden aus den drei bis würden sogar zwei reichenEck Arbeitsweisebei den jetzt nehme es wenn schon zwei reichensie kriegenaber auch nur Vektoren SR zwei kommt jetzt nicht irgendwie nochauf wunderbare Weise was dazu es bleiben immer solche Vektoren egal wies die drei hier miteinander verrühren es bleiben solche Vektoren in der Ebenealso ist der Spaltsraum der R zweider Rand sagt wie viele Dimensionendas Bild hat wie vieldimensionaldas ist dasnoch heikel habe ich gesehenwenigin zwei nur eine gerade rauskriegen würdenur diese gerade rauskriegen würdedann würde ich sagen der Rang ist einsdieses Gebilde Unterraum offiziell dieses Gebilde was ich daraus kriege welche Dimension hat das eine gerade Dimension eins auch wenn sieim zweidimensionalenliegtauch wenn sie im Raum liegt die gerade in eine gerade quer durch den Raumwas weiß ich die Hattie Dimension eins Lichter zwei drei dimensionalenbesteht aus drei die Punkten aber ?? Dimension einsdas kostet etwas Überwindung ein eindimensionalesDingkann sich auch im dreidimensionalenoder im vier dimensionalenzwanzig dimensionalen wegen gerade ist überallegalwie vielDimension sie eingebettet ist eindimensional?? Punkt null dimensionaleine unendlich ausgedehnte Ebene zweitem zu Vorsichtwenn das der Spaltenraum wäre nur eine geradewäre der Rang einsaber hier ist der Spaltenraumzweidimensionalder komplette A zwei als es der Bank zwei?? so jetzt komme einfach rechnendrei Dimensionen gehen reinkommt zwei raus ?? ist gleich zweites als der Defekt ist die verbleibende eine Dimensioneine Dimensioneinen gerade mit anderen Wortenmuss verloren gehender Defekt sagtwie viel Dimension der Kern letzten Endes unserer geraden hierwas kann ich einsetzendamit null rauskommtnull null rauskommtdas ist der Kernwelche X Y Z sind hier möglich damit auf der rechten Seite der Nullvektor aus Punkt nicht eins drei auf dem Grades ist noch nicht ganz ?? mit ?? tunwas können Sie hier einsetzen damit null null rauskommtdie gerade andie geradeein Verdachtwas ist der Kernder Kern enthält immer ein Vektorpauschal was für sie einsetzen kriegen garantiert null null rausalso egal was ich Bilder als Kernes muss immer der Nullvektor dabei sein wenn sie null null null ?? einsetzen sind sie auch null null rausich brauche eine Ursprungsgradwie machen Sie aus dieser gerade eine Ursprungsgeradedie wissenschaftlich seinSinn in diesem Versatzgenau dieser Versatz sorgt dafürBeistrich ?? dafür Beistrichdass sie eisfrei rauskommtwenn ich den Tag nehme ich den Weg nehmen würde Richtungswechsel nehmendann habe ichminus eins minus zwei Drittel eins das wird dann mein Kern werdenalldas ist geradeselbst malminus eins minuseinsdiese gerade geht es werden die geht durch den Ursprung der Nullvektor ist dabeidas war jetzt keine richtig tolle Begründung muss ich gestehen sie können jetzt rückwärts gebenwenn ich irgendein Element aus dem Kern habedann kann ich das eine Lösung dazu addierenund sich das anzwei Drittel minus ein neuntel null ist eine Lösung eines ursprünglichen gleichen Systemsgleich Null setzendie addiere ich irgend ein Element aus dem Kern habe wieder eine Lösungdas wird dann die offizielle Begründung werden warum das so klapptimmer geometrischkommt jeder Weg vorausdas Bild istkomplett der zweider Kern ist diese geradeVielfaches von minus eins minus zwei drittel einsder Rand sagt wie groß das Bild ist groß gemessen in den Dimensionszahldieses ist ein unendlich ausgedehnte Ebene zwei Dimensionender Rang ist zweiwenn das Bild nur eine gerade ist egalob diese gerade im vier dimensionalenlebt oder sonst worin das Bild eine gerade erst dann ist der Rangeinswenn das Bild ein Punkt ist egalin welche Dimension dieser Punkt liegt zwei vierzig oder was auch immer ist der Rang null ?? Punkt es nur dimensional wenn das Bildbekommtder komplette A drei ist das lediglich mit dieser Matrix in das Bild der komplette R drei ist wäre der Rang dreiund so weiterähmals das am einfachsten so egal wie viel Dimension nicht habehabe irgendein Gebilde in soundsoviel Dimensionenin der Videokamera?? Dimension Begriffbin jetzt eine Ameiseentlang krabbelt auf diesem geometrischen Objekt sind wie viele Richtungen kann diese Ameise gehenwir eine ganz ganz grobe Vorstellung von Dimension Begriffentlang einer Kurve hat sie nurquasi Einrichtung vorwärts und rückwärts entlangeines Flächenstückskann sie vorwärts rückwärts links rechts gehendas wäreetwas leicht zu naiven Vorstellung von Dimension aber genau dasreicht dir eigentlicheher zwei heißtich kannrückwärts links rechts gehen zwei Dimensionen das ist der Ranggenau die zuverlässigeDefinition wird über den Spaltenraumich gucke mir ??anden von diesen Vektoren zum Beispiel zwei über sind weiter nichts Neues bringeneine gerade der Rang ist einsbei den Vektoren hier sind ja nicht zwei über es ist eine Übergetierzwei linear unabhängige wenn ich willdann ist zwei das wäre sie schulmäßigeDefinition wie für den Jahr unabhängigeSpaltenvektorenfindenaber das ist die geometrische Bedeutung der siehe obenwie viel Dimensionwarum ist der dritte von den ersten beiden Dinge abhängig ?? ich will den violetten bilden aus dem blauen und dem grünenVolk gestrickt zeige das malwie bilde ich den violetten aus den blauen und dem grünenFrager sie will sie den violetten aus dem blauen und grünen Pi mal Daumenalso nach Augenmaß in der Tat sieht es so aus als ob ich einfach einmal den blauen an den Grünen dran hängeund hab den violetten persönlich hundertprozentig stimmen aber die mal Raum scheint sich zu kommen einmal der grüne plus einer der blauen gibt den violettengucken sich die Zahlen rechnen Sie einmal genau guckeneinmalder grüne drei minus drei einmal der plaudern ?? ?? fünfeins drei vier zweiwird es allmählich näherbezahlen müssen Komma sauber ausrechnen